CC BY
7
р-К8К 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2017. № 4 е-ЕЗБЫ 2313-688Х. Каёю Ше^гоп^, Сошриег Баепое, Сопйо1. 2017. № 4
УДК 004.8; 004.93
Пелещак Р. М.1, Литвин В. В.2, Пелещак I. Р.3
1Д-р фiз.-мат. наук, професор, завiдувач кафедри загальноТ фiзики Ыституту фiзики, математики, економки та нновацйних технологй Дрогобицького державного педагогчного унiверситету iменi iвана Франка, Дрогобич, УкраТна 2Д-р техн. наук, професор, завiдувач кафедри нформацйних систем та мереж Ыституту комп'ютерних наук та iнформацiйних технологiй Нацонального унiверситету «Львiвська полiтехнiка», Львiв, УкраТна 3 Магстрант кафедри нформацйних систем та мереж Ыституту комп'ютерних наук та нформацйних технологй
Нацонального унiверситету «Львiвська полтехнка», Львiв, УкраТна
ДИНАМ1КА НЕЛ1Н1ЙНОГО ОСЦИЛЯТОРНОГО НЕЙРОНА ПРИ ДИ ЗОВН1ШНЬОГО НЕСТАЦ1ОНАРНОГО СИГНАЛУ
Актуальтсть. Розглянуто задачу частотно-часово! та часово! залежност морфологи сигналу на виход1 нелшшного осцилятор-ного нейрона з урахуванням його порогового ефекту. Об'ектом дослщження е нелшшна модифжована модель Ван-дер-Поля, яка описуе динамжу нелшшного осциляторного нейрона при ди на нього р1зних за формою, частотою та амплпудою зовшшшх нестащ-онарних сигнал1в.
Мета роботи. Побудова нелшшно! математично! модел1 динамжи осциляторного нейрона з урахуванням його порогового ефекту при ди на нейрон зовшшшх нестацюнарних сигнал1в.
Метод. У наближенш Крилова-Боголюбова-Митропольського запропоновано методом послщовних наближень споаб розв'язку нелшшного неоднорщного диференцшного р1вняння другого порядку з квадратичною нелшшшстю шукано! функци при першш похщнш. Запропонований метод розв'язку дозволив отримати частотно-часову та часову залежшсть морфологи сигналу на виход1 нелшшного осциляторного нейрона з урахуванням його порогового ефекту при ди на нейрон р1зних структурою вхщних сигнал1в. Також запропоновано кодування шформаци нелшшним осциляторним нейроном на основ! частотно! модуляци та декодування за допомогою оберненого оператора, що д1е на вектор виидного сигналу.
Результати. Побудована нелшшна модель осциляторного нейрона реал1зована в середовищ1 комп'ютерно! математики «МаШешайеа 7.0». Дослщжено частотно-часову та часову залежшсть морфологи сигналу на виход1 нелшшного осциляторного нейрона з урахуванням його порогового ефекту при р1зних значеннях параметр1в вхщного нестацюнарного сигналу 1 р1зних вагових синаптичних зв' язках.
Висновки. Встановлено юнування резонансного ефекту у нелшшному нейрош за умови р1вност частоти зовшшнього нестацю-нарного сигналу та власно! частоти динамжи нейрона. Показано, що нелшшний осциляторний нейрон вдаграе роль частотного модулятора та суттево видозмшюе структуру вхщного шформацшного нестацюнарного сигналу (форму, частоту та ампл1туду). Запропоновано кодування шформаци нелшшним осциляторним нейроном на основ1 частотно! модуляци та декодування за допомогою оберненого оператора.
Ключовi слова: нелшшний осциляторний нейрон, частотна модулящя, морфолопя шформацшного сигналу, резонансний ефект, кодування та декодування шформаци.
НОМЕНКЛАТУРА
аь - початкова фаза в рад1анах;
Цк - параметр згасання коливань нелшшного осциляторного к-го нейрона;
%Ь - характерний часовий штервал локал1зацп сигналу;
(/) - часова залежшсть миттево! частоти сигналу на виход1 нелшшного к-го нейрона;
®0£ - власна частота коливань нелшшного к-го нейрона;
- зовшшня частота несучих коливань;
ст2- дисперсш к-го нейрона;
Xи- - вагов1 коефщенти зв'язюв вхщних сигнал1в з км нейроном;
}*0к - ваговий коефщент сигналу зсуву з к-м нейроном;
) - нестационарна фаза коливань;
акП)(Г) - часова залежшсть амплпуди сигналу к-го нейрона;
© Пелещак Р. М., Литвин В. В., Пелещак I. Р., 2017
БОТ 10.15588/1607-3274-2017-4-11
/вх - оператор входу; /а - оператор активацп; /вих - оператор виходу;
лТ _1(л -1(л^-1 хк т - обернений оператор,
що д1е на вектор вихщного сигналу, для того, щоб отримати структуру вхщного шформацшного несучого сигналу ¥к (?) , що поступае на к-й нейрон;
Ь = (X и-, , ^Ь, ТЬ, а ь ) - система парметр1в зовш-шнього сигналу, що поступае на к-й нейрон;
Ы0к - число 1мпульмв, яю приходять на к-й нейрон; Ыск - порогове значення 1мпульмв при якому к-й нейрон починае генерувати;
Рк( N0к; Nск ) - параметр амплпуди к-го нейрона; /Ь - центр локал1зацп сигналу за часом; У- (/) - вхщний нестацюнарний несучий сигнал, який поступае на к-й нейрон;
Хк (/) - вектор сигналу на виход1 к-го нейрона.
