ФИЗИКА
УДК 521.14; 52-856; 523.46-862
В. М. Журавлев, А. В. Патрушев
ДИНАМИКА САМОГРАВИТИРУЮЩЕГО ПЫЛЕВОГО ДИСКА В СЛАБОНЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ1
Аннотация. Рассматривается задача описания динамики самогравитирующего пылевого диска с внутренним трением вблизи статического его состояния с учетом слабой нелинейности в гидродинамическом приближении. В нелинейном приближении найдены асимптотические точные решения, описывающие кольцевые и спиральные структуры, возникающие в диске при t ^^.
Ключевые слова: пылевые дисковые структуры, кольца планет, спиральная структура галактик, нелинейные процессы.
Abstract. The article considers a problem of dynamics of self-gravitation dust disk internal friction when approaching a static condititon. The investigation takes into account dynamics nonlinearity in hydrodynamic approximation. The authors discovered asymptotic exact solutions in nonlinear approximation that derive ring and spiral structures in a disk for t ^^.
Key words: dust disk structures, planet’s rings, galaxy spiral structures, nonlinear processes.
Введение
Задачи, связанные с исследованием динамики самогравитирующих пылевых объектов являются широко распространенными в астрофизике и планетарной космогонии [1, 2]. Эти задачи важны для задач описания динамики и дисковых галактик, в которых наблюдается характерная спиральная структура, и в задачах планетарных колец и аккреционных дисков у звезд. В силу сложности задачи, в которой приходится учитывать множество факторов, влияющих на динамику объекта, ее обычно рассматривают в рамках теории возмущений по величине флуктуаций плотности. В результате задача полностью линеаризуется, что облегчает ее исследование, однако при этом исчезают специфические эффекты, обусловленные нелинейным характером динамики таких объектов. Вместе с тем учет нелинейных эффектов в дисковой динамике может существенно изменить характер получаемых решений и получить уже в первом порядке теории возмущений характерную кольцевую структуру [3]. Как показано в [3], кольцевые структуры могут возникать в дисках без вращения.
В настоящей работе излагается обобщение подхода, предложенного в [3]. В отличие от этой работы, здесь рассматриваются задачи динамики спиральных волн. Эти проблемы решаются тем же методом теории возмуще-
1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 11-01-00747-а, и федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы», проект НК-594П/8.
ний, что и в работе [3], со специальной процедурой исключения из уравнений секулярных по времени слагаемых в ряде возмущений. Это как раз и позволяет учитывать слабонелинейные эффекты в динамике таких объектов. В целом динамика описывается уравнениями Эйлера с дополнительной объемной силой пропорциональной скорости гидродинамического потока и его плотности. Эта сила позволяет приближенно учитывать наличие в диске диссипативных эффектов.
1. Постановка задачи описания динамики самогравитирующей пыли
Уравнения динамики самогравитирующей пыли можно представить в следующем виде:
Здесь и = (и,у,1у) - поле скоростей движения пыли в системе; р -плотность пыли и газа; Ф - потенциал поля тяготения в системе; коэффициент а = а(У) - параметр, характеризующий диссипацию в системе; Р - давление газовой составляющей диска. Первое уравнение этой системы есть собственно уравнение Эйлера динамики идеальной жидкости, в котором отсутствует массовая сила, связанная с давлением. Давление отсутствует для пыли. Второе уравнение есть уравнение сохранения массы, а последнее уравнение есть уравнение Пуассона.
Мы будем полагать, что рассматриваемая система имеет характерную дисковую форму, так что масса пыли сосредоточена вблизи плоскости диска. Обычно предполагают, что плотность пыли можно представить в следующем виде [1, 2]:
где с = с(х, у) - плотность пыли в плоскости диска; Ь - характерная толщина диска; р - плотность пыли вне диска. Ось г направлена перпендикулярно диску.
В настоящей работе мы рассмотрим упрощенный случай такой модели, предполагая, что диск полностью не сформировался. В этом случае имеются два основных варианта задачи. Первый соответствует ситуации, когда есть центральный компактный тяготеющий объект, а второй - ситуации, когда такого объекта нет. Второй случай и был рассмотрен в [3]. В данной работе будут рассмотрены оба этих случая. В первом в нулевом порядке возмущений соответствует выбор с = М8(г), где М - масса центрального тела, а во втором случае с = 0. При этом в обоих случая будем полагать, что плотность пыли вне диска мала по сравнению с некоторой характерной плотностью Ро, так что р/ро = £ << 1. Будем считать также, что система находится вблизи своего статического состояния, так что скорости движения пыли вне диска малы.
