CC BY
130
ТРАНСПОРТ
УДК 519.6: 656.13: 537.8
И.Е. Агуреев, д-р техн. наук, проф.,
8-910-943-65-72, ieag@klax.tula.rn.
В.М. Тропина, доц., 8-4872-35-05-01. aiax@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
ДИНАМИКА ЛОГИСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ТРАНСПОРТНЫХ ЦЕПЯХ ПОСТАВОК
Приведен вывод математической модели логистической системы, состоящей из двух складов и потока автомобилей, выполняющих транспортный процесс между ними. Склады относятся к разным уровням логистической цепочки. Модель записывается в виде диссипативной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Показаны области применения модели и набор возможных решаемых задач. Приведены основные результаты предварительного исследования свойств модели.
Ключевые слова: логистика, математическое моделирование, логистическая система, обыкновенные дифференциальные уравнения, аттракторы.
Логистика как область практической деятельности основывается на широком разнообразии технических, организационных, информационных методов. Сокращение транспортных и складских издержек достигается с применением все более фундаментальных технологий, разрабатываемых на базе специальных методов математического моделирования. Сложность, иерархичность и многокомпонентность логистических систем приводит к существенно нелинейным эффектам их функционирования и требует соответствующих подходов [1 - 4]. Так, в работе [5] указывается, что основными направлениями развития логистики на современном этапе являются имитационное моделирование логистических систем с целью их оптимизации, внедрение новейших информационных технологий, автоматизация и роботизация складов и т.д.
В качестве заметного ориентира развития автор в работе [7] указывает на создание открытых гибких логистических систем, ориентированных на эффективные цепи поставок. При разработке новых логистических технологий и программных продуктов интенсивно ведутся необходимые научно-исследовательские работы (НИР). Так, в Институте транспортной техники и логистических систем (1БМ) Университета в г.Карлсруе (Герма-ния) в рамках НИР по оптимизации материально-технического снабжения выполнена разработка модели распределительного центра (склада, логистического центра, сбытового центра). Разработанная трехуровневая модель служит для оптимизации распределительных центров по всем основным показателям: затраты, производительность, качество.
В работе [8] на основе концепции окрестностных систем разрабатывается модель транспортно-распределительной системы региона. Ее особенностью, как известно, является наличие иерархической структуры. Поиск компромисса между качеством решения и временем, затрачиваемым на его принятие, приводит к необходимости введения иерархии уровней, на которых принимаются решения. Принимающим решения на нижних уровнях должна быть поставлена определенная свобода, возможность проявления собственной активности.
В работе [9] была предложена и исследована сетевая динамическая модель управления запасами в распределенной логистической системе. При этом неизвестные параметры системы, определяющие спрос и коэффициенты потерь запаса, задаются в виде интервалов, в границах которых они произвольным образом принимают свои значения. Вектор управляющих воздействий включает зависимости с запаздывающим аргументом. Подобные модели, которые относятся к классу дискретных преобразований, могут демонстрировать сложную динамику, включающую каскады бифуркаций перехода к хаотическому поведению.
В работах [1,2] были рассмотрены некоторые модели логистических систем, в частности, склад, взаимодействующий с транспортными системами, обеспечивающими поставку и вывоз материальных запасов. Была показана существенная нелинейность разработанной модели, которая в условиях открытого взаимодействия с транспортными потоками способна формировать различные виды поведения, включая периодические и непериодические колебания величины запасов.
Постановка задачи. Рассмотрим вариант модели логистической системы (ЛС), которая может быть описана следующими переменными: х - число автомобилей в текущий момент времени, участвующих в транспортном процессе; у - уровень текущих запасов на складах розничной торговли; г - уровень текущих запасов на складе оптовой торговли. Таким образом, формулируем модель ЛС в виде
х = ^(х,|д.)
или
* = F(x,f,n), (1)
где х€ М с , jxe L <z^, te I с 9t, к и m — размерности соответствен-
но параметрического и фазового пространств.
Представим правые части уравнений системы следующим образом:
х = kz(Y - у). (2)
Число автомобилей, участвующих в транспортном процессе, пропорционально запасам оптового склада и разнице (Y-y), представляющей собой объем вакантных мест для хранения запасов. Здесь Y - суммарная предельная вместимость складов розничной торговли.