ВСТУП
Значний штерес для сучасно! нейродинамiки складае дослiдження процесiв шифрування, обробки та розшиф-рування шформацп, яка передаеться нейронами. На перших етапах обробки сенсорно! шформацп вейвлет-аналiз е ефективним iнструментом для дослiдження шформац-шно! складово! нейронних сигналiв, що рееструються. Традицiйно таке дослiдження зводиться до аналiзу струк-тури точкових процесiв, тобто до аналiзу частотно-часо-во! динамiки нейронних вiдгукiв [1-6], у яких носiями шформацп е часи генерацп iмпульсiв (спайкiв), а не !х форма [7]. Мехашзми, що приводять до генерацп спайюв, частково вiдомi [8]. Але те, яким чином нейрони та !х ансамблi передають iнформацiю про навколишнш свiт, до цього часу практично не дослщжено.
Метою дано! роботи побудова нелшшно! математич-но! моделi динамiки осциляторного нейрона з урахуван-ням його порогового ефекту при дп на нього зовнiшнiх нестащонарних сигналiв.
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ1
Нехай маемо нелшшний осциляторний пороговий k-й нейрон, який генеруе коливання з власною частотою
ro0k . На вх^ цього нелiнiйного нейрона подаеться не-
стацiонарний зовнiшнiй сигнал
N-1
Vk (t) = S ХLkvLk (raL; t - tL; аL ) + Х0k у виглядi суми
L=L0
N простих нестaцiонaрних сигналiв VLk (®l ' t -; аl ), кожний з яких центрований в точщ t = tL з ваговими ко-ефiцiентaми Х^к i ваговим коефiцiентом Xok зв'язку сигналу зсуву з k-м нейроном. Сигнал Vk (t) описуеться системою п'яти пaрaметрiв L = (ХLk, ®l , tL, TL, аl ), де ®L = 2n/L - зовтшня частота несучих коливань в герцах (Hz), %l - характерний часовий штервал локaлiзaцil сигналу в секундах, аl - початкова фаза в рaдiaнaх.
Тодi задача динaмiки нелiнiйного осциляторного нейрона за наявност зовнiшнiх нестащонарних сигнaлiв рiзних за формою, частотою та амплпудою полягае у визначенш частотно-часово! та часово! зaлежностi морфологи сигналу на виходi нелшшного осциляторного нейрона в межах нелшшно! моделi Ван-дер-Поля з ура-хуванням порогового ефекту нейрона та встановлеш критерто виникнення резонансних ефектiв у нелшшно-му осциляторному нейронi.
2 ОГЛЯД Л1ТЕРАТУРИ
У роботах [2, 3, 6] авторами було проaнaлiзовaно ви-падок перетворення сигнaлiв сенсорним нейроном (по-роговим пристроем), однак не враховано власну динам-iку нейрона. Зокрема, за допомогою класичних моделей порогових систем, таких як «integrate-and-fire» [2] («штег-руй i стршяй») та «threshold crossing» [3, 6] («перетин порогу») було показано, що рiзнi характеристики складно! динамжи на входi сенсорного нейрона зберiгaються в структурi точкового процесу [2-6, 9-11].
Комп'ютерне моделювання динамiки нейрона при дп на нього зовнiшнього постiйного сигналу було проведе-не в наближенш Ван-дер-Поля [12].
Авторами роботи [13] на осжда технiки подвшного вейвлет-аналiзу було дослiджено частотно-часову дина-мiку сенсорного нейрона (порогового пристрою) з ура-хуванням взаемодп його власно! динамiки та динамжи, зумовлено! дiею зовнiшнього нестацiонарного сигналу. При цьому сенсорний нейрон моделювався як пороговий пристрш, що перетворюе вхiдний сигнал у по-слвдовтсть iмпульсiв на виходi. Ця послщовшсть iмпульсiв описувалась послiдовнiстю дельта-функцiй Дiрака, кож -на з яких вщповдае моменту генерацп iмпульсу (спайку). Ц модельнi iмпульси мають однакову форму i амп-лпуду, тому iнформацiя про зовнiшню даю динамiчного сигналу вщображаеться тiльки в часових iнтервалах мiж моментами !х генерацп.