(1)
рг + &у(ру) = 0; ДФ = 4я^р.
(2)
(3)
(4)
Будем полагать далее, что скорость движения пыли можно представить в следующем виде:
V = Уо( х, у) + и, (5)
где Уо(х, у) скорость пыли в плоскости диска, которая без изменений передается в направлении, перпендикулярном плоскости диска, так что все слои над диском имеют одинаковые скорости движения на одинаковых
расстояниях от оси диска. Векторное поле и есть поле скорости вне диска,
вызванное эффектами самогравитации пыли. Будем полагать, что и имеет величину следующего порядка малости по сравнению с Уо.
Введем следующие характерные параметры системы. Пусть Т - характерный масштаб времени; Xо - характерный пространственный масштаб в плоскости диска, а ^о - вне диска. Далее, соответственно, ро - масштаб плотности вне диска, а до - его плоскости. Масштаб по координате г выберем равным Ьо. В результате обезразмеривания соотношения (4), (5) приобретут следующую форму:
р = р/до = с8(С) + £р; (6)
V = Т^у/Хо = V ^ £и. (7)
Здесь величины со знаком обозначают безразмерные величины, а £ = ро/до = ^о/Хо . В дальнейшем знак предполагает, что мы имеем дело с безразмерными величинами и уравнениями.
Удобно сразу уравнения для полей в плоскости диска и вне его рассматривать по отдельности. В этом случае имеем для полей в плоскости диска:
(% У)Уо = -кУо-УФо;
аху(сКо) = о; (8)
ДФо = ^ос.
Аналогично вне плоскости диска уравнения выглядят так:
ит + (У),У)и + (и,У)Уо + £(и,У)и = -ки - УФ;
рт + <^у(р,Уо) + £ &у(ри) = о; (9)
Дф = цр.
Граничными условиями для полей вне диска будут условия убывания полей плотности и скорости при удалении от плоскости диска и от оси диска,
2 2 2
т.е. при и г ^тс, где г = х + у .В дальнейшем мы будем
уточнять вид граничных условий в зависимости от симметрии задачи.
2. Уравнения динамики формирующегося пылевого диска
Рассмотрим первоначально задачу описания динамики пыли в случае, когда диск еще не сформировался, так что с = £С1 и Уо =о. Поэтому величи-
на плотности пыли в плоскости диска имеет первый порядок малости по параметру е и, следовательно, является продолжением решения для р в пределе ^ — 0. В этом случае нет необходимости рассматривать отдельно уравнения (8). В этом случае уравнения динамики пыли будут иметь следующий вид:
ux + e(u,V)u = -Ku-Уф, рт + еdiv(pu) = 0, Дф = цр. (10)
Будем искать решения в виде разложения по степеням е :
го го го
ф = ф0 + Y/фп, u = u0 + Y/un, р = Ро + Ze”p«.
и=1 п =1 п=1
Кроме этого, для выяснения характера приближения к стационарному состоянию введем медленное время T = ет. Заметим, что при необходимости в высших порядках теории можно вводить высшие масштабы времени
Tn = епт,n >1 [4].
В нулевом и первом порядках уравнения будут иметь следующий вид:
- нулевой порядок:
и0 т = -Ku0 -V^ р0т = 0, Дф0 = цр0; (11)
- первый порядок
и1,т + u0,T + (u0, V)u0 = -ки1 -Vф1, р1,т + р0,Т = (12)
Дф1= цр1.
В нулевом порядке решение находится без труда:
т
Щ) = U0(x, y, z,T) - е-кт |Уф0(т, x, y, z, Т )ект d т', (13)
0
где U0(x,y, z,T) - начальное распределение поля скорости пыли в системе. Из второго уравнения получаем р0 = р0( x, y, z, T), из чего можно заключить, что гравитационный потенциал не должен зависеть от времени в нулевом порядке. Последнее уравнение Пуассона для потенциала ф0 может быть проинтегрировано обычным способом. Так как ф0т = 0, то решение (13) можно представить в следующем виде:
u0 = U0(x, y, z, T) - f (т)Уф0( x, y, z, T), (14)
здесь
f (т)=-111 -
В пределе при т —— го формируется поле скорости с ярко выраженным стационарным радиальным потоком, пропорциональным ускорению свободного падения в системе, вне зависимости от начального распределения скорости.
