ДИНАМИКА ПОДВИЖНОГО СОСТАВА В ПРОЦЕССЕ РЕЖИМА ТОРМОЖЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Shoshin Alexander Sergeevich, postgraduate, _ [email protected], Russia, Moscow, Russian University of Transport (MUT)

УДК 629.1.01

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-5-273-274

ДИНАМИКА ПОДВИЖНОГО СОСТАВА В ПРОЦЕССЕ РЕЖИМА ТОРМОЖЕНИЯ

И.А. Яицков, П.А. Поляков, Ю.Д. Шевцов, Е.С. Федотов

Предложенная динамическая модель продольной динамики подвижного состава учитывает инерционные, диссипативные и жесткостные параметры, оказывающие влияние на собственные и вынужденные колебания. Используя решения дифференциального уравнения, записанного в векторно-матричной форме, были получены величины приведенных инерционных, диссипативных и жесткостных коэффициентов, используемых при определении вертикальных, продольных и угловых перемещений кузова вагона подвижного состава в зависимости от их количества. Математическое моделирование колебательного процесса первого вагона подвижного состава в зависимости от количества вагонов показало увеличение периода и пиковых амплитуд колебаний углового перемещения. При увеличении рассматриваемого подвижного состава на один вагон амплитуда углового перемещения первого вагона увеличилась 58%, что приводит к увеличению нестабильности процесса торможения. Пиковые значения суммарных колебаний углового перемещения подвижного состава с тремя вагонами происходят с периодом в 64с, тогда как пиковые значения суммарных колебаний углового перемещения подвижного состава с двумя вагонами имеют период 20с. В результате моделирования можно сделать вывод о том, что увеличение количества вагонов приводит к сосредоточению механической энергии при колебательном процессе во временном интервале.

Ключевые слова: математическая модель, продольная динамика, вагон, подвижной состав, диссипация, жесткость, вынужденные колебания.

В работе [1] представлены два метода моделирования для анализа динамики гибких колесных пар. В первом методе применялся Лагранжевый подход для получения всех членов уравнения движения, включая силы инерции. Во втором моделировался Эйлеровский подход на этапе интегрирования уравнения движения. Результаты моделирования подтвердили правильность предложенных методик. В статье [2] исследовалось динамическое взаимодействие колесо-рельс на основе теории динамики. Предложена модифицированная динамическая модель «колесо - рельс» с отколом, что позволило исследовать два типа вынужденных колебаний: импульсный и гармонический. Режим вынужденных колебаний определялся отношением длины откола к его критической длине. В исследовании [3] влияние полигонализации колес на динамические характеристики грузового вагона исследовалось посредством разработки комплексной динамической модели контакта колеса с рельсом. Модель включала гибкую балластированную колею и подсистемы колесных пар, с учетом упругих деформаций, вызванных ударными нагрузками. Результаты показали, что колеса с полигонолизацией низких порядков, приводили к возникновению высокочастотных ударных нагрузок в контакте колеса и рельса. В статье [4] было проанализировано взаимодействие колес с рельсом при изношенном профиле колеса и при разности диаметров колес и было проведено сравнение динамической реакции при наличии сопутствующих повреждений между наружными и внутренними колесами. Кроме того, была проанализирована разница в динамическом отклике, вызванная различным положением колес большего диаметра (т.е. на внутренней или внешней колее). При проведении исследования [5] было выявлено, что более 70% колес метро демонстрируют полигональный износ 6-го и 8-го гармонического порядков. Результаты свидетельствовали о естественном резонансе в системе «колесо - рельс», частота которого совпадала с частотой прохождения 6-го и 8-го порядков.

Рассмотрим динамику подвижного состава при неустановившемся движении. На рис. 1 представлен подвижной состав из некоторого количества вагонов. Для составления уравнений силового баланса были обозначены конструктивные и эксплуатационные параметры различными индексами, действующими на различные вагоны. Параметры первого вагона обозначаются с индексом «г», тогда как последующие вагоны обозначаются «г'+п», п - натуральные числа.

При неустановившемся движении вагоны подвижного состава будут иметь колебания, изменяемые в трех координатах (х, г, ф).

На рис. 2 представлена динамическая схема вагонов железнодорожного состава при режиме торможения, который относится к неустановившимся режимам движения. При торможении за счет сил инерции вагоны сочлененного подвижного состава кренятся в продольном направлении в сторону движения на величину угла тангажа (ф), что обеспечивает изменения положений центров масс каждого

/'-го вагона, таким образом, что выполняются условия: h^+i^h^i+i), hnM¿(¿+i)^h/nM,(¿+i), Ьптщ+гфУптщ+г), h3ii(i+iy^h/3Ti(i+i), hyT/(/+1yfih/yT/(/+1), dуI/(/+ly£d/уI/(/+l),где индекс «/» обозначает линейный размер в процессе торможения. Помимо этих условий у перераспределяемых масс появляются продольное смещения хп( ,) и

Хп( /+1).

Составим схему действия сил и моментов на вагоны железнодорожного состава при торможении (рис. 3). В качестве инерционных параметров учтены не только массы вагона и тележек, но и моменты инерции (J(i), J(i+i), Jirr(i), Лт(/+1), Лг(/), ^т(/+1)). Реакции связей между перераспределяемыми массами и кузовами вагонов (S^, S(i+1)) направлены против действия инерционных сил. Реакции со стороны смежных вагонов (5ут1 (/), S ут1(н), Syт2( о, S ут2(+1)) направлены разнонаправленно. Аналогично реакциям связей между перераспределяемыми массами и кузовами направлены реакции связей между тележками и рамой вагона (Sm^, S пт(ш), Ss! (/), S зт(ш)). Контакты колес и рельсов создают нормальные (Rz^o, Rz^o, R^uo, Rz32( i), Rzm1(i+1), Rzrn2(i+1), Rz31(i+1), Rzз2(i+1)) и касательные реакции (Rxo1( i), Rxo2( i), Rхз1( i), Rx82( i), Rxo1(i+1), Rxo2(i+1), RX3K i+1), RX32( i+1)), направленные вертикально вверх и против движения из точек контакта, соответственно.

Запишем уравнение неустановившегося движения подвижного состава при торможении, используя уравнения Лагранжа II рода в форме системы уравнений сил и моментов относительно центра подрессоренных масс i-го вагона:

-|М'+ т (лме-z)-(т (л + т ^iíe-z) + т (.,фх ,,, + т,,,фа(,, -т (лфЬ(л -

\ i пм(') I ) \ пт(') зт(.) ) пм('n(i) ОТ^т (i) зт(')т (i)

-(л/,' л + т (. 1)l(e - z )-(т (. л + т (. 1)l(e - z)-т (. 1)ф (Ь(л + d' (л + а(. л - х (. 1)l-

\ (i+1) пм(.+1) / V« ! \ пт(.+1) зт(.+1) / V« ! пм(.+1^ \ (i) ш(.) (i +1) п('+1) /

-тпт('+1)Ф (b(i) + 4(i) ) - тзт('+1)Ф (i) + dш(i) + a(i+1) + Ь('+1) ) + Ьпм(i)z sin Ф + Сщм('^ sin9 + +Ь„м(оФ-*„й sin Ф + Спм(')ф^п(') + Ьyг1(i)z sinФ + Cyn(i)z sinФ + Ьуг1(')Ф (d^1(0 + a(i) ) sinф + +Суг1()Ф (d^1i + a(i) ) 1)ф + Ьуг2(.) sin ф + Суг2(.) SinФ - Ьуг2(')Ф ((i) + Ь(i) ) sin ф -

-Суг2(')Ф (d^2(i) + Ь(.) ) sinФ + Ьпт(i)Z Sin Ф + Спт(')z Sin Ф + Ь„т«фа(0 Sin Ф + С„тйФа(0 Sin Ф + +Ь (.,zsinф + c (..zsinф + Ь (.)фЬ(.) sinф + с (.)фЬ(.) sinф + Ь (. 1)zsinф + c (. 1)zsinф -

зт(.) т зт(') Т зт(')т (i) т зт(')т (i) т пм(. +1) т пм(.+1) т

-Ьпм('+1)ф (i) + dш(i) + a(i+1) - хп(' +1) ) sin ф - Спм('+1)Ф ((i) + dш(i) + a(i+1) - хп('+1) ) sin ф + +Ьут1('+1)z sin ф + Суг1('+1)z sinФ - Ьуг1('+1)ф (i) + dш(i) - d^1(i+1) ) Sin Ф --Суг1(. +1)ф (i) + dш(i) - <У1('+1) ) sinФ - Ьуг2(. +1)z sin ф - Суг2('+1)z sin ф +

