Динамика ортотропных пластин с сотовым заполнителем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XVII 1986

№ 4

УДК 534.121.1 : 62—419

ДИНАМИКА ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С СОТОВЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ

А. В. Березин, В. В. Сулименков

Проведен расчет частот и форм собственных колебаний трехслойной ортотропной прямоугольной пластины при различных условиях заделки асимптотическим методом В. В. Болотина.

Получено хорошее совпадение расчетной частоты первого тона с экспериментальным значением.

Сотовые конструкции последнее время находят все более широкое применение в авиационных конструкциях Ш. Они сочетают в себе высокую жесткость с малым удельным весом, т. е. имеют лучшую весовую отдачу в элементах, где требуется высокая жесткость, по сравнению с цельнометаллическими конструкциями. Наиболее эффективными из сотовых конструкций являются конструкции с обшивками из углепластика, так как они имеют высокое сопротивление усталости и меньшую массу по сравнению с сотовыми конструкциями с металлическими и стеклопластиковыми обшивками.

Важным классом нагрузок, которые воспринимают сотовые конструкции, являются динамические нагрузки, например акустические нагрузки от работающих двигателей. Они возбуждают одновременно десятки и сотни форм колебаний. Прогнозирование долговечности сотовых конструкций при динамических нагрузках включает в себя определение форм и частот собственных колебаний слоистых конструкций. Поэтому рассмотрим предварительно задачу о собственных колебаниях ортотроп-ных трехслойных пластин. Эту задачу будем решать асимптотическим методом В. В. Болотина [2]. Аналогичные задачи для изотропных трехслойных пластин при различных краевых условиях рассмотрены в [3,4].

Рис. 1

Уравнения движения трехслойной пластины, изображенной на рис. 1, с сотовым заполнителем имеют следующий вид [5]:

где £>*, £>у и 0Ху — изгибные и крутильная жесткости; и Бу — сдвиговые жесткости; тжи уу — коэффициенты Пуассона для ортотропной трехслойной пластины; С}х и <2У — поперечные сдвиговые силы; р — масса единицы площади пластины; |0 — коэффициент демпфирования. Из системы (1) можно получить дифференциальное уравнение для поперечного смещения:

Будем рассматривать поперечные колебания прямоугольных пластин и введем безразмерные постоянные для жесткостей, времени, геометрических размеров:

Для отыскания собственных форм колебаний и собственных частот положим £0 — О, <7 = 0 и поперечное смещение возьмем в виде

, фу

----я +

д3 но , ое дw дР + ~дГ’

дх ду

1 д2 . ВХу д2

Т~ Ну*

1—1 о

/дхду ^У

[^у ду* 7У дх2 ду] ™

0)

[

Вх ВХу д*

2БХ дх*

(2)

ТЮ IV (х, у)еш°.

Уравнение (2) с учетом (3) тогда можно записать в виде

ч.2 N

’£)ф[Ж4£ + |Я + !,_2,1^

$) I Гр дх \£ /■»)

1 <)в V!)

4 дх* ду2

дх*

„2

= Ф» 1

-т)[

2е-<]* дх*

г? дх2 ду* ' е йу« -

1- _1_ д4 1!) д4 ни

К)2 дх2 ду2 ду4

р \ 1 д* . д4

£ Е ) К)2 дл^ду3 "** 2е д_у4

]~

-ф|Т11

ЦТ +

1 д2 т)2 дх2

Ф

У

2е

4-1

4^- + 1}[—®2г»(х, у)].

(4)

Задачу о колебаниях будем решать асимптотическим методом

В. В. Болотина [2]. Согласно этому методу выберем внутреннее решение в виде

(•*> У) = (х — х0) 62 (у — у0),

(5)

где к2 — волновые числа, х0, уй — сдвиг фаз.

Подстановка (5) в уравнение (4) дает выражение для собственных частот прямоугольной пластины

Г С,

(6)

-к, к, '

.,2

Ф 1----

гд

(*

+ -Г

26? к?

Д

ф2

«1 *2

/С | Ко

:-4)

+ *2,

_|_ф,

“Г +

уда-п) • 2р

1 +

Рассмотрим следующие краевые условия для прямоугольной трехслойной пластины с размерами а, Ь:

1) защемленный край: зд = 0, у„ = 0, ^ = 0;

2) опертый край: w = 0, Мп = 0, ^ = 0;

3) свободный край: Л1Я = 0, Msn = 0, Qn = 0.

