Динамика квазигармонических волновых импульсов при резонансной неустойчивости электронных пучков в замедляющих системах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.951

ДИНАМИКА КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛНОВЫХ ИМПУЛЬСОВ ПРИ РЕЗОНАНСНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ В ЗАМЕДЛЯЮЩИХ

СИСТЕМАХ

И. Н. Карташов, М. В. Кузелев, И. Б. Рудяк

Исследованы линейная и нелинейная динамика уединенных волновых импульсов при неустойчивости электронного пучка в замедляющей электродинамической системе. Рассмотрен случай резонансной неустойчивости типа одночастичного вынужденного эффекта Черепкова. Показано, что при близких значениях скорости пучка и групповой скорости электромагнитной волны ширина импульса не меняется, но происходит нелинейное искажение его формы. При групповой скорости волны меньшей скорости пучка искажение формы импульса значительнее и происходит его уширение.

Рассмотрим некоторую протяженную электродинамическую систему, вдоль которой (в направлении оси Е) распространяется холодный прямолинейный электронным пучок. Если у системы имеются собственные электромагнитные волны с фазовыми скоростями \/рн = ш/кг, близкими к невозмущенной скорости пучка II, то в ней возможно развитие резонансных пучковых неустойчивостей, обусловленных вынужденным черен ковским излучением собственных волн системы электронами пучка. Исследуем в таком замедляющей электродинамической системе с пучком эволюцию квазигармонического волнового возмущения вида:

Р(г^) — 0 ехр(—+ 1к2г) + <р*(г, ¿) ехр(ги;£ — г/г2г)]. (1)

Здесь - некоторая физическая величина, характеризующая возмущение; и; и к~

действительные частота и волновое число собственной электромагнитной волны системы; - медленная огибающая возмущения. Медленность огибающей означает, что она мало изменяется за время Т = 2тг/ш и на расстоянии А = 2тг/кг.

Уравнения для огибающей (р(г^) получаются из уравнений, описывающих электродинамическую систему, и из уравнения Власова для функции распределения электронов пучка. При выводе уравнений для (¿>(2, ¿) используются метод медленных амплитуд (метод усреднения по длине волны Л = 2тг/кг) [1] и представление функции распределения пучка в виде фазовой плотности его электронов [2]. Сама же процедура вывода в сильной степени зависит от физической природы и геометрии электродинамической системы. Для случая цилиндрического волновода с тонкими в поперечном сечении плазмой и электронным пучком подробный вывод имеется в [1, 3]. Уравнения оказываются следующими:

Здесь аь - безразмерный параметр, пропорциональный отношению где и>ь,Р

ленгмюровские частоты электронов пучка и плазмы соответственно; 0 < 1 - коэффициент связи между возмущениями плотностей плазмы и пучка; vg = Vg/Vph - отношение групповой скорости плазменной волны Vg к ее фазовой скорости Vph = и/кг; иь = U/Vpk - отношение скорости пучка к фазовой скорости волны. Величина иь определяет рас стройку черенковского резонанса - при точном резонансе щ = 1.

В уравнениях (2) фигурируют также безразмерное время т = eut, безразмерная координата £ = kzz, безразмерные координата yj = kzZj и скорость rjj = Vj/U электрона пучка с номером j. При моделировании пучка крупными частицами j есть просто номер частицы. Кроме того, т) - безразмерная медленная огибающая, пропорциональная функции <p(z,t) из формулы (1), а (/>(£, т)) - безразмерная медленная огибающая возмущения плотности заряда пучка. Она вычисляется по второй формуле (2), в кото рой суммирование производится по всем крупным частицам в пределах длины волны

m

(2)

d'h dr

1

-[{аь{р) + <Ж,т)) ехр(-г'г + гу}) - К.С].

А = 2-к/кг, т.е. по частицам с у: 6 (£ — 7г, £ + 7г), а N - число частиц на длине волны в невозмущенном пучке.

