Динамика трех вихрей в возмущенных устойчивых конфигурациях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Динамика трех вихрей в возмущенных устойчивых равносторонней и коллинеарной конфигурациях

А. И. Гудименко

Тихоокеанский океанологический институт им. В. И. Ильичева ДВО РАН 690041, Россия, Владивосток, ул. Балтийская, 43 E-mail: algud@poi.dvo.ru

Получено 20 ноября 2007 г.

Изучается динамика возмущенных устойчивых равносторонней и коллинеарной конфигураций трех точечных вихрей в идеальной несжимаемой жидкости. Получена асимптотика этой динамики к невозмущенной. Показано, что в первом приближении в системе координат, где вихри в отсутствие возмущения покоились, они вращаются вокруг их невозмущенного положения по эллиптическим орбитам. Вычислена угловая скорость этого вращения. Показано, что эксцентриситеты у всех орбит в каждой конфигурации совпадают. Вычислено отношение длин больших осей орбит двух произвольных вихрей. В случае равносторонней конфигурации это отношение совпадает с отношением обратных интенсивностей соответствующих вихрей. Вычислен угол между большими осями орбит двух произвольных вихрей. В случае равносторонней конфигурации он составляет ±120 градусов.

Цитата: А. И. Гудименко, Динамика трех вихрей в возмущенных устойчивых равносторонней и коллинеарной конфигурациях, Нелинейная динамика, 2007, т. 3, № 4, с. 379—391.

Ключевые слова: точечные вихри, интегрируемая динамика, теория возмущений

A. I. Gudimenko Dynamics of perturbed equilateral and collinear configurations of three point vortices

Dynamics of perturbed stable equilateral and collinear configurations of three point vortices in an incompressible ideal fluid is studied. The asymptotics of the perturbed motion to the unperturbed one is obtained. It is shown that in the first approximation in a appropriate coordinate system the vortices rotate about their undisturbed positions in elliptical orbits. The velocity of the rotation is calculated. It is shown that the eccentricities of the orbits are coincide. The ratio of major axes of any two orbits is calculated. In case of equilateral configuration this ratio is equal to the ratio of inverse intensities of the corresponding vortices. The angle between major axes of any two orbits of the vortices is calculated. In case of equilateral configuration this angle is ±120 degrees.

Citation: A. I. Gudimenko, Dynamics of perturbed equilateral and collinear configurations of three point vortices, Rus. J. Nonlin. Dynamics, 2007, Vol. 3, No. 4, pp. 379—391.

Keywords: point vortices, integrable dynamics, perturbation theory MSC 2000: 37D45, 76U05, 76B47, 76E20

1. Введение

Динамика трех точечных вихрей в идеальной несжимаемой жидкости описывается гамильтоновой системой

хг = агЩ, уг = -агЩ, i = 1,2,3, (1.1)

дуг ox1

с гамильтонианом

3

н = ---------- У ецЬ'Шг, (1.2)

4naia2a3 ^ г г '

i=1

где хг, уг — декартовы координаты г-го вихря, аг — его обратная интенсивность и тг — квадрат расстояния между вихрями, отличными от г-го.

Заметим, что скобка Пуассона для этой системы имеет вид

if - dfdg >

%\dx,idyi dyidxi)'

Помимо энергии (1.2), эта система обладает тремя первыми интегралами

3 3 3 2 I 2

« = £*. ' = £& ' =

г=1 г=1 г=1

связанными с инвариантностью гамильтониана относительно параллельных переносов и вращений системы координат.

Уравнения (1.1) описывают абсолютную динамику трех вихрей. Наличие интегралов (1.4) позволяет выполнить редукцию системы к относительным переменным и понизить ее порядок.

В данной работе используется редуцированная система, предложенная в [1]. За относительные переменные берутся т1, т2, т3, квадраты длин сторон вихревого треугольника, и А — его удвоенная ориентированная площадь. Редуцированная система получается ограничением гамильтоновой системы со скобкой Ли—Пуассона

{тг, А} = (aj — ak)тг + (aj + ak)(mj — mk), {тг,тj} = -4afcА (1.5)

и гамильтонианом (1.2) на симплектические листы — поверхности уровня f = 0 и g = const, где

f = (2А)2 + т1 + т2 + т3 — 2(т1т2 + т2т3 + т3т1), (1.6)

a1 т-1 + a2 т-2 + aзmз , Л ,

g =--------------------- (а = а\й2 + a2a3 + аАа\) (1.7)

— центральные функции соответствующей алгебры Ли. Заметим, что f = 0 есть формула Геро-на, выражающая площадь треугольника через его стороны, и g = I/4, при условии, что центр завихренности находится в начале координат.