В случае л; = const краевые условия (7) будут иметь вид

.__________________^

ху

„ <*т-

т=т М =М- М =М— — 2LI —------------------------------^—і -_______!£

Т« ї-> (s Т-. тх> Ilsn Ilxy 2 \ Mi + J dy

где ч_= Q-/S- — (тс/а) dwldx, -= Q-/S- — (тс/fe) дда/ду.

Асимптотическое решение для ®(х, ^/) вблизи края л: = 0 будем искать в виде

W (х, y)=W (х) sin k2 (у — у о). Подстановка (8) в (4) дает

(8)

WXx (х)

Ж- + 2р —■ 2v^. /гг +

2р

Ч'Ф^ш2

Ф(1 — v*/P)

^lv(x) +

+ Мт + т-

2k\{$ — V*1T)®C02

2^k\+k\

.,2 \

2 1-------------------------£■ ¥ + 2v

2(02

(1 -N*/p)

Lf

(1-^/р)ф UP" (JC) —

2*2

+

2<о2

Ф(1 -^/р)

г=о.

-Мі- ^

2г

+ 1

(9)

Уравнение (9) является линейным и характеристический многочлен для него имеет вид

X» —аХа + М.— с = 0 (10)

и корни его

>.!= — к\, Х2=/>2, Хз=^2,

где ________________

/>, = (й? + а),/2 - (/(*? 4- а)2 + 4с/йі)/2,

<71 — (^і ”Ь а)№ + (V(ki + а)2 -г 4c/&i)/2. В уравнении (10)

ВТ I ОО О.. ЇТГ\ А2 I

ФрТ(й2

Отсюда следует

VP(х) = Ci sin k\ x -f- C% cos k>i x -f- C3 6 ~f~ C4 6 e^1 "f-

+ Сьер'х + Сйеч'х. (11)

Из условия невырожденности краевого эффекта, т. е. когда p\t q\ положительны, получим, что С5 = 0, С6 = 0. Тогда

W (х) — Ci sin kxx + С2 cos kx x -f- C3 e~Pl x + C4 e~Qi * =

= sin kx (x — x0) -f- C3 e~Pl x ~j- C4 e~9i x.

Вводя безразмерные функции Q-— Q^/S-, Qj = Qy/S}> w — ^wjb и исключая в системе (1) с помощью первого уравнения Q- из второго уравнения и Q- из третьего уравнения, получим

Представляя Q-, Q- в виде

Q*==<7-(a:) вШМЗ' — Уо), Qy = <7- (х) cos k2 (у —у0),

получим из (12) и (13), что

(я) = A1coskl(x — х0) + С8 Вх e~Pl х + Ci В3 e~Vl х, q_(л:) = А2 cosk2 (х; — х0) -f Са В2е~р1ЧС4В4 «Г?‘ *,

А,

*Лфр*? + ф 1 ^13 п ¥(‘"т)+\ .2 1 (О2 Ф2 г| ч [т(-4Н *1

1+*(1-А)±$+%± 2 \ Р / Е ‘ *12

А, =

*аф {*5 + ^/1* [ЧГ0-^/М + \*]} &2 Ф^2 1 + с- »^Ч | ! & |

г . 2 V Р /

) + ^Ф 1-X/

2 1 Р / 1. 2е \ . р / е ]

Д,=

1 + _* Л-^®— 2 V Р / Е г|2

А —(рр? —^2 ТГ)3 1 ^|+ “2ф2 11(-тН

В.

«•I 1 —

+

к\ Фш2

(Нг)*’"

г^-у |+^ф

V/

2с\

Р

Выражения для В3 и В1 получаются из выражений Вь В2 заменой Р\ на <71 соответственно. Таким образом, корректирующее решение имеет вид:

т(х) — $ т/г^х — х0) + С3е~р+ С^е~^х, ц- (х.) = Аг сое кх (х — л0) + С8 £, е~р'х + С4Вв е~д'х ц- (х) = А2 кг (х — х0) + С3 £2 е~ргх + С4 В4 х.

