Научная статья на тему 'Динамика самогравитирующего пылевого диска в слабонелинейном режиме'

Динамика самогравитирующего пылевого диска в слабонелинейном режиме Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
205
26
Поделиться
Ключевые слова
ПЫЛЕВЫЕ ДИСКОВЫЕ СТРУКТУРЫ / КОЛЬЦА ПЛАНЕТ / СПИРАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ГАЛАКТИК / НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ / PLANET"S RINGS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Журавлев Виктор Михайлович, Патрушев Александр Владимирович

Рассматривается задача описания динамики самогравитирующего пылевого диска с внутренним трением вблизи статического его состояния с учетом слабой нелинейности в гидродинамическом приближении. В нелинейном приближении найдены асимптотические точные решения, описывающие кольцевые и спиральные структуры, возникающие в диске при.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Журавлев Виктор Михайлович, Патрушев Александр Владимирович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Динамика самогравитирующего пылевого диска в слабонелинейном режиме»

ФИЗИКА

УДК 521.14; 52-856; 523.46-862

В. М. Журавлев, А. В. Патрушев

ДИНАМИКА САМОГРАВИТИРУЮЩЕГО ПЫЛЕВОГО ДИСКА В СЛАБОНЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ1

Аннотация. Рассматривается задача описания динамики самогравитирующего пылевого диска с внутренним трением вблизи статического его состояния с учетом слабой нелинейности в гидродинамическом приближении. В нелинейном приближении найдены асимптотические точные решения, описывающие кольцевые и спиральные структуры, возникающие в диске при t ^^.

Ключевые слова: пылевые дисковые структуры, кольца планет, спиральная структура галактик, нелинейные процессы.

Abstract. The article considers a problem of dynamics of self-gravitation dust disk internal friction when approaching a static condititon. The investigation takes into account dynamics nonlinearity in hydrodynamic approximation. The authors discovered asymptotic exact solutions in nonlinear approximation that derive ring and spiral structures in a disk for t ^^.

Key words: dust disk structures, planet’s rings, galaxy spiral structures, nonlinear processes.

Введение

Задачи, связанные с исследованием динамики самогравитирующих пылевых объектов являются широко распространенными в астрофизике и планетарной космогонии [1, 2]. Эти задачи важны для задач описания динамики и дисковых галактик, в которых наблюдается характерная спиральная структура, и в задачах планетарных колец и аккреционных дисков у звезд. В силу сложности задачи, в которой приходится учитывать множество факторов, влияющих на динамику объекта, ее обычно рассматривают в рамках теории возмущений по величине флуктуаций плотности. В результате задача полностью линеаризуется, что облегчает ее исследование, однако при этом исчезают специфические эффекты, обусловленные нелинейным характером динамики таких объектов. Вместе с тем учет нелинейных эффектов в дисковой динамике может существенно изменить характер получаемых решений и получить уже в первом порядке теории возмущений характерную кольцевую структуру [3]. Как показано в [3], кольцевые структуры могут возникать в дисках без вращения.

В настоящей работе излагается обобщение подхода, предложенного в [3]. В отличие от этой работы, здесь рассматриваются задачи динамики спиральных волн. Эти проблемы решаются тем же методом теории возмуще-

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 11-01-00747-а, и федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы», проект НК-594П/8.

ний, что и в работе [3], со специальной процедурой исключения из уравнений секулярных по времени слагаемых в ряде возмущений. Это как раз и позволяет учитывать слабонелинейные эффекты в динамике таких объектов. В целом динамика описывается уравнениями Эйлера с дополнительной объемной силой пропорциональной скорости гидродинамического потока и его плотности. Эта сила позволяет приближенно учитывать наличие в диске диссипативных эффектов.

1. Постановка задачи описания динамики самогравитирующей пыли

Уравнения динамики самогравитирующей пыли можно представить в следующем виде:

Здесь и = (и,у,1у) - поле скоростей движения пыли в системе; р -плотность пыли и газа; Ф - потенциал поля тяготения в системе; коэффициент а = а(У) - параметр, характеризующий диссипацию в системе; Р - давление газовой составляющей диска. Первое уравнение этой системы есть собственно уравнение Эйлера динамики идеальной жидкости, в котором отсутствует массовая сила, связанная с давлением. Давление отсутствует для пыли. Второе уравнение есть уравнение сохранения массы, а последнее уравнение есть уравнение Пуассона.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Мы будем полагать, что рассматриваемая система имеет характерную дисковую форму, так что масса пыли сосредоточена вблизи плоскости диска. Обычно предполагают, что плотность пыли можно представить в следующем виде [1, 2]:

где с = с(х, у) - плотность пыли в плоскости диска; Ь - характерная толщина диска; р - плотность пыли вне диска. Ось г направлена перпендикулярно диску.