Алгебра Ли, соответствующая ли—пуассоновой структуре (1.5), названа в [1] вихревой алгеброй. Устройство симплектического листа определяется вещественным типом этой алгебры, а последний, как показано [1], зависит только от знака величины a. При a > 0 симплектиче-ский лист компактен. Этому случаю отвечает движение с ограниченными траекториями вихрей. В данной работе мы считаем a > 0.

Неподвижным точкам редуцированной системы отвечают следующие типы конфигураций трех вихрей:

• равносторонняя конфигурация: ш\ = т2 = т3;

• коллинеарная конфигурация: А = 0 и т\,т2,т3 > 0;

• сингулярная конфигурация: А = 0 и 3 г = ] т1 = т^ > 0.

В данной работе рассматриваются только первые два типа конфигураций. Динамика этих конфигураций известна [2] и очень проста — вихри вращаются вокруг центра завихренности с угловой скоростью

_ а\ + а-2 + а-з ,, о,

8ттда\а2аз ' '

Как изменится абсолютная динамика вихрей в этих конфигурациях, если последние подвергнуть возмущению, изменяя относительное положение вихрей? Прежде всего, ответ на этот вопрос зависит от устойчивости конфигурации. В данной работе рассматриваются только устойчивые конфигурации. Кроме того, могут быть возмущения, при которых тип конфигурации не меняется. Мы исключаем такие возмущения, требуя, чтобы они сохраняли интегралы движения (1.4). Таким образом, исходный вопрос сводится к вопросу об абсолютной динамике вихрей, отвечающей фазовым орбитам редуцированной системы, близким к рассматриваемым устойчивым неподвижным точкам.

Численный эксперимент дает следующий ответ на этот вопрос. В системе координат, вращающейся с угловой скоростью О вокруг центра завихренности, вихри вращаются вокруг их (стационарных) положений в отсутствие возмущения по орбитам, близким к эллиптическим. Эксцентриситеты всех трех орбит в каждой конфигурации совпадают. В равностороннем случае соответствующие оси (большая и малая) двух произвольных орбит различаются по углу на 120 градусов, а в коллинеарном — нормальны или параллельны прямой, проходящей через вихри в отсутствие возмущения. Рис. 1,2 иллюстрируют эти наблюдения.1

Асимптотический анализ, проведенный в настоящей работе, подтверждает выводы численного эксперимента и в отдельных моментах идет дальше. А именно, мы вычисляем явный вид эллиптических орбит вихрей в возмущенных конфигурациях, находим угловую скорость ш вращения вихрей по орбитам и получаем простое выражение для отношения длин соответствующих (больших и малых) осей произвольной пары орбит вихрей.

Несколько слов о содержании работы. Работа поделена на два основных раздела. В первом исследуется относительная динамика возмущенных равносторонней и коллинеарной конфигураций вихрей, во втором — абсолютная. Рассмотрение относительной динамики включает переход в окрестности эллиптических точек редуцированной системы к переменным угол—действие. Все вычисления носят асимптотический характер, в качестве параметра асимптотик выступает, по существу, квадратный корень из действия.

2. Относительная динамика

2.1. Нормированные канонические координаты

Вернемся к обсуждению гамильтоновой системы (1.2), (1.5), описывающей с учетом интегралов (1.6) и (1.7) относительную динамику трех вихрей. При а > 0, т. е. когда симплектический

1 Стоит отметить, что общий вывод о замкнутости траектории трех вихрей в некоторой вращающейся системе координат был получен в [1] (см. также [3] для случая равных интенсивностей).

