CC BY
38
Машиностроение. Строительство. Материаловедение. Металлообработка
УДК 534:62-13
ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ РОТОРА В ОПОРАХ С РАДИАЛЬНЫМИ ЗАЗОРАМИ В.И. Г алаев
Кафедра «Теоретическая механика», ТГТУ Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: амплитуда колебаний; жесткость; малый параметр; маятниковая частота; метод осреднения; радиальный зазор; свободные колебания; собственная частота; цапфа.
Аннотация: Рассмотрена задача свободных колебаний ротора в случае, когда величина радиальных зазоров в его опорах значительно меньше их статической деформации в горизонтальном направлении от силы тяжести ротора. Методом осреднения, выбранным в качестве математического аппарата исследования, определены динамические характеристики ротора, указывающие на взаимосвязь его колебаний.
Расчеты критических частот системы ротор-опоры при проектировании машин в значительной степени определяют выбор той или иной модели конструкции и позволяют обеспечить надежность работы на заданных режимах, поэтому подобные расчеты для высокооборотных машин являются обязательными, так как с увеличением их быстроходности возрастает вероятность возникновения резонансных режимов.
На критических режимах возникают повышенные амплитуды колебаний, приводящие к увеличению знакопеременных нагрузок в сопряженных деталях машин и в особенности в опорах, что вызывает их радиальные износы и разрушение, сокращая тем самым сроки эксплутационной работы [1].
Статистические материалы по доводке и эксплуатации роторных машин показывают, что значительная доля дефектов возникает в результате прямого или косвенного воздействия вибрации, источниками которых являются критические режимы взаимосвязных колебаний механических систем.
Основным нелинейным элементом в системе опоры-ротор машины являются радиальные зазоры, которые увеличиваются в процессе эксплуатации роторной машины вследствие износа опорных поверхностей, тем самым существенно изменяя критические частоты роторов.
В зависимости от величины дисбаланса ротора, различают три режима работы опоры: одностороннего износа опоры; периодических ударов ротора с опорой; одностороннего износа цапф ротора [2].
При первом режиме центр цапфы совершает колебательное движение по дуге окружности, при этом цапфа ротора находится в контактном взаимодействии с опорой (рис. 1). Для этого режима работы опоры характерным является равномерный износ цапфы по всей окружности, а опоры - только в пределах дуги АВ. Первый режим работы имеет место, если неуравновешенные силы, вызываемые дисбалансом ротора, не превосходят его веса, при этом с увеличением дисбаланса возрастает амплитуда колебаний центра цапфы и длина контактной дуги АВ опоры.
Определение критической скорости вращения ротора и установление ее связи с величиной радиального зазора в опоре и частотой маятниковых колебаний представляет сложную нелинейную задачу, если рассматривается движение цапфы в опоре как колебание маятника при больших амплитудах [3]. В общем случае, под радиальными зазорами понимаются зазоры, обусловленные износом цапф ротора и его опор, а также образующиеся на посадочных поверхностях ротора и корпуса машины.
Рассматривается задача свободных колебаний горизонтально расположенного ротора в опорах с зазорами при их первом режиме работы, для описания и определения периодических движений которого применяется метод осреднения, являющийся одним из приближенных методов нелинейной механики [4, 5].
Обозначим: m, Cy, Cz, 5 - соответственно, масса, общие жесткости корпусов упругих опор в горизонтальном и вертикальном направлениях и радиальный зазор в опорах ротора; y, z - динамические перемещения ротора в горизонтальной и вертикальной плоскостях, обусловленные деформацией его опор; а - угол отклонения цапф ротора относительно опор.
Дифференциальные уравнения свободных колебаний горизонтально расположенного ротора в опорах с зазорами имеют вид [6].
г ■■ *2 my + Cyy + md( a cos a- a sin a) = 0,
2
* mz + Czz + m5(a sin a + a cos a) = 0, (1)
mda + my cos a - mz sin a + mg sin a = 0.