В настоящей работе мы рассмотрим упрощенный случай такой модели, предполагая, что диск полностью не сформировался. В этом случае имеются два основных варианта задачи. Первый соответствует ситуации, когда есть центральный компактный тяготеющий объект, а второй - ситуации, когда такого объекта нет. Второй случай и был рассмотрен в [3]. В данной работе будут рассмотрены оба этих случая. В первом в нулевом порядке возмущений соответствует выбор с = М8(г), где М - масса центрального тела, а во втором случае с = 0. При этом в обоих случая будем полагать, что плотность пыли вне диска мала по сравнению с некоторой характерной плотностью Ро, так что р/ро = £ << 1. Будем считать также, что система находится вблизи своего статического состояния, так что скорости движения пыли вне диска малы.

(1)

рг + &у(ру) = 0; ДФ = 4я^р.

(2)

(3)

(4)

Будем полагать далее, что скорость движения пыли можно представить в следующем виде:

V = Уо( х, у) + и, (5)

где Уо(х, у) скорость пыли в плоскости диска, которая без изменений передается в направлении, перпендикулярном плоскости диска, так что все слои над диском имеют одинаковые скорости движения на одинаковых

расстояниях от оси диска. Векторное поле и есть поле скорости вне диска,

вызванное эффектами самогравитации пыли. Будем полагать, что и имеет величину следующего порядка малости по сравнению с Уо.

Введем следующие характерные параметры системы. Пусть Т - характерный масштаб времени; Xо - характерный пространственный масштаб в плоскости диска, а ^о - вне диска. Далее, соответственно, ро - масштаб плотности вне диска, а до - его плоскости. Масштаб по координате г выберем равным Ьо. В результате обезразмеривания соотношения (4), (5) приобретут следующую форму:

р = р/до = с8(С) + £р; (6)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V = Т^у/Хо = V ^ £и. (7)

Здесь величины со знаком обозначают безразмерные величины, а £ = ро/до = ^о/Хо . В дальнейшем знак предполагает, что мы имеем дело с безразмерными величинами и уравнениями.

Удобно сразу уравнения для полей в плоскости диска и вне его рассматривать по отдельности. В этом случае имеем для полей в плоскости диска:

(% У)Уо = -кУо-УФо;

аху(сКо) = о; (8)

ДФо = ^ос.

Аналогично вне плоскости диска уравнения выглядят так:

ит + (У),У)и + (и,У)Уо + £(и,У)и = -ки - УФ;

рт + <^у(р,Уо) + £ &у(ри) = о; (9)

Дф = цр.

Граничными условиями для полей вне диска будут условия убывания полей плотности и скорости при удалении от плоскости диска и от оси диска,

2 2 2

т.е. при и г ^тс, где г = х + у .В дальнейшем мы будем

уточнять вид граничных условий в зависимости от симметрии задачи.

2. Уравнения динамики формирующегося пылевого диска

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рассмотрим первоначально задачу описания динамики пыли в случае, когда диск еще не сформировался, так что с = £С1 и Уо =о. Поэтому величи-

на плотности пыли в плоскости диска имеет первый порядок малости по параметру е и, следовательно, является продолжением решения для р в пределе ^ — 0. В этом случае нет необходимости рассматривать отдельно уравнения (8). В этом случае уравнения динамики пыли будут иметь следующий вид:

ux + e(u,V)u = -Ku-Уф, рт + еdiv(pu) = 0, Дф = цр. (10)

Будем искать решения в виде разложения по степеням е :

го го го

ф = ф0 + Y/фп, u = u0 + Y/un, р = Ро + Ze”p«.

и=1 п =1 п=1

Кроме этого, для выяснения характера приближения к стационарному состоянию введем медленное время T = ет. Заметим, что при необходимости в высших порядках теории можно вводить высшие масштабы времени

Tn = епт,n >1 [4].

