Научная статья на тему 'Динамика самогравитирующего пылевого диска в слабонелинейном режиме'

Динамика самогравитирующего пылевого диска в слабонелинейном режиме Текст научной статьи по специальности «Теоретическая астрономия. Небесная механика»

CC BY
129
32
Поделиться
Ключевые слова
ДИНАМИКА САМОГРАВИТИРУЮЩЕГО ПЫЛЕВОГО ДИСКА

Аннотация научной статьи по астрономии, автор научной работы — Журавлев Виктор Михайлович, Патрушев Александр Владимирович

В работе рассматривается задача исследования динамики самогравитирующего пылевого диска вблизи статического его состояния с учетом нелинейных эффектов. Для анализа решений используется уравнение Шредингера как способ объединенного описания гидродинамических течений самогравитирующей пыли, включающий и уравнение сохранения массы. Показано, что при учете нелинейности в нулевом порядке разложения по параметру, характеризующему скорость потока в системе, диск в радиальном направлении распадается на отдельные кольца

Похожие темы научных работ по астрономии , автор научной работы — Журавлев Виктор Михайлович, Патрушев Александр Владимирович,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Динамика самогравитирующего пылевого диска в слабонелинейном режиме»

УДК 521.1 // 524-1/-8

В. М. Журавлев, А. В. Патрушев

ДИНАМИКА САМОГРАВИТИРУЮЩЕГО ПЫЛЕВОГО ДИСКА В СЛАБОНЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ

В работе рассматривается задача исследования динамики самогравити-рующего пылевого диска вблизи статического его состояния с учетом нелинейных эффектов. Для анализа решений используется уравнение Шредингера как способ объединенного описания гидродинамических течений самограви-тирующей пыли, включающий и уравнение сохранения массы. Показано, что при учете нелинейности в нулевом порядке разложения по параметру, характеризующему скорость потока в системе, диск в радиальном направлении распадается на отдельные кольца

Введение

Задачи, связанные с исследованием динамики самогравитирующих пылевых объектов, являются широко распространенными в астрофизике и космогонии [1-3]. В силу сложности задачи, в которой приходится учитывать множество факторов, влияющих на динамику объекта, ее обычно рассматривают в рамках теории возмущений по величине флуктуаций плотности. В результате задача полностью линеаризуется, что облегчает ее исследование, однако при этом исчезают специфические эффекты, обусловленные нелинейным характером динамики таких объектов. В настоящей работе данная проблема решается также в рамках теории возмущений, однако за счет процедуры исключения секулярных по времени слагаемых в ряде возмущений удается в нулевом порядке учесть нелинейность динамики. В работе при описании потенциального гидродинамического потока используется уравнение Шре-дингера, которое представляет объединенное описание эйлеровой гидродинамики вместе с законом сохранения массы. В данной работе рассматривается динамика диска в областях, достаточно удаленных от центральных массивных тел или от самой плоскости диска. Эта область определяется требованием сравнимости величины потенциала, создаваемого компактными объектами с величиной потенциала, создаваемого самой самогравитирующей пылью. Основной целью исследования является рассмотрение возникновения кольцевой структуры диска за счет нелинейности гидродинамического потока самогравитирующей пыли. Динамика в областях, непосредственно прилегающих к центральному телу или плоскости диска, должна в предлагаемом подходе решаться как задача о внутреннем решении по аналогии с теорией пограничного слоя. Однако решение во внешней области, найденное в данной работе, является прообразом общего решения задачи.

1. Уравнение Шредингера и эйлерова гидродинамика

Рассмотрим уравнение Шредингера в следующей форме:

+ а(г)Д¥- и (х, г)Т = 0. (1)

Здесь V - безразмерная комплексная волновая функция; I - мнимая единица; а = а(г) - некоторая безразмерная вещественная числовая функция времени г; и (х, г) - вещественная функция, играющая роль потенциальной энергии; Д - трехмерный оператор Лапласа.

Совместно с (1) рассмотрим комплексно сопряженное уравнение -іТ* + a(t)АТ* - U(x, t)Т* = 0.