Третье уравнение системы (1) с учетом первых двух уравнений можно представить в алгебраической форме относительно переменных y, z, a:
tg a = Cyy I (mg + Czz). (2)
Таким образом, положение ротора в опорах с зазорами определяется двумя координатами, так как угол a может быть определен по координатам y и z, то есть не является дополнительной степенью свободы ротора.
Определив из равенства (2) угол a, его производные по времени, тригонометрические функции этого угла, можно записать относительно переменных y и z систему дифференциальных уравнений, разрешенную относительно старших производных:
j y = Фl(y, z, y, z);
111 = f2( y, z, y, z X
где f1(y, z, y, z), f2(y, z, y, z) - функции переменных y, z, y, z.
Функции фі(у, г, у, г), Ф2 (у, г, у, г) разложим в ряды и удержим в разложении члены до третьего порядка относительно переменных у, 2, у, 2. Рассмотрим случай, когда частота собственных колебаний ротора в опорах без зазоров много меньше частоты его маятниковых колебаний в жестких опорах с зазорами, то есть Су т << г/5. В результате получим следующую нелинейную систему уравнений динамики ротора:
1**2 3 2 '2 *2
|У + «мУ = e(-Clyz - CzУ + С3yz + C4yz + c5yy - C6yz - Cizyz);
2 2 2 3 2 *2 *2
lz + «zz = e(-bly + bzz + b3z + b4y z + b5y -b6zy - biyyz),
(4)
где e = Cy 5/(mg + CyS) - малый параметр; юм =
ю
y
ю
= V Cy/m,
/і+5ю; / г
ю2 = ЛС / да - соответственно, частота маятниковых колебаний ротора в упругих опорах с зазорами и собственные частоты его колебаний в горизонтальной и вертикальной плоскостях; аі,..., а7, Йі, ..., й7 - положительные коэффициенты, определяемые параметрами Су, С2, да и 5.
Запишем систему уравнений (4) в виде:
У = и;
z = v;
2
И =-®м У + e/i( У, z, u, v); v = -ю^ + e/2( y, z, u, v).
В системе уравнений (5) выполним замену переменных по формулам: y = xisin ji; z = x2 sin j2; u = х1юмсо8ф1; v = x2wz cos j2.
Относительно переменных xi, X2, ji, Ф2 получим уравнения:
e
(5)
Фі = юм-
Ф2 = «z e
XlWtf
e
x2w
/1(x1 sin фі, x2 sin ф2, xiw^ cos фі, x2wz cos j2)sin ф1; /2 (xi sin Фі , xz sin Ф2, Xi cos Фі , xz«z cos Ф2 ) sin Ф2;
z
(6)
Xi = — /i(Xi sin ji,x2 sin j2,х1юм cos ji,x2wz cos j2)cos ji;
®м e
X2 =---/2 (Xi sin ji, X2 sin j2, X^ cos ji, X2 W cos j2)cos j2.
W
Систему уравнений (6) запишем в форме:
ji =Юм +e^i( Xi, X2, ji, j2); j2 = wz + eR2 (xi, ^, ji, j2);
Xi =eQi(Xi, X2, ji, j2);
. X2 =e02( Xi, X2, ji, j2 ).
(1)
Функции Я.1, Я2, Ql, Q2 определяются в соответствии с записью системы дифференциальных уравнений (6).
К системе уравнений (7) применим метод осреднения, который состоит в переходе к приближенной системе уравнений
переменным фі, ф2 от правых частей системы уравнений (7); в результате получается система уравнений (8), в которой уравнения для переменных Хі, х2 отделяются от уравнений для переменных фі, ф2 .
х\ = 0; х = 0.
