Динамика структурных превращений при измельчении бинарной смеси Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

УДК 66.02.001

Динамика структурных превращений при измельчении

бинарной смеси

О.В. Лапшин, В.К. Смоляков

Отдел структурной макрокинетики ТНЦ СО РАН, Томск, 634021, Россия

Предложена феноменологическая модель изменения структуры бинарной смеси при механической обработке в мельницах, учитывающая измельчение и агломерацию частиц. Аналитическими и численными методами исследована динамика изменения размеров частиц и агломератов, и их долей. Определены оптимальные режимы получения агломератов в зависимости от времени измельчения и мощности мельницы.

Ключевые слова: бинарная смесь, измельчение, агломерация

Dynamics of structural transformations in grinding of a binary mixture

O.V. Lapshin and V.K. Smolyakov

Department of Structural Macrokinetics TSC SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

A phenomenological model of structural transformations in a grinded binary mixture was proposed taking into account particle refinement and agglomeration. The dynamics of variation in the size of particles and agglomerates and in their fractions was studied by analytical and numerical methods. The optimum grinding modes for agglomeration were determined depending on the grinding time and mill capacity.

Keywords: binary mixture, grinding, agglomeration

1. Введение

Измельчение — важный этап многих технологических процессов, использующих порошковые материалы. Несмотря на востребованность исследований, направленных на снижение энергозатрат и оптимизацию измельчения, проблема далека от решения. Сложившиеся представления [1], раскрывающие многие физические особенности процесса, не позволяют строить надежные математические модели, описывающие механическую обработку твердых веществ. Полученные различными исследователями уравнения, определяющие кинетику измельчения, являются, по существу, феноменологическими, основанными на опытных данных. Такие уравнения содержат эмпирические константы и не позволяют получать точные количественные данные. Еще более сложной представляется задача о совместном измельчении нескольких порошковых компонентов. В этом случае, наряду с процессами измельчения и агломерации частиц одного сорта, возможно образование и измельчение разнородных агломератов — механокомпозитов.

В настоящей работе предлагается феноменологическая модель структурной динамики бинарной порошковой смеси в условиях механической обработки.

2. Математическая модель

При построении модели будем использовать следующие допущения.

1. Компоненты смеси, в том числе образующиеся разнородные агломераты, измельчаются независимо друг от друга. Это допущение хорошо выполняется для двухкомпонентных минеральных смесей [2].

2. Скорость измельчения отдельных компонентов описывается известными уравнениями [1].

3. Не умаляя общности дальнейшего анализа, для упрощения выкладок пренебрежем различием плотностей веществ.

Рассматривается порошковая смесь, исходно состоящая из частиц компонентов А и В. В ходе механообработки, наряду с измельчением, образуются разнородные агломераты АВ. Будем считать, что более твердым

© Лапшин О.В., Смоляков В.К., 2011

является компонент А, компонент В измельчается лучше.

Уравнения, определяющие изменение удельных поверхностей компонентов смеси, запишем в виде:

dt

= /і, і = А, В, АВ,

(1)

где t—время; si = Si/Vi — удельные и Si — абсолютные поверхности г-го компонента; ¥1 — объемная доля г-го компонента; ^ — искомые функции. Относительные объемы веществ компонентов цг- = У/У, где V= = У0 А + У0В — общий объем смеси, связаны равенством

М А + М В + М АВ = 1 (2)

Начальные условия (1 = 0):

М А = М0 А, МВ = М0В, М АВ = 0,

= 0. (3)

В силу допущения 3, концентрация компонента А в агломератах определяется простой формулой

с =

Ию л И-л

М ЛЕ

(4)

Найдем входящие в уравнения (1) функции ^. Следуя [1], динамику изменения удельной поверхности частиц исходных веществ можно представить в виде:

dt

dt

%

1 -

ял

&

лтЛ

(5)

1 —

ятЕ

кЕ = /і

где ятА, ятВ — максимально достижимые величины удельных поверхностей; кА = к'АЖ /У, кВ = к'В Ж /У; W— мощность мельницы; к'А, к'В — размерные коэффициенты. Радиусы частиц А и В связаны с их удельными поверхностями соотношениями гА = 3/яА , гВ = 3/яВ. Уравнения (5) обобщенно описывают измельчение однородных веществ с учетом их агломерации.