Умножая последнее уравнение на Т , а уравнение (1) на Т* , и вычитая полученный результат второго из первого, находим:

— I Т I2 +div(і—|Т|2 Vln0) = 0, (2)

Эt ' >

где 0 = Т*/Т . Если же предварительно уравнение (1) и сопряженное ему поделить на Т и Т* , а затем сложить, то получаем следующее соотношение:

Э АТ АТ*

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

i—ln 0 + a---+ a—-—2U = 0. (3)

Эt Т Т*

Соотношение (2) можно интерпретировать как дифференциальный за-

2

кон сохранения плотности массы | Т | среды, движущейся со скоростью v = iaVln0.

Для произвольного эйлерова потока v имеем следующее тождество:

12

vt + (v, V)v = ~V| v I +[v xrotv] + vt. (4)

Заметим, что поле v в нашем случае потенциальное: rotv = 0 . Для анализа правой части (4) воспользуемся соотношением (3). В результате приходим к следующему тождеству:

vt +1VI v I2 = a2V

t2

-2 А|Т'

I ТІ

+ 2aVU + — v. a

Объединяя полученный результат с тождеством (4), находим окончательно, что скорость потока V удовлетворяет следующему уравнению Эйлера:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

vt + (v, V) v = aV

-2—АТ + 2U Т

+ кт, (5)

где K = -a/a = K(t) - коэффициент, часто в гидродинамике называемый коэффициентом внешнего или линейного трения. Соответствующую силу трения в системе -kv можно интерпретировать как диссипативную, возникающую из-за столкновения частиц пыли друг с другом. Описание диссипации в такой форме, по всей видимости, не является абсолютно точным, но позволяет оценить в простой форме влияние диссипации на формирование стационарного распределения пыли. В дальнейшем мы будем в основном рассматривать случай к = к0 = const. В случае зависимости к от времени ее можно интерпретировать как изменение характера взаимодействия частиц со временем, например, за счет увеличения со временем размера частиц пыли. Заметим, что при a , не зависящем от t: к = 0.

Рассмотрим более подробно допускаемый данной моделью вид массовой силы. Как видно из (5), эта сила потенциальна. Однако в реальной гидродинамике правая часть уравнений Эйлера течения жидкости или газа в поле потенциальной силы имеет вид

Р = —1УР -Уф, (6)

Р

где р - плотность массы жидкости или газа; Р - давление; ф - потенциал массовой силы, в дальнейшем силы ньютоновского тяготения.

В данной работе нас интересуют пылевые объекты. Уравнением состояния пыли, как хорошо известно, является уравнение Р = 0. Поэтому массовая сила (6) будет содержать только вклад силы тяготения, порождаемой самой пылью, и, возможно, массивного объекта, в окрестности которого она находится. В результате соотношение согласования эйлеровой гидродинамики с уравнением Шредингера будет иметь следующий вид:

-2а2 АН! + 2а и = -ф. (7)

| VI

2. Уравнения гидродинамики самогравитирующей пыли

Рассматриваемый в данной работе класс задач может быть сформулирован следующим образом. Мы будем рассматривать пылевые объекты с уравнением состояния р = 0 в поле тяготения, порождаемом самими такими объектами в рамках гидродинамики Эйлера. В результате совокупность уравнений динамики самогравитирующих пылевых объектов будет содержать три уравнения: уравнение Шредингера (1), уравнение согласования (7) и уравнение Пуассона для ньютоновского поля тяготения, имеющее вид

Аф = 4яСр0 | V | 2 +а8(г) + М8(г)), (8)

где Ро - характерный масштаб плотности, так что сама функция плотности пыли определяется формулой

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Р = Ро1 VI2.

Второе слагаемое в правой части уравнения для потенциала, имеющее вид 8 -образного источника по координате г, ортогональной плоскости диска, описывает изначально сосредоточенную в тонком диске материю с плотностью распределения вдоль диска а = а(х, у, г), где х, у - декартовы координаты в плоскости диска. Третье слагаемое описывает поле центрального сферического тела, например планеты с массой М. Это слагаемое создает в гидродинамическом потоке постоянное по времени орбитальное движение, которое не участвует в формировании дисковой структуры в рассматриваемой модели. Вклады от 8 -образных источников важны в областях, непосредственно прилегающих к этим объектам, т.е. к плоскости диска и центральной области с центральным телом. В настоящей работе эти области не рассматриваются.