+Ьут2(.+1)Ф (Ь() + dK(i)+ L(i+1) + d^2(i+1) ) sin ф Сут2(.+1)Ф (Ь() + dK(i)+ L(i+1) + d^2(i+1) ) sin ф

+Ьпт(+1^ sin ф + Спт(' +1)z sinФ - Ьпт(+1)ф (i) + <(i) ) sinФ + спт('+1)ф (i) + dш(i) ) sin ф + +Ьзт('+1^ sinФ + Сзт('+1^ sinФ + Ьзг('+1)ф (Ь(0 + ^(i) + L(i+1) ) sin ф + сзт('+1)ф (Ь(0 + d^(i) + L(i+1) ) sin ф = • = (Ьпо1(.) + Ьпо2(i))Zmi) +(Ьзо1(') + Ьзо2(.) ) )) +(Ьпо1('+1) + Ьпо2(' +1)) z^i+1) +(Ьзо1(' +1) + Ьзо2('+1)) z^i+1) + + (Спо1('+1) + Спо2(' +1))zn(i+1) +(Сзо1('+1) + Сзо2(' +1) ) -гз('+1),

(М(л + т (.))х + (т (л + т (.))х + т (лф (h' (i) - h('.))-т (')фh' (i) - т (лф^(л +

+ (М(. л + т (. 1) )х + (т„т(' л + т (. 1))х + т (. 1)ф (h' (. 1) - h('. 1) )- т„т(' (. 1) +

\ (i+1) пм(.+1W У пт(.+1) зт(. +1W пм(.у пм(.+1) (i +1W пт(.+1^ пт(.+1)

+тзт('+1)#з'т('+1) - Ьпм(')х C0s ф - Спм(')х C0s ф + Ьпм(')ф (^'пм,') - h('i) ) С08ф +

+Спм(')ф (^'ппм,/) - h('i) ) е08Ф - ЬутЩ)х c0s ф - Сут1(')х c0s ф - Ьyг1(i)фhУг(i) c0s ф - Cyг1(i)ФhУУг(i) е08Ф +

+Ьут2(')х c0s ф + Сут2(.)х c0s ф + Ьyг2(i)фh^(i) c0s ф + СтЩфК{1) c0s ф - Ьпт(')х C0S Ф - Спт(')х C0S Ф -

-Ь (лфhl'I(') cosф - с „„фА'^ cosф - Ь (.)х cosф - с (.)х cosф - Ь ^h'^ cosф -

пт(.)т пт(.) Т пт(. ^ пт(.) т зт(') Т зт(') т зт(.^ зт(.) т

-сзт(')Фазт(') С08Ф - Ьпм('+1)х c0s ф - Спм('+1)х c0s ф + Ьпм('+1)ф (h™(^ 1) - h('i+1) )С08Ф +

+Спм(.+1)ф (h™(^ 1) - h('i+1) ) С08Ф - Ьуг1('+1)х c0s ф - Суг1('+1)х c0s ф - Ьуг1('+1)фаУУт(' +1) С08Ф -

уг1(+1)

ФаУг('+1)С08Ф + Ьуг2('+1)х c0s ф + Суг2('+1)х c0s ф + Ьуг2('+1)CPhjr(i+1) c0s ф + +Суг2('+1)ФаУг('+1) c0s ф - Ьпт('+1)х c0s ф - Спт('+1)х c0s ф - Ь„T(i)фh„T(i +1) С08Ф -

-с (. 1)фhI'г,(' 1)cosф - Ь (. 1)х cosф - с (. 1)х cosф - Ь (. 1)ФА'(. 1)cosф -

пт(.+пт(.+1) т зт(.+1) Т зт(.+1) Т зт(.+1^ зт(.+1) т

-с (.)фА'(. 1) C0Sф = фс (Ь 1(i) + Ь .(л)(л+ фс (Ь 1(л + Ь .(')jz(') +

+/оФ - ^{ё - *)% +

+Фс ((¡+1) + Ьпо2(+1)Н((+1) + Фс (Ьзо1((+0 + Ьзо2(+1) ) *з{+1) + Фс ((О + Спо2{)) ¿п(i) + +Фс {Сзо1й + Сзо2{) ) *з(0 + фс ({{¡+1) + Спо2{1+1) ) *п{!+1) + Фс (Сзо1{{+1) + Сзо2{1+1)) *з{!+1)'

-т ()х(л(е - *)-т (.)х ( (л - к/л)-т ()ф ( (л - к/л) + х2()

пм(.) п(.) ! пм() \ пм(.) (И пм() Т 1 пм(.) (.) / п(.)

+т (Лк! {.) - / {.)ф + т (л(е - ¿' )Ь(Л + т {.)хк/{.)+ / {.)ф + т {. 1) (е - * ПЬ(Л + д'1(л + а(. 1) - х {. 1) )-

пг(.) пт(.) пт(.)т зт(./ (.) зт(.) зт(.) зт(.) пм(.+1) (.) ш1(.) (.+1) п(.+1) /

-тпм(.+1)х (к™((+ 1) - к({+1) )тпм()Ф (( 1) - к({+1) ) + ({) + + а{.+1) - Хп{.+1) ) +

+м+ ( - * )( + ^Шх(0 + а(.+1))+•/(+1)Ф+тпг(+1)(е - * )( + <1Й) +тпт(+1)хк,Лг(+1) + •/пт(+1)Ф + +тзт(+1) (е - * ) () + <1(0 + ¿(+1)) + т^(+1) (ё - * )кзт(.+1) + /зт(.+1)Ф + Ьпм(.)хп(.)* + спм(.)хп(.)* +

+ с

.«Ф

(()- кй)2

+ х

'п(')

+Ьпм(+1)Ф

+Спм(+1)Ф

((

- ь..т1(,,1)* ((+ дШ ()- 4Ут1(,1))-

ут1(+1)^ \Д0 "ш() ут1(+1) )

+Ь (.)х(к'(л -к(/.)) + с (.)х(к'(л -к(/.))+ Ь (.)Ф (к'(л -к(/.)) + х ()

пм (.) \ пм (.) (¡И пм (.) \ пм (.) (И пм (0Т У пм (.) (И п(.)

+6ут1(0* + ¿ут1(.))+ Сут1(.)* (а(.) + ¿ут1(.)) Ьут1()хк./т() сут1()хку/т() Ьут1(0Ф ^[а(0 + дут1(0 ] + кут() ^

-Сут1(.)Ф ([ай + <т1й]2 + ку/тй^)+ Ьут2(.)* ( + <2(0 )+ Сут2(.)* () + <2(0 ) + ^ЭД^) + ^ЭД^) + +Ьут2(0Ф ([Ь« + <2(0 ] + ^(О^ Сут2(.)Ф ([Ь(0 + <«)] + *&)) + Ьпт« Н) + Спт(0*а(0 - ^«^т« -

-с ( лхк/ ( .) - Ь ( ЛФ (аД + кТ( л)-с ( .)Ф (аД + к^ .))-Ь ( ..¿К л- с ( лгЬ( л- Ь ( лхк' ( л- с ( лхк' ( л-

пт ) пт ) пт ) ) пт ) пт ) ) пт ) зт ) ) зт ) ) зт ) зт ) зт ) зт )

-Ь ( ЛФ( Ь(2)+ к/2(.))+ с ( лф( Ь(2)+ к/2(л)- Ь ( . 1) ( К.)+ д! 1.) + а( . 1) - Х( . 1))* -

зт(г^ \ () зт(гИ зт(г^ \ () зт(г) / пм(г+1) \ () ш1() (+1) п(+1) /

-с ( . 1) (Ь( .) + д/1( л + а( . 1)- х (. 1))* + Ь 1)Х (кп ( . 1) - Я. 1)) + с 1)Х (кп ( . 1) - Я. 1)) +

пм(+1) \ () ш1() (+1) п(+1И пм(+1) \ пм(+1) (+1) / пм(+1) \ пм(+1) (+1) I ((1) - к(+1))) дШЦ1) +а(.+1) - хп(.+1)) (кпм((+1)- к((+1))) (ь(0 + дШ1() + а(+1)- хп((+1)) ^ -сут1(+1)* <(0 - дУт1(+1) ) - Ьут1(+1)хкут(+1) - Cутl(+l)xк.íт(+l) - Ьут1(+1)Ф ^[Ь(() + дШ () - дут1(+1)] + ку;т(

-сут1(+1)Ф ([Ь(0 + дШ() - ду'т1(+1)]2 + ку/2(+1)^)+ Ьут2(+1)* дШЦ1)+ ¿(+1) + <2И)) +