3 МАТЕР1АЛИ I МЕТОДИ
Розглядаеться сенсорний нелiнiйний осциляторний нейрон виду Ван-Дер-Поля (пороговий пристрш) з власною динамжою ю0£, який здатний генерувати iмпульси за в^сутносп зовнiшнiх нестацiонарних сигналiв (V (^) = 0), коли кшьюстъ наявних у сенсорному нейрош iмпульсiв Ыок досягае порогового значення Ыск (Nок > Nск ). Тобто, такий нейрон може розглядатися як пороговий пристрш, який перетворюе вхщний нестащо-нарний сигнал Ук (?) на послiдовнiсть iмпульсiв на ви-ходi (рис. 1) за рахунок «накладання» динамiки вхщного нестацiонарного сигналу на власну динашку нейрона. Внаслiдок цього аналiз процесу перетворення сигналiв сенсорним нелiнiйним осциляторним нейроном усклад-нюеться. Про складну динамiку перетворення вхiдного нестацiонарного сигналу, що подаеться на бюлопчний сенсор з власною динамжою, свiдчить експерименталь-ний запис сигналу (рис. 2) [13], що генеруеться бюлопч-ним нейроном без дп зовнiшнього сигналу (iнтервал 0<<110с з послщовшстю низькочастотних 8 -iмпульсiв). На iнтервалi часу 110с<<200с з (рис. 2) зображено результат взаемодп зовшшнього сигналу з бiологiчним сенсором з власною динамжою, яка приводить до форму-вання послiдовностi високочастотних 8-iмпульсiв.
Для шюстрацп розглянемо кодування шформацп сенсорним нелiнiйним осциляторним к-м нейроном, який описуеться нелшшним рiвнянням виду:
XXк + ц X — рк (^к; Мск)]XXк + ®1кХк = Ук«), (1)
2 2 N0^ — Nck де Р2( Щк; Ыск ) = Р0к 1апН-) - параметр ам-
плiтуди к-го нейрона; Цк >0; N0к, Nck, ст| - число iмпульсiв, якi приходять на к-й нейрон, порогове значення iмпульсiв к -го нейрона та диспермя вщпов^но;
ю2к - власна частота к -го нелшшного осциляторного нейрона; Ук (?) - вхщний нестащонарний сигнал, який поступае на к -й нейрон.
Рисунок 1 - Схематичне зображення процесу перетворення видного сигналу Vfc (t) сенсорним нелшшним осциляторним нейроном (пороговим пристроем). Часи генерацп iмпульсiв на виходi порогового пристрою Xfc (t) вiдповiдають моментам перетину
порогового рiвня
Рисунок 2 - Приклад експериментального запису сигналу, що генеруеться бюлогшим нейроном [13]
Нелшшний осциляторний нейрон мае власну динамь ку i генеруе 1мпульси за ввдсутносп зовнiшнiх сигналiв при
— N к
Ы0к > Nск, оскшьки за ще! умови 1апИ(——-—) > 0 i
ввдповвдно р2(Nоk;Nck) > 0 [14]. Математична модель (1)
може використовуватись також для дослщження колектив -но! поведшки ансамблiв нейронiв, взаемозв'язаних синап-тичними зв'язками X jk. Для цього в другому та третьому
доданках необх^но зробити замiну Xк ^ Хак, де
N
Хак = Хк + 1Х]кХ]; а = 1,2,_N. ]=1
Розв'язок рiвняння (1) знаходимо аналiтично-чисельним методом та методом послвдовних наближень у вигаяд
Xkn)(t ) = a(n){t )sin v(n\t ), де n = 1,2,3,..., N - номер ггерацп;
V(kn)(t ) = ®0kt + 9^(0
(3)
akn) (t) i Ф^ (t) - Функцп часу, яю добираються так, щоб сшввщношення (2) задовольняло р1вняння (1). Кр1м цього накладаемо умову, що akn) (t) е повшьно змшна фун-кщя, тобто
lim akn)(Рк Цkt) î-- akn)(Pkt)
= 1.
(4)
Але оскшьки функцш е дв! а^ (^) i у к^ (^), а р!внян-ня одне, то ця умова неоднозначно визначае функцп. Бу-демо вимагати, щоб виконувалась також умова
де Xkn) =
Xf = ro0ka (n)(t )cos ykn)(t), dX<kn\t )
(5)
dt
Пiдставляючи (2) в (1) i враховуючи умову (5), отримаемо систему рiвнянь для akn)(t) i y^^t) :
dak)(t) _-a(n-1)
dt
■ _ -ai
(t ¥k
d y^t)
dt
_ro0k +Vk
(ak"-1))2 sin2 yk"-1) (t) - pl (Nok; Nck)] cos2 yk"-1) (t) + Vk (t) cos yk"-1) (t)
,(«-1)(
(ak"-1))2sin2vk"-1)(t)-p2(Nok;Nck) sinyk"-1)(t)cosy^t)
(„-i)(t). (6)
j«-i)
(t)
Усереднимо праву частину системи рiвнянь (6) за перюд 2п при Vk (t) _ 0 за правилом [15]:
у виглядi суми N простих нестацюнарних сигналiв vLk (roL;t - tL;аL )
<Ф>_ ¿f^Vyf.
