CC BY
0
ФИЗИКА PHYSICS
Научная статья DOI: 10.18287/2541-7525-2024-30-1-82-95
УДК 517.9; 519.7; 530.145.83 Дата: поступления статьи: 25.12.2023
после рецензирования: 01.02.2024 принятия статьи: 28.02.2024
А.Р. Багров
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, г. Самара, Российская Федерация E-mail:alexander.bagrov00@mail.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1098-0300
Е.К. Башкиров
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, г. Самара, Российская Федерация E-mail:bashkirov.ek@ssau.ru. ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8682-4956
ДИНАМИКА ПЕРЕПУТАННЫХ СОСТОЯНИЙ ГРИНБЕРГЕРА — ХОРНА — ЦАЙЛИНГЕРА В ТРЕХКУБИТНОЙ ТЕПЛОВОЙ МОДЕЛИ ТАВИСА — КАММИНГСА
АННОТАЦИЯ
В данной статье мы исследовали динамику систем двух и трех идентичных кубитов, резонансно взаимодействующих с выделенной модой общего теплового поля резонатора без потерь. Нами найдено решение квантового временного уравнения Лиувилля для различных трех- и двухкубитных перепутанных состояний кубитов. На основе указанных решений проведено вычисление критерия перепутанности кубитов - степени совпадения. Результаты численного моделирования степени совпадения показали, что увеличение среднего числа фотонов в моде приводит к уменьшению максимальной степени перепутывания. При этом показано, что двухкубитное перепутанное состояние более устойчиво по отношению к внешнему шуму, нежели трехкубитные перепутанные состояния Гринбергера — Хорна — Цайлингера (GHZ). При этом истинно перепутанное GHZ-состояние более устойчиво к шуму, чем GHZ-подобное перепутанное состояние.
Ключевые слова: кубиты; трехкубитные состояния Гринбергера — Хорна — Цайлингера; резонансное взаимодействие; резонатор; тепловое поле; перепутывание; степень совпадения.
Цитирование. Багров А.Р., Башкиров Е.К. Динамика перепутанных состояний Гринбергера — Хорна — Цайлингера в трехкубитной тепловой модели Тависа — Каммингса // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия / Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2024. Т. 30, № 1. С. 82-95. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2024-30-1-82-95.
Информация о конфликте интересов: авторы и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.
© Багров А.Р., Башкиров Е.К., 2024 Александр Романович Багров — магистр кафедры общей и теоретической физики, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.
Евгений Константинович Башкиров — доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей и теоретической физики, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.
Введение
Перепутанные состояния в настоящее время являются основным ресурсом физики квантовых вычислений, квантовых коммуникаций и квантовой криптографии, квантовой метрологии и т. д. [1-10]. Используя различные классы перепутанных состояний, можно ускорить вычисления, обеспечить безопасность коммуникаций и преодолеть стандартные квантовые пределы при измерениях. Для многокубит-ных систем существуют несколько неэквивалентных классов перепутанных состояний [11-13]. В частности, для простейшего случая трехкубитной системы существуют всего два подлинно перепутанных состояния [14-19]. К последним относятся перепутанные состояния Гринбергера — Хорна — Цайлингера (GHZ-состояния) и перепутанные состояния Вернера (W-состояния). Среди всех классов перепутанных состояний GHZ-состояния являются одними из наиболее востребованных состояний для целей квантовой информатики и квантовой метрологии [20-23]. В последние годы многочастичные GHZ-состояния были реализованы для различных физических систем кубитов: ионов в ловушках [24-26], ридберговских атомов [27], фотонов [28-30], сверхпроводящих кубитов [31-33]. Указанные работы открыли новые возможности в развитии масштабируемых квантовых компьютеров, квантовой метрологии и квантовой связи. В работах [22; 23] осуществлено перепутывание до 20 кубитов с точностью (степенью совпадения) выше
0.5. Точность и технические сложности в реализации перепутанных состояний кубитов растут экспоненциально с увеличением числа кубитов. Сложности теоретического анализа динамики GHZ-состояний также существенно возрастают с увеличением числа кубитов в системе. Поэтому при теоретическом рассмотрении таких состояний особое внимание уделяется анализу трехкубитных систем (см. ссылки в [34]). Для генерации, управления, контроля и измерения состояний систем кубитов используют электромагнитные поля резонаторов. При этом резонаторы функционируют при конечных температурах от мК для систем сверхпроводящих кубитов до комнатных в случае примесных спинов. Это означает, что куби-ты взаимодействуют с тепловыми полями резонаторов. Такое взаимодействие приводит к осцилляциям Раби параметров перепутывания кубитов и, соответственно, к уменьшению степени их начального пере-путывания. Еще одним эффектом, приводящим к ошибкам при измерении состояний кубитов, является мгновенная смерть перепутывания [35]. Указанный эффект экспериментально наблюдался для кубитов различной физической природы [36-38]. Поэтому представляет значительный интерес изучение методов, предотвращающих эффект мгновенной смерти перепутывания кубитов, вызванной взаимодействием с тепловыми полями резонаторов. Изучение указанного эффекта для кубитов, взаимодействующих с тепловыми шумами резонаторов, особенно важно в связи с тем, что в резонаторах всех квантовых устройств обязательно присутствуют тепловые фотоны.
В нашей работе [39] мы детально исследовали динамику перепутывания в системе трех кубитов, резонансно взаимодействующих с модой теплового квантового электромагнитного поля в идеальном резонаторе, для сепарабельных, бисепарабельных и истинно перепутанных состояний W-типа. При этом было показано, что эффект мгновенной смерти перепутывания имеет место для любых интенсивностей теплового поля резонатора. Представляет большой интерес изучить динамику трехкубитной модели в резонаторе для истинно перепутанного состояния кубитов GHZ-типа.
В настоящей статье мы исследовали динамику системы, состоящей из трех идентичных кубитов, резонансно взаимодействующих с модой теплового квантового электромагнитного поля идеального резонатора посредством однофотонных переходов, для перепутанных состояний кубитов GHZ-типа. При этом в качестве количественной меры перепутывания подсистемы кубитов использовались не отрицательности пар кубитов, а степень совпадения (fidelity) состояния подсистемы кубитов в произвольный момент времени и начального GHZ-состояния.
1. Модель и решение временного уравнения Шредингера
Рассмотрим систему трех идентичных кубитов Qi,Q2,Q3, резонансно взаимодействующих с модой квантового электромагнитного поля идеального резонатора. Гамильтониан взаимодействия такой модели в дипольном приближении и приближении вращающейся волны можно представить в виде
3
где а+ = \+)кк ( — | и а- = \—)кк (+| — повышающий и понижающий операторы в к-м кубите, \—)к-основное и \+)д, — возбужденное состояние к-го кубита (к = 1,2,3), с+ и с — операторы рождения и уничтожения фотонов резонаторной моды и 7 — параметр кубит-фотонного взаимодействия.