Определим функцию /АВ. Объем агломератов увеличивается как за счет агломерации разнородных веществ А и В (первый тип разнородной агломерации), так и в результате агломерации частиц АВ с частицами смеси А + В (второй тип). Рассмотрим эти два случая.

2.1. Агломерация компонентов А и В

Полагая, что скорость увеличения объема вещества АВ за счет агломерации А с В пропорциональна объему компонентов А и В, можно записать:

dИ ЛЕ1 dt

(6)

где М АВ1 = (УА1 + УВ1)/У = М А1 + М В1 — относительные и МА1, МВ1,УА1,УВ1 — абсолютные доли веществ А и В, принявших участие в агломерации компонентов А и В; q1 = q^W/У — константа скорости агломерации; q1/ — коэффициент, зависящий от физико-химических свойств

участвующих в агломерации компонентов. В каждый момент времени выполняется равенство АУА1/АУв1 = = \УЛ/УВ, т.е. объемы агломерировавшихся в данный момент частиц А и В пропорциональны их общим объемам в смеси. Коэффициент А1 учитывает различие реологических свойств компонентов А и В. Так как в качестве лучше измельчаемого компонента выбран В, то величина А1 изменяется в пределах от 0 (агломераты из разнородных частиц не образуются) до 1 (равное участие в образовании агломератов обоих компонентов в предельном случае одинаковых реологических свойств).

Таким образом, имеем:

л ^ (7)

ац В1 М в

Используя (6) и определение МАВ1 = МА1+ МВ1, из (7) получим уравнения, описывающие динамику изменения объемных долей компонентов в случае образования агломератов по типу А + В:

Ф- Л1 = ^чМ-лМ-Е Ф Е1 = М-лМ-Е

dt А1мл +ме и dt А1мл +ме 1-

(8)

2.2. Агломерация частиц АВ с частицами смеси А + В

Считая, что скорость увеличения объема смеси агломератов за счет агломерации второго типа (А + АВ и В + АВ) пропорциональна объемным долям агломерированных частиц и частиц исходной смеси, имеем:

аМ АВ2 =

dt

■ = Л + МЕ ЛЕq2,

(9)

где МАВ = УАВ/У — относительный и УАВ — абсолютный объем смеси агломератов АВ; МАВ2 = = (УА2 + УВ2)/У = МА2 + МВ2 — относительные и МА2, МВ2, УА2, УВ2 — абсолютные доли веществ А и В, принявших участие в агломерации второго типа; q2 = = q2W/V — константа скорости агломерации; д2 — коэффициент, имеющий тот же смысл, что и q1/.

Из (2) следует, что

Мав =1 -Ма -Мв . (10)

Предполагая, что в данном случае тоже выполняется равенство

Л2

= Х.

Фв2 МВ

где А2 — коэффициент, имеющий тот же смысл что и А1, и используя (9), (10), получим уравнения, описывающие изменения объемных долей компонентов для второго типа агломерации:

Ф- Л2 dt

Ф Е2 dt

%

=Х-

М Л +М Е ^2М Л + М-Е

&

&

М-лМ-ле^,

М Л +М Е ^2М Л + МЕ

МіМ- ЛеЧ2-

Используя (8) и (11), уравнения для скоростей изменения объемных долей А и В в случае действия обоих типов агломерации можно представить в виде:

Ф А = а(М А1 + М А2) =

dt

d- в dt

dt

Х1Ц Лц Bql

аіЦ a + ц в

_ d(—B1 + цB2) dt

■ 2 M BM Aql

+ A2MAM AB

%

Ц A +M в A 2M A + M B

&

q2

(12)

%

M A +M B X 2M A + M B

q2

_А1М А + М В

Если положить равенство констант агломерации (д1 ~ ~ q2 = q) и реологических свойств (А1 = А2 = А), уравнения (12) примут более простой вид:

Ф А = АМ а

dt Ац A + м в

Ф в = Цв

[м л- в + M лв (м a +M в ) q, [MaMb + -лв (-л +Мв) q•

(13)

At Ам а + МВ

Изменение площади поверхности частиц агломератов зависит как от их агломерации, так и от их измельчения. Скорость изменения площади поверхности агломератов запишем в виде:

а^4В(ю, МАВ1, МАВ2) _

dS

AB

dt

dro

dSAB d—

AB1

Эю dt Эц

dSAB d—

AB1

dt

AB2

Эц

AB2

dt

(14)

где ю = Wt — работа мельницы.