Как можно видеть, полученное решение содержит одну произвольную функцию ро . Для ее нахождения воспользуемся дополнительными условиями на решение в первом порядке по е .
Нам нет необходимости решать систему уравнений первого порядка целиком, хотя это сделать несложно. Первое уравнение этой системы будет решаться совершенно аналогично решению в нулевом порядке. Поэтому сосредоточимся на последних двух уравнениях. Нашей задачей является получение статического решения данной системы. В силу этого мы должны предположить, что плотность массы в первом порядке должна также не зависеть от времени, т.е.
и, следовательно, Ф1 т = 0. В силу этого мы из второго уравнения системы (11) получаем дополнительное уравнение для полей в нулевом порядке:
Последнее уравнение является нелинейным и описывает слабонелинейный режим статического течения пыли в собственном поле гравитации. Согласно (14) поле скорости состоит из двух слагаемых: ио и Уо = /(т)Уфо. Первое не зависит от т, а второе - зависит. В силу этого для каждого из этих слагаемых должно выполняться соотношение (16) по отдельности.
Используя (15), теперь можно решение для поля скорости в первом порядке записать следующим образом:
где Ц[( х, у, 2) - начальное распределение поля скорости в первом порядке,
Поскольку выражение для и содержит три слагаемых с различной зависимостью коэффициентов от времени, то, как показывает простой анализ, уже во втором порядке Р2 т = 0.
Поэтому плотность во втором порядке будет изменяться со временем, что приводит к медленному формированию дисковой структуры.
Рассмотрим теперь возможные типы структур диска на стадии его формирования. Как было показано, для анализа этой структуры в нулевом порядке необходимо решать систему уравнений
(15)
ро,Г + <^У(РоИо) - о.
(16)
«1 - иі (х, у, 2) - /(х) [иот + (ио, У)^о +Уф1 ] -■ЖОКг -№,У)ио -(ио,У)Уфо]-Л(х)[(Уфо,У)Уфо],
/1(х) = е кх|/(х>кх йх - -12(1 - (1 + кх)е кх)- -1 (/(х) - хе кх)
о
3. Уравнения в цилиндрических координатах
Дф = цр, (17)
&у(рУф) = 0, (18)
а также уравнение для медленной эволюции плотности во времени:
р^ + d7v(рUо) = 0. (19)
Это уравнение является ограничивающим условием на начальное распределение скорости в облаке пыли, при котором возможно статическое рас-
пределение пыли в нулевом порядке в смысле отсутствия зависимости от X . Для сокращения записи в следующих двух разделах, где речь идет о решениях в нулевом порядке, индексы 0 у функций ф и р опущены.
Переходя в (17), (18) к цилиндрическим координатам г, г, ф, приходим к следующей системе уравнений:
1 ффф
V +1 Фг +
- +
ф 22 _ цр.
ф г ф г2 ф ф 2 ф'
фГ рг ^ 1 Рф фф ^ р2 ф2 ^ _0
фр г2 рф рф 2 ф '
Будем искать решение для р в следующем виде:
р(г, ф, 2) _ д(г, ф, г)фг (г, ф, 2),
(20)
(21)
(22)
где д = д(г,ф, г) - вспомогательная функция. Подставляя р в таком виде в уравнение (21) и используя уравнение (20), приходим к уравнению
(фг )2д - +цд2)+д [фффгф - ффффг ]+
+д[фгфгг -фггфг ] + -2дффгфф + фгфг =0. г
Это соотношение можно переписать в следующей форме:
" + 1 Э фФ э ф 2 _0
& го г _ Чфг _ Э2 _ Чфг _
" 1+.1 -
ч ёг д гд
Вводя функцию / = г/д , последнее уравнение можно переписать в следующем виде:
І.г +
1 э
(
/ ф.
ф
л
г2 Эф V фг
Н-------
Эг
/ф 2 фг
_ гц.
V ^г у_
Уравнение же (20) в результате примет следующий вид: 1 ^ 1 ^ і Ц г ,
фгг Н фг Н 2 ффф Нф22 ~ Т фг .
г г2 2 /
(23)
(24)
Уравнения, представленные в таком виде, более удобны для анализа, чем исходные. Рассмотрим некоторые точные решения этой системы, чтобы
выяснить некоторые особенности распределений пыли, подчиняющиеся данной системе уравнений.