Будем полагать, что в начальный момент времени кубиты приготовлены в истинно перепутанном состоянии GHZ-типа
(1)
k=i
l^(0))QlQ2Q3 = cos в\+, +, +) + sin 0\ -, -, -)
(2)
или ОНZ-подобном состоянии вида
=СС8 + , -, -> + 8Ш + , +>, (3)
где в и — параметры, определяющие степень начального перепутывания кубитов. Начальные состояния кубитов вида (2) и (3) в резонаторах можно получить с помощью импульсов электромагнитного поля определенной длительностью.
В качестве начального состояния поля выберем одномодовое тепловое состояние с матрицей плотности вида
вР (0) = £рп \п> (п\ . (4)
п
Здесь весовые функции рп в формуле (4) имеют вид
пп
Рп
(1+ п)п+1!
где п — среднее число тепловых фотонов, определяемое формулой Бозе-Эйнштейна
п = (ехр [Пш/квТ] - 1)-1,
здесь кв — постоянная Больцмана и Т — температура микроволнового резонатора.
Поставим перед собой задачу найти динамику рассматриваемой модели для начального состояния кубитов (2) и (3) и теплового поля резонатора (4). В качестве первого шага для решения поставленной задачи рассмотрим решение уравнения эволюции в случае фоковского начального состояния электромагнитного поля резонатора, а затем обобщим полученные результаты для теплового состояния поля резонатора (4).
В случае чистого фоковского состояния начальную волновую функцию поля резонатора выберем в виде
\Ф(0))р,п = \п> (п = 0,1, 2,...). (5)
Найдем вначале временную волновую функцию системы для фоковского начального состояния поля (5), а потом обобщим результаты на случай теплового поля резонатора. Введем для нашей системы число возбуждений N, равное N = ц + п, где ц — число кубитов, приготовленных в возбужденном состоянии. Для чисел возбуждения N ^ 3 оператор эволюции рассматриваемой системы имеет вид
( Зц(п,г) • • • ^(п^) ^
5 (п,г) =
\ 581 (п, • • • 5зз(п,4) )
(6)
где
S22(n,t) =
„ , ,, (7 + 2n + n„)cos(0i7t) + (-7 - 2n + fin) cos(d2Yt)
Siiin.t) = -,
11( ' ) 2Qn ,
4fin cos(V2 + n^t) + (-1 - 2n + fin) cos(017t) + (1 + 2n + fin) cos(027t)
6fin
c, . ^ . (7 + 2n + Q.n)di sin(0iTi) + (-7 - 2n + fin№ sin(^27t) Si2(n,t) = -i-
Si5(n,t)
6^1 + n fin V(1+ n)(2 + n)(-cos(0i7t) + cos(027t))
fi
„ , ^ .лДГППп sin^v/2Tn7t) - (2 + n)0i sin(0i7t) + (2 + n)02 sin(^27t) S25(n,t) = -i-
S58(n,t) = -i
V2 + n fin
. (1 + 2n + fij^i sin(0iTi) + (-1 - 2n + fin)^2 sin(027t)
Si8(n,t) = -i
6^/3 + n fin .V2 + n(sin(62jt)6i - sin(eiYt)62)
fin
S55(n, t) = S22(n, t) - -fi—(cos(^i7t) - cos(^27t)),S23(n,t) = S22(n,t) - cos(V2 + njt),
fin
3 _
S88(n,t) = Sii(n.t) - fi(cos(0i7t) - cos(^27t)), S56(n,t) = S55(n,t) - cos(V2 + njt).
In + 3
S27 (n, t) = S25 (n, t) + i sin(V2 + nYt), S28(n, t) = J —— Si5 (n, t),
V n +1
О _ Q _ Q Q _ Ct _ CI Ct _ CI _ CI _ о _ C1 _ C1
S22 — S33 — S44? S55 — S66 — S77, S12 — S13 — S14 — S21 — S31 — S41;
oooooooooooo
S15 — S16 — S17 — S51 — Й61 — S71, S23 — S24 — S32 — S34 — S42 — S43,
S27 — S36 — S45 — S54 — S63 — S72, S56 — S57 — S65 — S67 — S75 — S76,
000000000000
S25 — S26 — S35 — S37 — S46 — S47 — Й52 — S53 — S62 — S64 — S73 — Й74,
О о о о о о о о о о о о о о
S28 — S38 — S48 — Sg2 — S83 — Й84, Й58 — S68 — S78 — S85 — S86 — S87, S18 — S81,
где
Пп = ^9+ 16(п + 2)2, в1 = у/5(п + 2) — Пп, в2 = у/Ъ(п + 2) + Пп. При записи оператора эволюции в матричной форме мы использовали базисные векторы вида \+, +, +,п), \+, +, —,п +1), \+, —, +,п+1), \—, +, +,п+1), \+, —, —,п + 2), \—, +, —,п + 2), \—, —, +п + 2), \—, —, —,п + 3). В рассматриваемом случае волновую функцию можно найти как
«2 «з ^(^))п = ^М^Ф^^ \п).
(7)
В дальнейшем при обобщении результатов на случай теплового поля резонатора нам потребуются также волновые функции, соответствующие числам возбуждения N — 2,1,0. Для N — 2 базис гильбертова пространства должен быть сужен до набора
|+, +, - 0), |+, - +, 0), +, +, 0),
|+, -, -, 1), |-, +,-, 1), |-, -, +, 1), |-, -,-, 2). Соответствующая временная волновая функция есть
|*1(í)> — Z^t)|+, +, -, 0) + Z2(t^+, -, +, 0) + Z3(t)|-, +, +, 0) + +Z4(t)|+, -, -, 1) + + Z5(t)|-, +, -, 1) + Z6(t)|-, -, +, 1) + Z7(t)|-, -, -, 2), (8)
где коэффициенты Z¿(í) (i — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) есть
Z1(t) — 15 [3 (C1 + C2 + C3 - V2C7) + 5 (2C1 - C2 - C3) cos Yt + (2C1 + 2C2 + 2C3 + 3V2C^ cos Vñjt -
-i f5(C4 + C5 - 2C6) sin Yt + V10(C4 + C5 + C6) sin VO^t
Z2 (t) — 15 [3 C + C2 + C3 - V2C7) - 5(C1 - 2C2 + C3) cos Yt + (2C1 + 2C2 + 2C3 + 3V2C7) cos Vñjt -
-i Í5(C4 - 2C5 + C6) sin Yt + V^(C4 + C5 + C6) sin Vl^t
Z3(t) — Из [3 (C1 + C2 + C3 -V2C7) - 5(C1 + C2 - 2C3) cos Yt + (2C1 + 2C2 + 2C3 + 3V2C7) cosv^ÜYt +
+5i (2C4 - C5 - C6) sin Yt - iVlü (C4 + C5 + C6) sin vTüYt
Z4(t) — — [5 (2C4 - C5 - C6) cos Yt + 5(C4 + C5 + C6) cos V1ÜYt - ^5(C1 + C2 - 2C3) sin Yt + 15
+V5(^2C1 + V2C2 + V2C3 + 3C7) sin VÜ)Yt
Z5 (t) — — -5(C4 - 2C5 + C6) cos Yt + 5(C4 + C5 + C6) cos VlüYt - i (5(C1 - 2C2 + C3) sin Yt +
+V5(V2C1 + V2C2 + V2C3 + 3C7) sin V10Yt
Z6(t) — ---5(C4 + C5 - 2C6) cos Yt + 5(C4 + C5 + C6) cos VTúYt + 5i(2C1 - C2 - C3) sin Yt -
15 L
-iV5Í V2c1 + v2c2 + V2C3 + 3C7) sin VTúYt
Z7(t) — 5 [v^C! -V2C2 -V2C3 + 2C7 +(V2C1 + ^2C2 + ^2C3 + +3C7) cos V10Yt - iV5(C4 + C5 + C6) sin VlüYt .