Уравнения (2) дополняются начальными условиями для огибающей и частиц электронного пучка, которые запишем в виде:

<Ж>°) = уо(0>

Уз |т=о = Уоз = Ь], гц\г_а = 1, 1 = 0, ±1, ±2,..., (3)

где к = \/N - "расстояние" между частицами в невозмущенном пучке. Последние два условия в (3) означают, что в начальный момент пучок невозмущен, и все электроны имеют скорость II.

Сформулированная начальная задача (2), (3) является довольно общей. Она описы вает эволюцию квазигармонических возмущений в произвольной электродинамической системе с пучком, а не только в упомянутом выше плазменно-пучковом волноводе. Поэтому мы и не останавливаемся подробно на выражениях для параметров уд, аь и в. В зависимости от природы электродинамической системы и механизма ее взаимодействия с пучком они достаточно произвольны. Необходимо, чтобы выполнялись неравенства

О < в < 1, аь < 1. (4)

Последнее из неравенств (4) означает малость плотности электронного пучка и связано с условиями применимости метода медленных амплитуд. Уравнения (2) легко обобщаются и на случай релятивистских электронных пучков, которые в настоящей работе не рассматриваются.

Начнем с решения начальной задачи (2), (3) в линейном приближении. Как следует из уравнений (2) и начальных условий (3) для у3 и г/^, для координат частиц справедливо представление у3 = уо-, + иьт + у^, где у3 - величина, обусловленная взаимодействием электрона с волной электродинамической системы. В линейном по возмущениям уу и т) приближении система (2) преобразуется к виду:

(д д \ лл ,

(I7 + щщ) ~р ~2гА + Щ~щ) ~р + (аь~ = -Ь (5)

где

2

Т) = ехр(гАт) ^ ехр(-г'у0;) (6)

Ж)

огибающая возмущения плотности заряда пучка в линейном приближении, а Д — (1 — щ) - расстройка черенковского резонанса. При резонансе Д = 0. Учитывая далее выражение (6) и начальные условия для у] и гц, сведем (3) к следующим соотношениям:

Л

<Ж, 0) = МО, 0) = О, —р(£, 0) = О, (7)

являющимся начальными условиями для линейных уравнений (5). Поясним, что при получении (5) - (7) были использованы тождества:

(8)

сI ( д 3 \

^ехр(-гу0,) = 0и — (А(т,£ = у0,- + иьт)) = + иь—j А(т,£),

где величины г/о/ определены в (3), а А(т, £) - произвольная функция. Полагая теперь

д2 = аь, (9)

что означает не простой черенковский резонанс, а резонанс собственной волны системы с одной из волн плотности заряда пучка, перепишем второе уравнение системы (5) в виде:

(I+2г{±^ь) -ф■ (10)

В зависимости от соотношения между первым и вторым слагаемым в левой части уравнения (10) различают два механизма вынужденного черенковского излучения пучком собственных волн электродинамической системы - одночастичный и коллективный [3]. Легко показать, что при выполнении неравенства

а6<02 (11)

доминирует первое слагаемое в левой части (10); механизм излучения при этом является одночастичным. В настоящей работе рассматривается только этот механизм излучения. Поэтому, считая неравенство (11) выполненным, отбросим в левой части (10) второе слагаемое и, с учетом первого уравнения системы (5), запишем следующую систему линейного приближения:

' д д \ _ .1 + =

(12)

Для решения начальной задачи (12), (7) удобно использовать преобразование Фурь по пространственной переменной £ и преобразование Лапласа по времени т. Применяя эти преобразования и осуществляя затем обратное преобразование Лапласа, получим

следующее решение линейной начальной задачи:

*

"1=1

(Г2т - хщ)2 ехр(-Шт(х)т + гхО

¿х. (13)

_(ПТО - Хиь)2 + 2(Пт - хщ)№т ' Х^д).