Граничные условия (7) при х = 0 имеют вид:

1) те,(0) = 0, <7- (0) = 0,

2) таз (0) = 0, (0) == 0,

дт (0) дх

д3 т (0)

^-(0)

— 'П

‘ у ' дх2 дх

3) <7-(.0) = 0, М-(0) = 0, М--Л 0) = 0.

0;

(14)

Отсюда получим, если при л: = 0 имеют место условия (г), а при х=к условия (у), то

те = arctg + arctg «у + п%,

(15)

S2 = о,

, = _____________________(*1 44) (^4-^2)__________

1 Pi (В* — -^г) + 9i (-^2— B2) + ''I [^i (^2 — Bi) — B3 (^2 ~~ ^2)] ’

{A — B3 7) (p\ + B[^T) — Vj, Tj2 + Чу T|2 *2 £2) _

_ — #i T (?i вз Я\ П — Vy T)2 + '<y fe2 r? Bj)

3 Bj — A1klf\ + Чy Г]2 ^ ^2 yy

Аналогично для краевых условий при .у = 0, у=--к получим выражения (13), (14) с заменой kx на /г2 и k2 на kx. Сдвиг фаз и постоянные будут иметь выражения:

1 t г ___________________________(fet — (Bj — В3)_____________________

• 1 px (Вt - A2) + q1(A2-B2) + rl{B1 (A2 - BJ - BB (A2 - B2)] *

cs = -I4-в" sinfei xo. Сл= ^ sin ki x0’

2. x0 = 0, C3 = 0, C4 = 0;

3. tg*1x0 = s3) C3 = ^i=^i'cosfejXo,

C4 = т cos яс,

v __ Иг^1 + A ^2 — (1 + ^l2) ^1 ^2] Bx— Ax [— B2px + + (1 + rf) px k2]

1 В3 [—B2px + ^Вх + (1 + f\2)pi k2] — £1 [ — Bi qx + B3 ij + (1 T)2) qx k2)

Определим по этим формулам собственные частоты колебаний панели со всеми закрепленными краями. Условия закрепления изображены на рис. 2, они соответствуют шарнирному опиранию краев пластины, размеры панели а=900 мм, 6=1640 мм. Рассмотрим два случая конструкции сотовой панели. В первом случае обшивки панели выполнены из углепластика со схемой армирования [0/±45°], толщина которых составляет 0,45 мм. Во втором случае обшивка выполнена из алюминиевого сплава АК4-1Т1 толщиной 0,5 мм. Заполнитель в обоих случаях является сотовым, соты из сплава АМГ-2Н с размером ячейки 2,5 мм и толщиной стенки 0,03 мм. Толщина сот составляет 19 мм. Тогда в первом случае для обшивки панели имеем ,Еж = 5,6-104 МПа, Еу = 2,2 • 104 МПа, Оху = 2,4-104 МПа, уж = 0,75, vy = 0,3. Соответственно безразмерные параметры будут tj = 0,55, р = 2,54, Ф = 0,005, е = 1,5, ¥=1,08. Удельный вес панели с обшивками из углепластика составляет gx = 2,33-105 МПа. Тогда Си = 38,6, £)и = 1,04, <о = = 6,09, t0 = М17,25 с-1, /^ = 113,6 Гц. Для панели с обшивками

Л

Рис. 2

из сплава АК4-1Т1 = 0,55, Р=1, ¥=0,41, е = 1,5, Ф = 0,009, £■, =

= 2,73-10-5 МПа. Соответственно Си = 16,57, 1)п=1,03, ш = 4, ( =

= 163,28 с-1, /0= 103,9 Гц.

_ «в

Проведено сравнение экспериментальных и расчетных частот панели с обшивками из алюминиевого сплава АК4-1Т1 при данных условиях закрепления. Экспериментальное значение собственной частоты составляет /*=113 Гц. Расхождение между теоретическим и экспериментальным значениями составляет 8% и может быть связано с идеализацией условий заделки панели.