4. Радиальное поле гравитации
В качестве первой задачи рассмотрим случай, когда статическое состояние системы не содержит спиральной структуры. В этом случае все функции системы будут зависеть только от г и г . Далее положим:
ф = Н(г)и(г), р = Н(г)р(г), д = д(г).
Здесь величины со штрихами означают производные по радиальной координате:
, Эи и =—.
Эг
Из требования разделения переменных следует, что
И( г ) = Ь0е-Хг.
При этом следует предполагать, что плотность пыли и потенциал убывают при удалении от диска как в сторону г ^ +°°, так в сторону г ^ -°°.
Поэтому при условии X >0 вдали от плоскости диска И(г) = Х|г| г ^^ .
Фактически эти условия означают, что в плоскости диска формируется сингулярное распределение пыли вида р0 : §(г).
В результате для функций и и д получаем следующие уравнения:
" I 1 ^ I ^ 2 М ^ /лг\
и +— и + X и = — ди ; (25)
г 2
1 2
д' — д + цд =0. (26)
г
Последнее уравнение интегрируется и имеет общее решение следующего вида:
2 г
д(г ) = --,-----, (27)
М г + д0
где д0 - постоянная интегрирования. Для распределения плотности находим
р(г) = —и '(г Ж г), (28)
М г + д0
где и (г) теперь удовлетворяет уравнению
и'' +---д------и' + Х 2и = 0. (29)
г (г + д0)
При малых д0 или больших С, уравнение близко к уравнению гармонических колебаний с волновым числом X . Если и (г) удовлетворяет уравне-
нию (29), а д(г) - (26), то функция р(г) = д(г)и'(г) при этом удовлетворяет уравнению
р'Ч-2^—— р + Х2 р = 0. (30)
г (г + д0)
Для вывода граничных условий необходимо учесть свойства функции р(г), описывающей распределение плотности пыли в плоскости диска. По определению р(г) > 0 (как функция пропорциональная плотности пыли). Согласно (28) плотность обращается в ноль вместе с градиентом потенциала. В результате диск разбивается на отдельные кольца, разделенные тонкими кольцами отсутствия пыли. Анализируя структуру гидродинамического потока, обнаруживаем, что кольца представляют собой не перемешивающиеся между собой образования. Однако градиент потенциала в соседних кольцах, в силу его квазипериодичности, имеет разные знаки. Если требовать непрерывности плотности на краях колец, то мы в результате получим, что плотность должна менять знак вместе с и . Отсюда следует вывод, что в каждом кольце с постоянным знаком и знак и величину постоянной д0 следует выбирать таким образом, чтобы выполнялось условие р(г) > 0 . Значение этой постоянной будет определять ширину кольца и массу пыли, захваченной в нем.
Граничные условия для вычисления параметров кольца сводятся к требованию непрерывности потенциала и его производной на границе колец, что является следствием требования равенства сил, действующих на частицу пыли на границе колец. Постоянные д0 в каждом из колец задаются величиной массы пыли, содержащейся в кольце. Пусть г, / = 1,2,... - границы колец, т.е. точки, в которых производная потенциала равна нулю: и |г = 0 . Тогда уравнения модели будут иметь вид системы
иГ + ( ^ ) и/ + Х2и; = 0, г 6 [г,, г,+1 ] г (г + д,)
с граничными условиями:
и' (г,) = 0, и' (г,+1) = 0, и, -1 (г,) = и, (г,), и,+1 (г,+1) = и, (г,+1),
7+1 г 2
лц I — ---и,-(г)ёг = а,■.
^ (г2 + д,) 7 7
где а, - постоянная поверхностная плотность массы в , -м кольце (рис. 1).
5. Спиральные волны
Рассмотрим теперь решения в предположении зависимости функций от ф . Положим
ф = И(г)(а(г)008тф + Ь(г)8т тф), д = д(г),
где И(г) = Х|г|, как и раньше, а а(г), Ь(г) - новые вспомогательные функции - амплитуды спиральных волн. Подставляя эти соотношения в уравнения (23) и (24), находим, что уравнение для д = г// будет выполнено, если д(г) удовлетворяет уравнению (26), а функции а и Ь удовлетворяют условию
ё (а2 + Ь2) = 0.