Здесь использовано обозначение C. = Z. (0).
Для N = 1 выбираем базис гильбертова пространства в виде
|+, 0), +,0), +, 0), 1).
Соответствующая временная волновая функция есть
|*а(*)) = Yi(t)|+, -, -, 0) + Y*(t)|-, +, -, 0) + Ys(í)|-, -, +, 0) + Y4(t)|-, -, -, 1), (9)
где коэффициенты Y (t) (i = 1, 2, 3, 4) имеют вид
Yi(t) = 3 [2Fi - F2 - F3 + (Fi + F2 + F3) cos V3jt - iV3F4 sin V3jt Y2(t) = 3 -Fi + 2F2 - F3 + (Fi + F2 + F3) cos V3jt - iV3F4 sin V3jt
Y3(t) = 3 [-Fi - F2 + 2F3 + (Fi + F2 + F3) cos V37t - ^V3F4 sin V3Yt
vm p at . i(Fi + F2 + F3) sin V3Y
Y4(t) = F4 cosv3^t---=-.
3
Здесь использованы обозначения F.i = Y¿(0) (i = 1, 2, 3, 4).
Наконец, для N = 0 базис гильбертова пространства состоявляет вектор -, -, -, 0). Соответствующая временная волновая функция есть
rnt)) = |-,-, -, 0). (10)
2. Расчет степени совпадения состояний кубитов
Имея явный вид для временных волновых функций системы (7)—(10), мы можем вычислить временную матрицу плотности полной системы (три кубита+мода поля) в случае теплового состояния поля
PQl Q2 Q3 F (t) = ^ pn№))n n <*(t)|. (11)
n=0
Для вычисления параметра перепутывания кубитов нам потребуется редуцированная матрица плотности трех кубитов. Ее мы можем вычислить, усредняя выражение (11) по переменным поля
PQi Q2 Q3 (t) = SpFPQ1 Q2 Q3F (t). (12)
При исследовании перепутывания кубитов в рассматриваемой модели для сепарабельных, бисепарабель-ных и истинно перепутанных состояний ^-типа в качестве количественного критерия перепутывания мы использовали отрицательности пар кубитов. В случае GHZ-состояний такой критерий малоинформативен, поскольку при усреднении трехкубитной матрицы плотности pq1 q2 q3 (t) по переменным одного из кубитов два оставшихся кубита оказываются неперепутанными. Поэтому в настоящей работе мы в качестве количественного критерия перепутывания кубитов используем степень совпадения (fidelity) текущего состояния кубитов в момент времени t и их начального GHZ-состояния. В случае теплового поля резонатора состояние кубитов в произвольный момент времени является смешанным. Количественная мера степени совпадения для смешанных состояний кубитов предложена в работе [40]
2
Р (р,р ) = \tryjp 2 рр ^ . (13)
В формуле (13) р - начальная матрица плотности системы и р - матрица плотности кубитов в момент времени Ь > 0. Выражение (13) достаточно сложное, однако, если одна из матриц, допустим р, описывает чистое состояние (р = \ф>(ф\), то формула сильно упрощается:
Р(р,р ) = (ьгу/\ф>(ф\р\ф>(ф\) = (ф\р \ф> = Ьг(рр ). (14)
Выбранные начальные состояния кубитов (2) и (3) являются чистыми с матрицами плотности вида
И^д^дз Я1Я2Яз (^(0)\.
Рассчитаем параметр степени совпадения для начального GHZ-состояния кубитов вида (2). В трех-кубитном базисе
\+, +, +>, \+, +, ->, \+, -, +>, \-, +, +>,
\+, —, —), \—, +, —), \—, —, +), \ —, —, —) матрица плотности кубитов для начального состояния вида (2) есть
( Шц 0 0
Ш«1«2«з (0) = \Ф(0))д1д2«з «1«2«з (Ф(0) \ =
0
V M81
0
0 M18 \ 0
... 0
0 M88 )
(15)
где элементы матрицы плотности задаются формулами:
M11 — (+, +, +|MQlQ2Q3 (0)|+, +, +) — cos2
— (-, -,-Mqqq (0)|-, -, -) —
Ш18 = (+, +, +\Ш«1«2«з (0)\—, —, —) = сазвзгпв, Ш81 = (—, —, —Шд^з (0)\+, +, +) = сазвзгпв.
Запишем матрицу конечного смешанного состояния р = рддд^ (Ь) в произвольный момент времени Ь для состояния (3):
/
PQ1Q2Q3(t) — £>n|*(t) >nn < *(t)|
n=0
Р11 0 0 0 0 0 0 Р18 \
0 Р22 Р23 Р24 0 0 0 0
0 Р32 Р33 Р34 0 0 0 0
0 Р42 Р43 Р44 0 0 0 0
0 0 0 0 Р55 Р56 Р57 0
0 0 0 0 Р65 Р66 Р67 0
0 0 0 0 Р75 Р76 Р77 0
Р81 0 0 0 0 0 0 Р88 /
(16)
Тогда, подставляя матрицы (15) и (16) в формулу (14), получаем для степени совпадения следующее выражение:
F = cos20pn + cos6sin6 (pi8 + p8i) + sin2'
где
(17)
Pii = (+, +, +IPQ1Q2Q3(t)|+, +, +> = J2Pn [cos20|Sii(n, t)|2 + sin20|S'i8(n - 3,t)|2] +
n=3
+P2Cos2e\Sii(2,t)\2 + picos2e\Sii(1,t)\2 + po cos2e\Sii(0,t)\2,
Ж
P88 = (-, -, -\PQiQ2Q3 (t)K -, -> = ^2 Pn [cos20|S8i(n,t)|2 + sin2^\S88(n - 3,t)|2] +
n=3
+P2 (cos20|S8i(2,t)|2 + \X7(t)|2) + pi(cos20|S8i(1,t)|2 + |y4(t)|2) + po (cos2e\S8i(0,t)\2 + sin20) ,
Ж
Pi8 = (+, +, +\PQi Q2Q3 (t)|-, -, -> = Pn [cos0sin0Sii(n,t)S88(n - 3,t)] +
n=3
+P2cosdSii(2,t)x*7(t) + picoseSii(1,t)y'l(t) + pocosdsindSii(0,t), p8i = pí8.