(7)
vlk (®l ;t - tl;а l ) _
2xr Vn
exp
(t - tL )2
4x'
cos(®L (t - tL) + aL), (12)
У нульовому нaближеннi вирази для aj^^ (t) i yk0 (t)
знаходимо з тако1 системи рiвнянь: da<k>)(t)
dt
_ A(af(t)),_ B(a((0 (t)), k dt
де A(ak\t)) _-ak0)(t
(ak )2
(8)
2
,B(ak0)(t)) _®ok.
1нтегруючи рiвняння (8), отримаемо в нульовому наближенш вирази для a^ (t) i yk0 (t) :
2 Pk
Л) _
1
1 + e
- Pk^kf
Vk°)(t) _ ro0kt'
(9)
(10)
де ak°^(t) задовольняе критерiю (4), повiльно змiнно1
функцi1. Для знаходження виразiв a® (t) i y® (t) у пер-шому наближеннi (n=1) необхiдно пiдставити вирази (9), (10) у систему рiвнянь (6). У результата штегрування отримаемо у першому наближеннi вирази для a^(t) i yk1 (t). Процес ггерацп припиняеться, коли будуть вико-нуватися умови:
»
(t) - ak"-1)(t)
akn)(t)
«1,
ykn)(t)-yk"-1)(t)
ykn)(t)
«1.
4 ЕКСПЕРИМЕНТИ
Чисельний експеримент було програмно реалiзова-но методом послщовних наближень при розв'язуванш системи рiвнянь(6) в середовищi компютерно1 математики «Mathematica 7.0» для зовшшнього нестацюнарного сигналу Vk (t)
N-1
Vk (t) _ Z 1 LkvLk (roL;t - tL;aL ) + 10k L_L0
(11)
кожний з яких центрований в точщ / = (ь 1 характеризуемся системою п'яти параметр1в Ь [16]
Ь = (Х Ьк, ЮЬ, (Ь, ТЬ, аЬ X (13)
де XЬк - вагов1 коефщенти зв'язюв вхщних сигнал1в . з к-м нейроном; Х0- - ваговий коефщент зв'яз-ку сигналу зсуву з к-м нейроном; аь = 2п/Ь - зовтшня частота несучих коливань в герцах (И/), (ь - центр лока-л1зацп сигналу за часом в секундах, %ь - характерний часовий штервал локал1зацп сигналу в секундах, аЬ -початкова фаза в рад1анах.
Числовий розрахунок морфологи зовшшнього нестацюнарного сигналу У- (() (11), (12), функцюнально! часово! залежност сигналу на виход1 нелшшного нейрона Хк (() та часово! залежшсп миттево! частоти несучого шформацшного сигналу ю- (() проведений для системи параметр1в Ь= (1, 6П, 21, 1, 0), = (3, 4, 12, 3, 0). Запропоно-вана математична модель зовшшнього нестацюнарного сигналу У- (() вщображае динам1ку реального сигналу, що характеризуе певний ф1зичний (бюлопчний) процес. 5 РЕЗУЛЬТАТЫ
На рис. 3, рис. 4 зображено перший доданок (N = 1)
нестацюнарного зовшшнього сигналу У- (/) ((11), (12)) в залежност вщ часу
L0k
exp
(t - V
4x2
cos(»L0(i - tL0) +aL0), (14)
що подаеться на сенсорний нелiнiйний осциляторний нейрон для двох значень параметра L): L) = (3, 4 п , 12, 3, 0); L)= (1,6П, 21, 1, 0) ввдповвдно. У першому випадку сигнал
vL0k (t - tL0 ) (рис. 1) мае амплiтуду 1 L0k _ 3 , а в другому -1 L0k _ 1, вдаовдао у першому випадку сигнал мае частоту fL0 = 2 Hz, центрований за часом в точщ tL0 = 12с з часовим штервалом локалiзацi1 сигналу т l0 = 3 с та почат-ковою фазою аL0 = 0, а в другому - fL0 = 3 Hz; tL= 21с, т L0 = 3с; а L0 = 0.
1
Рисунок 3 - Морфологтя зовтшнього шформацшного сигналу v^k (t — L ) (14) при значеннях параметрiв ¿0 = (3, 4 п, 12, 3, );
Pk = 0,4 та ^ = 0,1
Рисунок 4 - Морфолопя зовшшнього шформацшного сигналу vL k (t to (14) при значеннях параметрiв L = (1, 6п , 21, 1, 0);
Pk = 0,4 та ^ = 0,1
При числових розрахунках сигнал1в Xk (t ) на виход1 нел1н1йного осциляторного нейрона з вх1дними сигналами (рис. 3, рис. 4) параметри Pk = 0,4 та ц k = 0,1 ствпа-дають.
На рис. 5, рис. 6 представлено граф1ки частотно1 мо... ( n) d ^(t ) Л .