Общие решения уравнений системы (10) с заменой коэффициентов а2, а-$, а5, аб, Ьз, Ь4, Ьб через параметры исследуемой механической системы могут быть представлены в виде
ф1 = юм + eR10 (X1,^, ф1, ф2); ^ Ф2 = «z +eRZ(xi,X2,Фі, jz); Xi =eQi0( Xi, Xz);
_ X2 =eQZ( Xi, Xz),
(8)
где
2p 2p
2p 2p
(9)
(2p)2 0 0
Функции ( Хі, Х2) , 0° ( Хі, х2) являются средними значениями по быстрым
Функции в}°(Х1, х2), Q0(Х1, х2), определенные согласно равенством (9), имеют следующий вид:
r0 (xb x2) = -(а5Юмх12 - 3а2x12/2 + а3x2 - C6®2x2 ')/4юм ; R2 (X1, x2) = -(b4x12 - Ь6«мx12 + 3b3x2 /z)/4wz ;
Qi0(xi, xz) = 0; Q°(xb xz) = 0.
Система уравнений (8) записывается в форме
(10)
(11)
xi = xi0;
_x2 = x20,
где хі0 , х20, фі0 ф20 - постоянные.
Коэффициенты ао, а1, а2, Ро, Р1, Р2 определяются по формулам:
ао = С / 4т3 я3 (тя + 8Су) = е/ 4т3 я 3; а1 = С2у (3тя + 45С2)/4;
а2 = С2 (тяЪСг + Ъ2СуСг - т2я2)/т + 5Су);
Ро = §Су/8тя(тя + 5Су )3 = е/8тя(тя + 5Су )2 ;
Р1 = Су [т2я2 (2С2 + 3Су) + тя5Су (6С2 + Су) + 252Су2 (2С2 - Су)]/тя;
Р2 = С2 [тя (5тя + 85Су) + 3§2С^ ]/2 (тя + 5Су).
Динамические перемещения центра масс ротора равны:
у = х10 ^{юм [! + а0 (а1Х120 +а2х20 )]{ + Ф10 };
(12)
г = х20 БШ{ю2 [1 -ро (р1х120 +р2х20 )]1 + Ф20}•
Постоянные хю, х2о, Фю, Ф20 определяются по начальным условиям движения: / = о, у = уо, 2 = го, у = уо, 2 = го
Г~2 • 2/2 Г~2 • 2 / 2
х1о =\уо + уо/юм ; х2о = \2о + 2о1 ; (
V *■ 3 )
Ш ф1о = уо®м / уо; ^ ф2о = 2оюг/2о-
Величины хю, х2о есть амплитуды свободных колебаний ротора соответственно, в горизонтальной и вертикальной плоскостях; фю, Ф2о - начальные фазы колебаний.
Угол отклонения цапф ротора определяется в соответствии с равенством (2)
a = arctg
Cyx10 sin{«м [i + a0 (a1x120 + a2x20 )]t + Ф10}
^т + СхХ20 вШ|ю2 [і-Ро (РіХі20 +р2Х2о )]І+ Ф20} Частоты свободных колебаний ротора определяются равенствами
Юу = юм [і + а0 (а1хК) + а2х20 )];
Юс = ю2 [1 -р0 (р1хШ + а2х20 )].
(14)
Равенства (14) указывают на зависимость частот колебаний от амплитуд Хдо, Х20 , что является характерным для нелинейных механических систем. При рассмотрении данной задачи в линейной постановке частоты колебаний могут быть определены по формулам 0у = юм = Юу /^1 + 5юу/г, юС = ю2, которые показывают,
что радиальные зазоры в опорах в большей степени снижают собственную частоту колебаний ротора в горизонтальном направлении, не оказывая существенного влияния на частоту вертикальных колебаний. При е =0 (5 = 0) получаем, как и следовало ожидать, собственные частоты колебаний ротора в упругих опорах без
зазоров юу =^су] т, = 4СТ/ т.
Рис. 2 Г рафическая зависимость частоты ю^У от амплитуд колебаний (а 2 > 0)
Рис. 3 Г рафическая зависимость частоты ю;У от амплитуд колебаний
(а 2 < 0)
На рис. 2 - 4 графически представлены зависимости частот , юС от амплитуд колебаний х10, Х20, то есть скелетные поверхности рассматриваемой механической системы, построенные в предположении независимого изменения амплитуд.