У = Ну? +Ту] > гДе ZуТ = ах(1 - у!г)»Ну] = f(y)• (3)
i j i j
Запасы на складах розничной торговли формулируются в виде балансового уравнения, в котором слагаемое описывает скорость по-
i
ступления материальных запасов, а слагаемое Т^У] = /(у) задает функ-
j
цию (скорость) их расходования. Правая часть уравнения
Y^yt = ах(1 - у/Y) отражает факт пропорциональности скорости поступ-/
ления материальных запасов числу автомобилей. Параметр а при этом может иметь смысл грузоподъемности, «прибывающей» в единицу времени, а величина (1 -y/Y), равная относительной незаполненности складских помещений, служит для отражения, например, коэффициента использования грузоподъемности и, в конечном итоге, для описания размера партии перевозимого груза. Функция расхода, в простейшем случае, может быть задана линейной в виде /(у) = —by, а в более сложном - в виде случайного процесса.
z=+2>7 ’где ^zt= ; = _dx(l ~ y!Y)•
i J i J
Запасы на складе оптовой торговли формулируются в виде балансового уравнения, аналогичного (3), при этом слагаемое Yjzt = §(z) ха_
i
растеризует внешнее «воздействие» на открытую JIC - поток материальных запасов от дистрибьютора и/или производителя. Эта величина также может быть выражена в виде простейшей линейной зависимости
g(z) = c(\- z/Z) или в виде случайного процесса. Слагаемое совпа"
j
дает, с точностью до коэффициента, с величиной £ у?, что является ло-
гичным, поскольку (I Фа в общем случае, позволяющем учесть не только возвраты, потери и пр., но еще и поступление материальных запасов на розничные склады от иных поставщиков. Здесь X - предельная вместимость складских помещений оптового склада.
Остановимся на смысле некоторых величин, используемых в формулах. Параметр Ь, имеющий размерность [?]_*, обозначает интенсивность расходования запасов на складе розничной торговли (отнесенную, например, к одним суткам, если эта величина используется в качестве единицы измерения времени). Параметр с в этом случае будет обозначать суточную норму поступления запасов на склад оптовой торговли.
Таким образом, модель ЛС запишем окончательно в виде
х = к\г - к2уг; у = к3х-к4у-к5ху; (5)
г = — к^х — к7 г + к%ху + кд.
Положительные коэффициенты системы (5) определяются по формулам к\ = кУ; к2=к; к^=а\ к^=Ъ\ к$ = а/7; к^=(Л\ к^ = с/Z;
к% = а?/7; кд = с. Очевидно, что девять коэффициентов кх - к9 выражаются через семь параметров модели: а, Ъ, с, с1, к, 7, Z. Это означает, что коэффициенты нельзя выбирать произвольно. Условия, которым они должны удовлетворять, выглядят следующим образом:
(6)
к2 к5 к%
При этом величина 7 вычисляется через коэффициенты однозначно. В противном случае, если нарушается одно из условий (6), в системе (5) несколько изменяется смысл слагаемых. В уравнениях Г будет представлять собой различную величину, отражающую разную оценку запасов 7 отдельными участниками ЛС (перевозчиками, менеджерами складов). Таким образом, случай, когда не выполняются все условия (6), будет являться наиболее общим. Его мы и рассматриваем далее, оценивая однако степень близости к (6).
Исследование модели и результаты. Модели рассматриваемого класса, относящиеся к диссипативным динамическим системам, выраженным в виде нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяют по мнению авторов, учесть некоторые особенности транспортных систем, а также послужить определенным инструментом при решении задач организации грузовых перевозок и выбора стратегий управления запасами всех участников ЛС. Что касается особенностей, то к ним можно отнести следующие:
1) сочетание детерминированных и стохастических факторов функционирования;
2) коллективный характер работы транспортной системы (большое число участников в виде совокупности транспортных средств; значительное количество происходящих событий - операций транспортного процесса);
3) неравновесное состояние открытой ЛС - постоянное присутствие потока материальных запасов.
Все перечисленные особенности достаточно очевидны и не требуют специального рассмотрения. Однако эти особенности четко и определенно приводят к выбору класса моделей и соответствующим методам их исследования. Использование нелинейных диссипативных моделей позволяет достигать решение следующих задач:
1) качественное исследование моделей методами нелинейной динамики с целью определения характера динамического поведения ЛС;
2) определение стационарных состояний и их устойчивости как наиболее важных условий надежного функционирования системы;
3) формулировка и апробация на математических моделях принимаемых управленческих решений и их последствий;
4) диагностирование текущих состояний ЛС и инициирование своевременно принимаемых управленческих решений и т.п.