+сут2(+1)* (Ь( + <1() + ¿(+1) + <2(+1))+ Ьут2(+1)Хкут(+1) + сут2(+1)хкут(+1) +

+Ьут2(+1)Ф ([Ь(0 + дШ1() + ¿(+1) + дут2(+1)] + ^^(+1)^)+ сут2(+1)Ф ([Ь(0 + дШ1() + ¿(+1) + дут2(+1) ] + кут(+1) -Ьпт(+1)* (Ь() + дш() ) - спт(+1)* (Ь() + дШ() ) - Ьпт(+1)хкпт(1+1) - спт(.+1)хкпт(.+1) -

-Ьпт(+1)Ф ([Ь(0 + дШ(.) ] + ^(.+1) ) - +1)Ф ([Ь(.) + дШ(.) ] + к,Л2т(+1) ) - Ьзтр+1)* (Ь(.) + дШ(.) + ¿(+1) ) --сзт(+1)* (Ь() + дШ () + ¿И))-Ьз^+1)хкз/т(+1) - сзт(+1)хкзт(+1) - Ьзт(+1)Ф ([Ко + <(0 + ¿И)] + кз -сзт(.)Ф ([Ь(.) + дШ (0 + ¿(.+1)]2 + <,+1)) = (Ьпо1(0 + Ьпо2(0)а(0*К.) +(Ьзо1(.) + Ьзо2(0)Ь(0*^0 +

+ (Ьпо1(-+1) + Ьпо2('+1) ) (Ь( + дш())*п(+1) +(Ьзо1С+0 + Ьзо2('+1) ) (Ь( + + )-¿з(+1) + + (спо1Н + Спо2(0 ) а(0*п(0 +(сзо1^ + Сзо2(0 ) Ь(')*з(') + (спо1('+0 + CпоT(■+1) )(Ь^ + дш{0)¿п(■+1) + + (Сзо1(+0 + сзо2('+1) ) (Ь(0 + дш(■) + ¿(+1) ) ¿з(+1) + Фс (Ьпо1( + Ьпо2(') ) ¿пW + Фс (() + ЬзоTW ) Ь()*з(0 +

5т(+1)

+фс (ь 1(. л + ь ^нь

тМ по1(+1) по2(+1) П

+Фс (■ +Фс (■

спо1(0 + спо2(0

сзо1(-+1) + сзо2('+1^

К

+ д/

))*п(+1)+ Фс(

+ Ьзо2(+1) )(Ь( + дш()+ ¿(+1))*з(+1)

+ Фс ('

+ д/+ Ь,. , , Н

ш() (+1))

+ сзо2(0 ) Ь^з^ + Фс ((.■ + ^ + с

■1(+1) "Г ипо2('+1) Н (ЬН + дш(0 Н ¿п{,■+1) ■

где 7п(о, г^, 2п(,+1), 2з(,+1) - расстояния от рельсов до центров масс передних и задних тележек 1-го и (/'+1)-го вагонов в режиме торможения, м; фс - коэффициент сцепления.

Спм11+У

гж^р^уж^

Спнш

Рис. 1. Статическая модель вагонов железнодорожного состава на ровной твердой поверхности Ш([), М(+1) - массы г-го и (г+1)-го вагонов, Шпм®, Шпм(г+1) - перераспределяемые массы г-го и (г+1)-го вагонов, Шпт(1), Шзт(г), Шпт(1+1), Шзт(1+1) -массы передних и задних тележек 1-го и (1+1) -го вагонов, Ьпм(г), Ьпм(1+1) - коэффициенты диссипации связей между перераспределяемыми массами и кузовами г-го и (г+1)-го вагонов, см), с„м(1+1) - жесткости связей между перераспределяемыми массами и кузовами г-го и (г+1)-го вагонов, Ьут1(г), Ьут2(г), Ьут1(г+1), Ьут2(г+1) - коэффициенты диссипации ударно-тяговых устройств г-го и (г+1)-го вагонов, сут1(г), сут2(г), сут1(г+1), сут2(г+1) - жесткости ударно-тяговых устройств I-го и (1+1) -го вагонов, Ьпт(г), Ьзтф, Ьпт(1+1), Ьзт(г+1) - коэффициенты диссипации передних и задних тележек г-го и (г+1)-го вагонов, спт(г), сзт(г), спт(г+1), сзт(г+1) - жесткости передних и задних тележек 1-го и (¡+1)-го вагонов, Ьпо1(1), Ьпо2ф, Ьзо1(г), Ьзо2(1), Ьпо1(1+1), Ьпо2(1+1), Ьзо1(г+1), Ьзо1(г+1) - коэффициенты

диссипации осей передних и задних тележек г-го и (г+1)-го вагонов, спо1(г), спо2(г), сзо1(г), сзо2(0, спо1(г+1), спо2(г+1), сзо1(г+1), сзо1(г+1) - жесткости осей передних и задних тележек г-го и (г+1)-го вагонов, Ь@, Ь(г+1) -базы г-го и (г+1)-го вагонов, а®, а(г+1) - расстояния от центра масс до центров масс передних тележек г-го и (г+1)-го вагонов, Ь(г), Ь(г+1) - расстояния от центра масс до центров масс задних тележек г-го и (г+1)-го вагонов, И®, И(г+1) - расстояния от рельсов до центров масс г-го и (г+1)-го вагонов, Им), к„м(1+1) - расстояния от рельсов до перераспределяемых масс I-го и (1+1) -го вагонов, Ипт(г), Изт(г), Ипт(г+1), Изт(г+1) - расстояния от центров масс вагона до центров масс передних и задних тележек г-го и (г+1)-го вагонов, Иут(г), Иут(г+1) - расстояния от центра масс до ударно-тяговых устройств г-го

и (г+1)-го вагонов, йутцг), йут2(1), йут1(1+1), йут2(1+1) - расстояния от центров масс тележек до ударно-тяговых устройств г-го и (г+1)-го вагонов, йш(г) - расстояния между ударно-тяговыми устройствами г-го и (г+1)-го вагонов, гпо(г), Ъзф, 1по(г+1), &ф+1) - расстояния от рельсов до центров масс передних и задних тележек г-го и (г+1)-го вагонов в стационарном состоянии

Рис. 2. Динамическая модель вагонов железнодорожного состава при торможении

276

Л1ф

тшаа МШд-'Я^М

"Шд-г/

тшИНд-'г)

□и1,. (д- .'■'

Рис. 3. Схема действия сил и моментов на подвижной состав при торможении

Если представить систему уравнений (1) в виде дифференциального уравнения в векторно-матричной форме [6]. Инерционные, жесткостные и диссипативные коэффициенты уравнения являются решениями матриц (2), (3) и (4):

А - матрица инерционных коэффициентов:

А. I

(2)

(3)

А о

А = 0

_ А31 А32 А33

- матрица диссипативных коэф( ициентов:

В11 0 В13

В = 0 В22 В23

В В В _ 31 32 -°33 _

матрицы коэффициентов жесткости:

С 0 С I

С = 0 С22 С23

С С С ^31 32 ^33 _

Элементы матриц определяются по следующим зависимостям:

А,, =-| М( Л + т ( Л+т ( Л+т ,л +М(. 1)+т ,,+т (+ Л+т

11 I (') пм(.) пт(г) зт(г) (.+1) пм(.+1) пф+1) зт(г+1)

А,, = т ( лх ( л +т ( Ла(л -т ( ЛЬ(л -т

13 пм( /) п(/) пт(/) (/) (.1

зт(,Г(.') "'пм(,-+1) [Л) + Л'ш(,■) + %+ 1) Хп(,-+ 1)

-т ( . 1) 1 Ь( л + d/ ( л I - т ( . 1) 1 Ь( л + d/ ( л + а( . 1) +Ь( . 1) I,

пт('+1)_ (0 зт('+1)Ь (0 ш(0 ('+1) (.+1)]'

А22 = М(л +т ( л +т ( л +т ( л +М( . 1) +т ( . 1) +т ( . 1) +т ( . 1),

22 (.) пм(.) пт(.) зт(.) (.+1) пм(+1) пт(.+1) зт(.+1)

А23 = т

23 пм(/)

/') |кпм(/) к(/') J ,/1пт(/)/4пт(/) "*зт(/)'4зт(/)

- т , ,к

-т ,,к ,,, +т

«(,■+1) ^+1) А(о

тпт(,+ 1)кпт(1+1) тзт(.. +1)кзт(,+1),

м(,+1)