Рис. 1. Траектории вихрей возмущенной равносторонней конфигурации во вращающейся с угловой скоростью И системе координат при аі = 1, а2 = 2, а3 = 3 и различных амплитудах возмущения: а) — возмущение велико, Ь) — мало. Справа орбиты вихрей отнесены к общему центру с подходящим поворотом на 0, 120 или 240 градусов

Рис. 2. Траектории вихрей возмущенной коллинеарной конфигурации во вращающейся системе координат при а1 = —6, а2 = —3, а3 = 1 и различных амплитудах возмущения. Справа орбиты вихрей отнесены к общему центру с подходящим поворотом на 0 или 180 градусов

Рис. 3. Фазовые портреты относительного движения трех вихрей в нормированных канонических координатах: а) при а\ = 1, а2 = 2, а3 = 3 и Ь) при а\ = —6, а2 = —3, а3 = 1

лист системы компактен, можно ввести (см. [1]) новые образующие вихревой алгебры

Є1

А

2 д/а’

Є2

(«2 - аз)ті + (аз - аі)т2 + (аі - а2)тз

ез =

(а2а3 — а1)т1 + (а3а1 — а2)тз + (а1 а2 — а2 )т3

222 — а і + а2 + аз — а)

(2.1)

(2.2)

и д, в которых соотношения (1.5) и (1.7) принимают соответственно вид

{д,еі } = 0, {еі, е^ } = ек

(2.3)

2 2 2 2

еі +ез +ез = д ■

(2.4)

Последнее соотношение означает, что симплектический лист системы — сфера, а первые два имеют то важное следствие, что цилиндрические координаты х, у на сфере,

еі = У, Є2

=

У2 008 X, е3

У2 81П X,

(2.5)

оказываются каноническими.

Удобнее, однако, работать с образующими (2.1), (2.2), нормированными на д (см. формулы (2.17) и (2.18)). В этом случае сфера (2.4) трансформируется к сфере единичного радиуса, а цилиндрические координаты х, у на ней, определяются соотношениями (2.5) при д = 1 и уже не являются каноническими: {х,у} = д_1. Эти координаты мы будем называть нормированными каноническими координатами.

На рис. 3 приведены фазовые портреты относительного движения трех вихрей в нормированных канонических координатах. Интересующим нас в работе равносторонним и коллинеар-ным конфигурациям отвечают на этих портретах выделенные черными кружками эллиптические точки.

и

2.2. Переменные угол—действие

Будем считать, что рассматриваемая эллиптическая точка имеет нормированные канонические координаты х = у = 0. В окрестности этой точки определим новые координаты г, ф, полагая

х = Г се ф, у = Г 8в ф,

где

сеф = \ ^-совф----------ху sinф. seф = д/^22-sinф. (2.7)

^ V нхх * \ 77777/77 V н„ * у '

Мы видим, что координатные линии r и ф — эллипсы и лучи с центром в начале координат. Сим-плектическая структура в новых координатах — grdr А йф. Кроме того — и это проверяется непосредственно, —

Нгг = \ - Щу. (2.8)

Предположим, что в окрестности эллиптической точки справедливо асимптотическое разложение

r = е + r2e2 + О(е3 ), (2.9)

где е — некоторая малая величина, и r2 = г2(Ф) — не зависящая от е функция. Имеем тогда, разлагая гамильтониан в ряд Тейлора по е,

Я = Н0 + Нге + (г2Яг + \Н„)е2 + 0(е3), Н0 = Я (0, 0),

или, в силу Hr = 0,

Н = Н0 +h2Hrre2+ 0(е3). (2.11)

Координаты угол—действие 6,J в окрестности эллиптической точки введем с помощью производящей функции симплектического преобразования к ним координат r, ф:

г Ф

S = \ gr2 (1ф. (2.12)

J0

Для этого подставим (2.9) в (2.12) и проинтегрируем. Получим

S(e, ф) = \дфе2 + 0(е3).

Отсюда

J = (2тг)-15(е, 2тг) = \де2 + 0(е3), в = -Sj = -e~lg~lSе = -ф + О(е).

Итак, связь нормированных канонических координат с координатами угол—действие установлена:

х = се(—в)е + 0(е2), у = se(—в)е + 0(е2) (е = л/ 2 g~lJ + O(J)). (2.15)

Выражение для гамильтониана через переменную действие получается подстановкой в (2.11) выражения для е из (2.15).

