ДИНАМИКА ЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ АДДИТИВНЫХ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ С НЕКРАТНЫМИ ЧАСТОТАМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36

EDN: SZGJSA

ДИНАМИКА ЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ АДДИТИВНЫХ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ С НЕКРАТНЫМИ ЧАСТОТАМИ

О.Н. Тушев Е.К. Кондратьев

[email protected] [email protected]

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

Аннотация

В общем случае предположено, что под действием аддитивных и мультипликативных возмущений возбуждается каждый элемент линейной механической системы. Решение выполнено методом Боголюбова в два приближения с небольшим изменением. Движение представляется в виде суммы «медленной» и «быстрой» составляющих. Предложена формализация задачи, позволившая в векторном уравнении движения выделить воздействия как скалярные элементы с матричными коэффициентами специального вида, что принципиально упростило аналитические преобразования. Поскольку внешние воздействия представляют собой апериодические процессы, то во втором приближении осреднение быстрых гармоник на периоде заменено сегрегацией движений, как и в первом приближении. Показано, что в системе могут возникнуть низкочастотные колебания на комбинационных частотах гармоник внешних воздействий, включающих в себя множественные обычные и параметрические резонансы, а также постоянные составляющие. Используемая формализация позволила не только единообразно описать все возможные варианты приложения аддитивной и мультипликативной составляющих нагрузки, но и получить решение поставленной задачи структурно в том же виде, что и для скалярного уравнения. Приведен пример, в котором результаты сопоставлены с решением, полученным численным моделированием движения

Ключевые слова

Линейная система, аддитивные воздействия, параметрические воздействия, медленное движение, быстрое движение, сегрегация, резонанс, постоянная составляющая

Поступила 25.03.2024 Принята 27.04.2024 © Автор(ы), 2024

Введение. Динамические эффекты, свойственные механическим системам под действием аддитивных и мультипликативных возмущений, известны давно. Впервые такие динамические эффекты механических систем выявлены при исследовании динамики физического маятника с изменяемыми параметрами или маятника, точка крепления которого совершает вертикальные колебания.

Маятник представляет собой простую систему с одной степенью свободы, что дает возможность получить аналитическое решение. Динамическое поведение параметрически возбужденного маятника во многом аналогично поведению и других более сложных систем, например, многостепенному маятнику. Динамика системы описывается уравнениями Матье или Хилла. В зависимости от свойств внешнего возбуждения существуют два варианта рассмотрения задачи [1].

Вариант 1. Потеря устойчивости и динамическое поведение системы при воздействии в области низких частот. При внешнем возбуждении в системе возникают параметрические и аддитивные резонансы. Известным результатом исследования области неустойчивости является, например, диаграмма Айнса — Стретта, на которой обозначены границы областей неустойчивости для маятника при вертикальном воздействии в форме синуса [2]. Такая задача в несколько других, более общих постановках приведена в [3-6]. Динамика линейной системы при двух периодических воздействиях рассмотрена в [7, 8], при этом возникают параметрические резонансы на частоте, равной разности частот внешних воздействий.

Вариант 2. Частоты внешних воздействий существенно превышают собственную частоту системы. Маятник, расположенный вертикально (в перевернутом положении, что соответствует максимальной потенциальной энергии), становится устойчивым. Первые результаты решения этой задачи получены академиком П.Л. Капицей [9]. Основополагающие результаты в проблеме повышения устойчивости механических систем за счет вибраций опубликованы В.Н. Челомеем [10, 11]. Для их получения использован метод, разработанный Н.Н. Боголюбовым и развитый Ю.Л. Митропольским [12, 13]. Эти результаты обобщены для маятника с многими степенями свободы [14, 15]; эксперимент и теория маятника с тремя степенями свободы рассмотрены в [16].

Представляет интерес задача, являющаяся обобщением задачи при вертикальной вибрации маятника, а именно, при косой вибрации, когда угол направления вибрации отличен от 0 и ж /2. При этом возникает стационарное перемещение (уход) маятника. Этот эффект проявляется

в образовании паразитных перемещений стрелок приборов и во вращении гаек в незатянутых резьбовых соединениях [12, 17].

Важной особенностью результатов, полученных в [18-20], является то, что они справедливы при условии периодичности внешних воздействий и, как частный случай, синусоидальных. Если снять это ограничение, то число вариантов динамического поведения параметрически возбуждаемых систем существенно увеличивается и границы между двумя подходами стираются [21].