Здесь <^о(х) ~ преобразование Фурье огибающей начального возмущения (¿>о(£) (см. (7)), а Ппг(х)> т — 1,2,3 — корни дисперсионного уравнения рассматриваемой электродинамической системы с пучком

(П - ХУд)(П - ХЩ)2 - (1/2)ваь = 0. (14)

Вычисление интеграла (13) произведем в квазигармоническом приближении [4]. При этом учтем, что уравнение (14) имеет комплексные относительно О решения, что означает неустойчивость системы. Причем максимум мнимой части П достигается при X = 0. Поэтому, если функция 9?о(х) имеет резкий максимум в точке х = 0. то при вычислении интеграла (13) подынтегральное выражение можно разложить в окрестно сти этой точки по степеням х с точностью до членов первого порядка. В результате (13) преобразуется к виду:

1 3 /1 \1/3 Ф&т) = -<р0(С - идт) ^ ехр(-г'<5т6г), Ь = ( -ваь) , (15)

771=1

где 6\2 = ( — 1 ± г л/3) / 2, 63 = 1 - кубические корни из единицы, ид = {кг/и)ид^ а

ид = (2/3)£/ + (1/3)У, (16)

- групповая скорость сноса волнового импульса при неустойчивости, обусловленной одночастичным вынужденным черенковским излучением.

Таким образом, согласно формуле (15), в квазигармоническом приближении импульс (волновой пакет) переносится в пространстве со скоростью (16) без искажения формы

и нарастает во времени по закону ехр(\/36г/2). В дальнейшем из-за нарушения квази гармоничности рост импульса замедляется и происходит его уширение. Однако на еще более ранней стадии начинают сказываться нелинейные процессы в пучке, для учета которых требуется численное решение нелинейных уравнений (2).

При решении нелинейной задачи (2), (3) начальное возмущение зададим в виде уединенного импульса

¥>(0 =

а31п2(4), £е[0,2тгпл],

О, £*[0,2™л].

(17)

Здесь п\ - число длин волн, укладывающихся на длине импульса в начальный момент времени. Положим п\ = 15, а0 — Ю-4, 0 = 1, аь = 10~2. При этом выполнены условия медленности огибающей возмущения, начальный его уровень меньше уровня нелинейного насыщения, а также выполнено условие (11) одночастичности механизма излучения.

0 Координата 350

350

т=160

х=200

О Координата 350

Координата 350

Рис. 1. Огибающая импульса и фазовые плоскости частиц пучка (справа) для случая Г, = 0.95(7 в моменты времени: а) т = 12, Ь) т = 36, с) т = 60, ¿) т = 84, е) т = 160 и /) т = 200.

На рис. 1 для различных моментов времени т представлены огибающие импульса

О 997

1.0125

II 9Х>

х=84

О Координата 350

и фазовые плоскости электронов пучка для случая большой групповой скорости электромагнитной волны: Уд = 0.95£/. При таком значении Уд скорость сноса при неустойчивости (16) близка к невозмущенной скорости пучка, а ид ^ 1. Поэтому в линейном приближении любая точка импульса (15) перемещается по закону £ = т+£0 (для средней точки возмущения (17) £0 = «а71" ~ 47). Из рисунка видно, что импульс переносится в пространстве практически без искажения. Даже на поздней стадии (г =; 160 и т — 200). когда происходит нелинейное насыщение роста амплитуды импульса и электроны пучка захватываются электромагнитной волной, ширина импульса не возрастает. Не изменяется и размер области локализации возмущений скорости в пучке, что следует и■•> представленных на рисунке фазовых плоскостей.

0.00012-га

1 =

0.

О Координата 350

0.005

0 Координата 350

1.15 £

0

1 е

и 0.75

т=120

0 Координата 350

1.31_

т=160

0 Координата 350

Рис. 2. Огибающая импульса и фазовые плоскости частиц пучка (справа) для случая Уд = ОЛИ в моменты времени: а) т — 12, Ь) т = 84, с) т = 120, с1) т — 160, е) т = 200 и /) т = 250.