Произведем обезразмеривание уравнений системы, полагая г = г/Я0, х = t/Г0, Ф = ф/ф0.

Кроме этого, введем обозначение: а(х) = ао f (х), где

f (х) = ехр |-1 к(х')^ хЧ -

безразмерная функция времени. В этом случае приходим к следующей системе уравнений:

г'^т + е/ (х)Д¥- Ж Т = 0; (9)

-2е2 f 2(х) 4^ + 2ef (х)Ж = -№- ф; (10)

1^1 Яд

ДФ = 4лар°Ro |^|2, (11)

Ф0

где е = 70а0/Я2 - безразмерный параметр, характеризующий безразмерную скорость гидродинамического потока в системе

V = ге/ (х)—1п0, от

Ж = иТ0 - безразмерный коллективный потенциал. Далее везде знак ~ опускаем, подразумевая, что все уравнения анализируются в безразмерной форме.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В данной работе мы рассмотрим физические ситуации, при которых параметр е<<1 - малый параметр, т.е. скорость гидродинамического потока мала и система находится вблизи своего равновесия в гравитационном поле. Анализ уравнений (9)—(11) показывает, что для того, чтобы они описывали не тривиальное состояние системы в нулевом порядке, необходимо, чтобы выполнялись условия:

ФрТр2 =е 4гсаррЯ02

гу Ь, \Л 0 ,

Я0 ф0

где ц имеет значение порядка 1 по отношению к е. Из этого следует, что

2 2 2 Ф0 = еЯ0 /Т0 , Р0 = ец/(4пОТ0 ), т.е. плотность пыли и создаваемый ею гравитационный потенциал малы и имеют один и тот же порядок малости по е.

3. Приближенные уравнения

Будем искать решения в виде разложения по степеням е:

^ ^ ^

^ = ^0 + Х е”¥л, Ф = Ф0 + Х еИФ«> Ж =Ж0 + Х еХ.

п=1 п=1 п=1

Поскольку малый параметр е в уравнениях (9) и (10) стоит при старшей производной, то можно предполагать возникновение пограничных слоев вблизи граничных элементов системы. Такими элементами являются центр поля и плоскость диска. Пограничные слои связаны не с вязкостью, а с нелинейностью в системе (нелинейный пограничный слой). Вне этих пограничных слоев, т.е. вдали от центра поля и плоскости диска, в качестве координаты, перпендикулярной плоскости диска, мы будем рассматривать обычную координату г. Вблизи плоскости диска необходимо ввести внутреннюю координату Z = г/е . Заметим, что 8 -образный источник в уравнении (8) следует учитывать лишь во внутреннем решении.

Для внешней области в результате подстановки разложений в уравнения приходим к следующей системе уравнений в первых двух порядках:

гт 0, х = ЖоТ 0; 2 / (х)Ж0 = -ф 0; ДФо = ц|т 012; (12)

г^1,х= ЖоТ + Ж1Т 0 -ДТ 0;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

-2/2(х)+ 2/(х)и = Ф1; ДФх = ц(Т0Т + Т^Т0). (13)

|т0 1

Предполагая, что в нулевом порядке гравитационное поле и поток стационарны, находим, что решение в этом порядке имеет следующий вид:

т0 = С0(г)ехр{-г х)йх} Ж0 = -у/т^х)Ф0’

где функция Ф0 находится из уравнения Пуассона:

ДФ0 = ц|С0 |2 . (14)

В первом порядке в результате несложных выкладок приходим к следующим решениям:

I

Т = С1(г)е_г'х(г’х) - ге_г'х(г’х) |[ж^г, х')С0(г) - ег'х(г’ т'}/(х')ДТ0

й х';

0

Ж1 =--------— Фх + / (х)

1 2 / (х) 1 ^ '| С0 |

Здесь

Х(г, х) = |ж0(г, х)йх.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Подставляя эти выражения в уравнение для Ф1 (13), приходим к следующему уравнению:

^ ч

ДФ1 =ц(С0С1 + С1С0) +

+гц[СоДС0 - СоДС0]2(х) -цН(х)У11 С0 |2 УФо I.