Решение задачи. Полагаем, что к каждому элементу линейной системы с n степенями свободы приложены аддитивная и мультипликативная составляющие возмущения в виде гармоник с некратными частотами pli, p2i, V/. При этом необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: &n « min(pi/, p2i), где <x>n — наибольшая собственная частота си-

i

стемы. Тогда систему уравнений движения можно записать следующим образом:

n -

mx/ + £ c/jXj +^cnXi cos put = ai cos p2/t, i = 1, n, (1)

j = 1

где m.i — масса; Cj — жесткость; ц — малый параметр; cii — диагональный элемент матрицы жесткости; ai — амплитуда аддитивного воздействия.

Введем в рассмотрение понятия матричной (Iii) и векторной (Ii) единиц, все элементы которых равны нулю, за исключением элементов с номерами ii и i, равных единице. Понятно, что с их помощью можно представить любую матрицу или вектор в виде суперпозиции по элементам. Они позволяют формализовать задачу в очень удобном векторном виде для аналитического решения в принципе так же, как и для системы с одной степенью свободы. Преобразуем систему уравнений (1) и получим:

( - \

MX +

n

C + Д Z IiiCii cos put

V i =1 У

n

X Iiüi cos p2i t

i = 1

или

r n Л

X + R

n

E + £ Bi cos put X =2 Fi cos p2it, (2)

i =1 J i =1

где M = diag(mi, Vi); C = [c,j]П; X = (x1, X2, ..., Xn)т; R = M 1C; E — единичная матрица; Bi = ^.ciiC ~lIii; Fi = M_1 Iiai.

Отметим, что уравнение (2) структурно полностью совпадает с уравнением Хилла, но только с правой частью, как, например, для маятника с косой вибрацией точки подвеса [16]. Введенная формализация удобна еще и тем, что любая комбинация приложения внешних нагрузок не изменяет вид уравнения (2), преобразуются только коэффициенты. Допустим, что к элементу системы с номером к приложено мультипликативное полигармоническое воздействие, а к элементу системы с номером l — только аддитивное. Тогда в уравнении (2) коэффициенты Bi и Fi трансформируются к виду:

В(к) = цС~11ккСц, F() = M~1Iiai.

Представим решение уравнения (2) в виде суперпозиции движений — медленного X0 c частотами порядка собственных и быстрого AX с частотами внешней нагрузки:

X = X 0 + AX. (3)

Подставив решение (3) в уравнение (2), получим

X + AX + RXо + R £ Bi cos putXo + RAX + i = 1

+ R i Bi cos put AX = n Ft cos p2it. (4)

i = 1 i = 1

В первом приближении полагаем, что AX = 0, также необходимо, чтобы равенство (4) выполнялось для быстрой и медленной составляющих раздельно. Тогда

Xо + RXo = 0;

АХ = n F cos p2it - R £ Bi cos p1itXo.

i = 1 i = 1

После интегрирования (5) при допущении X0 = const имеем:

(5)

AX = R £ Bi cos put Xo - £ At- Fi cos p2it. (6)

i = 1 pb- i = 1 p2i

Во втором приближении подставим (5) и (6) в уравнение (4), затем, выполнив простые преобразования с сегрегацией «быстрой» и «медленной» составляющих, получим уравнение медленного движения в следующем виде:

Хо + R

E + - £ -г BiRBj cos(P- - P-j) t 2 i. j = - Plj

Хо =

=1R i Ar- BiFj cos(pu - p2j) t.

2 i, j = i p2j

(7)

Полагаем, что наиболее интересно, когда комбинационные частоты ри - р1), ри - р2] достаточно малы и определяют медленное движение. Характер уравнения (7) указывает, что в общем случае решение весьма «многолико» и может содержать в принципе множественные обычные и параметрические резонансы, а также постоянные составляющие. При г = ] в левой части уравнения проявляется постоянная составляющая, которая определяет известный эффект повышения жесткости системы при быстрых параметрических вибрациях [6], что трансформирует спектр собственных частот и, как показано в [9], увеличивает ее устойчивость. Для наглядности рассмотрим некоторые конкретные варианты.