А31 = да ( лх ( л +т ( ла( л -т ( ЛЬ( л -М( . 1)|Ь( л ( л +а( . 1)

31 пм(.) п(.) пт(.) (.) зт(.) (.) (.+ 1)| (.) ш(.) (.+ 1)

1 Ь(л + d/ (л +а( . 1)- х (. 1) I - да (. 1) 1 Ь() +d/ (л I - да (. 1) 1 Ь(л () + а( . 1) +Ь, А32 = т ( Ли (л - к!л I- да ( лк' (л - да ( лк' (л + да ( .+1) 1 й'( .+1) - й/ л I

32 пм(.) I пм(.) (.) I зт(.) зт(.) пт(.) пт(.) пм(.+1) I пм(.+1) (.) I

(■+1)

-т (+1)к (+1) - да (+1)к (+1),

пт(+1) пт(+1) зт(+1) з^^)

Д3 = т ,,

з3 пмш

(( - к(())

(

+ х

пМ

^ О *^пт(() *^зт(') ^ (+1) Jпт/'+l) *^зт(/'+1)

м(-+1)

- к()) +(

( + dш/■) + а(+1) Хп(+1) )

^11 =

^пмО + Ьутl/■) Ьуг2/■) + Ьпт(,-) + Ьзг/■) + Ьпм(+1) + Ьут1(+1) Ьут2('+1) + Ьпг/■+l) + Ьзг/■+l) J ^^^ ^^

В13 =

-Ьпм(,■)Хп(,■) - Ьпт(,■)а(,■) - Ьт(() _d+ а(.) J - Ьут2(/) _^(О + Ь(.) J + +Ьзта)Ьа) + Ьпм(.+1) [Ь(о + < (.) + а(.+1)- хп(.+1) J- ЬyTl(,■+l) _Ь(.) + dш (.)- ^ПН) J- ф.

_Ьут2(/+1) [Ь(.) + dш(.) + 1(.+1) + dУT2(,■+l) J + Ьпг(,■+l) [Ь(.) + dш(.)1 + Ьзт(.+1) [Ь(.) + dш(.) + 1(.+1) J

В22 =-| Ь ( л + Ь 1( л -Ь 2( л + Ь ( л + Ь ( л + Ь ( . 1) + Ь 1( . 1) -Ь 2( . 1) + Ь ( . 1) +Ь ( . 1) !со8ф,

22 I пм(.) ут1(.) ут2(.) пт(.) зт(.) пм(.+1) ут1(.+1) ут2(.+1) пт(.+1) зт(.+1) I ^

277

(4)

В23 =

)К*) - ^)) ■ "уг*)"*0 "угад"*«г "»(,г40 ' ^зтСГ'зтС)

+ь „Ли' -ь „,лн'+ь ,лн' + ь ,лн' -

-ь

| (ЦПм(!+1) Ц('+1) )

-й/.„,) + ь л„,+ ь

-ь ,ЛИ' ,.„,+ ь „.„й'

[(/+1)\ пм(/'+1) ('+1) / ут1(/'+1) ут(/'+1) ут1(/'+1) ут(/'+1) пт(') пт(/'+1) зт(/'+1) зт ('+1)

cosф,

В31 =-ь ,лх ,л -ь + <

'31" "пм(()лп(() "уг1(0 V (0 ут1(')

( + </,(Л + х (. .,) + ь

((1())) 2()(ь() + < 2() )-ь ()а()+ь ()ь(.) +

V () Ут1() Ут2(Д () ут2(<)/ пт() () зт() ()

)+ ьут1(+1) ('

ь() +<' ()- <'

ш1й ((+1) п(+1) ^ ш() ут1(/+1)

))

-ь

В32 = -ь

32 ]

( + <х „л + ь.,л + <

ут2(+1) (((^ "ш1(() ^ *1"+1) ^ "уг2(<+1) ) + ьпт(+1) () + <ш() ) + ьзт(+1) () + <ш(() + Ь(+1) ) ,

о) +ьут1(/)йуут() ьут2()Йут() + ьпт()Йпт() + ьзт()хЙ:^т() ьпм(+1) (йпм(+1) Й( 1ут1('+1)Йут('+1) - ьут2(-+1)йуут(+1) + ьпт(-+1)Й1тт(-+1) + ьзт(/+1)йзт(/+1),

33 пм(() | \ пм() (()

В33 = -ь„.()| (.л-й/..)) + х

п()

'ут1(0 ; _"(() + <Утад ] + <(,-) ) - ьуг2(г) (^[ь() + <2(() ] + <() | -

+ь ( л (а(2) + й/2( л)+ ь ( ')(ь(2)+ й/2( л)ь ( 1) I (й' ( 1) - й(( 1)) + ( + <,(.

пт(/Д (/) пт(/) / зт(/Д (/) зт(/) / пм(+1) | \ пм(+1) (+1) / \ (') ш1(/

1(/) + а(/+1) Хп(/+1)) ' +

^ут1( /+1)1 _"(/) + <1П(/) <ут1(/+1)] + йуг(,+1) 1 ьут2(+1) ( |_ь() + <ш1() + Ь(+1) + <ут2(<+!)] + йут(,+1)

)] + ^((+1))"

+ь ( 1)(Гь,.,+<(Л] +й/2(.1)) +ь(. 1)[[ь(Л + <()+ь(. 1)] + й

пт(+1Д_ () ш()| пт(+1) зт(+1)1 _ () ш() (+1)1 ;

(+1)

С11 = I с ( л + с 1( л - с 2( л + с ( л + с ( л + с ( ' 1) + с 1( ' 1) - с 2( ' 1) + с ( ' 1) + с ( ' 1) |sinф,

11 _ пм(/) ут1(/) ут2(/) пт(/) зт(/) пм(/+1) ут1(/+1) ут2(/+1) пт(/+1) зт(/+1) I т'

С13 =

спм(,-)хп(,-) спт()аС) сут1() _<у/т1(") + а() 1 сут2() + ь(() ^ +

+с~(/)ь(/) + спм(/+1) [ь(/) + <1П(/) + а(/+1) хп(/+1)1 сут1(/+1) _ь(/) + <1П(/) <уут1(/'+1)

сут2(+1) _ь(() + <1п(') + Ь(+1) + <ут2(+1)

| + с ( 1) I ь() + <() | + с (. 1) I

I пт(+1)_ () ш()| зт(+1)_

+ <'+ь,.

С =

23

(V ш() 1 ^ зт(+1) ^(+1)

С22 = - I с ( л +с 1( л - с 2( л +с ( л +с ( л +с ( ' 1) +с 1( ' 1) - с 2( ' 1) + с ( ' 1) + с ( ' 1) |cosф,

22 _ пм(/) ут1(/) ут2(/) пт(/) зт(/) пм(/+1) ут1(/+1) ут2(/+1) пт(/+1) зт(/+1) I т'

V пм(') ('))

Sinф,

спм(/') ( Йппм^') Й(/') ) сут1(/)йут(/) сут2(/)Йуут(/') + спт( /)Йпгт(/) + сзт(/)йзт(/')

л

спм(+1) (йппм^ 1) Й(+1) ) Cуг1/■+1)h:уг/■+1) + сут1(,+1)Йут(,+1) спт/■)h//т/■+1) + сзт('+1)йзт( С31 = "Cпм/)Xп/) - сут1() (а(() + <^1() ) - сут2() (ьй + <5-т2() ) - Cпт/■)а,/) + сзгг(Р() + спм(+1) (ь( + <1П1( + а(+1) - Хп(+1) ) + сут1(+1) (ь( + <1П(■) - <1/т1(+1) ) --сут2(+1) (ь( + <1П1( + Ь(+1) + <ут2(+1) ) + спт(+1) (ь( + <1П(■) ) + сзт(+1) (ь( + <ш() + Ь(+1) ) ,

cosф,

С32 спм(')

) Cутl/)h;'т/) Cут2/)h;'т/') + Cпт/')h//т/') + Cзт/)Xhзт/') спм('+1) /h//м/'+l) Й(/+1) ^ +

+Cутl/'+l)h;ут/'+l) Cут2/'+l)hу/т/'+l) + Cпт/■+l)hI/т/■+l) + сзт(/+1)Йзт(/+1),

"'33 пм() | X пм() (')

С33 =-сп..()| (/г1.(.л - й((.)) +х.