Здесь

В случае к = к0 = const имеем

Q(x) = _L(1 - g-^), H(х) = X — —2(1 - е"К°Т). к0 к0 к2

При этом функция Q(x) убывает экспоненциально, а H(х) растет линейно, т.е. соответствующее ей слагаемое является секулярным членом и для устойчивости решения должно быть обращено в ноль. Исходя из этого, устанавливаем, что функции C0(r) и Wo(r) должны удовлетворять, учитывая (13), следующим уравнениям:

v (I Со |2 VOo ) = 0; (16)

АФо = f I Со I2 . (17)

При этом уравнение (15) принимает следующий вид:

АФ1 = ц(СоС* + CC) + ^div[| Со |2 V0o]^1 -е“коХ1, (18)

ко v ;

в котором функция Q(r) находится из условий стационарности поля в следующем порядке разложения, а функция 0о = (И2)1п(Сд/Со) пока произвольна. Решение для Wi следует из первого уравнения (13).

Интерпретация полученных уравнений следует из анализа выражения для скорости гидродинамического потока в первом порядке:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V1 = V1 + v2 > V1 = eVOo, v2 = 2е/ (х)V0o(r) = 2ее-КoXV0о (r). (19)

Второе слагаемое в правой части (18) представляет собой источник

массы, связанный со вторым потоком в системе, который стремится к некоторому постоянному распределению в пространстве при х^^. Уравнение (16) является уравнением сохранения массы для потока vj. Если предполагать, что источников массы в системе нет, то второе слагаемое в правой части (18) необходимо также обратить в ноль:

div[|Co |2 V0o] = о. (2о)

В противном случае в систему поступает масса, как это явствует из анализа, который здесь не приводится, из плоскости диска и необходимо явно указать в теории этот источник массы при сшивке внутреннего решения с внешним. Первый поток является стационарным и связан с постоянным в первом порядке падения частиц в поле тяготения с потенциалом Фо. Наличие диссипации приводит вместо падения частиц с ускорением g = -VOo к их падению с постоянной скоростью v1 .

4. Аксиально-симметричные решения

Переходя к цилиндрическим координатам г, г,ф и полагая, что функции модели зависят от г и г так:

Ф о(г, г) = и(г )Н( г), Щг, г) = р( г )Н( г), приходим к следующей системе уравнений для функций и(г), р(г), Н(г):

" Л ' 1 " / / ,7/\2

и 1 и Н ц р и р (Н ) ц рЛ

— +----+ — = ^-^-, _'_ + ^_ + ^'1 = 0.

и г и Н 2 и и р Н 2 и

Из требования разделения переменных следует, что

Н( г) = Ное~Хг.

При этом следует предполагать, что плотность пыли и потенциал убывают при удалении от диска как в сторону г ^ +00, так и в сторону

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

г ^ -°°. Поэтому при условии Х> 0 : Н(г) = Ь^евдали от плоскости диска г = 0.

В результате для функций и и р получаем следующие уравнения:

и" + — и +А 2и = — р; (21)

г 2

«V + х2 +ц р =0. (22)

и р 2 и

Будем искать решение для р в следующем виде: р(г) = д(г)и'(г). Подставляя р в таком виде в уравнение (22) и используя уравнение (21), для д получаем следующее простое уравнение:

д -—д + цд2 = 0. г

Это уравнение интегрируется и имеет общее решение следующего вида:

Ч( г) =

где 2 - постоянная интегрирования. Окончательно находим:

Р(г) = ~~гГ—и (г)> (23)

Ц г + Чо

где и( г) теперь удовлетворяет уравнению

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и +--------2--------и + X2 и = 0. (24)

г (г + 2)

Функция р( г) при этом удовлетворяет такому уравнению:

(25)

Эти уравнения содержат единственный параметр X , который характеризует масштаб квазипериодичности решения. Действительно, при малых 2 уравнение близко к уравнению гармонических колебаний с волновым числом X. Однако анализ этого уравнения нельзя проводить вне зависимости от уравнения (23) для р(г).