В нулевом и первом порядках уравнения будут иметь следующий вид:

- нулевой порядок:

и0 т = -Ku0 -V^ р0т = 0, Дф0 = цр0; (11)

- первый порядок

и1,т + u0,T + (u0, V)u0 = -ки1 -Vф1, р1,т + р0,Т = (12)

Дф1= цр1.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В нулевом порядке решение находится без труда:

т

Щ) = U0(x, y, z,T) - е-кт |Уф0(т, x, y, z, Т )ект d т', (13)

0

где U0(x,y, z,T) - начальное распределение поля скорости пыли в системе. Из второго уравнения получаем р0 = р0( x, y, z, T), из чего можно заключить, что гравитационный потенциал не должен зависеть от времени в нулевом порядке. Последнее уравнение Пуассона для потенциала ф0 может быть проинтегрировано обычным способом. Так как ф0т = 0, то решение (13) можно представить в следующем виде:

u0 = U0(x, y, z, T) - f (т)Уф0( x, y, z, T), (14)

здесь

f (т)=-111 -

В пределе при т —— го формируется поле скорости с ярко выраженным стационарным радиальным потоком, пропорциональным ускорению свободного падения в системе, вне зависимости от начального распределения скорости.

Как можно видеть, полученное решение содержит одну произвольную функцию ро . Для ее нахождения воспользуемся дополнительными условиями на решение в первом порядке по е .

Нам нет необходимости решать систему уравнений первого порядка целиком, хотя это сделать несложно. Первое уравнение этой системы будет решаться совершенно аналогично решению в нулевом порядке. Поэтому сосредоточимся на последних двух уравнениях. Нашей задачей является получение статического решения данной системы. В силу этого мы должны предположить, что плотность массы в первом порядке должна также не зависеть от времени, т.е.

и, следовательно, Ф1 т = 0. В силу этого мы из второго уравнения системы (11) получаем дополнительное уравнение для полей в нулевом порядке:

Последнее уравнение является нелинейным и описывает слабонелинейный режим статического течения пыли в собственном поле гравитации. Согласно (14) поле скорости состоит из двух слагаемых: ио и Уо = /(т)Уфо. Первое не зависит от т, а второе - зависит. В силу этого для каждого из этих слагаемых должно выполняться соотношение (16) по отдельности.

Используя (15), теперь можно решение для поля скорости в первом порядке записать следующим образом:

где Ц[( х, у, 2) - начальное распределение поля скорости в первом порядке,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Поскольку выражение для и содержит три слагаемых с различной зависимостью коэффициентов от времени, то, как показывает простой анализ, уже во втором порядке Р2 т = 0.

Поэтому плотность во втором порядке будет изменяться со временем, что приводит к медленному формированию дисковой структуры.

Рассмотрим теперь возможные типы структур диска на стадии его формирования. Как было показано, для анализа этой структуры в нулевом порядке необходимо решать систему уравнений

(15)

ро,Г + <^У(РоИо) - о.

(16)

«1 - иі (х, у, 2) - /(х) [иот + (ио, У)^о +Уф1 ] -■ЖОКг -№,У)ио -(ио,У)Уфо]-Л(х)[(Уфо,У)Уфо],

/1(х) = е кх|/(х>кх йх - -12(1 - (1 + кх)е кх)- -1 (/(х) - хе кх)

о

3. Уравнения в цилиндрических координатах

Дф = цр, (17)

&у(рУф) = 0, (18)

а также уравнение для медленной эволюции плотности во времени:

р^ + d7v(рUо) = 0. (19)

Это уравнение является ограничивающим условием на начальное распределение скорости в облаке пыли, при котором возможно статическое рас-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

пределение пыли в нулевом порядке в смысле отсутствия зависимости от X . Для сокращения записи в следующих двух разделах, где речь идет о решениях в нулевом порядке, индексы 0 у функций ф и р опущены.

Переходя в (17), (18) к цилиндрическим координатам г, г, ф, приходим к следующей системе уравнений:

1 ффф

V +1 Фг +

- +

ф 22 _ цр.

ф г ф г2 ф ф 2 ф'

фГ рг ^ 1 Рф фф ^ р2 ф2 ^ _0

фр г2 рф рф 2 ф '

Будем искать решение для р в следующем виде:

р(г, ф, 2) _ д(г, ф, г)фг (г, ф, 2),

(20)

(21)

(22)

где д = д(г,ф, г) - вспомогательная функция. Подставляя р в таком виде в уравнение (21) и используя уравнение (20), приходим к уравнению

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(фг )2д - +цд2)+д [фффгф - ффффг ]+

+д[фгфгг -фггфг ] + -2дффгфф + фгфг =0. г

Это соотношение можно переписать в следующей форме:

" + 1 Э фФ э ф 2 _0

& го г _ Чфг _ Э2 _ Чфг _

" 1+.1 -

ч ёг д гд

Вводя функцию / = г/д , последнее уравнение можно переписать в следующем виде:

І.г +

1 э

(

/ ф.

ф

л

г2 Эф V фг

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Н-------

Эг

/ф 2 фг

_ гц.