Вариант 1. Аддитивное и мультипликативное воздействия приложены только к одному элементу с номером к:

Xо + R

E + -1Г BkRBk

. 2 P2k

Хо =■

i

2 P2k

RBkFk cos(p2k - pik )t. (8)

Несложно получить частное решение уравнения (8):

л -1

Хо =■

1

2 p12k

R

E + -1r BkRBk . 2 p2k

- (pik - p2k )2 E \ RBkFk cos(p2k - pik )t.

Понятно, что в системе возможен резонанс при совпадении комбинационной частоты с одной из собственных, а при рик = р2к = р взамен колебаний возникает постоянная составляющая Хо:

XXо =■

2 p2

E + — BkRBk . 2p2

BkFk.

Вариант 2. К предыдущему варианту нагрузки добавляется параметрическое воздействие на элемент с номером 1:

X о + R

E + i 2

(

ir BkRBk +-i- BiRBl +

p ik

Г i i >

— BiRBk + — BkRBi

pik

pii

pii

cos(pik - pii )t

X о =

= i R

2

BkFk cos(pik -p2k )t BiFk cos(pii -p2k )t

L p2k p2k

Из уравнения следует, что теоретически в системе могут одновременно возбудиться три резонанса, один из которых параметрический; возможны и различные варианты постоянных составляющих в решении.

Обобщим результаты, распространив их на систему с диссипацией энергии путем введения в уравнение (2) члена QX, Q может задаваться различными способами, например, как диагональная матрица коэффициентов диссипации. Тогда соотношение (5) преобразуется к виду

АХ + QАХ = Z (F cos p2it - RBj cos put) Xo.

i = 1

(9)

Выполнив простые преобразования с учетом того, что Xo = const, получим частное решение уравнения (9) в виде

n

AX = ^ [(Lb cos put - Hu sin put)Xo - cos p2it + H2i sin p2it ], (10) i = 1

где

hi = Hu = Q

E Q5

P2i

E + At Q2 Pui

-1

RIn; hi =

E +4 Q2 P2i

Fi;

-1

RIn; H2i = Q

E + At Q2 Pli

-1

Fi.

Выполнив аналогичные предыдущему варианту операции, имеем следующее уравнение для медленного движения:

Xо+QXо+R

1 п

E + ~ X (Bih j cos(pu - p1 j) t - BjHj sin(pu - p1 j) t)

2 i, j = 1

Xo =

= - Я Е (ВгЬ) COs( ри - р2) ^ - В)И2) 8Ш( р2; ~ p2i) ^ ). (11)

2 i,} = 1

Получение и сравнение результатов. Для иллюстрации полученных

результатов рассмотрим модель системы с двумя степенями свободы (рис. 1). К второй массе приложены аддитивное и мульти-

Cl тЛЛ- С2

ГП\

§i §2

т2

х пликативное воздействия; применено уравнение медленного движения (8) (вариант 1),

которые заданы функциями

Рис. 1. Модель системы

g2 (t) = ^X2(t) cos p12t; S2(t) = Л cos p22t.

Приведем численные значения параметров системы: cb = 20 Н/м; с2 = 10 Н/м; mb = 3 кг; m2 = 5 кг; v = 1000; ц = 0,2; 5b =5 2 = 2,5.

Приближенное решение xoi(t), i = 1,2 полученное в настоящей работе, сравнивалось с результатами численного моделирования xi (t) исходного уравнения движения. Расчеты проводились с помощью программного пакета Wolfram Mathematica. На рис. 2, 3 сплошной кривой приведены графики x0i(t), штриховой — xi(t). Анализ проводился для следующих вариантов.

Вариант 1. Режим совпадения частот: p12 = p22 = 11 Гц (см. рис. 2).

*i (0; *oi(0, м

о

-0,0001 -0,0002 -0,0003 -0,0004 -0,0005 -0,0006

*2(0; *ог(0> м

0 1-1 1 ! : !

-0,0015

0 20 40 60 80 г, с

б

Рис. 2. Графики движения первого (а) и второго (б) тел; режим совпадения частот

После затухания переходных процессов постоянные составляющие решения равны х 01 = -3,139 • 104 м, х 02 = -9,419 • 104 м, х1 = -3,074 • 104 м, х2 = -9,334 • 104 м, с погрешностями Д1 = 2,12 %; Д2 = 0,91 %.