Трехкубитная матрица плотности в начальный момент времени для начального состояния (3) выражается формулой:
MQ1Q2Q3(0) — |*(0))Q1 Q2Q3 Q1Q2Q3(Ф(0)|
где элементы матрицы плотности задаются формулами:
2
44
1Q2Q3
55
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 M44 M45 0 0 0
0 0 0 M54 M55 0 0 0 ,
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
(+, -, - Mq1 Q2 Q3 (0)| + , , -) — cos2 ф,
ь +|Mq 1Q2Q3 (0)|+, -, - ) — sin ф cos ф.
0
2
2Q3
Запишем матрицу конечного смешанного состояния рд1д2д3 (Ь) в произвольный момент времени Ь для начального состояния (3):
PQ1Q2Q3(t) = 5>|*(t) >пп < ^(t)|
n=0
( Pii Pi2 Pi3 Pi4 0 0 0 0 \
P2i P22 P23 P24 P25 P26 P27 0
P3i P32 P33 P34 P35 P36 P37 0
P4i P42 P43 P44 P45 P46 P47 0
0 P52 P53 P54 P55 P56 P57 P58
0 P62 P63 P64 P65 P66 P67 P68
0 P72 P73 P74 P75 P76 P77 P78
\ 0 0 0 0 P85 P86 P87 P88 /
(19)
Теперь, подставляя матрицы (18) и (19) в формулу (14), получаем для степени совпадения:
F = sin2 фр44 + cos ф sin ф • (р45 + р54) + cos2 фр55, (20)
где элементы матрицы плотности задаются выражениями:
P44 = (-, +, +PQ1Q2Q3 (t)|-, +, +) = X] Pn [cos2 ф^45(п - 2, t)|2 +sin2 ф^Ы - 1,t)|2] +
n=2
+Pi • [|Z3(t)|2 +sin2 ф|^44 (0, t) |2] + po|x3(t)|2, P55 = (+, -, -|PQ1Q2Q3 (t)| + , -, -) = X]Pn [cos2 ф|^55(п - 2,t)|2 + sin2 ф^^ - 1,t)|2] +
n=2
+pi • [|Z4(t)|2 +sin2 ф|^54 (0, t) |2] + po [|x4(t)|2 + |yi(t)|2] ,
P45 = (- +, +|PQlQ2Qз(í)| + , -, -) = pn [sin Ф cos Ф^44(п - 1,t)S5*5 (n - 2,t)] +
n=2
+pi sin фв44 (0,t)Z4(t) + poX3(t)yX(t), P54 = p45.
Сравним поведение степени совпадения для трехкубитных GHZ и GHZ -подобных состояний с поведением аналогичной величины для двухкубитного состояния вида
|*(0))qq =cos ф| + , +) +sin ф-, -).
(21)
Двукубитная система с начальным состоянием кубитов (21) и полем в фоковском состоянии (5) эво-люцинирует следующим образом:
а) для случая начального числа фотонов в моде п = 0:
\Ф„=о(ь)> = хл(г)\+, +,0> + Х2(г)\+, -, 1> + Х3(г)\-, +, 1> + х4(г)\-,-, 2> + зтф—,-,0>,
б) для случая начального числа фотонов в моде п = 1:
\Фп=1(Ь)> = У1(Ь)\+, +, 1> + У2(Ь)\+, -, 2> + уз\-, +, 2> + У4(Ь)\-,-, 3> + Z1(t)\+,-, 0> + Z2(í)\-, +, 0> +
+Zз(t)\--, 1>,
в) для случая начального числа фотонов в моде п ^ 2:
\Фп^2(Ь)> = С1(г)\+, +, п> + С2(Ь)\+, -,п + 1> + ез(г)\-, +,п + 1> + С4(г)\-, -,п + 2> + кц(Ь)\+, +,п - 2> +
+к2(г)\+, -,п - 1> + кз(Ь)\-, +,п- 1> + к4(г)\-,-,п>.
Временные коэффициенты находятся из следующих систем дифференциальных уравнений:
iZ i(t) = gZ3(t) iZ 2 (t) = gZ3(t) iZ3(t) = g (Zi(t)+ Z2 (t))
ik i(t) = g Vn-1(k2 (t) + k3(t)) ik2(t) = g (Vn - 1ki(t) + Vnk4(t)) ik3(t) = g (y/ñ-Lki^t) + /^(t)) ik4(t) = g/П (k2(t) + k3(t))
ici (t) = g (n + 1(c2(t) + C3 (t)) ic2 (t) = g (Vn + 1ci(t) + sjn + 2c4(t)) iC3 (t) = g(Vn + 1ci (t) + V n + 2c4(t)) . ic4 (t) = gy/n + 2 (c2 (t) + c3 (t))
(22)
(23)
Решая системы дифференциальных уравнений (21) со следующими начальными условиями: ki(0) = k2(0) = k3(0) = 0,k4(0) = sinф и Zi(0) = Z2(0) = 0,Zs(0) = sinф, находим аналитические выражения
для временных коэффициентов к¿ (t), Z^(t):
„ . . i ■ sin(\/2Yt) • sinф ^ . . i ■ sin(J2Yt) ■ sinф ^ . . . ¡ .
Zi(t) =---ф, Z2(t) =---ф, Zs(t) = cos(V2yt) • sinф,
ki(t) = -
2 Vn - 1 •-n • sin2{ yjn - 2 • • sin ф i •-n • sin(-4n-2 • Yt) • sin ф
2n — 1
к2 (t) = -
V4n - 2
i ^ л/n • sin(V4n - 2 • Yt) • sin ф (n - 1 + n • cos(\j4n — 2 • Yt)) sin ф
кз (t) =--, -, k4(t) =-
V4n - 2
2n 1
Для того чтобы найти временные коэффициенты yi(t),Xi(t), нужно учесть следующее: Cj(t) ^ Vi(t) при числе фотонов в моде n = 1 и ci(t) ^ xi(t) при числе фотонов в моде n = 0.
Для системы дифференциальных уравнений (23) используем следующие начальные условия: ci(0) = = cos ф, c2(0) = сз(0) = С4(0). В итоге получаем следующие аналитические формулы для cj(t):
(n + 2 + (n + 1) • cos(V4n + 6 • Yt)^ cosф i ■ ^Jn + 1 ■ cosф ■ sin(^4n + 6 ■ Yt) ci(t) = -й—T^-, c2(t) =--
C3(t) = -
2n + 3
i • %/n + 1 • cos ф • sin(V4n + 6 • Yt)
C4(t) = -
\j4n + 6
2 • \Jn + 1 • Vn + 2 • cos ф • sin2 ^ ^Jn + § • y^
2n + 3
л/4п + 6
Двухкубитная матрица плотности в начальный момент времени для начального состояния (21) выражается формулой:
( М11 0 0 М14 \ 0 0 0 0
Mqq (0) = |*(0))qq Q1Q2 <*(0)|
(24)
0 0 0 0
У М41 0 0 М44 )
где элементы матрицы плотности задаются формулами
М11 = <+, +\MQ1Q2 (0)|+, +> = соз2ф, М44 = (—,-\Mqq2 (0)|-, — = вгп2ф, М14 = (+, +\Мд1д2 (0)\ —, -> = созфзгпф, М41 = -\MqQz (0)\+, +> = вЫфсовф.