V ^г у_

Уравнение же (20) в результате примет следующий вид: 1 ^ 1 ^ і Ц г ,

фгг Н фг Н 2 ффф Нф22 ~ Т фг .

г г2 2 /

(23)

(24)

Уравнения, представленные в таком виде, более удобны для анализа, чем исходные. Рассмотрим некоторые точные решения этой системы, чтобы

выяснить некоторые особенности распределений пыли, подчиняющиеся данной системе уравнений.

4. Радиальное поле гравитации

В качестве первой задачи рассмотрим случай, когда статическое состояние системы не содержит спиральной структуры. В этом случае все функции системы будут зависеть только от г и г . Далее положим:

ф = Н(г)и(г), р = Н(г)р(г), д = д(г).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Здесь величины со штрихами означают производные по радиальной координате:

, Эи и =—.

Эг

Из требования разделения переменных следует, что

И( г ) = Ь0е-Хг.

При этом следует предполагать, что плотность пыли и потенциал убывают при удалении от диска как в сторону г ^ +°°, так в сторону г ^ -°°.

Поэтому при условии X >0 вдали от плоскости диска И(г) = Х|г| г ^^ .

Фактически эти условия означают, что в плоскости диска формируется сингулярное распределение пыли вида р0 : §(г).

В результате для функций и и д получаем следующие уравнения:

" I 1 ^ I ^ 2 М ^ /лг\

и +— и + X и = — ди ; (25)

г 2

1 2

д' — д + цд =0. (26)

г

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Последнее уравнение интегрируется и имеет общее решение следующего вида:

2 г

д(г ) = --,-----, (27)

М г + д0

где д0 - постоянная интегрирования. Для распределения плотности находим

р(г) = —и '(г Ж г), (28)

М г + д0

где и (г) теперь удовлетворяет уравнению

и'' +---д------и' + Х 2и = 0. (29)

г (г + д0)

При малых д0 или больших С, уравнение близко к уравнению гармонических колебаний с волновым числом X . Если и (г) удовлетворяет уравне-

нию (29), а д(г) - (26), то функция р(г) = д(г)и'(г) при этом удовлетворяет уравнению

р'Ч-2^—— р + Х2 р = 0. (30)

г (г + д0)

Для вывода граничных условий необходимо учесть свойства функции р(г), описывающей распределение плотности пыли в плоскости диска. По определению р(г) > 0 (как функция пропорциональная плотности пыли). Согласно (28) плотность обращается в ноль вместе с градиентом потенциала. В результате диск разбивается на отдельные кольца, разделенные тонкими кольцами отсутствия пыли. Анализируя структуру гидродинамического потока, обнаруживаем, что кольца представляют собой не перемешивающиеся между собой образования. Однако градиент потенциала в соседних кольцах, в силу его квазипериодичности, имеет разные знаки. Если требовать непрерывности плотности на краях колец, то мы в результате получим, что плотность должна менять знак вместе с и . Отсюда следует вывод, что в каждом кольце с постоянным знаком и знак и величину постоянной д0 следует выбирать таким образом, чтобы выполнялось условие р(г) > 0 . Значение этой постоянной будет определять ширину кольца и массу пыли, захваченной в нем.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Граничные условия для вычисления параметров кольца сводятся к требованию непрерывности потенциала и его производной на границе колец, что является следствием требования равенства сил, действующих на частицу пыли на границе колец. Постоянные д0 в каждом из колец задаются величиной массы пыли, содержащейся в кольце. Пусть г, / = 1,2,... - границы колец, т.е. точки, в которых производная потенциала равна нулю: и |г = 0 . Тогда уравнения модели будут иметь вид системы

иГ + ( ^ ) и/ + Х2и; = 0, г 6 [г,, г,+1 ] г (г + д,)

с граничными условиями:

и' (г,) = 0, и' (г,+1) = 0, и, -1 (г,) = и, (г,), и,+1 (г,+1) = и, (г,+1),

7+1 г 2

лц I — ---и,-(г)ёг = а,■.

^ (г2 + д,) 7 7

где а, - постоянная поверхностная плотность массы в , -м кольце (рис. 1).

5. Спиральные волны

Рассмотрим теперь решения в предположении зависимости функций от ф . Положим

ф = И(г)(а(г)008тф + Ь(г)8т тф), д = д(г),

где И(г) = Х|г|, как и раньше, а а(г), Ь(г) - новые вспомогательные функции - амплитуды спиральных волн. Подставляя эти соотношения в уравнения (23) и (24), находим, что уравнение для д = г// будет выполнено, если д(г) удовлетворяет уравнению (26), а функции а и Ь удовлетворяют условию

ё (а2 + Ь2) = 0.