Дифференцируя этот гамильтониан по J, находим угловую скорость фазовой частицы вблизи эллиптической точки:

и = g-1Hrr + О(е). (2.16)

2.3. Относительная динамика возмущенной равносторонней конфигурации

При определении переменных угол—действие мы исходили из предположения, что эллиптическая точка, отвечающая равносторонней конфигурации, находится в центре нормированной канонической системы координат. Это условие не выполняется, если за образующие вихревой алгебры принимаются нормированные образующие (2.1) и (2.2):

Д (й2 - а3)ш1 + (аз - а{]т2 + (ач - а2)тз ,0.„

е1 = —-р, е2 =------------------------------—---------------- (2.17)

2#\/а АдуаЬ

(а2аз - а?)т1 + (аза1 - а2^,)т2 + (аа - а^тз ,0 . 0,

ез =--------------------------—-----------------------.

Введем новые образующие е1/ ,е2/ ,вз/, полагая

\fbe-1 + \/Зае3 \/Зав1 - л/Ье3 0 . „

в1' — п I п I п—) е2' — _ _—, е3/ — е2. (2.19)

а1 + а2 + аз а1 + а2 + аз

Нетрудно видеть, что данному преобразованию образующих соответствует поворот координатной системы е1, е2, ез и, следовательно, пуассонова структура (2.3) сохраняется. Кроме того, в эллиптической точке, т. е. при т1 = т2 = тз, имеем е1/ = ез/ =0 и е2/ = 1 и, следовательно, нормированные канонические координаты этой точки суть х = у = 0, что и требовалось получить.

Найдем выражение для квадратов длин сторон вихревого треугольника через переменные в,е. Имеем, разрешая (2.17)—(2.19) относительно искомых величин,

) I ) . IЗа

т, = 2я{а, + ак + а‘{ Ч+ \/f(% ,2-20)

0-1 + 0-2 + 0-3 V b

Выполняя здесь подстановки

еу=у, е2/ = \/1 — у2 cos ж, е3/ = \/l — у2 sin х (2.21)

с учетом выражений (2.15), (2.7) и переразлагая по е, находим

mi = mió + шле + 0(є2), (2.22)

Ада Нгг (, . . (2сц — ^ — ак)л/(Тз . \

^¿0 = —, т*1 = 2дх -\ —— ((о,- - а*;) сое 64--------------—-------втбЛ, (2.23)

1 а^\/ а1 '

где мы положили а! = а1 + а2 + аз, аз = а^аз.

Чтобы получить зависимость квадратов длин сторон от времени, нужно положить в полученных формулах в = ш£.

Найдем явное выражение для и. Имеем, дифференцируя гамильтониан (1.2) по х,у с учетом выражений (2.20) и (2.21),

_ а^(а,а1-9а3) _ Ъа\{аЪ + 3<71<т3 - а2) _ \^?(а.1-а.2)(а2-аз)(аз-а1)

хх 1б7га6(Т3 ’ уу 1б7га6(Т3 ’ ху 1б7га6(Т3

Подставим все это в (2.8), упростим и в результате из (2.16) найдем

"=8Ы^+0{<)- ,2-25’

2.4. Относительная динамика возмущенной коллинеарной конфигурации

Подходящие для этого случая образующие вихревой алгебры получаются из (2.1) и (2.2) композицией двух поворотов координатной системы е1,е2,ез:

\/а,(а,2 - а,1)е2 - (а2 - а3а,1 + а| - а2а3)е3 еу = еь е2/ =--------------

Є3' =

л/Ь(аі + а2)

(а2 — а,3а,і + а| — а2а3)е2 + \/а(а 2 — о-і)е3 л/Ь(аі + а2)

(го2 — а)е2/ + 2 Шл/а.е-у

е\ц = е-1/, е2« =--------------------------,

ад2 + а

- 2ь}у/ае2> + (ад2 - а)е3/

е3» =--------------------------------- (го = а,1г + а2(* - 1)).

ад2 + а

Здесь г — действительный корень уравнения

(а 1 + 2а2)г2 а.1(2а2 + а3)г а.1(а.2 + а.3) _ р (2 26)

* а,1+а,2 а,3(а,1 + а2) а,3(а,1+а2) ’ '

которое получается, если в условие инвариантности площади вихревого треугольника, {Д, Н} = = 0, (см. (1.5)) подставить выражения

т1 = х2тз, т2 = (1 - х)2тз,

связывающие квадраты длин сторон коллинеарной конфигурации.