На рис. 2 представлены огибающие импульса и фазовые плоскости электронов пучка для случая маленькой групповой скорости электромагнитной волны: Уд = 0.1 С/. При таком значении Уд скорость сноса при неустойчивости (16) порядка 2/3 от невозмущенной скорости пучка. Поэтому в линейном приближении любая точка импульса (15) перемещается по закону £ = (2/3)т-Ь£0- В данном случае из-за большого относительного движения между электронами пучка и электромагнитными колебаниями наблюдается

г

<

Координата 350

1

0.08

Г

о

О Координата 350

1.001

0 ООО * I ! т=12 0 Координата 350

1.03 (2

350

О

0.96

0 Координата

350

Координата

т=200

0 Координата 350

0.051 с 1

0 Координата 350

I ! | 1-250 Координата 350

заметное увеличение области локализации возмущений. Передний фронт перемещает ся со скоростью, близкой к невозмущенной скорости электронов пучка (£ « г + £0), а задний - со значительно меньшей скоростью, близкой к скорости распространения электромагнитных колебаний (£ ~ 0.1т + £о)- На рис. 2 видно также существенное искажение формы импульса, в особенности на нелинейной стадии. Линейное же решение (15) если и проявляется, то только на малых временах (т < 80).

0 50 100 150 200 250 Рис. 3. Максимальные значения огибающих импульса: 1 — Уд — 0.95II; 2 — Уд = 0.1?/. Рис. 4. Положение середины огибающих импульса: 1 — Уд = 0.95II; 2 — Уд = О.Ш.

На рис. 3 изображены как функции времени т максимальные значения амплитуд огибающих импульса для двух указанных выше значений групповой скорости элек тромагнитной волны. Из (15) и (17) следует, что на линейной стадии максимальные амплитуды не зависят от У3 и сводятся к функции а0 ехр(л/ЗЬт/2). Это действительно имеет место, но на очень ранней стадии, при т < 70 — 80, когда амплитуды много меньше уровня нелинейного насыщения. В дальнейшем проявляется сильная зависимость от значения групповой скорости электромагнитной волны Уд. Так при меньшем Уд максимум амплитуды растет быстрее и до большего уровня, что, вероятно, обусловлено эффектом накопления колебаний на нелинейной стадии: в систему энергия вносится со скоростью пучка [/, а переносится "вниз по течению" с меньшей скоростью, близкой к Уд. То, что на нелинейной стадии скорость переноса возмущения определяется именно величиной Уд, следует из рис. 2: задний фронт почти не перемещается, а амплитуда импульса около заднего фронта нарастает быстрее.

0.08 | Амплитуды 0.07] 0.06-0.05 0.04 0.03 ;

0.02 1

0.01 '

I

о

о

150 200 250

На рис. 4 в зависимости от времени показаны положения средних точек импульсов для случаев большой и малой групповых скоростей электромагнитной волны. В соответствии с линейной теорией эти точки перемещаются по закону £ = uqr + В случае Vg = 0.95[/ в результате численного моделирования получается примерно такой закон перемещения средней точки, особенно при т < 120 (кривая 1 на рис. 4). Но при Vg — 0.IU средняя точка импульса перемещается значительно медленнее, чем по линей ной теории (кривая 2 на рис. 4). В целом, чем больше разница между скоростями Vg и ( тем сильнее на нелинейной стадии искажение волнового импульса, обусловленное смещением области локализации возмущений в пучке относительно области локализации волнового импульса. При Vg < U в области, занятой импульсом, происходит накопление колебаний. Есть все основания полагать, что при Vg > U колебания интенсивно уносятся "вниз по течению" и их рост в области первичного возмущения замедляется.

ЛИТЕРАТУРА

[1] К у з е л е в М. В., Рухадзе A.A. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. М., Наука, 1990.

[2] Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы. М., Наука, 1975.

[3] К у з е л е в М. В., Рухадзе А. А., Стрелков П. С. Плазменная релятивистская СВЧ-электроника. М., Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002.

[4] Нелинейные волны. - Сб. статей: Пер. с англ. под ред. А. В. Гапонова и Л. А. Островского. М., Мир, 1977.

Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 20 января 2003 г.