ёг

U(r)/p(r)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

- j

1 і

.1 1 о

„ £ \ \

\ \

ч_ ' *14

'— / 4 " —— —

г

Рис. 1. Пример радиального распределения плотности (1) пыли и потенциала (2) для параметров: r1 = 2,0, r2 = 2,73, r3 = 3,3, r4 = 4,7,

^ =1,0, q2 = -7,58, q3 = -7,49, q4 = -25 и X = 1,0

Без ограничения общности можем положить:

a(r) = A cos 0(r), b(r) = A sin 0(r).

Тогда из уравнения (24) для ф следует, что 0(r) удовлетворяет переопределенной системе уравнений:

1 2

-0"-----0' + Е q0 = 0, - (0')2 - m- + X2=0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

r 2 r 2

Последняя система имеет единственное решение

при условии, что в решении (27) для д(г) постоянная д0 = —т2/Х2 . Из этого соотношения следует, что спиральная волна может существовать лишь в об-

ласти г > гсг = т/Х . В области г < гсг = т/Х волновых решений не существует. Эта область в структуре галактик называется балджем. Окружность критического радиуса гСГ = т/Х является предельным множеством, на которое интегральные кривые гидродинамического потока навиваются бесконечное число раз. Распределение плотности в такой структуре описывается соотношением

Р = Ч (г )ф' (г, ф) =

2 ЛХ

2

/,2 2 2 \Х г - т

•8Іи(0(г) - тф).

(31)

Важным элементом полученной модели спиральной волны плотности является простая связь между радиусом балджа и отношением числа рукавов к толщине диска галактики:

гсг = т/Х.

Эта формула может использоваться для проверки предложенной модели. Это наглядно демонстрирует рис. 2.

а)

б)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рис. 2. Пример спирального распределения плотности пыли (а) т = 2 и (б) т = 4 для следующих значений параметров Х = 4, Л = 2

Заключение

Полученные решения описывают фрагментацию пылевых самограви-тирующих дисковых структур при ґ на отдельные кольца или спиральные волны плотности. Разделение диска на отдельные кольца происходит таким образом, что ширина колец гораздо больше узких делений между ними. Ширина колец, масса в них и ее распределение внутри кольца могут быть различными и определяются параметрами Х и Чо для каждого кольца в отдельности. Важным моментом в полученном решении является то, что кольцеобразная и спиральная структуры появляются без общего вращения диска. С другой стороны, для сопоставления полученных решений с наблюдаемыми кольцевыми структурами, такими как у Сатурна, необходимо включить в модель вращение пылевого диска. Эта задача требует отдельного анализа.

Спиральные структуры, найденные в работе, больше подходят для описания структуры спиральных галактик. Эти решения содержат все основные структурные элементы спиральных галактик - спиральные рукава и балдж. Число рукавов может быть произвольным. Для описания структуры распределения пыли в балдже требуются дополнительные исследования. Как и в случае кольцевых структур, для сопоставления с реальными данными о спиральных галактиках необходимо включить в модель вращение систем.

Спсок литературы

1. Горькавый, Н. Н. Физика планетарных колец / Н. Н. Горькавый, А. М. Фридман. - М. : Наука, i994.

2. Морозов, А. Г. Физика дисков / А. Г. Морозов, А. В. Хоперсков. - Волгоград :

Изд-во Волгоград. гос. ун-та, 2005. - 422 с.

3. [Электронный ресурс] Zhuravlev V. M., Patrushev A. V. - URL : http://arXiv:astro-ph/0602564.

4. Бхатнагар, Н. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах /

Н. Бхатнагар. - М. : Мир, i9S3. - i37 с.

Журавлев Виктор Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Ульяновский государственный университет

E-mail: zhvictorm@gmail.com

Патрушев Александр Владимирович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

аспирант, факультет прикладной математики, Университет западного Онтарио (Лондон, Онтарио, Канада)

E-mail: apatrush@uwo.ca

Zhuravlev Viktor Mikhaylovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of theoretical physics,

Ulyanovsk State University

Patrushev Alexander Vladimirovich Postgraduate student, Faculty of Applied Mathematics, University of West Ontario (London, Ontario, Canada)

УДК 521.14; 52-856; 523.46-862 Журавлев, В. М.

Динамика самогравитирующего пылевого диска в слабонелинейном режиме / В. М. Журавлев, А. В. Патрушев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. -№ 1 (17). - С. 69-79.