Вариант 2. Резонансный режим. Собственные частоты с учетом того, что внешнее параметрическое воздействие трансформирует собственный спектр системы, определяются выражением

Ю0 =

R

E +

1

2 Pl2

■BiRBt

" 0,225"

0,503

Гц.

Частотам внешнего воздействия в таком случае присваиваются следующие значения: р12 = 11 Гц, р22 = р12 + (ш0)21. Рассмотрение режима на частоте (ю0)ц приводит к схожим результатам (см. рис. 3).

О 20

x2(ty, X02(t), м

-0,0005- : ;

0 20 40 60 t, с

б

Рис. 3. Графики движения первого (а) и второго (б) тел (резонансный режим)

После затухания переходных процессов средние погрешности по амплитудным значениям составляют Д1 = 3,2 %, Д2 = 1,2 %.

Выводы. Высокочастотные аддитивное и мультипликативное полигармонические воздействия с некратными частотами генерируют низкочастотные колебания всех типов, если комбинационные частоты гармонических составляющих попадают в диапазон спектра собственных частот системы.

Предложенная формализация позволила записать векторное уравнение движения многомерной системы, совпадающее с уравнением Хилла. Это дало возможность получить решение в удобном для анализа виде; установить его характер в каждом конкретном случае нагружения (резонансные режимы, постоянные составляющие, трансформация спектра собственных частот).

Использование в методе Боголюбова во втором приближении повторной сегрегации по частотам (как в первом приближении) вместо осреднения высокочастотных членов на периоде позволяет избежать трудности, если процессы по существу апериодические (полигармоника с некратными частотами).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Смирнов А.С., Смольников Б.А. История механического резонанса — от первоначальных исследований до авторезонанса. Чебышевский сборник, 2022, т. 23, № 1, с. 269-292. DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-269-292

[2] Грибков В.А., Хохлов А.О. Прием, упрощающий решение задачи устойчивости параметрически стабилизируемых статически неустойчивых маятниковых систем. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2015, № 11, с. 29-38.

DOI: http://dx.doi.org/10.18698/0536-1044-2015-11-29-38

[3] Сейранян А.П., Ябуно Х., Цумото К. Неустойчивость и периодические движения физического маятника с колеблющейся точкой подвеса. Докл. Акад. наук, 2005, т. 404, № 2, с. 192-197. EDN: HSIYBB

[4] Seyranian A.P., Mailybaev A.A. Multiparameter stability with mechanical applications. Singapore, World Scientific, 2004.

[5] Yaluno H., Miura M., Aoshima N.J. Bifurcation in an inverted pendulum with tilted high-frequency excitation: analytical and experimental investigations on the symmetry-breaking of the bifurcation. Sound and Vibration, 2004, vol. 273, no. 3, pp. 293-513.

[6] Акчурина Л.В., Каверина В.К. Рекуррентные формулы коэффициентов ряда Фурье при решении уравнения Матье в задачах систем с трением. Вопросы теории и приложений математических моделей механики и процессов переноса, 2018, № 4, с. 32-34. EDN: VUECYR

[7] Челомей С.В. Нелинейные колебания с параметрическим возбуждением. Изв. АН СССР. МТТ, 1977, № 3, с. 44-53.

[8] Челомей С.В., Щеглов Г.А. О динамической устойчивости прямого трубопровода, нагруженного переменной осевой силой при протекании через него пульсирующей жидкости. Изв. АН. МТТ, 1998, № 6, с. 175-184. EDN: VVKNAJ

[9] Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. ЖЭТФ, 1951, т. 21, № 5, с. 588-597.

[10] Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций. Докл. АН СССР, 1956, т. 110, № 3, с. 345-347.

[11] Челомей В.Н. Избранные труды. М., Машиностроение, 1989.

[12] Боголюбов Н.Н., Садовников Б.И. Об одном варианте метода усреднения. Вестник МГУ.У Сер. 3. Физика, астрономия, 1961, № 3, с. 24-34.

[13] Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асипмптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Наука, 1974.

[14] Стрижак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа «маятник». Алма-Ата, Наука, 1981.

[15] Челомей С.В. О двух задачах динамической устойчивости колебательных систем, поставленных академиками П.Л. Капицей и В.Н. Челомеем. Изв. АН. МТТ, 1999, № 6, с. 159-166.

[16] Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрацией. Докл. АН СССР, 1983, т. 270, № 1, с. 62-67.