Первый член в правой части (14) определяет изменение 3АВ за счет измельчения при постоянном объеме агломератов, и, согласно [1], его можно представить в виде:

dSAB d(B = dS Эю dt dt

AB

% S &

1 _ SAB

SmAB

kABVAB,

(15)

где кАВ = к'АВЖ/У, к'АВ — коэффициент; SmAB — максимально достижимая в процессе измельчения поверхность агломератов АВ.

Рассмотрим второй член в уравнении (14). Он определяет изменение SAB за счет агломерации первого типа. Пусть при добавлении в смесь АВ объема АУав1 количество агломератов увеличивается на количество частиц 8^В с радиусом ГАВ. Здесь и далее символом 8 обозначены виртуальные величины. Полагая, что в одном сформированном агломерате за счет добавки аУАВ1 = аУА1 + АУВ1 содержится объем 8УА1, состоящий из частиц компонента А радиусом гА , и объем 8 УВ1, состоящий из частиц компонента В радиусом гВ,

имеем:

rAB

rASVAl + rBSVgl

svAi+SV*l

(16)

Зная величину гАВ, найдем объем добавки в смесь агломератов за счет вновь образованных 8ИАВ частиц:

dVABl = 4/3nrABSNAB •

(17)

Так как все 8ЫАВ частиц одинаковы, то выполняется равенство

8УА = аУА1

SVB dVBl'

(18)

Подставляя следующее из (18) определение SVA в (16), получим:

— = rAdVAl + rBdVBl

rAB =

(19)

ауа1+аУв1

Поделив числитель и знаменатель в (19) на dt и V, в конечном итоге приходим к выражению

— = rA ФAlldt + rB d-Bl /dt

r AR — '

(20)

АВ Ф Al/dt + Фв1^

Величины добавленных площади поверхности и объема к смеси агломератов за счет образования новых 8ИАВ частиц равны

д^4В = 4пrAB8NAB,

дУАВ = 4/3пгАВ8^4В.

Тогда

dS

AB

dVABl rAB

Откуда

dS

AB = 3V •

rA

a - (21)

Ф AB1 rAB

Рассмотрим третий член в уравнении (14), определяющий прирост площади SAB за счет агломерации второго типа. При добавлении в смесь АВ объема d VAB2 радиус ее частиц TAB увеличивается на величину SrAB. Так как объем смеси АВ можно представить в виде: VAB = Nab • 4/3nAB, nab — общее количество частиц агломератов, то

dVAB2 = NAB ■ 4nrAB8rAB. (22)

С другой стороны, так как площадь поверхности смеси частиц АВ равна SAB = Nab • 4nrAB, то ее изменение можно представить в виде:

dSAB = NAB ■ 8nrAB8rAB. (23)

Так как здесь d = Э и Эц AB2 = dVAB2/ V, то, используя (22) и (23), получаем:

dS

AB

Эц

= V

dS

AB

AB2

= V-

(24)

AB2

rAB

С учетом (15), (21) и (24) уравнение (14) перепишем в виде:

dS

АВ

dt

= ^тАВ SAB )

кАВ

ятАВ

+ 3У амАВ1 + 2У аМАВ2

'АВ

dt

'АВ

dt

(25)

Преобразуя (25) с помощью замены яАВ = SAB/УAB = = 3/ Г

АВ ,

имеем:

^яАВУАВ ) = у ^АВ

dt

АВ

dt

-+ я

dV

АВ

АВ

dt

= (? - ) кАВ , 3У dмАВ1 , 2УяАВ dмАВ2

= (0тАВ SAB Г 1 : 1

dt

откуда

^АВ = („ - „ ) кАВ

~ (ятАВ яАВ)

dt

ятАВ

dм

АВ1

яАВ

dц

АВ2

АВ

dt

(26)

Подставляя в (26) соотношение (20), получим:

яАВ ^^АВ^

^АВ = („ - „ ) кАВ

~ (ятАВ яАВ )

dt

ятАВ

3ц

АВ

dt

dм

АВ1

dt

(27)

dt л dt

Наконец, используя (6), (8), (9), уравнение (27) запишем следующим образом:

^АВ = („ _ „ ) кАВ +

= (ьтАВ ЬАВ) +

ятАВ

dt

+ яАяВЦАЦВ (А1ЦА + ЦВ ) q .