Квадраты длин сторон вихревого треугольника через новые образующие выражаются в следующем виде:

(аг2 - (а2(1 - г) + а,3)2)е2// + 2л/аг(а2(г - 1) - а3)е3//

Ш1 = 2#(а2 + а3) + 2<?----------------------- ----------———------------------------------

т2 = 2д(аз + аі) + 2д

тз = 2д(аі + а2) + 2д

г2аі + (г - 1)2а2 + аз (а(1 - г)2 - (а\г + а,3)2)е2// - 2Л/а(г: - 1)(а,іг + а3)е3« г2аі + (г - 1)2а2 + аз (а, - (аі* + а2(* - 1))2)е2// + 2л/а{а\г + а2(* - 1))е3«

г2аі + (г - 1)2а2 + аз

Особенность рассматриваемой динамики в сравнении со случаем равносторонней конфигурации проявляется, в частности, в том, что Нху = 0. Это приводит к более простым выражениям для нормированных канонических координат,

х = \ ТГ~ со^)е + 0(е2), У = ~\ 77е1 віп(0)є + 0(є2).

V Нхх у Нуу

и

Что касается, выражений квадратов длин сторон вихревого треугольника через переменные в и е, то они следующие:

, mmz(a2(z - 1) - а3) J 2

mi = тю Н-----------—----------\ Нуу/Нхх cos(0)e + 0{е ), (2.28)

л/а, v

тзо(г-l)(aiz + a3) j 2

т2 = m.20----------------p.--------\ Hyy/Hxx cos(0)e + 0{ег), (2.29)

\/a v

тзо(аіг + a2(z — 1)) r~ ~ 2

m.3 = m,30 H-----------—----------\ H,,,, U„ cos(0)e + 0{ег), (2.30)

л a V

где

2 (-1)2 4#a

тю = -г m-зо, m2o = (* - 1) m,30, m30 =

(г - 1)2а2 + г2а1 + аз

Явные выражения для Нхх, Нуу и и слишком громоздки, чтобы их здесь приводить. Однако в случае, когда а2 = а1 и, следовательно, г = 1/2, выражения сильно упрощаются. Имеем

4а, 1 + 5а3 _ 3 _ л/-12а1 - 15а3

Я”- 88,г90?^1 (01,02 < 0,Оз >0).

3. Абсолютная динамика

Будем обозначать гг, фг полярные координаты г-го вихря. В предположении, что центр завихренности находится в начале координат (что в дальнейшем всегда будет предполагаться), из интегралов движения и формулы, связывающей длины сторон и углы треугольника, следуют соотношения:

li/TÎ (I j ■ и і,, ¡и піт;

а а

(3.1 ;

22 aiüj ( г2 г2 г2

cos = (3.2)

2гігЛ ak a2 a2/

С учетом этих соотношений из уравнений Гамильтона абсолютной динамики вихрей имеем, в частности,

. a ajak(mj + mk)(mi - mj - mk) - 2(a2 + a2k)mjmk г 47Г a :(i j(i k ( (i jd kt и} i(ij ■ (Ik)[(ijiiij ■ akmk))m ,mk '

Приведенные соотношения определяют связь относительной и абсолютной динамик вихревого треугольника.

3.1. Абсолютная динамика возмущенной равносторонней конфигурации

Выразим полярные координаты г-го вихря возмущенной равносторонней конфигурации вихрей через переменные в, Є.

Радиальная координата получается из (3.1) с помощью подстановок (2.22) и (2.23):

/à2(aj — ak)sj~â\ йі(2йі — üj — ak)л/âs .Л 2ч

П = гм - --------cos в H---------^-----------sin0!e + О (є ),

где __________________ ____

г„ = 2 /М±5±55, ,4 = -?=,&. (3.5)

V ааі \fabai у л«

Чтобы найти угловую координату, мы сначала, используя (3.3), (2.22) и (2.23), вычисляем угловую скорость вихря. Имеем

фг = П + Пцв + 0(е2), (3.6)

где

^ = 7^7?. (3.7)

Бпд^з’ v '