дуляцп щ ' =---, тобто зм1ни миттево1 частоти не-
k dt
сучого 1нформац1йного коливання Vk (t) (11), яке скла-даеться т1льки з одного простого нестац1онарного сигна-
лу vL0k (t — % ) (14), у в1дпов1дност1 з1 зм1ною сигналу, що зумовлена взаемод1ею зовн1шнього несучого 1нформа-ц1йного сигналу з власною динам1кою ®0k = 0,2п (рис. 5) 1 ®0k = 2 (рис. 6) нел1н1йного осциляторного нейрона.
На рис. 7, рис. 8 представлено граф1ки морфологи сигналу на виход1 нел1н1йного осциляторного нейрона
Xk (t) , яка визначаеться характером взаемодп власно1 динам1ки нейрона з частотами ro0k = 0,2п та ro0k = 2 1 динам1ки, зумовлено! зовшшньою д1ею vL0k (t — tLü ) (14).
Рисунок 5 - Часова залежшсть миттево! частоти несучого шформацшного сигналу (/ — )(14) при значеннях параметр1в ¿0= (3, 4 п, 12, 3, 0); Рк = 0,4 та
Ц к = 0,1,°0к = 0,2п
Рисунок 6 - Часова залежшсть миттево! частоти несучого шформацшного сигналу ( — ) (14) при значеннях
параметр1в ¿0= (1, 6п , 21, 1, 0); Рк = 0,4 та
Ц к = 0,1,00к = 2
О 00030 0.00025 0.00020 0.00015 0.00010 0.00005
Хь®
Ьс
5 10 Щ 20 25.
Рисунок 7 - Графж морфологи сигналу на виход1 нелшшного осциляторного нейрона Xк (() при значеннях параметр1в ¿0= (3, 4 п, 12, 3, 0); рк = 0,4 та Цк = 0,1, ю0к = 0,2п
При взаемодп зовшшнього сигналу (1 — 1Ь0 ) з параметрами Ь0= (3, 4п, 12, 3, 0); ¿0= (1,6 п , 21, 1, 0) з власною динамжою нелшшного осциляторного нейрона ®0к = 4 п або ®0к = 6 п спостерiгаеться рiзке зростан-
ня амплiтуди вихщного сигналу Хк (() (рис. 9) ж^вняно з вихщним сигналом на рис. 7. Тобто мае м^це резонан-сний ефект при сшвпаданш частоти зовшшнього сигналу з власною частотою коливань нелшшного нейрона,
(°Ь0 = 00к). Графiк частотно! модуляцп юк")(/1) у випад-ку резонансного ефекту представлений на рис. 10
Рисунок 8 - Графж морфологи сигналу на виход1 нелшшного осциляторного нейрона Хк (() при значеннях параметр1в
¿0 = (1,6п, 21, 1, 0); рк = 0,4 та Цк = 0,1,0
'0к
= 2
Рисунок 9 - Графж морфологи сигналу на виход1 нелшшного осциляторного нейрона Хк (0 у випадку резонансного ефекту при значення параметр1в Ь()= (3, 4 п, 12, 3, 0); Рк = 0,4 та
Цк = 0,1, 00к = 4 п
Рисунок 10 - Часова залежшсть миттево! частоти несучого шформацшного сигналу (/ — /¿)(14) у випадку резонансного ефекту при значеннях параметр1в ¿0 = (3, 4 п, 12, 3, 0); Рк = 0,4 та Цк = 0,1, Ю0к = 4 п
р-К8К 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2017. № 4 е-ЕЗБЫ 2313-688Х. Каёю Ше^гоп^, Сошриег Баепое, Сопйо1. 2017. № 4
6 ОБГОВОРЕННЯ
Формула (11) з урахуванням (12) описуе вм вхщш сиг-нали, включаючи сигнал зсуву, яю поступають з вагови-ми коефщентами Х^к на суматор к-го нелшшного ос-
циляторного нейрона (вхщний оператор /вх ). Вхщний оператор перетворюе зважеш ваговими коефщентами
входи [ подае !х на оператор активаци ^ (рис. 11). Для сенсорного нелшшного осциляторного нейрона оператор активаци ^ мае вигляд:
(2 (
/а = —Т + Мк \Хк - Рк(Х0к; Как Л ( + ю1к • (15) (Г2 \ J Ж
Вихщний сигнал нелшшного осциляторного нейрона Хк (Г) (рис. 11), який е результатом взаемодп власно! ди-нам1ки нейрона з динам1кою зовшшнього нестацюнарно-го сигналу являе собою перетворений вихвдним оператором у"вих вих1дний сигнал оператора активаци. Вихвдний
оператор у"вих е необхщний для представлення стану нейрона у бажанш област значень. У бшьшост робгг цей оператор не видшяють, а шд вихщним сигналом нейрона
розушють сигнал шсля оператора активаци ^ . Однак тд
час анал1зу й синтезу штучних нейронних мереж, яю ма-ють р1зш активацшш функцп з р1зними областями значень й областями визначення виникае необидшсть ураху-вання оператора виходу. Отже, нелшшний оператор пере-
творення вектора вхвдних сигнал1в Ук (Г) у вектор вихвдного сигналу Хк (Г) можна записати у вигляда:
Хк (о=л^ (л (V (г), х1к))). (16)
Для того щоб розшифрувати структуру вихщного сигналу Хк (Г) , необидно знати код програми, яка описуе обернений оператор, що д1е на вектор вихщного сигналу, тобто
лх-1 (7а _1(777.-1 Хк (г)))=Ук (г, Х 1к). (17)
Результата дослщжень динамжи нелшшного нейрона при ди на нього зовшшнього нестацюнарного сигналу показали, що нейрон може працювати в режим частотного модулятора \ при ствпадшт частот зовшшнього нестационарного сигналу з власною частотою коливань нейрона, останнш проявляе резонансш ефекти.