Ц АВ (яАЦ В + А1яВЦ А )

_ яав (ца +цв ) q2 = у-

(28)

Система уравнений (1)-(5), (8), (9), (12), (28) образует математическую модель механической обработки инертной порошковой смеси, учитывающую образование агломератов из частиц исходных веществ. Уравнения (5) и (28) определяют кинетику площади удельной поверхности в смеси исходных веществ и образующихся агломератах. Зависимости (12) выражают скорость агломерации компонентов А и В в механокомпозиты. Концентрацию компонента А в механокомпозитах можно найти из соотношения (6). Зная найденные из приведенных выше уравнений объемы измельчаемых веществ УА, УВ, УАВ и радиусы их частиц гА, гВ, гАВ, нетрудно определить количество частиц N г-го компонента по формуле

N = —У^Т, г = А, В, АВ. (29)

г 4/3 п'

3. Исследование математической модели

Задача решалась аналитически и численно методом Эйлера с переменным шагом по времени [3]. Значения

входящих в модель констант неизвестны (как их оценить, будет указано ниже). Поэтому в иллюстрационных расчетах их значения выбирались таким образом, чтобы время механической обработки смеси в энергонапряженной мельнице составляло минуты. Полагаем также, что разнородные агломераты имеют средние по отношению к веществам А и В характеристики измельчения:

кА - кАВ - кВ.

3.1. Аналитические оценки

Используя предположение о равенстве констант агломерации и реологических свойств компонентов смеси (ц1 = q2 = q, А1 = А2 = А) и поделив уравнения системы (13) друг на друга, можно записать:

^ а = а М а ^ в ц В

Проинтегрировав данное соотношение, получим формулу, связывающую объемы компонентов А и В:

%

Ц А = Ц0 А

ц В

Ц0В

&А

Используя (2), для объема агломератов имеем:

ЦАВ = 1 _ЦВ _ ц0А

( ЛА

Мв

М0В

(30)

(31)

Подставляя (30) и (31) в уравнение для скорости изменения объема компонента В (система (13)), в конечном итоге придем к следующей интегральной зависимости:

ЦВ

I {[АЦ0А(цв/М0В )А+МВ]X

Ц0В

X ЦВ [ц0А (цВ / Ц0В ) + ЦВ ЙОА (цв/ Й0В )

_мВ _ Мв М0А (Мв/М0В)А ] 1 }dМв = _qt.

(32)

Интеграл в левой части уравнения (32) в общем случае не берется. Поэтому, подставив известное приближенное равенство мВ =[1 _(1 _ЦВ)] ~ 1 _А(1 _цВ) в (32), получим:

а1 + а2Мв

ЦВ

| dмв «_qt,

Ц0В МВ (а3 + а4Мв + а5Мв)

(33)

где а1 =Ак(1 _А), а2 = 1 + А2к, а3 = (1 _А)к[1 _ (1 _А)к], к = ц0а!Мв , а4 = 2кА +1 _ к_ 2(1 _А)Ак2, а5 = _(к2А2 + +кА +1). Интеграл в левой части уравнения (33) берущийся [4], поэтому (32) можно представить в виде:

Р11п

% Мв &

+ р21 (Ц0В, ЦВ ) +

М0В

+ р3 J(Ц0В, цв ) = _qt,

где

Р1 =■

Р2 = а2

а1а4

2а3

Р3 =

а а5 ^ л 2

—У = 4а5а3 _ а4,

1 (Ц0В, ЦВ ) =

arctg(а5МB + а4) arctg(a5М0B + а4)

ТУ

Ту

У>0, 1

л/=У У < 0

1п

(2а5ЦВ + а4 _у1_У ) (2а5Ц0В + а4 + л/_У) (2а5Цв + а4 + "V у) (2а5Ц0в + а4 ^ У)