[17] Иориш Ю.И. Виброметрия. М., МАШГИЗ, 1963.

[18] Беломытцева Е.Г., Курин А.Ф., Туленко Е.Б. Задача Коши для уравнения Матье с затуханием при параметрическом резонансе. Вестник ВГУ. Сер. Физика, математика, 2018, № 3, с. 105-125. EDN: VBAJOY

[19] Абрамов А.А., Курочкин С.В. Вычисление решений уравнения Матье и связанных с ними величин. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007, т. 47, № 3, с. 414-423. EDN: IAGRIP

[20] Arkhipova L.M., Luongo A., Seyranian A.P. Vibrational stabilization of upper statically unstable position оf double pendulum. J. Sound Vib., 2012, vol. 331, no. 2, p. 457-469. DOI: https://doi.org/10.1016/josv.2011.09.007

[21] Тушев О.Н., Чернов Д.С. Квазистатический «уход» маятника при возмущении точки подвеса высокочастотной полигармонической вибрацией с некратными частотами. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2021, № 5 (98), с. 4-16. DOI: http://dx.doi.org/10.18698/1812-3368-2021-5-4-16

Тушев Олег Николаевич — д-р техн. наук, профессор кафедры «Аэрокосмические системы» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Кондратьев Евгений Константинович — инженер кафедры «Аэрокосмические системы» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Тушев О.Н., Кондратьев Е.К. Динамика линейной механической системы под действием аддитивных и мультипликативных полигармонических высокочастотных воздействий с некратными частотами. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение, 2024, № 2 (149), с. 121-133. EDN: SZGJSA

LINEAR MECHANICAL SYSTEM DYNAMICS UNDER THE INFLUENCE OF ADDITIVE AND MULTIPLICATIVE POLYHARMONIC HIGH-FREQUENCY EFFECTS WITH THE NON-MULTIPLE FREQUENCIES

O.N. Tushev [email protected]

E.K. Kondratyev [email protected]

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation

Abstract

The paper assumes that in a general case each element of a system is being excited. It provides solution by the Bogolyubov method in two approximations with a slight modification. Motion is represented as the sum of the "slow" and "fast" components. Problem formalization is proposed making it possible to identify influences in the motion vector equation as the scalar elements with the matrix coefficients of a special form, which fundamentally simplified the analytical transformations. Since external influences appear to be the aperiodic processes, fast harmonics averaging over a period in the second approximation is replaced by the motion segregation, as in the first approximation. The paper shows that low-frequency oscillations could appear in the system at combination frequencies of the external influence harmonics, including the multiple ordinary and parametric resonances, as well as the constant components. The formalization used makes it possible not only to uniformly describe all the possible options in applying the load additive and multiplicative components, but also to obtain a solution to the problem posed structurally in the same form as for the scalar equation. The results are confirmed by an example, where they are compared with the solution obtained by the motion numerical simulation

Keywords

Linear system, additive influences, parametric influences, slow motion, fast motion, segregation, resonance, constant component

Received 25.03.2024 Accepted 27.04.2024 © Author(s), 2024

REFERENCES

[1] Smirnov A.S., Smolnikov B.A. The history of mechanical resonance — from initial studies to autoresonance. Chebyshevskiy sbornik, 2022, vol. 23, no. 1, pp. 269-292 (in Russ.). DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-269-292

[2] Gribkov V.A., Khokhlov A.O. A method to simplify solution of stability problem for parametrically stabilized statically unstable pendulum systems. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Mashinostroenie [BMSTU Journal of Mechanical Engineering], 2015, no. 11, pp. 29-38 (in Russ.). DOI: http://dx.doi.org/10.18698/0536-1044-2015-11-29-38

[3] Seyranyan A.P., Yabuno Kh., Tsumoto K. Instability and periodic motion of a physical pendulum with a vibrating suspension point (theoretical and experimental approach). Dokl. Phys, 2005, vol. 50, no. 9, pp. 467-472. DOI: https://doi.org/10.1134/1.2074117

[4] Seyranian A.P., Mailybaev A.A. Multiparameter stability with mechanical applications. Singapore, World Scientific, 2004.

[5] Yaluno H., Miura M., Aoshima N.J. Bifurcation in an inverted pendulum with tilted high-frequency excitation: analytical and experimental investigations on the symmetry-breaking of the bifurcation. Sound and Vibration, 2004, vol. 273, no. 3, pp. 293-513.