Таким чином, отримат результати дозволяють висуну-ти гшотезу про те, що процес кодування шформацп не-лшшними нейронами може розглядатися в термшах частотно! модуляцц, оскшьки в радюф1зищ ввдомо, що частотна модуляция е одним 1з способ1в передач! шформацп. ВИСНОВКИ
1. Запропоновано спошб розв'язку методом по-слщовних наближень нелшшного неоднорщного дифе-ренцшного р1вняння другого порядку з квадратичною нелшшшстю шукано! функцп при першш пошднш.
2. Встановлено, що нелшшний осциляторний нейрон може вдагравати роль частотного модулятора, тобто модулювати вхщний шформацшний нестацюнарний сигнал.
3. Встановлено, що нелшшний осциляторний нейрон з пороговим ефектом суттево видозмшюе структуру вхщного шформацшного нестацюнарного сигналу р1зно-го за формою, частотою та амшлтудою.
4. Встановлено юнування резонансних ефеклв у не-лшшному осциляторному нейрош за умови р1вност1 частоти зовшшнього нестацюнарного сигналу та власно! частоти динамжи нейрона.
Рисунок 11 - Структура штучного нелшшного осциляторного нейрона
5. Запропоновано кодування шформацп нелiнiйним
осциляторним нейроном на основi частотно1 модуляцл
та декодування за допомогою оберненого оператора, що
дie на вектор вихщного сигналу. СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ
1. Sauer T. Reconstruction of dynamical systems from interspike intervals / T. Sauer // Phys. Rev. Lett. - 1994. - Vol. 72. -P. 3811-3814. DOI: https://doi.org/10.1103/ PhysRevLett.72.3811
2. Racicot D. M. Interspike interval attractors from chaotically driven neuron models / D. M. Racicot, A. Lonytin // Physic D. -1997. - Vol. 104. - P. 184-204.
3. Castro R. Correlation dimension of attractors through interspike intervals / R. Castro, T. Sauer // Phys. Rev. E. - 1997. - Vol. 55. -P. 287-290. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.55.287
4. Sauer T. Nonlinear Dinamics and Time Series / T. Sauer // American Mathemtical Society. - 1997. - Vol. 11. - P. 63 - 75.
5. Hegger R. Embedding of sequences of time intervals / R. Hegger, H. Kantz // Europhys. Lett. - 1997. - Vol. 38. - P. 267-272. DOI: https://doi.org/10.1209/epl/i1997-00236-0
6. Castro R. Chaotic Stochastic Resonance: Noise-Enhanced Reconstruction of Attractors / R. Castro, T. Sauer // Phys. Rev. Lett. - 1997. - Vol. 79. - P. 1030-1033. DOI: https://doi.org/ 10.1103/PhysRevLett.79.1030
7. Вейвлет-анализ в нейродинамике / [А. Н. Павлов, А. Е. Храмов, А. А. Короновский и др.] // Успехи физических наук. -2012. - Т. 182, № 9. - С. 905-939. DOI: 10.3367/ UFNr.0182.201209a.0905
8. Tuckwell H. C. Introduction to Theoretical Neurobiology / H. C. Tuckwell. - Cambridge : Cambridge University, 1988. - 304 p.
9. Reconstruction of dynamical and geometrical properties of chaotic attractors from threshold-crossing interspike intervals / [N. B. Janson, A. N. Pavlov, A. B. Neiman et al.] // Phys. Rev. E. -1998. - Vol. 58. - P. R4-R7. DOI: https://doi.org/10.1103/ PhysRevE.58.R4
10. Extracting dynamics from threshold-crossing interspike intervals: Possibilities and limitations / [A. N. Pavlov, O. V. Sosnovtseva, E. Mosekilde et al.] // Phys. Rev. E. - 2000. - Vol. 61. - P. 50335044. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.61.5033
11. Chaotic dynamics from interspike intervals / [A. N. Pavlov, O. V. Sosnovtseva, E. Mosekilde et al.] // Phys. Rev. E. - 2001. -Vol. 63. - P. 036205 (5). DOI: https://doi.org/10.1103/ PhysRevE.63.036205
12. Bay J. S., Hemami H. Modeling of a Neural Generator with Coupled Nonlinear Oscillators / J. S. Bay, H. Hemami // IEE Transactions biomedical engineering. - 1987. - Vol. BME - 34, № 4, April. - P. 297 - 306. DOI: 10.1109/TBME.1987.326091
13. Павлов А. Н. Применение вейвлет-анализа в исследованиях структуры точечных процессов/ А. Н. Павлов, О. Н. Павлова // Письма в ЖТФ. - 2006. - Т. 32, вып. 21. - С. 11-17.