х n-|íí/? - a ¡/¡[la :[а j + (//,.) - ajdk) cos в + :’>х пл{(і:(і, - а2 + a,¿afc - а|) sin в Пц = Aüaf---------------------------------- -------------------------------.

ar

i0

Затем переходим в систему координат, вращающуюся с угловой скоростью О (т. е. полагаем первое слагаемое в (3.6) равным нулю), и интегрируем по 1 С учетом (2.25) получаем

Фг = Фг0 + Фие + 0(е2),

22 k

ЧЬх/оТ ' 3r^v^

д- /a-+afc (lidj (цак (a>j — ak)(2aiaj + 2a,¿a,fc — a,jak) _

0ii = 0iio + V 3Aa¿ -------------------------------cos 0 H------------------------------------------sin 0

(3.8)

где фг0 и фг10 — константы интегрирования.

Используя соотношение (3.2), можно вычислить фг0 и фгio для любого i, задаваясь произвольным значением этих констант для фиксированного i. В дальнейшем мы будем игнорировать константы фг0, считая ф10 = ф20 = ф30 = 0. Что касается констант фц0, то, полагая фц0 = 0 и вычисляя углы по формуле (3.2), находим ф210 = ф310 = 0. Таким образом, в формуле (3.8) можно считать фг10 = 0.

Перейдем теперь от полярных координат к декартовым. Имеем, опуская выкладки,

Xi = Xi0 + Axue + O(e2), Уг = Луце + O(e2), (3.9)

где

(ijiiij а,г{2а,г - a,j - ак) s/ai _

хц =----------—-----------cos 9------------—-------------sin в, (3.10)

\3(/fi(/j • (if (l:(lj Ч:Чl,) \ Tiajlaj (,к){2(,:(,1-2(,:(,к (¡¡(¡l,)

Угi =--------------------------------cos в H-----------------------—-----------------sin б». (3.11)

n o-v/oT 3 Пол/аз

Подведем первые итоги. Мы видим (см. формулы (3.6), (3.7)), что в начальном приближении по е вихри, образуя равностороннюю конфигурацию, вращаются с угловой скоростью Q вокруг центра завихренности. При этом i-й вихрь находится на расстоянии ri0 (см. формулу (3.5)) от этого центра. Это — известные результаты [2].

С учетом следующего приближения оказывается, что во вращающейся с угловой скоростью Q системе координат i-й вихрь вращается с угловой скоростью ш (см. формулу (2.25)) по эллиптической орбите вокруг его стационарного положения в начальном приближении (см. формулы

(3.9)—(3.11)).

Для полного описания динамики в этом приближении следовало бы определить основные характеристики г-й орбиты, как то: ее эксцентриситет, фокусное расстояние и угол наклона ее большой оси относительно, скажем, направления на ее центр. Эти характеристики не представляет труда вычислить, но мы этого делать не будем из-за громоздкости окончательных формул. Вместо этого мы проведем сравнительный анализ этих характеристики для произвольной пары вихрей.

Перейдем от параметрической формы задания г-й орбиты (3.10), (3.11) к неявной:

щх2 - 2віху + 7іу2 = 1. (3.12)

Коэффициенты в (3.12) легко вычисляются и с точностью до общего для всех орбит множителя имеют вид

а(аі - ак)2 + 3сц(аі + ак)(%• ак + а2 + а2к)

(Хі ~ „2/. п (3.13)

а^ (а і ак + а^ + ак )о’і&з

п V3(a,j ак) 3(a>j + ак)

Рг 2 2Т’ ^ ~ 2 2\' (3.14)

a'Küj ak + a* + a%) a¡(aj ak + a2 + a%)

Вычислим угол фіз между большими осями г-й и j-й орбит. Это можно сделать, например, воспользовавшись формулой для угла между осью г-й орбиты и осью абсцисс:

OLi - 7г ± \J{oii - 7і)2 - Aß'f

фі = arctan----------------—---------------.

2ßi

Имеем в результате

\ßakai

фіз = arctan ■

а + агйз — ак

Сравним этот угол с углом фгз между соответствующими вихрями невозмущенной конфигурации. Последний легко вычислить по формуле (3.2), зная расстояния от центра завихренности до вихрей (см. формулу (3.5)). Имеем

фij = arctan

л/Зі

a

— а + 2аг аз — 2ак7

Фщ Ф^з — з^-

Вывод: угол между большими осями произвольной пары орбит возмущенной конфигурации отличается на 120 градусов от угла между соответствующими вихрями невозмущенной конфигурации. Это утверждение согласуется с результатами численного анализа (см. рис. 1.).