Проиллюстрируем некоторые результаты численного моделирования системы (5).
Уравнения (5) совместно с начальными условиями и заданными значениями коэффициентов позволяют сформулировать задачу Коши.
Решение задачи выполнялось численно методом Рунге - Кутта 4-го порядка, с точностью до 1 • 10_6. Величина шага изменялась по алгоритму, обеспечивающему требуемую точность. Начальные условия выбирались таким образом, чтобы выполнялось условие
где М^ - область диссипативности системы (5), определяемая из соотно-
В табл. 1 приведены некоторые найденные в модели ЛС режимы функционирования, соответствующие аттракторам диссипативной системы. На графиках фазового портрета и проекций вертикальная ось соответствует переменной г. В первом столбце вправо вверх направлена ось у, а вправо вниз - ось х. Во втором столбце вправо направлена ось у, а в третьем - ось х. В табл. 1 приведены пять вариантов решений, коэффициенты для которых представлены в табл. 2. Отметим, что размерность времени
х0&ма^м’
шения X>
к 4 + к7
вытекающего из условия диссипативности
сіїур(х,у,2) = —
дх ду дг
равна суткам, а количество запасов в расчетах представлено в тоннах. Исходя из этого несложно определить размерности всех коэффициентов и параметров модели (5). Следует также указать, что условие (6) ни в одном из вариантов не выполнено. Примерное выполнение этого условия возможно, например, в первом варианте при к= 13 и т.д. Этот вариант и взят далее для анализа динамического поведения фазовых переменных ЛС.
Таблица 1
Примеры аттракторов в модели ЛС
Фазовый портрет
Проекция 1
Проекция 2
Как известно из теории хаотической динамики, в подобных системах могут наблюдаться состояния равновесия (устойчивые и неустойчи-
163
вые), предельные циклы и нерегулярные колебания (аттракторы). С точки зрения практики все эти режимы работы Л С могут представлять интерес. Так, устойчивые состояния равновесия, вычисленные в теоретической модели, построенной для конкретной ЛС, могут дать информацию о границах устойчивого поведения.
Рассмотрим вопрос вычисления особых точек. Две особые точки
'У
существуют при условии £) > 0, где £> = ((3 - у) - 4а8:
4,2 =°; Л,2 = (Р-У±^)/2а; х1?2 = -*9/(*8Л,2 ~кб)-
Здесь ос = к^к$; (5 = к^к^; у = к^кд; 8 = к^кд; у Ф к^/к^.
Еще одна особая точка определяется координатами
*3 = к\к4 /(к2к3 - к\к5); у*ъ = кх / к2; гъ = (к9 - к6х*ъ + к%х*ъу*ъ )/к7.
Эта точка существует, если нарушается одно из условий (6):
к]_^кз к2 к5
Таким образом, в модели (5) может быть от нуля до трех особых точек. Характер их устойчивости в зависимости от параметров в настоящей работе специально не рассматривается.
Предельные циклы (периодические колебания) могут изучаться с точки зрения влияния амплитуд и периодов колебаний на затраты при изменении параметров модели. Хаотические колебания могут быть предметом исследований для выяснения наличия и доли детерминированных составляющих нерегулярного поведения в реальных ЛС. Конечно, невозможно ограничить моделирование ЛС только классом рассматриваемых в настоящей работе систем уравнений. Совершенно очевидно, что для дальнейших исследований потребуется иметь дело со стохастическими дифференциальными уравнениями.
Таблица 2
Параметры модели ЛС
Вариант К К К К к5 К кі К к9
1 4 3 14 2 2,4 17 0,1 3 6
2 2 0,3 1 0,9 9 11,4 4 0,2 5
3 1 2 24 2 3 12 1 4 5
4 2 15 6 7 1 28 1 6 3
5 0,8 12 5 6 1 0,3 2 12 4
Рассмотрим поведение фазовых переменных для варианта 1 с целью установления характера их совместной динамики в рамках одного периода колебаний (рисунок).
Поведение динамических переменных х, у, г на интервале одного
периода (вариант 1)
На рисунке сплошная жирная линия соответствует переменной х, тонкая линия - у, пунктирная - г. Представленные графики отражают достаточно сложную картину взаимодействия переменных в рассматриваемой поведенческой модели (5). При этом на значительном интервале одного периода колебаний расход и доставка запасов на складах розничной торговли находятся в примерном равновесии. Во второй половине периода уменьшается число автомобилей, отвозящих продукцию со склада оптовой торговли, и в результате запасы на этом складе восстанавливаются. На складах розничной торговли запасы падают до нуля, и в начале второго периода колебаний быстро восстанавливаются с началом поставок автомобилями. Запасы оптового склада здесь имеют максимум, которые затем быстро уходят в область дефицита (отрицательные значения переменной г).