14. Сугаков В. Й. Основи синергетики / В. Й. Сугаков. - Ки1в : Обереги, 2001. - 288 с.
15. Боголюбов М. М. Асимптотичш методи в теорп нелшшних рiвнянь / М. М. Боголюбов. - Ки1в : Наука, 1992. - 312 с.
16. Божокин С. В. Непрерывное вейвлет-преобразование и точно решаемая модель нестационарных сигналов / С. В. Божокин // ЖТФ. - 2012. - Т.82, Вып. 7. - С. 8-13.
Стаття надшшла до редакцй 03.05.2017.
Шсля доробки 12.06.2017.
Пелещак Р. М.1, Литвин В. В.2, Пелещак И. Р.3
'Д-р физ. мат. наук, профессор, заведующий кафедрой общей физики, Дрогобычский государственный педагогический университет имени Ивана Франко, Дрогобыч, Украина
2Д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой информационных систем и сетей, Национальный университет «Львовская политехника», Украина
3Магистрант кафедры информационных систем и сетей, Национальный университет «Львовская политехника», Украина
ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНОГО ОСЦИЛЛЯТОРНОГО НЕЙРОНА ПРИ ДЕЙСТВИИ НА НЕГО ВНЕШНЕГО НЕСТАЦИОНАРНОГО СИГНАЛА
Актуальность. Рассмотрена задача частотно-временной и временной зависимости морфологии сигнала на выходе нелинейного осцилляторного нейрона с учетом его порогового эффекта. Объектом исследования является нелинейная модифицированная модель Ван-дер-Поля, которая описывает динамику нелинейного осцилляторного нейрона при действии на него различных по форме, частоте и амплитуде внешних нестационарных сигналов.
Цель работы. Построение нелинейной математической модели динамики осцилляторного нейрона с учетом его порогового эффекта при действии на нейрон внешних нестационарных сигналов.
Метод. В приближении Крылова-Боголюбова-Митропольського предложено путем последовательных приближений способ решения нелинейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с квадратичной нелинейностью искомой функции при первой производной. Предложенный метод решения позволил получить частотно-временную и временную зависимость морфологии сигнала на выходе нелинейного осцилляторного нейрона с учетом его порогового эффекта при действии на нейрон различных за структурой входных сигналов. Также предложено кодирование информации нелинейным осцилляторним нейроном на основе частотной модуляции и декодирования с помощью обратного оператора, которая действует на вектор выходного сигнала.
Результаты. Построена нелинейная модель осцилляторного нейрона, которая реализована в среде компьютерной математики «МаШетайса 7.0». Исследованы частотно-временная и временная зависимости морфологии сигнала на выходе нелинейного осцилля-торного нейрона с учетом его порогового эффекта при различных значениях параметров входного нестационарного сигнала и разных весовых синаптических связях.
Выводы. Установлено существование резонансного эффекта в нелинейном нейроне при равенстве частоты внешнего нестационарного сигнала и собственной частоты динамики нейрона. Показано, что нелинейный осцилляторний нейрон играет роль частотного модулятора и существенно видоизменяет структуру входного информационного нестационарного сигнала (форму, частоту и амплитуду). Предложено кодирование информации нелинейным осцилляторним нейроном на основе частотной модуляции и декодирования с помощью обратного оператора.
Ключевые слова: нелинейный осцилляторный нейрон, частотная модуляция, морфология информационного сигнала, резонансный эффект, кодирование и декодирование информации.
Peleshchak R. M.1, Lytvyn V. V.2, Peleshchak I. R.3
1PhD., Professor, head of the Department of Physics at the Institute of Physics, Mathematics, Economics and Innovative Technologies, Drohobych Ivan Franko State Pedagogical University, Ukraine
2PhD., Professor, head of the Department of Information Systems and Networks at the Institute of Computer Science and Information Technology, National University «Lviv Polytechnic», Ukraine
3Master student of Information Systems and Networks at the Institute of Computer Science and Information Technology, National University «Lviv Polytechnic», Ukraine
THE DYNAMICS OF NONLINEAR OCILLATOR NEURON BY THE ACTION OF EXTERNAL NON-STATIONARY SIGNAL Context. Deals with the problem of time-frequency and time dependence of the morphology of the signal at the output of nonlinear oscillatory neuron with regard to its threshold effect. The object of study is non-linear modified model of Van-der-Pol, which describes the dynamics of nonlinear oscillatory neurons under the action of various shape, frequency and amplitude of an external non-stationary signals.