ёг
U(r)/p(r)
- j
1 і
.1 1 о
„ £ \ \
\ \
ч_ ' *14
'— / 4 " —— —
г
Рис. 1. Пример радиального распределения плотности (1) пыли и потенциала (2) для параметров: r1 = 2,0, r2 = 2,73, r3 = 3,3, r4 = 4,7,
^ =1,0, q2 = -7,58, q3 = -7,49, q4 = -25 и X = 1,0
Без ограничения общности можем положить:
a(r) = A cos 0(r), b(r) = A sin 0(r).
Тогда из уравнения (24) для ф следует, что 0(r) удовлетворяет переопределенной системе уравнений:
1 2
-0"-----0' + Е q0 = 0, - (0')2 - m- + X2=0.
r 2 r 2
Последняя система имеет единственное решение
при условии, что в решении (27) для д(г) постоянная д0 = —т2/Х2 . Из этого соотношения следует, что спиральная волна может существовать лишь в об-
ласти г > гсг = т/Х . В области г < гсг = т/Х волновых решений не существует. Эта область в структуре галактик называется балджем. Окружность критического радиуса гСГ = т/Х является предельным множеством, на которое интегральные кривые гидродинамического потока навиваются бесконечное число раз. Распределение плотности в такой структуре описывается соотношением
Р = Ч (г )ф' (г, ф) =
2 ЛХ
2
/,2 2 2 \Х г - т
•8Іи(0(г) - тф).
(31)
Важным элементом полученной модели спиральной волны плотности является простая связь между радиусом балджа и отношением числа рукавов к толщине диска галактики:
гсг = т/Х.
Эта формула может использоваться для проверки предложенной модели. Это наглядно демонстрирует рис. 2.
а)
б)
Рис. 2. Пример спирального распределения плотности пыли (а) т = 2 и (б) т = 4 для следующих значений параметров Х = 4, Л = 2
Заключение
Полученные решения описывают фрагментацию пылевых самограви-тирующих дисковых структур при ґ на отдельные кольца или спиральные волны плотности. Разделение диска на отдельные кольца происходит таким образом, что ширина колец гораздо больше узких делений между ними. Ширина колец, масса в них и ее распределение внутри кольца могут быть различными и определяются параметрами Х и Чо для каждого кольца в отдельности. Важным моментом в полученном решении является то, что кольцеобразная и спиральная структуры появляются без общего вращения диска. С другой стороны, для сопоставления полученных решений с наблюдаемыми кольцевыми структурами, такими как у Сатурна, необходимо включить в модель вращение пылевого диска. Эта задача требует отдельного анализа.
Спиральные структуры, найденные в работе, больше подходят для описания структуры спиральных галактик. Эти решения содержат все основные структурные элементы спиральных галактик - спиральные рукава и балдж. Число рукавов может быть произвольным. Для описания структуры распределения пыли в балдже требуются дополнительные исследования. Как и в случае кольцевых структур, для сопоставления с реальными данными о спиральных галактиках необходимо включить в модель вращение систем.
Спсок литературы
1. Горькавый, Н. Н. Физика планетарных колец / Н. Н. Горькавый, А. М. Фридман. - М. : Наука, i994.
2. Морозов, А. Г. Физика дисков / А. Г. Морозов, А. В. Хоперсков. - Волгоград :
Изд-во Волгоград. гос. ун-та, 2005. - 422 с.
3. [Электронный ресурс] Zhuravlev V. M., Patrushev A. V. - URL : http://arXiv:astro-ph/0602564.
4. Бхатнагар, Н. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах /
Н. Бхатнагар. - М. : Мир, i9S3. - i37 с.
Журавлев Виктор Михайлович
доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Ульяновский государственный университет
E-mail: zhvictorm@gmail.com
Патрушев Александр Владимирович
аспирант, факультет прикладной математики, Университет западного Онтарио (Лондон, Онтарио, Канада)
E-mail: apatrush@uwo.ca
Zhuravlev Viktor Mikhaylovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of theoretical physics,
Ulyanovsk State University
Patrushev Alexander Vladimirovich Postgraduate student, Faculty of Applied Mathematics, University of West Ontario (London, Ontario, Canada)
УДК 521.14; 52-856; 523.46-862 Журавлев, В. М.
Динамика самогравитирующего пылевого диска в слабонелинейном режиме / В. М. Журавлев, А. В. Патрушев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. -№ 1 (17). - С. 69-79.