Покажем теперь, что отношение длин соответствующих осей г-й и ^-й орбит относятся как аг/аз. Имеем для квадратов длин осей г-й орбиты:

2 1 + tan2 фг 2 1 + tan2 фг

Y tan2 фг — 2в tan фг + a a tan2 фг + 2/3 tan фг + y

Подставим сюда (3.13) и (3.14), вычислим отношение этих величин и убедимся в справедливости

сделанного утверждения.

Итак, эксцентриситеты всех трех орбит совпадают, а длины больших осей произвольной

пары орбит относятся как обратные интенсивности соответствующих вихрей.

3.2. Абсолютная динамика возмущенной коллинеарной конфигурации

Полярные координаты вихрей для возмущенной коллинеарной конфигурации получаются аналогично, как в случае возмущенной равносторонней конфигурацией. Опуская выкладки (отметим только, что исходные выражения для квадратов длин сторон вихревого треугольника даются теперь формулами (2.28)—(2.30)), имеем

ri = rio + еЛтц cos в + O(e2), фг = еЛфц sin в + O(e2), (3.18)

где

r о , L,^2(ai+ak

ио = 2удаг{ а

2afz(a2(z — 1) — a3) 2a^ (z — 1)(a1 z + a3) 2a2(a1z + a2(z — 1))

111 ~ ar\o ’ 721 ~ (ТГ20 ’ 731 — (ТГ30

/a(;-l)(a2-a3(;-l)) + ,. _ л

V a2a3a 2 )

mio

Ф11 =

fa(z - l)(a2 - a,3(z - 1)) 020-3 <7__________________

2ngawrf0(z — 1)2

a2a(z - 1)(-

'az{a3z + ai) , , 1

~T~ 9 Z \ 9

, ___ v asa\a z z

21 2n g aur 20 z2

( az(z — 1)(ai (z — 1) + a2) 1

0-3(71---------------------------b Z — 9

, V aia2^ 2

^зі =--------------------~—л~2-----------------

2пдашт^0 z2(z — 1)2

и а = (z — 1)2а2 + z2al + а3. Отметим, что в (3.18) предполагается, что мы находимся в системе координат, вращающейся с угловой скоростью

0=

8пда3

Соответственно для декартовых координат вихрей в этой вращающейся системе координат имеем

Xi = Xio + Лхце + O(e2), Уг = Луце + O(e2),

где

Xi1 = ril cos в, Ун = Пофн sin в.

Анализируя полученные формулы, мы делаем вывод, что во вращающейся с угловой скоростью Q системе координат вихри вращаются вокруг их положений в невозмущенном состоянии с угловой скоростью ш по эллиптическим орбитам. При этом, соответствующие оси орбит параллельны и образуют с прямой, соединяющей невозмущенные вихри, угол 0 или 90 градусов.

Найдем отношение горизонтальных осей различных пар орбит. Опуская выкладки, сводящиеся к непосредственному упрощению выражений, имеем

— 1) п ^

(3.22)

Г11 a,\z Г21 (z - 1 )а2

Г21 (z - 1 )а2 ’ Г31 аз

Точно такие же выражения получаются, если вычислять отношения вертикальных осей, т. е. выражения Тгофн/Т]0ф]1.

Отсюда вывод: соответствующие оси различных пар орбит возмущенной коллинеарной конфигурации относятся как в (3.22). Эксцентриситеты у всех трех орбит совпадают.

Работа поддержана грантом РФФИ (проект 08-05-00061-a).

Список литературы

[1] Борисов А. В., Мамаев И. С. Математические методы динамики вихревых структур. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005, 386 с.

[2] Мелешко В. В., Константинов М. Ю. Динамика вихревых структур. Киев: Наукова думка, 1993, 280 с.

[3] Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A.A. Absolute and relative choreographies in the problem of point vortices moving on a plain, Reg. & Chaot. Dyn., 2004, vol. 9, № 2, pp. 101-112.