Objective. Construction of nonlinear mathematical models of oscillatory dynamics of a neuron given its threshold effect under the action of a neuron to external non-stationary signals.
Method. In the approximation of Krylov-Bogoliubov-Mitropolskii the proposed method of successive approximations method for solving nonlinear differential equations of second order with quadratic nonlinearity of the unknown function with the first derivative. The proposed solution method allowed us to obtain the frequency-temporal and temporal dependence of the morphology of the signal at the output of nonlinear oscillatory neuron given its threshold effect when the effect on the neuron structure of the various input signals. Proposed coding information oscillatory nonlinear neuron on the basis of frequency modulation and decoding using the inverse operator which acts on the vector of the output signal.
Results. A non-linear model, the oscillatory neuron is implemented in the environment of computer algebra "Mathematica 7.0". Investigation of frequency-temporal and temporal dependence of the morphology of the signal at the output of nonlinear oscillatory neuron given its threshold effect at various values of the parameters of the input non-stationary signal and different weight of synaptic connections.
Conclusions. The existence of the resonance effect in nonlinear neuron with equal external frequency non-stationary signal and frequencies of the dynamics of the neuron. It is shown that nonlinear oscillatory neuron plays the role of the frequency modulator and significantly alters the structure of the input information signal is non-stationary (shape, frequency and amplitude). Proposed coding information oscillatory nonlinear neuron on the basis of frequency modulation and decoding by using the inverse operator.
Keywords: nonlinear oscillator neuron, frequency modulation, the morphology of the information signal, resonance effect, coding and decoding information.
REFERENCES
1. Sauer T. Reconstruction of dynamical systems from interspike intervals / T. Sauer // Phys. Rev. Lett, 1994, Vol. 72, pp. 3811 -3814. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.72.3811
2. Racicot D. M., Lonytin A. Interspike interval attractors from chaotically driven neuron models, Physic D, 1997, Vol. 104, pp. 184-204.
3. Castro R., Sauer T. Correlation dimension of attractors through interspike intervals, Phys. Rev. E., 1997, Vol. 55, pp. 287-290. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.55.287
4. Sauer T. Nonlinear Dinamics and Time Series, American Mathemtical Society, 1997, Vol. 11, pp. 63-75.
5. Hegger R., Kantz H. Embedding of sequences of time intervals, Europhys. Lett, 1997, Vol. 38, pp. 267-272. DOI: https://doi.org/ 10.1209/epl/i1997-00236-0
6. Castro R., Sauer T. Chaotic Stochastic Resonance: Noise-Enhanced Reconstruction of Attractors, Phys. Rev. Lett., 1997, Vol. 79, pp. 1030-1033. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.79.1030
7. Pavlov A. N., Hramov A. E., Koronovskij A. A. et al Vejvlet-analiz v nejrodinamike, Uspehi fizicheskih nauk, 2012, Vol. 182, No. 9, pp. 905-939. DOI: 10.3367/UFNr.0182.201209a.0905
8. Tuckwell H. C. Introduction to Theoretical Neurobiology. Cambridge, Cambridge University, 1988, 304 p.
9. Janson N. B., Pavlov A. N., Neiman A. B. et al. Reconstruction of dynamical and geometrical properties of chaotic attractors from threshold-crossing interspike intervals, Phys. Rev. E., 1998, Vol. 58, pp. R4-R7. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.58.R4
10. Pavlov A. N., Sosnovtseva O. V., Mosekilde E. et al. Extracting dynamics from threshold-crossing interspike intervals: Possibilities and limitations, Phys. Rev. E., 2000, Vol. 61, pp. 5033-5044. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.61.5033
11. Pavlov A. N., Sosnovtseva O. V., Mosekilde E. et al. Chaotic dynamics from interspike intervals, Phys. Rev. E., 2001, Vol. 63, pp. 036205 (5). DOI: https://doi.org/10.1103/ PhysRevE.63.036205
12. Bay J. S., Hemami H. Modeling of a Neural Generator with Coupled Nonlinear Oscillators, IEE Transactions biomedical engineering, 1987, Vol. BME - 34, No. 4, April, pp. 297-306. DOI: 10.1109/TBME.1987.326091
13. Pavlov A. N., Pavlova O. N. Primenenie vejvlet-analiza v issledovanijah struktury tochechnyh processov, Pis'ma v ZhTF, 2006, Vol. 32, No. 21, pp. 11-17.
14. Sugakov V. J. Osnovi sinergetiki. Kii'v:Oberegi, 2001, 288 p.
15. Bogoljubov M. M. Asimptotichni metodi v teorii nelinijnih rivnjan'. Kyiv, Nauka, 1992, 312 p.
16. Bozhokin S. V. Nepreryvnoe vejvlet-preobrazovanie i tochno reshaemaja model' nestacionarnyh signalov, ZhTF, 2012, Vol. 82, No. 7, pp. 8-13.