J(Ц0В, ЦВ ) =

1

2а5

1п

2

а5Мв + а4Мв + а3

&

а5Ц0В + а4Ц0 В + а3

Уравнение (34) устанавливает явную зависимость t от ЦВ. Для того чтобы из него выразить величину цВ, необходимо сделать дополнительные упрощения, специфические для каждого конкретного случая. Например, в предположении одинаковых реологических свойств исходных компонентов (А = 1) уравнение (32) можно представить интегральной функцией

ЦВ

I

а

Мв (а4 + а5Мв )

dм В = _qt,

Ц0В

из которой следует:

МВ М0В

-ехр (_а4 qt|a2 ).

а4 + а5Мв а4 + а5М0в

Отсюда, вычисляя коэффициенты а1, а2, а4 и а5 при А = 1, получаем зависимость изменения цВ от времени в процессе механической обработки порошковой смеси:

М0В

ц в ="

(35)

М0 аМ0 в[exP(qt) _1] +1 Положив в (30) и (31) А = 1 и воспользовавшись (35) для М В и М АВ запишем:

Ц А = Ц0 А

М0А

Мв =_________________________

Ц0В Ц0АЦ0В[exp(qt) _1] + 1

(36)

%

Ц АВ = 1

= 1 _-

1 +

М0А

М0В

Ц В =

----------------. (37)

М0 аМ0 в[ехР(чО _1] +1 Выражение (37) можно еще более упростить, разложив его в ряд Тейлора в точке t = 0 и оставив только первый член при t. Тогда имеем линейное приближение величины доли агломерировавшихся частиц от времени механической обработки:

МАВ ~Ц0АЦ0ВЧ*. (38)

Проинтегрировав уравнения системы (5), для величин удельных поверхностей частиц А и В можно записать:

яА = ятА (1 _ 6 тА \

(39)

яВ = ятВ (1 _ 6 тВ ).

Установим зависимость величины удельной поверхности агломератов от остальных параметров процесса. Для этого преобразуем (28) следующим образом:

АВ +\я АВ =*,

dt

(40)

где

у = кАВ , Ц А + ЦВ Ч

ятАВ

Т = -

яАяВЦ АЦВ (Ац А + ЦВ )

(1 ЦА ЦВ )(яАЦВ +АяВЦВ)

Зависимость (40) является линейным дифференциальным уравнением, решение которого имеет вид [4]:

яАВ = е-1 Ydt 1^ Ydt ^.

(41)

Входящие в комплексы Y и Т величины могут быть найдены из соотношений (30), (34) и (39).

3.2. Численное решение

На рис. 1 представлены временные зависимости характеристик смеси при ее механической обработке. Объемные доли (рис. 1, а) и размеры частиц компонентов (рис. 1, б) меняются монотонно со скоростью, определяемой их измельчительной способностью.

Динамика изменения числа частиц компонентов иная (рис. 1, в). В начале механообработки за счет измельчения наблюдается увеличение количества частиц А и В, которое затем начинает уменьшаться в результате их агломерации. Положение локальных максимумов на кривых 1, 2 определено конкуренцией процессов измельчения и агломерации однородных частиц и скоростью их вовлечения в образование разнородных агломератов.

На рис. 2 представлена динамика изменения концентрации компонента А в агломератах, а также объемных долей компонентов смеси при различных значениях параметра А, характеризующего адгезионную способность. Чем больше величина А, тем быстрей фазовый состав агломерата приближается к соотношению компонентов в исходной смеси. Причем если скорость изменения объемов исходных компонентов существенно зависит от А, то на динамику образования агломератов данный параметр не оказывает практически никакого влияния. При А = 1 имеется хорошее согласие аналитических оценок и численных расчетов.