Соответственно изгибающие и крутящий моменты выражаются через да, С}х и С}у по формулам

Ш-

дно

дГ

Ял

— _ п Г-*_ IЛЕ. _ -и * (ЁЕ- _ Ях V

у I ду I 5у / х дх \ дх Бх /_

М

Б

ху

['

дно дх V ду

’у

Яу

д

ду

(____________оП

\ дх ах /_

В предположении, что обшивки работают как мембраны, а это справедливо при рассмотрении достаточно тонких по сравнению с толщиной сотового заполнителя обшивок, получим напряжения в обшивках вдали от краев пластины в виде

20-

о- =

кг (2Л — Л,) Ь \ 7)2

1 I А2 — + 7у ^2 —

к^

Л2 £2 I X

X 81пА,(х —х0)81п Л2 (у -Уо)Д*,(0.

2/)- ТС

У

■^1 &1

Ах (2 Л —АО* V 1)2 'х ' 11

X 81п (л: — *0) в1п £2 (у — у0) Д (0 ,

^ 2^1 ^ А3 к1

X

ху

ху к1{2к-к1)Ь\ Ч Ч Ах X

X сов ^ (л — х0) соэ к2 (у — у0) Д А1 (О

(16)

I

и сдвиговые напряжения в сотовом заполнителе при условии, что поперечные сдвиговые силы воспринимаются только сотами:

5- А1 сое кх (х — *о) вШ к2 (у — уо)

Л-2Й!

Туг;

5_Л281п*1(л: ■*<>) со8А2(у — _Уо)

У - -----------------------------/*,*.(*)■

(17)

Зная напряжения, легко построить оценки для средних квадратов напряжений, эквивалентного напряжения и долговечности [7, 8], если принять в качестве критериев накопления повреждений какой-либо из кри-

териев разрушения для композитных материалов, например, критерий Пуппо—Эвенсена [9].

В процессе циклического нагружения композитов изменяются их жесткостные и демпфирующие свойства. Изменение жесткостных свойств приводит к тому, что коэффициенты системы уравнений (1) становятся зависящими от действующих напряжений и времени, либо числа циклов нагружения. Но в случае нагрузок с достаточно широким и непрерывным спектром внешних воздействий наиболее существенный вклад в значения динамических напряжений вносит изменение демпфирующих свойств композитной сотовой конструкции, хотя изменения жесткостных характеристик и приводит к изменению собственных форм и собственных частот колебаний конструкции.

Проводились исследования изменения логарифмического декремента колебаний в зависимости от изменения жесткости образца в процессе усталостных испытаний на изгиб с кручением. Изгиб с кручением осуществлялся посредством несимметричного расположения груза на конце возбуждаемого консольно закрепленного образца. На рис. 3 приведены изменения логарифмического декремента колебаний при изменении жесткости образца в процессе испытаний на изгиб с кручением. При такого рода испытаниях происходит разрушение сотового заполнителя, поэтому в этом случае изменение логарифмического декремента колебаний связано только с разрушением сотового заполнителя. Кривая I на рис. 3 соответствует изменению логарифмического декремента колебаний при уменьшении изгибной жесткости по первой форме изгиб-ных колебаний. Кривая II соответствует изменению декремента колебаний при уменьшении крутильной жесткости по первой форме крутильных колебаний. Из графиков видно, что декременты колебаний в зависимости от изменения жесткости образца при повреждениях сотового заполнителя возрастают. Получим оценки для динамических напряжений в сотовых панелях при действии вибрационных нагрузок.

Рассмотрим пластину, нагруженную внешним давлением. Уравнение (2) в этом случае имеет вид

Мх I ЧГМ = А [ иг,] {2И0 -^ + Р ^ • (18)

Здесь и — дифференциальные операторы, определенные равенствами

АЛ 1 Dx DXy ^6 | I Dx DXy

•'"1-------5-------~----------лЗй" 'г

dx6

25 к

+ ■

Dx Dy (1 чх vy) чх Dy DXy

dxi dy2 1

Dy DXy 2 Sv

Dx Dy (1 чх \y) чх Dy DXy

de

£)j, Ojy; dr> d*2dy* ‘ 2Sjf dy6

■D.

d*

2 (Dxy + vx D ) ■

d4

Dv

6і

Lt = -

x дхі ^\^xy ^ ’x^y) дх2дуї ‘-'у дуі ’