Запишем матрицу конечного смешанного состояния PQ1Q2 (4) в произвольный момент времени 4 для начального состояния (21):
PQ1Q2 (t) = Pn№n(t))(^n(t)l
( Р11 0 0 Р14 \
0 Р22 Р23 0
0 Р32 Рзз 0
V Р41 0 0 Р44 )
(25)
Теперь подставим матрицы (24) и (25) в формулу (14) и получим для степени совпадения следующую фоРмУлУ:
F = pucos2 ф + (p14 + p41)cosфsiuф + р44в1п2ф, (26)
где элементы матрицы плотности имеют следующий вид:
Р11 = (+, + \pQQ (t)\ + , +> = Y,Pn [|ci(t)i2 + \kl(t)\2] + Р1|У1 (t)|2 + P0|xi(t)|2,
n=2
P44 = (-, -\PQ! Q2{t)\-, -> = Y, Pn [\c4(t)\2 + \k4(í)\^ + P1 [\V4(t)\2 + + P0 [M¿)|2 + Sin2 ф] ,
n=2
P14 = (+, +\PQiQ2 (¿Ж -> = ^2 Pnc1(t)k4(t) + p1V1(t)Z^(t) + poXl(t)Siuф, P41 = P14.
n=2
3. Результаты и их обсуждение
Результаты компьютерного моделирования временной зависимости степени совпадения Г(4) от приведенного времени ^ для начального истинно перепутанного ОН ^-состояния (2) в случае в = п/4 и различных значений среднего числа фотонов представлены на рис. 1. Из рисунка хорошо видно, что взаимодействие кубитов с тепловым полем резонатора приводит к осцилляциям Раби параметра перепу-тывания кубитов. При этом увеличение среднего числа фотонов в моде приводит к уменьшению максимальной степени перепутывания. Это означает, что при увеличении интенсивности шума состояние трех
Рис. 1. График зависимости параметра степени совпадения F(yt) от приведенного времени jt для начального GHZ-состояния вида (2) с в = п/4 для различных средних чисел тепловых фотонов n: n = 0.05 (сплошная линия), n = 1 (пунктирная линия), n = 2.5 (точечная линия) (a); n = 1 (сплошная
линия), n = 3 (пунктирная линия), n = 10 (точечная линия) (b) Fig. 1. Graph of the dependence of the fidelity F(yt) on the reduced time Y for the initial GHZ state of the form (2) with в = п/4 for various average numbers of thermal photons n: n = 0.05 (solid line), n = 1 (dashed line), n = 2.5 (dotted line) (a); n = 1 (solid line), n = 3 (dashed line), n = 10 (dotted line) (b)
Рис. 2. График зависимости параметра степени совпадения F(yt) от приведенного времени jt для начального двухкубитного состояния вида (21) с ф = п/4 для различных средних чисел тепловых фотонов n: n = 0.05 (сплошная линия), n = 1 (пунктирная линия), n = 2.5 (точечная линия) (a); n = 1
(сплошная линия), n = 3 (пунктирная линия), n = 10 (точечная линия) (b) Fig. 2. Graph of the dependence of the fidelity F(71) on the reduced time Yt for the initial two-qubit state of the form (21) with ф = n/4 for various average numbers of thermal photons n: n = 0.05 (solid line), n = 1 (dotted line), n = 2.5 (dotted line) (a); n=1 (solid line), n = 3 (dotted line), n = 10 (dotted line) (b)
кубитов все менее походит на начальное перепутанное GHZ-состояние и все ближе к сепарабельному состоянию. Для сравнения на рис. 2 показаны аналогичные зависимости степени совпадения F(t) для двухкубитной модели с начальным состоянием (20) в случае ф = п/4. Сравнение графиков показывает, что в случае двухкубитной системы тепловой шум приводит к существенно меньшему разрушению начального максимально перепутанного состояния, нежели в случае трехкубитной системы. Это говорит нам о том, что истинно перепутанное GHZ-состояние менее устойчиво по отношению к внешнему шуму, чем двухкубитное состояние вида (21). Временная зависимость степени совпадения F(t) от приведенного времени jt для начального GHZ-подобного перепутанного состояния (3) в случае р = п/4 и различных значений среднего числа фотонов представлена на рис. 3. Из рисунка видно, что, как и для двух предыдущих состояний, взаимодействие кубитов с тепловым полем резонатора приводит к осцилляциям Раби параметра перепутывания кубитов. Однако в отличие от начального истинно перепутанного GHZ-состояния в рассматриваемом случае увеличение среднего числа тепловых фотонов в моде приводит к более существенному уменьшению максимальной степени перепутывания кубитов. Таким образом, GHZ-подобное перепутанное состояние значительно менее устойчиво по отношению к разрушающему действию теплового шума.
Рис. 3. График зависимости параметра степени совпадения F(jt) от приведенного времени jt для начального GHZ подобного состояния (3) с р = п/4 для различных средних чисел тепловых фотонов n: n = 0.05 (сплошная линия), n = 1 (пунктирная линия), n = 2.5 (точечная линия) (a); n = 1
(сплошная линия), n = 3 (пунктирная линия), n = 10 (точечная линия) (b) Fig. 3. Graph of the dependence of the fidelity F(ft) on the reduced time Y f°r the initial GHZ like state (3) with p = n/4 for various average numbers of thermal photons n: n = 0.05 (solid line), n = 1 (dotted line), n = 2.5 (dotted line) (a); n = 1 (solid line), n = 3 (dotted line), n = 10 (dotted line) (b)
Выводы
Таким образом, в данной статье нами исследована динамика перепутывания в системе, состоящей из трех идентичных кубитов, резонансно взаимодействующих с общей модой теплового поля идеального резонатора. В работе рассмотрены два типа начальных состояний кубитов: истинно перепутанноее состояние GHZ-типа (2) и GHZ-подобное перепутанное состояние (3). Нами найдено точное решение квантового уравнения Лиувилля для начальных состояний кубитов и теплового состояния поля резонатора. На основе точного решения нами рассчитана временная зависимость параметра перепутывания кубитов. В качестве критерия перепутывания кубитов выбран параметр, называемый степенью совпадения. В нашем случае данный параметр определяет степень совпадения трехкубитной матрицы плотности в произвольный момент времени t и начальной трехкубитной матрицы плотности чистых состояний (2) и (3). Для сравнения результатов нами проведен также аналогичный расчет степени совпадения в случае двухкубитной системы с начальным состоянием вида (21) и теплового поля резонатора. Результаты численного моделирования степени совпадения показали, что для всех выбранных начальных состояний кубитов их взаимодействие с тепловым полем резонатора приводит к осцилляциям Раби параметра пе-репутывания кубитов с уменьшением амплитуд осцилляций в процессе эволюции. При этом увеличение интенсивности поля резонатора приводит к уменьшению максимальной степени перепутывания кубитов. Показано также, что наименее устойчивым по отношению к внешнему шуму является GHZ-подобное трехкубитное состояние (3), а наиболее устойчивым — двухкубитное перепутанное состояние (21).