Полнота агломерации существенно зависит не только от времени механообработки, но и от константы скорости агломерации ц (рис. 3). С ростом мощности мельницы, а следовательно, и с увеличением ц скорость

Рис. 1. Динамика изменения относительных объемов компонентов А, В и АВ (а), размеров частиц этих компонентов (б), их количества (в) в условиях измельчения порошковой смеси при А1 = А2 = 0.5,

Ч1 = Ч2 = 1 кА ятА = 1 минЛ квЬтВ = 5 кАВ^тАВ =

= 3 мин-1: г = А (1), В (2), АВ (3). Здесь щ = Ni/Nm, N1 — количество частиц в компоненте г, Nm — максимальное количество частиц, которое может содержаться в смеси при ее полном измель-Че^и щ =мJ(Г;/Гт)3, гт = 3ят (яш- = ят)

агломерации значительно возрастает, и выход агломератов быстро достигает величины близкой к максимальной. Как показывают расчеты, кинетика агломерации практически не зависит от А при любых величинах ц. Поэтому в предположении слабого влияния на агломера-

М-АВ

0 2 4 1, МИН

Рис. 2. Кинетика относительного объема агломератов в измельчаемой порошковой смеси в зависимости от параметра 41 = 42 = Ч = 1 (1), 3 (2), 10 мин-1 (3). Величины остальных параметров соответствуют подписи к рис. 1

цию параметра А количественную оценку динамики объемной доли агломератов можно произвести, воспользовавшись аналитическими зависимостями, полученными для случая А = 1.

Аналитические оценки по формуле (37) хорошо и по приближенной формуле (38) удовлетворительно соответствуют численному расчету.

Области существования различных режимов формирования механокомпозитов в зависимости от мощности мельницы W и времени механической обработки *т( представлены на рис. 4. Кривые 1-3 являются геометрическим местом точек, соответствующих параметрам, при которых достигаются некоторые условия: ГАВ = г (1), МАВ = Май (2), с = с* (3). В области I измельчение агломератов недостаточно (гАВ < г ), в областях I и II

0 2 4 і, мин

Рис. 3. Динамика концентрации компонента А в агломератах, образующихся В измельчаемой порошковой смеси при =

= кАвЬтлв = 1 мин-1 и ді = q2 = 1 мин-1 в зависимости от параметра Л = Л2 = 1 (1,1'), 0.5 (2), 0.1 (3), 0.05 (4). Концентрация компонента А в смеси с0 = 0.5. 1' — аналитический расчет по формуле (4) с использованием соотношений (31) и (35). Величины остальных параметров соответствуют подписи к рис. 1

Рис. 4. Диаграмма « ч'Ш/У - *т[». г*гт = 1.5, ф* = 5, ц* = 0.9, с* = = 0.495 при Ч^а = 2, ч/кв = 6, ч/к^ = 1. Величины остальных параметров соответствуют подписи к рис. 1

выход механокомпозитов мал (цАВ < ЦАВ), в областях НП фазовый состав в агломератах не соответствует заданному (с < с*).

Оптимальные режимы получения механокомпозитов находятся в области IV. Здесь формируются малоразмерные частицы агломератов заданного фазового состава, выход которых в порошковой смеси больше или равен требуемой величине.

Характеристики образующихся при механической обработке агломератов имеют существенное значение в технологии производства прекурсоров — композиционных частиц, используемых для механохимического синтеза [5], нанесения покрытий [6] и др. процессов.

3.3. Определение эффективных кинетических констант

Для практических целей большое значение имеет нахождение эффективных кинетических констант, характеризующих измельчение компонентов и их агломерацию в энергонапряженной мельнице. Константы можно установить методом обратной задачи с использованием математической модели процесса. На основе полученных выше соотношений приведем методики их оценки.

Используя (2) и (30), формулу (4) для текущей концентрации компонента А в агломератах можно представить в виде:

с = Ц0А[1 _ (Цв/Ц0В) ]

1 _ Ц0А (цв/Ц0В) _ЦВ Произведя несложные преобразования данной формулы, запишем:

1п

Цоа - С(1 -ЦВ )

. Цоа (1 - С) .

%

= Л1п

Ц В

Цов

&

Л = 1п

Цоа - с(1 -ЦВ ) Цо а (1 - с)

1п

-1

% Ц В &

Ц0 В

(42)

Ц а = Л1п ЦВ

) Цо а Цов ,

Отсюда получаем: Л = 1п

Ц а 1п-1 ЦВ

) Цо а Цов ,

Зная концентрацию одного из компонентов в агломератах и объемную долю В в неагломерированной смеси, из (42) можно оценить величину параметра Л.