+ суг1() I _а() + <1(0 ] + I - сут2() I _ь(,-) + <ут2(')

([ь(,)+< ^о]2

+с ( л (а2) + й/2( л) + с ( л (ь(2) + й/2( л)с ( 1)1 (йп (. 1) — к. 1)) +()+ </1(Л+ а(* 1) -Х(. 1)) ] +

пт(/П (/) пт(/) ! зт(/П (/) зт(/И пм(+1) ^ пм(+1) (+1) I \ (/) ш1(/) (/+1) п(/+1) / I

, 1) I I ь() + <шш(■) - <^1(.+1) ] + ^(,.+1) || - суТ2(+1) ( [ьW + + Ь((+1) + <уг2(-+1) ] + . 1) I +

+с

<ш ()]+Се+1))) 1)[|>(()+<ш (

+ь

+й/-

[т('+1Д_ (') ш(')] пт(/+1) / зт(+1П _ () ш(') (+1)] зт(+1)

Влияние вынужденных колебаний на величину угла тангажа кузова вагона определятся с помощью решения двух матриц:

Б - матрица, определяющая векторы скоростей возмущений:

(5)

Б =

(Ьзо1() + Ьзо2(/))

(Ьпо1(,+1) + Ьпо2(+1))

(Ьзо1(,+1) + Ьзо2(+1))

(Ьпо1()+ Ьпоад) (Ьзо1()+ Ь

Фс (Ьпо1() + Ьпо2(.) ) (Ьзо1(,) + Ьзо2(.) ) Фс (Ьпо1(,+1) + Ьпо2(+1) ) Фс (Ьзо1(,+1) + Ьзо2(+1) ) Ф.

(Ь 1()+ Ь -м) (Ь 1() + Ь -м) (Ь 1( 1) + Ь 2(. ^х

\ по1() по2(г) / \ зо1() зо2(И \ по1(+1) по2(+1) I

Х(фс к() +Ь())

(Ьзо1(,+ 1) + Ьзо2(+1) ) Х

Х(фс к() +«()) Х(фс к() + Ь(,))

Е - матрица, определяющая векторы возмущений:

' Фс^) +Ь(.) + ^

+d' + 1,

(') ('+1)

Е =

(

Спо1(..) + Спо2(..)

) (Сзо1(,) + Сзо2(/) | ('

Спо1(-+1) + Спо2('+1)

)(

Сзо1(+1) + Сзо2(-+1)

)

фс (Спо1(,) + Спо2(.) ) (Сзо1(,) + Сзо2(.) ) фс (Спо1(,+1) + Спо2(+1) ) фс (Сзо1(,+ 1) + Сзо2(+1) ) фс (Спо1() + Спо2() ) Х (Сзо1() + Сзо2() ) Х (Спо1(,+ 1) + Спо2(+1) ) Х

(6)

(()+ а(())

х(фс к()+ Ь(

х|фс к!) + Ь() + d/ ()

)

+ Сзо2(+1) ) Х

' Фск() + Ь(0 + ^ +d/ (Л+ Ь.

ч Ч') ('+1) у

Для определения колебаний и ускорений вагона подвижного состава относительно трех координат х, г, ф необходимо использовать общие дифференциальные уравнения колебательной системы [7]:

d2 г dz

тпр1—- + + Ьпр1 — = М , Л+М ,Л + М ,„ ,+М

пр1

d х2

пр1 1 пр1

d х

п()

В(()

п((+1)

1з((+1)>

d2 х dХ тпр2 —г + спр2х + Ьпр2 — = М ,., + М,л + М„

пр2

3п

d х2 d 2ф Л2"

пр2 пр2

d х

п(0

«О

[(.Ч-1)

+М

(7)

,(;+1)'

+ Спр3Ф + Ь

пр3

d ф d х

= М + М ,, + М

п(')

п(+1)

+М

где тпр1, тпр2, Зпр - приведенные инерционные коэффициенты системы общих дифференциальных уравнений колебательной системы (7) в вертикальной, продольной и угловой координатах соответственно, кг, кг*м2; спр1, спр2, спрз - приведенные жесткостные коэффициенты системы общих дифференциальных уравнений колебательной системы (7) в вертикальной, продольной и угловой координатах соответственно, Н/м; Ьпр1, Ьпр2, Ьпр3 - приведенные диссипативные коэффициенты системы общих дифференциальных уравнений колебательной системы (7) в вертикальной, продольной и угловой координатах соответственно, (Н с)/м; Мвп(.), Мвз(г), Мвп(¡+1), Мвз(¿+1) - возмущающие моменты, возникающие в процессе взаимодействия колес передних (задних) тележек /-го и (/+1)-го вагонов с рельсом в процессе торможения, Н м; т -время колебания системы, с.

Уравнение изменения линейных и угловых перемещений колебательной системы:

^ ^ Ь ^ ^

пр1

Ьпр1т

"пр1

V

(Ь ^

V тпр1 У

"пр!

"пр1

V ( Ь ^

утпР1у

Т +

^пр1

"пр1

' Ьпр1 ^

V тпр1 У

V тпр2 У

2

пр2

пр2 У

пр2

"пр2

пр2 У

' Ьпр2 ^

Т +

' с

пр2

' Ьпр2 ^

кп^п (С0по(от- ¥ви) +

+к12^П (Юз0()т - ^В12 ) + +¿13^ (с0пО(+1)Т - Ув13 ) +

+кмЯп (с0зо(ит - Ув14 )

к21 (ЮпойТ - ^в21 ) + +¿22 ^ (Юз0()т - Ув22 ) + +к23^П (Юпо/+l)Т - ^в23 ) +

+k24sin (С0зо(+1)т - ^24 )

г = е

Л

т

т

х = е

Ф = е

Ф0

+Ф0 соэ

(«„(,)т - Ув31) +

+k32 ЭШ («зо^т - Ув32 ) + +к33 (®по(+1)Т - Ув33 ) + +k34 («зо(+1)Т " Ув34 )

(8)

где то, x0 - начальные значения вертикальной и продольной координат, м; ф0 - начальные значения угловой координаты, град.; кц - амплитуды вынужденных колебаний; «по( о, «зо( о, «М .+1), «зо( ш) - вынужденные частоты осей передних и задних тележек . -го и (М^го вагонов, Гц; у у - сдвиг фаз между возмущающими моментами осей и колебаниями этих осей, град.

Величины амплитуд кц и сдвигов фаз уц вынужденных колебаний определяются из следующих зависимостей:

М 0,

тЛ. 3пР)

"пИОО

тпр.( 3пр)

2ю,

+ 4ю1

тпрД 3пр)

(9)

(10)

^в„ =

"пД 3 пр)

"пД 3 пр)

где I - индекс направления действия колебаний: вертикальные (1); продольные (2); угловые (3); ] - индекс, характеризующий действия вынужденных колебаний на оси: передняя ось . -го вагона (1); задняя ось ьго вагона (2), передняя ось (Ш^го вагона (1); задняя ось (Ш^го вагона (2).

Ускорения изменения линейных и угловых ускорений колебательной системы:

"п.1 У V "т

т,2

Ф0Ьп,

"п,1

кп«шМ8Ш(«по(Т- ув11 +к12«2о( 0в1п («зо(,) т - ув1. 13шш,(.+1

"Щ2 У V "ПЦ

к21«по() эт («по() т - ув21) + +к22«,2оМ8т («зо( т - ув221

+ к23«по(+1 ) («поЬ+1)т - у.

к31«по(;) («поИт - ув31 ) + +к32«2о(;) эт («зо() т - ув32) н + k33«По/+1)Sin («по(+1)т - Ув3 + к34«зо(+1)™ («зо(+1) т - Ув3.

к

ч

Ь

Чтт1т

Для определения приведенных инерционных, диссипативных и жесткостных коэффициентов были составлены матрицы согласно системе дифференциальных уравнений колебательной системы (7):

бой:

тпр1 0 0 Ьпр1 0 0 спр1 0 0

А = 0 тпр2 0 , (10) В = 0 Ьпр2 0 , (11) С = 0 спр2 0 , (12)

0 0 ^пр 0 0 Ьпр3 _ 0 0 спр3 _

"Ьц Ь12 Ь13 Ь14 с11 с12 с13 с14

Б = Ь21 Ь22 Ь23 Ь24 , (13) Е = с21 с22 с23 с24 (14)

Л Ь32 Ь33 Ь34 _ _с31 с32 с33 с34 _

При равенстве матриц (2)-(6) и матриц (10)-(14) члены матриц должны быть равны между со-

приведенные инерционные коэффициенты

ппр1 = I М1Л + т + т (Л + т (Л п , „, (. ^ , „, (. п , „, (.