Dx Dxy fit Ml чх Vy) Dx Dy чх Dy Dxy } ^4

2Sx Sy dx4

Sx Sy

Dy DXy 2 SxSy

dx2dy2 1

d4 I Dx АцЛ й2 і / Ary Dy\ d*

dy1 + V ^ 25y/ dx* ■ ^ 2S* ^ Sy J dy2

(X, j>, 0 = 2 У)/*,*,(<); ^у(*» У).

a 6

= ?*■*,= Я ?(*« У» f)Wklkt{x, y)dxdy,

где №гц111,(х, У) представляет собой внутреннее решение (5). Здесь также использовано предположение, что затухание — линейное и что диссипативные связи между отдельными формами отсутствуют. Тогда (16) можно записать в виде

d2fj , 2Ї0 dfj

--------. ^----------------

2 ^ 4)W п

+ Ujfj---------— = 0.

dt2 р dt

Решение (19) имеет вид [10]

t ____________________________

fj = -- -,-l— -- -A qj Ct) e~n (^-T> sin2 Y <a) — 82 (t- t) dx,

p У <Oy — 82 о

где 8 = E0/p — логарифмический декремент колебаний.

Если qj(r)— aj sin (oz, to

Sin a> (t — tp) _

/;■ = aj

P Y(со2 — 0)2)2 + 452 ю2

где сдвиг фазы

При резонансе

f “ arclg

28 <й

0)у — (О2

/; = а

sin шу(£ — у)

2рВ«у

1

(19)

Для /-й формы колебаний имеем, учитывая (16), в центре пластины амплитудные значения напряжений

2D г

V А И а*‘*>

2Dy тс

At (2/г — А,) Ь

k2 + V

/42 ^2

рбс

ft.

tvj, = 0.

Будем предполагать, что жесткостные и демпфирующие характеристики не меняются по координатам в процессе циклического нагружения. Будем учитывать только изменение логарифмического декремента колебаний по времени, поскольку из эксперимента видно, что изменение жесткости мало по сравнению с изменением декремента колебаний. Тогда получим, что в состоянии предразрушения динамические напряжения при одной и той же интенсивности нагрузки примерно втрое меньше, чем в неповрежденной панели.

Таким образом, учитывая малый наклон кривых усталости таких композитных материалов, как углепластики [11], следует считать, что этот фактор для предсказания ресурса конструкции играет существенную роль.

Авторы благодарят Ю. Н. Работнова и В. Г. Пилосьяна за обсуждение работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Применение композиционных материалов в технике. — В сб.: Композиционные материалы. Т. З./Под ред. Б. Нотон. — М.: Машиностроение,

1978.

2. Болотин В. В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек.— ПММ, 1960, т. 24, № 5.

3. Москаленко В. Н. Собственные колебания трехслойных пластин, прямоугольных в плане. — В сб.: Теория пластин и оболочек.— Труды IV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек.— Ереван: изд-во АН Арм. СОР, 1964.

4. Шмидт Г. Параметрические колебания. — М.: Мир, 1978.

5. Libove С., Batdorf S. В. A general small-deflection theory for flat sandwich plates.'—Report N 899, National Advisary Commitee for Aeronautics, 1948.

6. Kulkarni A. М., Banerjee J. R., Sinha P. K- Response of randomly excited orthotropic sandwich plates. — Journ. of Sound and Vibration. — 1975, vol. 41, N 2.

7. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике.— М.: Стройиздат, 1965.

8. И л ь и ч е в В. Д. Применение спектрального суммирования усталостных повреждений при сложно-напряженном состоянии конструкции. — Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. X, № 2.

9. Роуланде Р. Течение и потеря несущей способности композитов в условиях двуосного напряженного состояния: сопоставление расчета и экспериментальных данных. — В сб.: Неупругие свойства композиционных материалов./Под ред. К. Геракович.—М.: Мир, 1978.

10. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматгиз, 1961.

11. Гу сен ков А. П., Когаев В. П., Березин А. В., С т р е-калов В. Б., П е ш е х о н о в Б. А., 3 в я г и н Л. К. Сопротивление усталости углепластиков в связи с конструктивно-технологическими факторами.— Мех. композитных матер., 1981, № 3.

Рукопись поступила 26/XI 1984 г.