Второй способ нахождения Л более прост. Прологарифмируем (30) и запишем:

% ,, & % ,, &

1п

(43)

Определив объемы веществ А и В в неагломерирован-ной смеси, из (43) вычисляем А. Параметр А существенен только при определении долей компонентов на промежуточных этапах процесса. Для вычисления доли агломерата знание А не нужно, и вычислять ц АВ можно, положив А = 1.

Для нахождения константы скорости агломерации ц зависимость (34) перепишем следующим образом:

Ч = ~*~1 {Р11п(Мв/ М0В) +

+ р21 (ц0В, ЦВ ) + р3 J(ц0В, ЦВ )}- (44)

Зная величину коэффициента А, а также объемную долю компонента В в неагломерированной смеси в момент времени t, из (44) находим параметр ц.

Константу скорости агломерации можно также определить без использования А. Зная величину М АВ в момент времени t, преобразовываем (37) и получаем соотношение

д = t 11п

1 + -

Ц ав

(45)

Ц0 АЦ0 В (1 _Ц АВ ).

Зная полное время агломерации *ат исходных порошков в смеси в процессе их механообработки и полагая в (38) цАВ ~ 1, величину ц можно оценить по формуле

Ч =-----(46)

Ц0 AМ0Btagg

Например, согласно [7] в смеси № + 13 мас. % А1 исходные частицы никеля и алюминия не удается найти после механообработки в течение 30 с. Оценка константы скорости агломерации по (46) дает ц ~ 18.7 мин-1.

Константы измельчения исходных веществ и агломератов можно установить из экспериментальных кривых я, (*) [1]. На начальном этапе механической обработки, в силу того что у^/у^- << 1, для скорости измельчения можно записать приближенное равенство

Лу,

dt

= к, і = А, В, АВ.

(47)

или

Зависимости (47) определяют параметры к. Величины Зщ- находят на завершающих этапах измельче-

ния при больших временах механообработки, когда в~к‘іІ!Іті << 1. В этом случае можно положить, что .

4. Выводы

Построена математическая модель механической обработки бинарной порошковой смеси в энергонапряженной мельнице, учитывающая измельчение и агломерацию разнородных частиц.

Определена динамика изменения основных структурных характеристик обрабатываемой смеси. Построена диаграмма структурных состояний смеси, на основе которой можно целенаправленно менять параметры процесса для получения частиц механокомпозитов с заданными характеристиками.

Получены аналитические соотношения, с помощью которых, используя опытные данные (методом обратной задачи), можно вычислить эффективные кинетические константы процессов измельчения и агломерации компонентов смеси в энергонапряженной мельнице. Показано удовлетворительное соответствие численных расчетов с аналитическими оценками.

Работа выполнена при поддержке проекта СО РАН №32.

Литература

1. Ходакое Г.С. Физика измельчения. - М.: Наука, 1972. - 307 с.

2. ПероеВ.А., Васильееа А.А. Кинетика измельчения двухкомпонент-

ных смесей в шаровой мельнице // Горный журнал. - 1961. -№ 7. - С. 69-70.

3. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. -653 с.

4. Бронштейн И.Н., Семендяее К.А. Справочник по математике. -М.: Наука, 1980. - 976 с.

5. Аееакумое Е.Г. Механические методы активации химических процессов. - Новосибирск: Наука, 1986. - 303 с.

6. Корчагин М.А., Кинелоеский С.А., Ляхое Н.З. Кумулятивное напыление покрытий нанокомпозитными порошками // Труды II Все-рос. конф. по наноматериалам «НАНО 2007», Новосибирск, 1316 марта 2007 г. - С. 374.

7. Korchagin M.A., Grigorieva T.F., Barinova A.P., Lyakhov N.Z. The effect of mechanical treatment on the rate and limits of combustion in SHS processes // Int. J. Self-Prop. High-Temp. Synthesis. - 2000. -V.9. - No. 3. - P. 307-320.

Поступила в редакцию 18.11.2G1G г.

Cвeдeнuя o6 aвmopax

Ланшин Олег Baлeнтинoвич, д.ф.-м.н., снс ОСМ ТНЦ СО РАН, ovlap@mail.ru Смоляков Bиктop Кузьмич, д.ф.-м.н., зав. лаб. ОСМ ТНЦ СО РАН, vsmol52@mail.ru