пр1 I /) пм() пт/) зт() (+1) пм(+1) пт(г+1) зт(+1)

''пр2

т.пр1 =| М() + т () + т () + т() + М( 1) + т (. 1)+ т ( 1) + т

пр1 I /) пм() пт/) зт() /+1) пм(+1) пт/+1) зт

тпр2 = -[М(.) + т () + т () + т () + М(. 1) + т (. 1) + т (. 1) + т (. 1)

пр 2 I () пм() пт/) зт() /+1) пм(+1) пт/+1) зт/+1)

^пр = тпм(,)

/И () - к! л)х: V пм(') (•)) п

"}(•) ^пт/) ^(¡+1) ^пт(1+1) Jзг(I■+1) '

-т ( (к'( 1) -к/) + /Ь(Л + ^ () + а(. 1) -х ( 1)

пм(+1) I \ пм/+1) (1)1 \ /) ш() (+1) п/+1)

приведенные диссипативные коэффициенты

Ьпр1 = [Ьут2(<) - Ьпм(!) - ьут1(,) - ьпт(0 - Ьзт(!) - Ьпм(!+1) - Ьут1(<+1) + Ьут2(1+1) - Ьпт(!+1) - Ьзт(■ Ьпр2 = [Ьпм() + Ьут1() - Ьут2() +Ьпт() + Ьзт() + Ьпм(+1) + Ьут1((+1) - Ьут2(+1) + Ьпт(+1) +Ьзт(+

Ьпр3 = Ь ^(м-к/) + х2 -Ь ^[[а/ + й'(.)] +к/2()| + Ь 2()|Гь(.) + й'(.)] +к

прЗ пм/)П пм() п() ул/) I ь /) ут1/) J ут() I ут2() I | /) ут2(1)] :

/2

уф')

1)- к/+1))2+(

Ь,Л ,,л + а,.,,> -х ,

Ьп-(,)/а(,-) +кпг(,)) Ьзт(/) /Ь() + Изт(;)) + Ьпм(+1)[^''пм/+1) "(<'+1)У ' ' "ш1(<) ' "(;+1) лп(;+1)

]2 +к2(+1)] + Ьут2(+1) ([Ь(() + йш1(() + ¿((+1) + йут2/'+1)] Ьпт(,+1) () + ^ш() ] + к^(, + 1) ) " ЬЗХ^ 1) ([Ь(0 + йш/) + V1) ] + к

гт/ +1)

приведенные жесткостные коэффициенты

Спр1 =[сут2(!) Спм(<) сут1(!) Спт(<) сзт(;) спм(1+1) Сут1( ■+1) + сут2(1+1) Сзт(<+1)lslnф,

Спр2 = [Спм(<) + Сут1( ¡) Сут2(<) + Спт(<) + Сзт(<) + Спм(<+1) + Сут1(<+1) Сут2(<+1) + Спт(<+1) + Сзт(<+1) I Ф , 2

спр3 = с ,л (к' -)

пр3 пм(/) ^ пм(/)

|[/к^) - к/))2 + хп(,)2 ]- СУП(,) ([а(0 + <1(,)] 2 + кН,)) + Сут2(г) ([Ь(0 + й у.2(,)] 2 + И

П 1-•ут/'О I

-с ( л/а(2л + л)-с ( л/ь(2л + И/2( л) + с ( 1) 1 /ип ( 1) - И/. 1)) +!

—•'•М (¡) пт((Н зт/) у (¡) зт(гм пм(+1) I у пм/+1) /+1) I у

т('Д (') пт(')

Ь1Л+й > -х ,

(¿У ''зт/ пм(+1) пм/'+1) "((+1^ ^ У ('0 ('■+1) п('+1)

22

■и ■ 1,!Г/,+йШ ( Л ■1) Г +И/2(.1)]+с ^МЬ^^+^+й 2(1)]2+ И'2.,!-

ут1('+1П [ (г) ш() ут1(г+1) ] ут(+1М уг2/+1) [ /) ш1() (+1) ут2(+1)] ут/+1) I

-с

( 1)/[ь(Л + й'()] +k'2( 1))-с (Л|[Ь(л +й!( л +Ь(■ 1)] +к/2( ■ 1)

[т/+1И[ () ш/)] пт(+1) / зт(гП [ (I) ш() (+1)] зт(г+1)

приведенные диссипативные коэффициенты для скоростей возмущений

Ь„ =-(ь .() + Ь 2()), Ь„ =-(Ь .() + Ь 2()), Ь13 =-(Ь 1) + Ь 2(. .)), Ь4 =-(Ь 1) + Ь 2(. 1 )),

1 1 у по 1 /) по2/) / 1 2 у зо 1 /) зо2() 1 3 у по1 (+1 ) по2/+1 ) I 1 4 у зо 1 /+1 ) зо2(+1 ) I

Ь21 = -Фс (Ьпо1( ,) + Ьпо2(,) ), Ь22 = -Фс (Ьзо1(,) + Ьзо2(,) ) Ь23 = -Фс /Ьпо1^ 1) + Ьпо2(+1)) , Ь24 = -Фс (Ьзо1(+1) + Ьзо2(-+1)) , Ь31 = -/ФсИ/)) + а(,))/Ьпо1() + Ьпо2()) Ь32 = - /() + Ьзо2(/) ) /(^сИ/) + Ь()■) ) , Ь33 =- (Ьпо1(-+1) + Ьпо2(+1) ) (ФсИ/-) + Ь() ),

ь34 =-/(.„ + ь

- - /Ьзо1(,+1) + Ьзо2(+1) ) /Фск(1) + + (■) + ЦМ) ) ,

приведенные жесткостные коэффициенты для возмущений

281

сп = -(спо1(Л + с

1(;) 1 по2()

) , с12 =-( Сзок.л+С.

1(..) 1 зо2(

с13 = -(спо1(..,л + сп

)), с14 = (Сзо1(+1) + Сзо2(+1) ) ,

"13 _ \11-по1(-+1р по2(/+1)/' ^14 _ \1-зо1(-+1р зо2(+1)) с21 = -фс (Спо1() + Спо2()), с22 = -фс (Сзо1(() + Сзо2() ) . с23 = -фс (Спо1(+1) + Спо2(+1) ) , с24 = -фс (Сзо1(+1) + Сзо2(+1) ) , с31 = (спо1( + Спо2() ) ( фс к(г') + а() ) , с32 =-( Сзо1() + Сзо2() ) (Фск() + Ь() ) ,

с33 = -(с 1(. , + с 2(1))(фск(/.)+Ь( ■)+d/( л),

33 I по1(+1) по2(+1) П тс (.) (.) ш(.) Р

с33 (Сзо1(+1) + Сзо2(+1)

)(Фск(^ Л:

о + d// м+^О.

Если в подвижном составе с Ж-ым количеством вагона с и-ым количеством осей, тогда уравнения изменения перемещений по трем координатам -го вагона определены из следующих зависимостей:

( ( и Л Л

г = е

пр1

V "пр! У

(, Л2 (и У

пр1

V "пр! У

+г0 соэ

пр1

V "пр! У

(с У

"пр!

V "пр! У

( Ьпр!

V "пр! У

( с "пр!

V "пр! У

( Ьпр!

V "пр! У

х = е

(Ь Л V "пр2 У

-эт

(с Л2

пр2

" 2

V пР2 У

+х0 соэ

пр2 " 2

V пР2 У

Л2 (и Л2

пр2

V "пр2 У

пр2

V "пр2 У

(, Л2 (и Л2

пр2

V "пр2 У

пр2

V "пр2 У

k11S1n (®по(0т - Ув11 ) + +к12 Э1П («зо( 0т - Ув12 )+ ... +к1(и-1) 51П («по(и-1)т - Ув1(и-1)) + +к1(и) 81П («зо(и)т - Ув1(п))

к21 Э1П («по( 0т - Ув21 ) +

+к22 Э1п (Юзо(0т - Ув22 ) + ...

+к2( 1)э1п (« ( 1)т - у 2( 1)) +

2(и-1) у по(и-1) т в2(и-1) /

+к2( ) э1п (« ( )т - у 2( ))

2(и) у зо(и) т в2(п) /

Ьпр1т

Л

Ь

т

пр2

Ф = е 3пр

(Ь Л

пр3

V 3пр У

Ф0

(с Л2 (Ь Л2

пр3

V 3пр У

пр3

V 3пр У

Х Э1П

(с Л2 (и Л

пр3

V 3пр У

пр3

V 3 пр У

+Ф0 соэ

V

(с Л2 (Ь Л

пр3

V 3 пр У

пр3

V 3пр У

к3131п (юпо(0т - ув31) +

+к32 ЭШ («зо( 0т - ув32 ) + ...