Для частоты свободных колебаний указанная поверхность является эллиптическим параболоидом при а2 > 0 и гиперболическим параболоидом при а2 < 0;
для частоты юС - эллиптическим параболоидом.
Совершенствование конструкций роторных машин, рост рабочих скоростей, возрастающие требования, предъявляемые к качеству и точности выполняемых ими технологических операций обуславливают необходимость решения задач по определению и рациональному изменению динамических характеристик машин с целью
стабилизации в заданных пределах и во времени нормативного уровня вибронаг-руженности их рабочих органов.
Подобные аналитические исследования вибронагруженности рабочих органов роторных машин являются источником информации о качестве функционирования машин на этапе проектирования и в процессе их работы, позволяют выявить основные взаимосвязи между качеством технологической операции и параметрами, характеризующими конструкцию, технологию и методы эксплуатации машин, заложить оптимальные показатели во вновь проектируемой роторной машине.
Рис. 4 Г рафическая зависимость частоты юс от амплитуд колебаний
1 Кельзон, А.С. Расчет и конструирование роторных машин / А.С. Кельзон, Ю.Н. Журавлев, Н.В. Январев. - Л. : Машиностроение, 1977. - 288 с.
2 Шитиков, Б.В. Динамическая балансировка роторов / Б.В. Шитиков. - М. : Трансжелдориздат, 1951. - 123 с.
3 Хронин, Д.В. Колебания в двигателях летательных аппаратов / Д.В. Хро-нин. - М. : Машиностроение, 1980. - 296 с.
4 Боголюбов, Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М. : Наука, 1974. - 504 с.
5 Бидерман, В.Л. Теория механических колебаний / В.Л. Бидерман. - М. : Высшая школа, 1980. - 408 с.
6 Галаев, В.И. Взаимосвязь приведенных жесткостных характеристик системы упругая опора с зазором - вал роторной машины / В.И. Галаев // Изв. вузов. Технол. легкой пром-сти. - 1989. - № 4. - С. 121-126.
Dynamics of Non-Linear Free Oscillations of Rotor in Radial Clearance Supports
V.I. Galaev
Department “Theoretical Mechanics ”, TSTU
Key words and phrases: averaging method; fluctuations amplitude; free oscillations; journal; natural frequency; pendulous frequency; radial clearance; rigidity; small parameter.
Abstract: The task of natural oscillations of rotor when the size of radial clearance in its supports is much smaller than their statistic deformation in horizontal direction from rotor gravitational force is studied. Using averaging method, which is chosen as mathematical research tool, dynamic characteristics of rotor showing the interconnection of its oscillations are identified.
Dynamik der nichtlinearen freien Schwingungen des Rotors in den Stutzen mit den radialen Spielraumen
Zusammenfassung: Es ist die Aufgabe der freien Schwingungen des Rotors im Falle untersucht, wenn die Grofle der radialen Spielraume in seinen Stutzen ihren statischen Deformation in der horizontalen Richtung von der Kraft der Schwere des Rotors bedeutend weniger ist. Von der Methode der Mittelwertbildung, die als der matematische Apparat der Forschung gewahlt ist, sind die dynamischen Charakteristiken des Rotors, der die Wechselbeziehung seiner Schwingungen bezeichnet, bestimmt.
Dynamique des oscillations libres non-lineaires du rotor dans les supports avec les jeux radiaux
Resume: Est examine le probleme des oscillations libres du rotor dans le cas losque la grandeur des jeux radiaux de ses supports est considerablement moindre de leur deformation statique dans une direction horizontale a partir de la force de pesanteur du rotor. Par la methode de la mise en moyenne choisie en qualite de l’appareil mathematique d’etude sont definies les caracteristiques dynamiques du rotor qui indiquent l’interrelation des ocsillations.