Литература
[1] Gu X., Kockum A.F., Miranowicz A., Liu Y.X., Nori F. Microwave photonics with superconducting quantum circuits // Physics Reports. 2017. Vols. 718-719. Pp. 1-102. DOI: http://doi.org/10.1016/j.physrep.2017.10.002.
[2] Wendin G. Quantum information processing with super-conducting circuits: a review // Reports on Progress in Physics. 2017. Vol. 80. Number 10. Article Number 106001. DOI: http://doi.org/10.1088/1361-6633/aa7e1a.
[3] Kjaergaard M., Schwartz M.E., Braumiiller J., Krantz P., Wang J.-I., Gustavsson S., Oliver W.D. Superconducting Qubits: Current State of Play // Annual Reviews of Condensed Matter Physics. 2020. Vol. 11. Pp. 369-395. DOI: http://doi.org/10.1146/annurev-conmatphys-031119-050605.
[4] Huang H.-L., Wu D., Fan D., Zhu X. Superconducting quantum computing: a review // Science China Information Sciences. 2020. Vol. 63. Article number 180501. DOI: http://doi.org/10.1007/S11432-020-2881-9.
[5] Terhal B.M. Quantum error correction for quantum memories // Reviews of Modern Physics. 2015. Vol. 87, Issue 2. Pp. 307-346. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.87.307.
[6] Kimble H.J. The quantum internet // Nature. 2008. Vol. 453. Pp. 1023-1030. DOI: https://doi.org/10.1038/nature07127.
Pezze L., Smerzi A., Oberthaler M.K., Schmied R., Treutlein P. Quantum metrology with nonclassical states of atomic ensembles // Reviews of Modern Physics. 2018. Vol. 90. Article number 035005. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.90.035005.
Zou Y.-Q. [et al.] Beating the classical precision limit with spin-1 dicke states of more than 10,000 atoms // Proceedings of the National Academy of Sciences. 2018. Vol. 115. Pp. 6381-6385. DOI: http://doi.org/10.1073/pnas.1715105115.
Wang X.-L. [et al.] 18-qubit entanglement with six photons' three degrees of freedom // Physical Review Letters.
2018. Vol. 120, Issue 26. Article number 260502. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.120.260502.
Zhong H.-S. [et al.] 12-photon entanglement and scalable scattershot boson sampling with optimal entangled-photon pairs from parametric downconversion // Physical Review Letters. 2018. Vol. 121, Issue 25. Article number 250505. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.121.250505.
Seevinck M., Giihne O. Separability criteria for genuine multiparticle entanglement // New Journal of Physics. 2010. Vol. 12. Article number 053002. DOI: https://doi.org/10.1088/1367-2630/12/5/053002.
Pereira L., Zambrano L., Delgado A. Scalable estimation of pure multi-qubit states // Npj Quantum Information. 2022. Vol. 8. Number 57. Pp. 1-12. DOI: https://doi.org/10.1038/s41534-022-00565-9.
Zhahir A.A., Mohd S.M., Shuhud M.I.M., Idrus B., Zainuddin H., Jan N.M., Wahiddin M. Entanglement Quantification and Classification: A Systematic Literature Review // International Journal of Advanced Computer Science and Applications. 2022. Vol. 13, Issue 5. Pp. 218-225. DOI: https://doi.org/10.14569/ijacsa.2022.0130527.
Dur W., Cirac J.I. Classification of multiqubit mixed states: Separability and distillability properties // Physical Review A: Atomic, molecular, and optical physics. 2000. Vol. 61, Issue 4. Article number 042314. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.61.042314.
Dur W., Cirac J.I., Vidal G. Three qubits can be entangled in two inequivalent ways // Physical Review A: Atomic, molecular, and optical physics. 2000. Vol. 62, Issue 6. Article number 062314. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.62.062314.
Acin A., Bru^ D., Lewenstein M., Sanpera A. Classification of Mixed Three-Qubit States // Physical Review Letters. 2000. Vol. 87, Issue 4. Article number 040401. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.87.040401.
Garcia-Alcaine G., Sabin C. A classification of entanglement in three-qubit systems // The European Physical Journal D. 2008. Vol. 48. Article number 040401. Pp. 435-442. DOI: https://doi.org/10.1140/epjd/e2008-00112-5.
Siti Munirah Mohd S.M., Idrus B., Zainuddin H., Mukhtar M. Entanglement Classification for a Three-qubit System using Special Unitary Groups // International Journal of Advanced Computer Science and Applications.
2019. Vol. 10, Issue 7. Pp. 374-379. DOI: https://doi.org/10.14569/IJACSA.2019.0100751.
Akbari-Kourbolagh Y. Entanglement criteria for the three-qubit states // International Journal of Quantum Information. 2017. Vol. 15, No. 7. Article number 1750049. DOI: https://doi.org/10.1142/S0219749917500496.
Gong M. [et al.] Genuine 12-qubit entanglement on a superconducting quantum processor // Physical Review Letters. 2019. Vol. 122, Issue 11. Article number 110501. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.122.110501.
Song C. [et al.] 10-qubit entanglement and parallel logic operations with a superconducting circuit // Physical Review Letters. 2017. Vol. 119, Issue 18. Article number 180511. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.119.180511.
Wei K.X. [et al.] Verifying multipartite entangled GHZ states via multiple quantum coherences // Physical Review A. 2020. Vol. 101, Issue 3. Article number 032343. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.101.032343.
Song C. [et al.] Generation of multicomponent atomic Schrodinger cat states of up to 20 qubits // Science. 2019. Vol. 365, Issue 6453. Pp. 574-577. DOI: https://doi.org/10.1126/science.aay0600.
Leibfried D. [et al.] Toward heisenberg-limited spectroscopy with multiparticle entangled states // Science. 2004. Vol. 304, Issue 5676. Pp. 1476-1478. DOI: https://doi.org/10.1126/science.10975.
Roos C.F. [et al.] Control and measurement of three-qubit entangled states // Science. 2004. Vol. 304, Issue 5676. Pp. 1478-1480. DOI: https://doi.org/10.1126/science.1097522.
Monz T. [et al.] 14-qubit entanglement: creation and coherence // Physical Review Letters. 2011. Vol. 106, Issue 13. Article number 130506. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.106.130506.
Omran A. [et al.] Generation and manipulation of Schrodinger cat states in Rydberg atom arrays // Science. 2019. Vol. 365, Issue 6453. Pp. 570-574. DOI: https://doi.org/10.1126/science.aax9743.
Lu C.-Y. [et al.] Experimental entanglement of six photons in graph states // Nature Physics. 2007. Vol. 3. Pp. 91-95. DOI: https://doi.org/10.1038/nphys507.
Wang X.-L. [et al.] 18-qubit entanglement with six photons' three degrees of freedom // Physical Review Letters. 2018. Vol. 120, Issue 26. Article number 260502. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.120.260502.