+к3(и-1) 8Ш («по(и-1)т - ув3(и-1) +к3(и) («зо(и)т - ув3(п))

У

(15)

Уравнения изменения ускорений по трем координатам -го вагона определены из следующих зависимостей:

Ьпр3т

у "V

т,

пр1

( Ьпр1

V тпр1 У

3,

( с А2

пр1

пр1

( Ьпр1

пр1

( с А2

пр1

V тпр1 У

( ь а2

пр1

V тпр1 У

Sin

( с V

пр1

V тпр1 У

( ь 1 а2

пр1

V т пр1 У

т -

(ь а2

пр1

V тпр1 У

Л

( с А2

пр1

пр1

(ь а2

пр1

пр1

cos

(с А2

пр1

пр1

(ь А2

пр1

пр1

+^11Юпо(,) sin(®по(,)Т - Шв11) + ^12®з2о(,)«П (®зс(,)т - Шв12 ) + ...

+к1(п ,)юпо(„ ,)sin (юпо(п 1)т -

1(п-1)шпо(п-1)л1" (по(п-1) и ~ Шв1(п-1) ) + ^^(п)^ (Юзо(п)т - Шв1п ),

^ - ^ '""Р2

х ь

0 пр2

т

пр2

( ьпрз Л2

V тпр2 У

2

пр2

( ьпрз

пр2 У V тпр2 У 2

Г „ V Г и V

пр2

V тпрз У

пр2

V тпрз У

( ь А

пр2

Sin

( с А2

пр2

V т"рз У

( ь а2

пр2

V тпрз У

т-

т

пр2

с

пр2

т

пр2

(Ъ А пр2 2 cos С2Р2 ' 2 (ь А пр2

4

V тпр2 ) VI тпр2 ^ V тпр2 У

+к21ЮПо()) sin (Юпо(,)Т - Шв21) + ^Юф)^(Юзо(,)т - Шв22 ) + ... +к2(п-1)ЮПо(п-1)^П (Юпо(п-1)т - Шв2(п-1) ) + к2п^п)™ (Юзо(п)т - Шв2п ),

ф = е

Фо

( ьпрз ^

V 3пр У

(ь а2

прЗ

V 3пр У

3.

" с V пр3

V 3пр У

( ьпрз

V 3пр У

г- V (и V

прЗ

V 3пр У

прЗ V 3пр У

Sin

^ с А2

-прЗ

V 3пр У

( ьпрз А2

V 3пр У

т -

-Фо

(ь А2

прЗ

V 3пр У

^ V (и V

прЗ

V 3пр У

прЗ

V 3пр У

cos

К с А2

прЗ

V 3пр У

( ь З А2

прЗ

V 3пр У

(16)

+кЗ1ЮПо(,-) sin - ШвЗ1) + ^Юф)^ - ШвЗ2 ) + ...

+кЗ( 1)со2 ( (Ю ( 1)т - Ш З( 1)) + &З„Ю2 ( (Ю ( .т - швЗп ).

З(п-1) по(п-1) \ по(п-1) т вЗ(п-1) Зп зо(п) \ зо(п) т вЗп I

Приведенные коэффициенты систем уравнений (15) и (16) определяются из зависимостей: приведенные инерционные коэффициенты:

N N п п

^ т ( Л +! т

пт()) '

1=1

N N п

т

тпр1 =

тпр2 =- IМ _ )=1

N

тпм()) ( ) \ пм())

ЕМ(т ( т ( т ( л

( I) / ' "м( )) / 1 пт( )) / 1 зт(.)

/=1

п

пм() пт(() зт()

1=1 1=1 1=1

)

п(1)

1=1

N п п

- I 3()) - I 3пт()) - I 3зт()),

1=1 1=1 1=1

(17)

(18) (19)

. 1 М() - сумма масс I-ых вагонов подвижного состава, кг; I | 1 тпм() - сумма масс I-ых перемеща-

. 1 тт()) - сумма масс передних тележек I-ых вагонов по-28З

т

-г

0

4™, т

т

сумма масс задних тележек ■-ых вагонов подвижного состава, кг;

.2.

сумма моментов

Е1Ч

т ,ч

;=1 зт(;)

ZN . - сумма моментов инерции ■-ых вагонов подвижного состава, кг*м2. V" J ,,

1=1 (() ¿—ч=1 пт/)

2 N т

инерции передних тележек ■-ых вагонов подвижного состава, кг*м ; V ■ 1 Jзг/■) - сумма моментов инерции

задних тележек ■-ых вагонов подвижного состава, кг*м2. И - расстояние от поверхности качения колеса до центра масс для рассчитываемого вагона, м. к/им() - расстояние от рельсов до перераспределяемой массы для ■-ого вагона, м. хп® - расстояние от центра масс рассчитываемого вагона до перемещаемой массы ■-го вагона.

приведенные диссипативные коэффициенты:

N N N п п

V ^(с)-! Ьпм (О ут1(1) пт/Л зт/

Ьпр1 =

Ьпр2 =

ут?/) / , пм( ?) / , ^ут 1 (?■) / , пт( ?■) / , эт/)

. ■ = 1 /=1 /=1 /=1 /=1

N N N п п

V Ьпм (/) ут1(/) ^^ ут2(/) ^^ пт

Slnф>

cosф >

(20) (21)

N Г 2 N N

Ьпр3 =! Ь ( Л [ /И (Л - к/) + х( 2 -V Ь 1( Л/ х21( Л+ И/2( ,) + ! Ь 2( Л/ х22( ,+ к/2( ,)-

пр3 ^ пм( ^ И пм()) ) п()) ^ Уг1()Д уПО) ут/) / ут2()Д уг2()) ут/) /

/=1 ^ J /=1 /=1 (22)

-УЬ ( л/х2(,+ И/2(^-УЬ ( ■)/х2(.)+ к/2(,),

/ ' пт()Д пт/) пт( < м / , зт()Д зт()) зт()) Р /=1 /=1

где VЛ=1 Ьпм(;) - сумма диссипативных коэффициентов ■■ -ых кузовов вагонов подвижного состава, (Н с)/м; VЛ=1 Ьут1/) - сумма диссипативных коэффициентов передних сцепок ■-ых вагонов подвижного состава, (Н с)/м; VЛ=1 Ьут2/) - сумма диссипативных коэффициентов вторых сцепок ■-ых вагонов подвижного состава, (Н с)/м; V Л=1 Ьпт/)- сумма диссипативных коэффициентов связей передних тележек и рам )-ых вагонов подвижного состава, (Н с)/м; V^ Ьзт/) - сумма диссипативных коэффициентов связей задних тележек и

рам )-ых вагонов подвижного состава, (Н с)/м; х^щ - расстояние от центра масс рассчитываемого вагона до передней сцепки )-ого вагона, м. х^о - расстояние от центра масс рассчитываемого вагона до задней сцепки ■-ого вагона, м. И/ут(1) - расстояние от центра масс рассчитываемого вагона до автосцепки ) -ого вагона, м. хшо) - расстояние от центра масс рассчитываемого вагона до передней тележки ) -ого вагона, м. хзто - расстояние от центра масс рассчитываемого вагона до задней тележки ■-ого вагона, м. И/ш() - расстояние от центра масс рассчитываемого вагона до передней тележки )-ого вагона, м. И/зт(г) - расстояние от центра масс рассчитываемого вагона до задней тележки -ого вагона, м. приведенные жесткостные коэффициенты:

N N N п п

V суТ2(е)-Е с™ О) ¿-1 ут1(0 пт/) А., зт/)

1=1 N

1=1 N

1=1 N

Ес + У с - Т с + У с + Т с

пм(/) ¿^ у-1( Л / , у.т2( А / , пт( А / , зт(/)

спр3

V с () [ /И ()-И ) + х2

У ' пм() I \ пм() / п()

1=1 1=1 2

Slnф , cosф,

"V сутю/ х2.1()+ иу2

ут1() ут()

\ N /

)+? сут2(-) !

Х 2 + И/2 ут2() ут(')

)

(20) (21)

(22)

Ес ( ■)/х2(.)+ И/2( ■))-ГГс ( Л/х2(Л+ И/2( л),

пт()Д пт()) пт( А 1 / , зт()Д зт()) зт()) у

/=1 /=1

где VЛ=1 спм( ) - сумма жесткостных коэффициентов ■-ых кузовов вагонов подвижного состава, Н/м. VЛ=1 с^ф) - сумма жесткостных коэффициентов передних сцепок ■-ых вагонов подвижного состава, Н/м. VЛ=1 ^уй/о - сумма жесткостных коэффициентов вторых сцепок ■-ых вагонов подвижного состава, Н/м. V Л= 1 спт/.) - сумма жесткостных коэффициентов связей передних тележек и рам ) -ых вагонов подвижного состава, Н/м. V Л= 1 сзт/) - сумма жесткостных коэффициентов связей задних тележек и рам ■-ых вагонов

подвижного состава, Н/м.