Действительно, по определению р(г) > 0 (как функция, пропорциональная плотности пыли). Согласно (23), плотность обращается в ноль вместе с градиентом потенциала. В результате диск разбивается на отдельные кольца, разделенные тонкими кольцами отсутствия пыли. Анализируя структуру гидродинамического потока, обнаруживаем, что кольца представляют собой не перемешивающиеся между собой образования. Однако градиент потенциала в соседних кольцах, в силу его квазипериодичности, имеет разные знаки. Если требовать непрерывности плотности на краях колец, то мы в результате получим, что плотность должна менять знак вместе с и . Отсюда следует вывод, что в каждом кольце с постоянным знаком и знак и величину постоянной 2 следует выбирать таким образом, чтобы выполнялось условие р(г) > 0 . Значение этой постоянной, как следует из (23), будет определять ширину кольца и массу пыли, захваченной в нем.

В общем случае граничные условия для вычисления параметров кольца сводятся к требованию только непрерывности потенциала и его первой производной на границе колец. Это является следствием равенства сил, действующих на частицу пыли на границе колец. Пусть в г- - = 1, 2 ... - границы колец, т.е. точки, в которых производная потенциала равна нулю. Тогда уравнения модели будут иметь вид системы:

Здесь ш- - суммарная масса в г кольце. Величина 2- может быть как положительной, так и отрицательной.

На рисунке 1 приведены решения, удовлетворяющие приведенным граничным условиям для нескольких колец и демонстрирующие различные возможные варианты структуры колец.

22■ 2

иі +-----------иі + х иі = °, г є [Г- > Г'+1]

Гі (Г + 2-)

с граничными условиями:

иі (г- )=° и\ (г-+1 )=°; иі-і(г-) = иі (гі )> иі+і (гі+і) = иі (гі+і);

и,р 0.6 0.5 111111 / \ - - / \/ - / \ / \ / \ / \ / \

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0.4 0.3 0.2 0.1 - 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ / \ \ / \ / /\ / \ / \ \ / \ \ / \ у \ / \ \ / у \ / /^\ ' у / -\ / " / \ -/ \

0 -0.1 -0 ? V/ \ / \ Л / 1 \

- ' ' ' 2 \ 4 У 6 ' ' ' 8 ' \ ' 10 ' ' 1 12 ' ' г \ / \ / ' \ / \ / ■ \ / \ / - \ / \ / Ч...У \ / -

ч- У 111111

Рис. 1: 1 - потенциал и(г); 2 - плотность р(г). Параметры колец: X = 1; ц = 2; 20 = 10; ^ =-19,85; С2 =-19,7; д3 =-155; С4 =-108

Заключение

Полученные решения описывают возникновение при г стационарного разделения диска на отдельные кольца, ширина которых гораздо больше узких делений между ними. Масса колец и ее распределение внутри кольца могут быть различными и определяются параметром () для каждого кольца в отдельности. Эти решения, по-видимому, могут быть связаны с реальным распределением пыли в дисковых образованиях. Однако, как уже отмечалось, для описания таких образований, как внутренние кольца Сатурна, эта модель не годится, поскольку описывает распределение пыли вдали от самой планеты. Основным элементом динамики внутренних колец является круговой орбитальный поток, порождаемый центральной массой. Вблизи самой планеты этот поток значительно по величине больше, чем радиальные потоки, формирующие кольцевую структуру в данной модели. Однако можно ожидать, что сам механизм формирований колец не изменяется и по сути лишь модифицируется наличием поправок (связанных с основным орбитальным потоком), которые быстро убывают при удалении от центра. Задача такого рода может решаться методами, аналогичными предложенным в данной работе.

Список литературы

1. Горькавый Н. Н., Фридман А. М. // УФН. - 1990. - Вып. 2. - С. 169.

2. Морозов, А. Г. Физика дисков [Электронный ресурс] / А. Г. Морозов, А. В. Хо-персков. - Режим доступа: http://www.astronet.ru/db/msg/1169400/index.html

3. Поляченко, В. Л. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем / В. Л. По-ляченко, А. М. Фридман. - М. : Наука, 1976.