Zhong H.-S. [et al.] 12-photon entanglement and scalable scattershot boson sampling with optimal entangled-photon pairs from parametric downconversion // Physical Review Letters. 2018. Vol. 121, Issue 25. Article number 250505. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.121.250505.
[31] Neeley M. Generation of three-qubit entangled states using superconducting phase qubits // Nature. 2010. Vol. 467. Pp. 570-573. DOI: https://doi.org/10.1038/nature09418.
[32] Gong M. [et al.] Genuine 12-qubit entanglement on a superconducting quantum processor // Physical Review Letters. 2019. Vol. 122, Issue 11. Article number 110501. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.122.110501.
[33] Song C. [et al.] 10-qubit entanglement and parallel logic operations with a superconducting circuit // Physical Review Letters. 2017. Vol. 119, Issue 18. Article number 180511. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.119.180511.
[34] Li D., Cheng M., Li X., Li S. A relation among tangle, 3-tangle, and von Neumann entropy of entanglement for three qubits // Quantum Information Processing. 2023. Vol. 22. Article number 14. DOI: https://doi.org/10.1007/s11128-022-03759-4.
[35] Yu T., Eberly J. H. Sudden death of entanglement // Science. 2009. Vol. 323, Issue 5914. Pp. 598-601. DOI: https://doi.org/10.1007/s11128-022-03759-410.1126/science.1167343.
[36] Wang F. [et al.] Observation of entanglement sudden death and rebirth by controlling a solid-state spin bath // Physical Review B. 2018. Vol. 98, Issue 6, Article number 064306. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.98.064306.
[37] Sun G., Zhou Z., Mao B., Wen X., Wu P., Han S. Entanglement dynamics of a superconducting phase qubit coupled to a two-level system // Physical Review B. 2012. Vol. 86, Issue 6. Article number 064502. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.86.064502
[38] Salles A., de Melo F., Almeida M. P., Hor-Meyll M., Walborn S.P., Souto Ribeiro P. H., Davidovich L. Experimental investigation of the dynamics of entanglement: Sudden death, complementarity, and continuous monitoring of the environment // Physical Review A. 2008. Vol. 78, Issue 2. Article number 022322. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.78.022322.
[39] Bagrov A.R., Bashkirov E.K. Sudden death of entanglement in a thermal three-qubut Tavis-Cummings model // Proceedings of the 9th IEEE International Conference on Information Technology and Nanotechnology. 2023. Article number 23240901. DOI: https://doi.org/10.1109/ITNT57377.2023.10139206.
[40] Jozsa R. Fidelity for Mixed Quantum States // Journal of Modern Optics. 1994. Vol. 41, Issue 12. Pp. 2315-2323. DOI: https://doi.org/10.1080/09500349414552171.
Scientific article
DOI: 10.18287/2541-7525-2024-30-1-82-95 Submited: 25.12.2023
Revised: 01.02.2024 Accepted: 28.02.2024
A.R. Bagrov
Samara National Research University, Samara, Russian Federation E-mail: alexander.bagrov00@mail.ru. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1098-0300
E.K. Bashkirov
Samara National Research University, Samara, Russian Federation E-mail: bashkirov.ek@ssau.ru. ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8682-4956
DYNAMICS OF ENTANGLED GREENBERGER — HORNE — ZEILINGER STATES IN THREE QUBITS THERMAL TAVIS — CUMMINGS MODEL
ABSTRACT
In this paper, we investigated the dynamics of systems of two and three identical qubits interacting resonantly with a selected mode of a thermal field of a lossless resonator. We found solutions of the quantum time-dependent Liouville equation for various three- and two-qubit entangled states of qubits. Based on these solutions, we calculated the criterion of the qubit entanglement — fidelity. The results of numerical calculations of the fidelity showed that increasing the average number of photons in a mode leads to a decrease in the maximum degree of entanglement. It is shown that the two-qubit entangled state is more stable with respect to external noise than the three-qubit entangled Greenberger — Horne — Zeilinger states (GHZ). Moreover, a genuine entangled GHZ-state is more stable to noise than a GHZ-like entangled state.
Key words: qubits; three qubits; Greenberger — Horne — Zeilinger states; resonance interaction; cavity; thermal field; entanglement; fidelity.
Citation. Bagrov A.R., Bashkirov E.K. Dynamics of entangled Greenberger — Horne — Zeilinger states in three qubits thermal Tavis — Cummings model. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya
seriya / Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 82-95. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2024-30-1-82-95. (In Russ.)
Information about the conflict of interests: authors and reviewers declare no conflict of interests.
© Bagrov A.R., Bashkirov E.K., 2024 Alexander R. Bagrov — Master's Degree Student of the Department of General and Theoretical Physics, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.
Eugene K. Bashkirov — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.
References
[i
[2
X. Gu X., Kockum A.F., Miranowicz A., Liu Y.X., Nori F. Microwave photonics with superconducting quantum circuits. Physics Reports, 2017, vol. 718-719, pp. 1-102. DOI: http://doi.org/10.1016/j.physrep.2017.10.002.
Wendin G. Quantum information processing with super-conducting circuits: a review. Reports on Progress in Physics, 2017, vol. 80, number 10, article number 106001. DOI: http://doi.org/10.1088/1361-6633/aa7e1a.
Kjaergaard M., Schwartz M.E., Braumüller J., Krantz P., Wang J.-I., Gustavsson S., Oliver W.D. Superconducting Qubits: Current State of Play. Annual Reviews of Condensed Matter Physics, 2020, vol. 11, pp. 369-395. DOI: http://doi.org/10.1146/annurev-conmatphys-031119-050605.
Huang H.-L., Wu D., Fan D., Zhu X. Superconducting quantum computing: a review. Science China Information Sciences, 2020, vol. 63, article number 180501. DOI: http://doi.org/10.1007/S11432-020-2881-9.
Terhal B.M. Quantum error correction for quantum memories. Reviews of Modern Physics, 2015, vol. 87, issue 2, pp. 307-346. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.87.307.
Kimble H.J. The quantum internet. Nature, 2008, vol. 453, pp. 1023-1030. DOI: https://doi.org/10.1038/nature07127.
Pezzé L., Smerzi A., Oberthaler M.K., Schmied R., Treutlein P. Quantum metrology with nonclassical states of atomic ensembles. Reviews of Modern Physics, 2018, vol. 90, article number 035005. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.90.035005.
Zou Y.-Q. [et al.] Beating the classical precision limit with spin-1 dicke states of more than 10,000 atoms. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2018, vol. 115, pp. 6381-6385. DOI: http:///doi.org/10.1073/pnas.1715105115.
Wang X.-L. [et al.] 18-qubit entanglement with six photons' three degrees of freedom. Physical Review Letters,
2018, vol. 120, issue 26, article number 260502. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.120.260502.
Zhong H.-S. [et al.] 12-photon entanglement and scalable scattershot boson sampling with optimal entangled-photon pairs from parametric downconversion. Physical Review Letters, 2018, vol. 121, issue 25, number 250505. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.121.250505.