приведенные диссипативные коэффициенты для скоростей возмущений:

1(")

ь1(Л = -/ьпо1()+ь.

1(е)

°2(е)

), (23)

=-(ь

,+Ь

)), (24)

Ь1( ) = -(Ь к )+Ь .( )

1(п) \ по1(п) по2(п)

),(25)

Ь2(0 = -Фс /Ь„01() + Ьпо2(е) ), (26) Ь2(+1) = -Фс (Ьзо1(+1) + Ьзо2(+1) ) , (27) Ь2(п) = -Фс /Ьпо1(п) + Ьпо2(п) ) (28)

К)) = + Х()) ) + Ъпо2(l)), (29) = ^зо^) +Ъзо2(i+1))(фсh' + X(l+1)), (З0)

ьЗ(п) = -(+ЪП02(B))(Фс^ +х(п)) , (З1)

где ьпол^о) - коэффициент диссипации передней (или задней) оси )-ой тележки, (Н с)/м; Х() - расстояние от центра масс рассчитываемого вагона до центра )-ой тележки, м;

приведенные жесткостные коэффициенты для возмущений:

с1() = (спо1()) + спо2()) ) , (З2) с1()+1) =-( сзо1()+1) + сзо2()+1) ) , (ЗЗ) с1(п) =-(спо1(п) + спо2(п)) ,(З4)

с2() =-Фс (сио1()+спо2()),(З5) с2(+1) =-Фс (сзо1(+1)+сзо2(+1)) ,(36) с2(п) =-Фс (по1(п) + спо2(п) ) , (З7)

с3(Л=-(фсй/ +х( л)(с 1()+с 2( л), (38) сЗ(1)=-(с 1(1)+с 1)|(фсЛ/ + х(. 1)), (39)

З() \ тс (')/ \ по1(г) по2(г) Р З(+1) \ зо1(+1) зо2(+1) П тс (+1) Р

с3( )=-(с 1( ) + с 2( ))(фсН' + х( )), (40)

3(п) \ по1(п) по2(п) П тс (п) /

где впоцо(зо) - коэффициент жесткости передней (или задней) оси 1-ой тележки, Н/м.

Рассмотрим сравнительную характеристику влияния изменения амплитуд колебания и их угловых ускорений на головной вагон подвижного состава при различном количестве вагонов: 2-х и 3-х вагонов (рис. 4). Исходные данные для моделирования продольной динамики подвижного состава представлены в материалах статьи [6] для одного пассажирского вагона. Исключением являлось лишь время торможения равное 196с.

-iOKTB ВАГОНА!

-СЯСТВ. L3 ВАГОНА*

-ВЫНУОД1

-вынужд г

-ВЫНУХЩ*

-ВЫНУЯЩ4

-ВЫНУЖД S

-вынужд s

-йНМАРН 12 ВАГСНА1

-СТМГЛАРН 1 ВАГОНА'

Врем* i'i|'>.'.v»-uni с

Рис. 4. Изменение угловых перемещений головного вагона подвижного состава с различным количеством вагонов при торможении

При увеличении рассматриваемого подвижного состава на один вагон амплитуда углового перемещения первого вагона увеличилась 58%, что приводит к увеличению нестабильности процесса торможения. Пиковые значения суммарных колебаний углового перемещения подвижного состава с тремя вагонами происходят с периодом в 64с, тогда как пиковые значения суммарных колебаний углового перемещения подвижного состава с двумя вагонами имеют период 20с. В результате моделирования можно сделать вывод о том, что увеличение количества вагонов приводит к сосредоточению механической энергии при колебательном процессе во временном интервале.

Заключение. Предложенная динамическая модель продольной динамики подвижного состава учитывает инерционные, диссипативные и жесткостные параметры, оказывающие влияние на собственные и вынужденные колебания. Используя решения дифференциального уравнения, записанного в век-торно-матричной форме, были получены величины приведенных инерционных, диссипативных и жест-костных коэффициентов, используемых при определении вертикальных, продольных и угловых перемещений кузова вагона подвижного состава в зависимости от их количества. Математическое моделирование колебательного процесса первого вагона подвижного состава в зависимости от количества вагонов показало увеличение периода и пиковых амплитуд колебаний углового перемещения.

Список литературы

1. Mikheev G., Pogorelov D., Rodikov A. Methods of simulation of railway wheelset dynamics taking into account elasticity conference: First International Conference on Rail Transportation Chengdu, China, July 1012, 2017. 11р.

2. Numerical investigation on wheel-rail dynamic vibration excited by rail spalling in high-speed railway /K. Wang, W. Zhai, K. Lv, Z. Chen // Shock and Vibration 2016. - 11р. https://doi.org/10.1155/2016/9108780

3. Determination of mapping relation between wheel polygonalisation and wheel/rail contact force for railway freight wagon using dynamic simulation / J. Mu, J. Zeng, Q. Wang, and H. Sang // Shock and Vibration, 2021. 13р.

4. Influence of wheel profile wear coupled with wheel diameter difference on the dynamic performance of subway vehicles /H.X. Li, A.H. Zhu, C.C. Ma, P.W. Sun, J.W. Yang, K.Q. Zhang //Shock and Vibration, 2021. 15р.

5. Experimental and numerical investigation into formation of metro wheel polygonalization / W. Cai, M. Chi, G. Tao, X. Wu, Z. Wen Shock and Vibration, 2019. 18р.

6. Яицков, И. А., Поляков, П. А. Влияние продольной динамики пассажирского вагона на его тормозные свойства // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. - 2022. -№ 4(88). - С. 75-88. - DOI 10.46973/0201-727X2022475.

7. Поляков, П. А. Влияние конструкции прижи-мающих механизмов тормоза дисково-колодочного типа на колебания, возникающее в контакте фрикционного узла / П. А. Поляков // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022. № 5. С. 408-420. DOI 10.24412/2071-6168-2022-5-408-420.

Яицков Иван Анатольевич, д-р техн. наук, профессор, декан, [email protected], Россия, Ростов-на-Дону, Ростовский государственный университет путей сообщений,

Поляков Павел Александрович, канд. техн. наук, доцент, polyakov.pavel88@mail. ru, Россия, Краснодар, Кубанский государственный технологический университет,

Шевцов Юрий Дмитриевич, сотрудник, [email protected], Россия, Краснодар, Кубанский государственный технологический университет,

Федотов Евгений Сергеевич, сотрудник, [email protected], Россия, Краснодар, Кубанский государственный технологический университет

DYNAMICS OF ROLLING STOCK DURING BRAKING MODE I.A. Yaitskov, P.A. Polyakov, Yu.D. Shevtsov, E.S. Fedotov

The proposed dynamic model of the longitudinal dynamics of the rolling stock takes into account iner-tial, dissipative and stiffness parameters that affect their own and forced oscillations. Using the solutions of the differential equation written in vector-matrix form, the values of the reduced inertial, dissipative and stiffness coefficients used in determining the vertical, longitudinal and angular movements of the rolling stock car body, depending on their number, were obtained. Mathematical modeling of the oscillatory process of the first rolling stock car, depending on the number of cars, showed an increase in the period and peak amplitudes of angular displacement oscillations. With an increase in the rolling stock under consideration by one car, the amplitude of the angular displacement of the first car increased by 58%, which leads to an increase in the instability of the braking process. The peak values of the total oscillations of the angular displacement of rolling stock with three cars occur with a period of 64c, while the peak values of the total oscillations of the angular displacement of rolling stock with two cars have a period of 20c. As a result of the simulation, it can be concluded that an increase in the number of wagons leads to the concentration of mechanical energy during the oscillatory process in the time interval.

Key words: mathematical model, longitudinal dynamics, wagon, rolling stock, dissipation, stiffness, forced oscillations.

Yaitskov Ivan Anatolyevich, doctor of technical sciences, professor. dean, [email protected], Russia, Rostov-on-Don, Rostov State Transport University,

Polyakov Pavel Alexandrovich, candidate of technical sciences, docent, polyakov.pavel88@,mail.ru, Russia, Krasnodar, Kuban State Technologist-Czech University,

Shevtsov Yuri Dmitrievich, employee, [email protected], Russia, Krasnodar, Kuban State Technological University,

Fedotov Evgeny Sergeevich, employee, avtoru2009@mail. ru, Russia, Krasnodar, Kuban State Technological University