[6] Akchurina L.V., Kaverina V.K. Recurrent formulas of Fourier series coefficients in solving the Mathieu equation in problems of systems with friction. Voprosy teorii i prilozheniy matematicheskikh modeley mekhaniki i protsessov perenosa [Questions of theory and applications of mathematical models of mechanics and transfer processes], 2018, no. 4, pp. 3234 (in Russ.). EDN: VUECYR

[7] Chelomey S.V. Nonlinear oscillations with parametric excitation. Izv. AN SSSR. MTT, 1977, no. 3, pp. 44-53 (in Russ.).

[8] Chelomey S.V., Shcheglov G.A. On the dynamic stability of a rectilinear pipeline acted upon by a variable axial force due to the flow of a pulsating fluid. Izv. AN. MTT, 1998, no. 6, pp. 175-184 (in Russ.). EDN: VVKNAJ

[9] Kapitsa P.L. Dynamic stability of a pendulum at an oscillating suspension point. ZhETF, 1951, vol. 21, no. 5, pp. 588-597 (in Russ.).

[10] Chelomey V.N. On the possibility of increasing the stability of elastic systems by means of vibrations. Dokl. AN SSSR, 1956, vol. 110, no. 3, pp. 345-347 (in Russ.).

[11] Chelomey V.N. Izbrannye trudy [Selected works]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1989.

[12] Bogolyubov N.N., Sadovnikov B.I. On one variant of the averaging method. Vestnik MGU. Ser. 3. Fizika, astronomiya, 1961, no. 3, pp. 24-34 (in Russ.).

[13] Bogolyubov N.N., Mitropolskiy Yu.A. Asipmptoticheskie metody v teorii nelineynykh kolebaniy [Asymptotic methods in theory of nonlinear oscillations]. Moscow, Nauka Publ., 1974.

[14] Strizhak T.G. Metody issledovaniya dinamicheskikh sistem tipa "mayatnik" [Methods of studying dynamic systems of the "pendulum" type]. Alma-Ata, Nauka Publ., 1981.

[15] Chelomey S.V On two problems of dynamical stability of oscillatory systems formulated by academicians P.L. Kapitsa and V.N. Chelomei. Mech. Solids, 1999, vol. 34, no. 6, pp. 134-140.

[16] Chelomey V.N. Paradoxes in the mechanics due to the vibrations. Dokl. AN SSSR, 1983, vol. 270, no. 1, pp. 62-67 (in Russ.).

[17] Iorish Yu.I. Vibrometriya [Vibrometry]. Moscow, MASHGIZ Publ., 1963.

[18] Belomyttseva E.G., Kurin A.F., Tulenko E.B. The Cauchy problem for the Mathieu equation with damping at parametric resonance. Vestnik VGU. Ser. Fizika, matematika [Proc. of VSU. Ser. Phys. Math.], 2018, no. 3, pp. 105-125 (in Russ.). EDN: VBAJOY

[19] Abramov A.A., Kurochkin S.V. Calculation of solutions to the Mathieu equation and of related quantities. Comput. Math. and Math. Phys., 2007, vol. 47, no. 3, pp. 397-406. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542507030050

[20] Arkhipova L.M., Luongo A., Seyranian A.P. Vibrational stabilization of upper statically unstable position of double pendulum. J. Sound Vib., 2012, vol. 331, no. 2, pp. 457-469. DOI: https://doi.org/10.1016/josv.2011.09.007

[21] Tushev O.N., Chernov D.S. Pendulum quasi-static drift effect at suspension point excitation by high-frequency polyharmonic multiple frequency vibration. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, 2021, no. 5 (98), pp. 4-16 (in Russ.). DOI: http://dx.doi.org/10.18698/1812-3368-2021-5-4-16

Tushev O.N. — Dr. Sc. (Eng.), Professor, Department of Aerospace Systems, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Kondratyev E.K. — Engineer, Department of Aerospace Systems, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Please cite this article in English as:

Tushev O.N., Kondratyev E.K. Linear mechanical system dynamics under the influence of additive and multiplicative polyharmonic high-frequency effects with the non-multiple frequencies. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Mechanical Engineering, 2024, no. 2 (149), pp. 121-133 (in Russ.). EDN: SZGJSA