Seevinck M., Gühne O. Separability criteria for genuine multiparticle entanglement. New Journal of Physics, 2010, vol. 12, article number 053002. DOI: https://doi.org/10.1088/1367-2630/12/5/053002.
Pereira L., Zambrano L., Delgado A. Scalable estimation of pure multi-qubit states. Npj Quantum Information, 2022, vol. 8, number 57. pp. 1-12. DOI: https://doi.org/10.1038/s41534-022-00565-9.
Zhahir A.A., Mohd S.M., Shuhud M.I.M., Idrus B., Zainuddin H., Jan N.M., Wahiddin M. Entanglement Quantification and Classification: A Systematic Literature Review. International Journal of Advanced Computer Science and Applications, 2022, vol. 13, issue 5, pp. 218-225. DOI: https://doi.org/10.14569/ijacsa.2022.0130527.
Dur W., Cirac J.I. Classification of multiqubit mixed states: Separability and distillability properties. Physical Review A: Atomic, molecular, and optical physics, 2000, vol. 61, issue 4, article number 042314. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.61.042314.
Dur W., Cirac J.I., Vidal G. Three qubits can be entangled in two inequivalent ways. Physical Review A: Atomic, molecular, and optical physics, 2000, vol. 62, issue 6, Article number 062314. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.62.062314.
Acin A., Bru^ D., Lewenstein M., Sanpera A. Classification of Mixed Three-Qubit States. Physical Review Letters, 2000, vol. 87, issue 4, Article number 040401. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.87.040401.
Garcia-Alcaine G., Sabin C. A classification of entanglement in three-qubit systems. The European Physical Journal D, 2008, vol. 48, Article number 040401, pp. 435-442. DOI: https://doi.org/10.1140/epjd/e2008-00112-5.
Siti Munirah Mohd S.M., Idrus B., Zainuddin H., Mukhtar M. Entanglement Classification for a Three-qubit System using Special Unitary Groups. International Journal of Advanced Computer Science and Applications,
2019, vol. 10, issue 7, pp. 374-379. DOI: https://doi.org/10.14569/IJACSA.2019.0100751.
[19] Akbari-Kourbolagh Y. Entanglement criteria for the three-qubit states. International Journal of Quantum Information, 2017, vol. 15, no. 7, article number 1750049. DOI: https://doi.org/10.1142/S0219749917500496.
[20] Gong M. [et al.] Genuine 12-qubit entanglement on a superconducting quantum processor. Physical Review Letters, 2019, vol. 122, article number 110501. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.122.110501.
[21] Song C. [et al.] 10-qubit entanglement and parallel logic operations with a superconducting circuit. Physical Review Letters, 2017, vol. 119, issue 18, Article number 180511. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.119.180511.
[22] Wei K.X. [et al.] Verifying multipartite entangled GHZ states via multiple quantum coherences. Physical Review A, 2020. vol. 101, issue 3, article number 032343. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.101.032343.
[23] Song C. [et al.] Generation of multicomponent atomic Schrodinger cat states of up to 20 qubits. Science, 2019, vol. 365, no. 6453, pp. 574-577. DOI: https://doi.org/10.1126/science.aay0600.
[24] Leibfried D. [et al.] Toward heisenberg-limited spectroscopy with multiparticle entangled states. Science, 2004, vol. 304, issue 5676, pp. 1476-1478. DOI: https://doi.org/10.1126/science.10975.
[25] Roos C.F. [et al.] Control and measurement of three-qubit entangled states. Science, 2004, vol. 304, issue 5676, pp. 1478-1480. DOI: https://doi.org/10.1126/science.1097522.
[26] Monz T. [et al.] 14-qubit entanglement: creation and coherence. Physical Review Letters, 2011, vol. 106, issue 13, Article number 130506. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.106.130506.
[27] Omran A. [et al.] Generation and manipulation of Schrodinger cat states in Rydberg atom arrays. Science, 2019, vol. 365, issue 6453, pp. 570-574. DOI: https://doi.org/10.1126/science.aax9743.
[28] Lu C.-Y. [et al.] Experimental entanglement of six photons in graph states. Nature Physics, 2007, vol. 3, pp. 91-95. DOI: https://doi.org/10.1038/nphys507.
[29] Wang X.-L. [et al.] 18-qubit entanglement with six photons' three degrees of freedom. Physical Review Letters, 2018, vol. 120, issue 26, Article number 260502. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.120.260502.
[30] Zhong H.-S. [et al.] 12-photon entanglement and scalable scattershot boson sampling with optimal entangled-photon pairs from parametric downconversion. Physical Review Letters, 2018, vol. 121, issue 25, Article number 250505. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.121.250505.
[31] Neeley M. Generation of three-qubit entangled states using superconducting phase qubits. Nature, 2010, vol. 467, pp. 570-573. DOI: https://doi.org/10.1038/nature09418.
[32] Gong M. [et al.] Genuine 12-qubit entanglement on a superconducting quantum processor. Physical Review Letters, 2019, vol. 122, issue 11, Article number 110501. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.122.110501.
[33] Song C. [et al.] 10-qubit entanglement and parallel logic operations with a superconducting circuit. Physical Review Letters, 2017, vol. 119, issue 18, Article number 180511. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.119.180511.
[34] Li D., Cheng M., Li X., Li S. A relation among tangle, 3-tangle, and von Neumann entropy of entanglement for three qubits. Quantum Information Processing, 2023, vol. 22, Article number 14. DOI: https://doi.org/10.1007/s11128-022-03759-4.
[35] Yu T., Eberly J.H. Sudden death of entanglement. Science, 2009, vol. 323, issue 5914, pp. 598-601. DOI: https://doi.org/10.1126/science.1167343.
[36] Wang F. [et al.] Observation of entanglement sudden death and rebirth by controlling a solid-state spin bath. Physical Review B, 2018, vol. 98, issue 6, Article number 064306. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.98.064306.
[37] Sun G., Zhou Z., Mao B., Wen X., Wu P., Han S. Entanglement dynamics of a superonducting phase qubit coupled to a two-level system. Physical Review B, 2012, vol. 86, Issue 6, Article number 064502. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.86.064502.
[38] Salles A., de Melo F., Almeida M. P., Hor-Meyll M., Walborn S.P., Souto Ribeiro P. H., Davidovich L. Experimental investigation of the dynamics of entanglement: Sudden death, complementarity, and continuous monitoring of the environment. Physical Review, 2008. vol. A78, number 022322. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.78.022322.
[39] Bagrov A.R., Bashkirov E.K. Sudden death of entanglement in a thermal three-qubut Tavis-Cummings model. Proceedings of the 9th IEEE International Conference on Information Technology and Nanotechnology, 2023, Article number 23240901. DOI: https://doi.org/10.1109/ITNT57377.2023.10139206.
[40] Jozsa R. Fidelity for mixed quantum states. Journal of Modern Optics, 1994, vol. 41, issue 12, pp. 2315-2323. DOI: https://doi.org/10.1080/09500349414552171.