Заключение. Рассмотренная динамика модели логистической системы описывает лишь те связи, которые заложены в уравнениях. Реальная ситуация сопровождается поступлением в неопределенные моменты времени факторов, соответствующих случайным событиям или принятиям решений любой из сторон, участвующих в системе. Здесь важен тот факт, что имеется принципиальная возможность формулировать подобные связи и устанавливать динамические закономерности поведения ЛС в условиях действия этих связей. Возможно построение моделей, где структура правых частей изменяется в зависимости от принимаемых управленческих решений или случайных событий.
Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, государственный контракт № 14.740.11.0983 от 05.05.2010 г.
Список литературы
1. Агуреев И. Е. Нелинейная динамика в теории автомобильных транспортных систем // Изв. ТулГУ. Сер. Автомобильный транспорт. 2006. Вып. 9.С.З-13.
2. Агуреев И. Е. Нелинейные модели транспортных процессов и систем // Изв. ТулГУ. Сер. Автомобильный транспорт. 2006. Вып. 10.
С.3-11.
3. Агуреев И. Е., Тропина В. М. Модель конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Изв. ТулГУ. Сер. Технические науки. Вып.1, 2007.
4. Агуреев И. Е. Применение теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого для анализа модели конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Динамика неоднородных систем: труды Института системного анализа Российской академии наук. / под ред. С.В. Емельянова. Т. 33. Вып. 12. 2008. С. 159-175.
5. Тиверовский В. И. Развитие логистики за рубежом // Транспорт: наука, техника, управление. 2010. № 10. С. 35-40.
6. Кириллова А. Г. Перспективы развития ЗРЬ-логистики в условиях актуальной финансовой ситуации // Транспорт: наука, техника, управление, 2010, № 12. С.17-19.
7. Тиверовский В. И. Логистика на современном этапе // Транспорт: наука, техника, управление. 2011. № 2. С. 47-51.
8. Моделирование иерархической окрестностной логистической транспортно-распределительной системы региона / В. А. Корчагин [и др]. // Транспорт: наука, техника, управление. 2011. № 3. С. 15-18.
9. Чаусова Е. В. Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и потерь запаса // Вестник ТГУ. 2006. №290. С.208-215.
I.E. Agureev, V.M. Tropina
THE DYNAMIC OF LOGISTICAL SYSTEM IN THE TRANSPORTATION CHAINS
The derivation of mathematical model of logistical system consisting of two warehouses and car flow that performs transportation processes from one to another is given. The warehouses belong to the different levels of logistical chain. The model is written as the dissipative ordinary differential equations system. The areas of the usage of yhe given model and the set of the possible solvable problems are shown. The main results of initial investigation of the model properties are proposed.
Key words: logistics, mathematical modeling, logistical systems, ordinary
differential equations, attractors.
Получено 17.08. 11
УДК 656.13:56.011.54/56
В.А. Корчагин, д-р техн. наук, проф., 8-4742-328207, rizaeva.u.n@vandex.ru. Ю.Н. Ризаева, канд. экон. наук, доц., 8-4742-328207, rizaeva.u.n@vandex.ru. (Россия, Липецк, ЛГТУ)
МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТРАНСПОРТНОЙ КАРТЫ РЕГИОНАЛЬНОЙ АВТОТРАНСПОРТНОЙ СОЦИОПРИРОДОЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Разработана принципиально новая модель динамической транспортной карты региональной автотранспортной социоприродоэкономической системы, позволяющая эффективно управлять процессом грузовых перевозок региона, учитывая при этом экологическое воздействие автотранспортного процесса на окружающую среду.
Ключевые слова: автотранспортная система, окружающая среда, регион.
В настоящее время возникла острая необходимость в повышении социально-экономической и эколого-экономической эффективности автомобильных перевозок как в отдельных регионах, так и в России в целом. Несмотря на проводимые в последнее время мероприятия по сохранению и оздоровлению окружающей среды, острота экологических проблем не только не снижается, но и продолжает нарастать. Исследования ученых, оценивающих современную антропогенную нагрузку на биосферу, показали, что уровень ее воздействия, при котором биосфера Земли будет функционировать без потерь, превышает допустимые нормы примерно в десять раз.
