CC BY
54
УДК 531.9+539.12.01
UDC 531.9+539.12.01
ДИНАМИКА КВАРКОВ В МЕТРИКЕ БАРИОНОВ И СТРУКТУРА ЯДРА
DYNAMICS OF QUARKS IN THE BARYON METRIC AND THE STRUCTURE OF NUCLEI
Трунев Александр Петрович к.ф.-м.н., Ph.D.
Директор, A&E Trounev IT Consulting, Торонто, Канада
В работе рассмотрена система уравнений Дирака, описывающая динамику кварков в метрике адронов. Вычислен магнитный момент и энергия связи нуклонов в случае ядра дейтерия.
Alexander Trunev Cand.Phys.-Math.Sci., Ph.D.
Director, A&E Trounev IT Consulting, Toronto, Canada
In this paper we consider a system of Dirac equations describing the dynamics of quarks in hadrons metric. The magnetic moment and the energy of the nucleons in the case of deuterium nuclei calculated.
Ключевые слова: ДЕЙТРОН, КВАРКИ, НЕЙТРОН, Keywords: BINDING ENERGY, QUARKS, МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ, МЕТРИКА, ПРОТОН, MAGNETIC MOMENT, METRIC, PROTON,
ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ, ЯДРО. NEUTRON, NUCLEI.
Введение
Модели квантовой хромодинамики в плоской метрике широко используется для моделирования адронов и атомных ядер [1-5]. В работе [6] сформулирована модель метрики адронов, удовлетворяющая основным требованиям физики элементарных частиц и космологии. В работе [7] рассмотрена динамика кварков в метрике [6] с векторным полем Янга-Миллса. Получены результаты по магнитным моментам барионов, согласующиеся с экспериментом с высокой точностью. В настоящей работе рассмотрено применение модели динамики кварков к моделированию магнитных моментов и энергии связи нуклонов в ядре дейтерия в скалярном поле.
Основные уравнения модели метрики адронов
Рассмотрим центрально-симметричную метрику вида [6-8]
¥ = Г1у®г®] = _ dt2 + e 2vdr2 + dв2 + сг2(в^ф2
d2s (1)
= -KG
dd2
œ1 = dt, œ2 = endr, œi = dd, oW = sdj
Здесь Л г] =ЛЧ - метрический тензор пространства Минковского сигнатуры (- + + +), к = сот1; - гауссова кривизна квадратичной формы
dв2 +s2(в)dj2, Функция у=у(г, t) определяется путем решения уравнений Янга-Миллса [8]. Всюду, где не оговорено, используется система единиц, в которой с = Н = 1 .
Среди всех решений уравнений Янга-Миллса, в случае метрики (1), есть такое, которое выражается через эллиптическую функцию Вейерштрасса [8]. В этом случае уравнения модели приводятся к виду [6]:
Л„= |( Л2 -г2), еУ = Л„ г = t ± г + То
А = З/ВДг/^Й; 2 2, ^з), (2)
Здесь обозначено: g2’gз- инварианты функции Вейерштрасса, причем g 2 = К - свободный параметр, связанный с выбором начал
координат; bij + bji - 2(hbij )ly = Tij - тензор энергии-импульса материи. Отметим, что в этих обозначениях уравнения Эйнштейна имеют вид
bij + bji + bhj = Rij (3)
b = hbij ; Rij - тензор Риччи.
Положим g2 = 3/12, g3 = 1, тогда полупериоды функции Вейерштрасса
определяются в виде W = 1.33003, w2 = 0.66501 + 1.61260i. Отметим, что вычисление полупериодов и построение 3D изображений осуществлялось с использованием системы Wolfram Mathematica 9.0 [9].
В метрике (2) можно определить дефект решетки типа пузыря. В области пузыря считаем, что Л2 = к2, а во внешней области решение зададим в виде (2), имеем
2 *_2 „V
_ = О, \1\ < t0
(4)
A = k , eV = 0, ti < t0
>t
A = 3/l2pt/VÍ2,gi,g2), eV = A„
На границах пузыря непрерывна функция A и ее первая производная,
k = 4Hp(Tj4H, gi, g 2), AT= 0, \t = t (5)
В частном случае решетки с инвариантами заданными в виде g2 = л/Т2”, g3 = 1, находим первый ноль и соответствующее значение
параметра метрики =3 0449983, к = 2Л°38034 . Отметим, что
метрика во внутренней области пузыря является трехмерной, поскольку не содержит радиальной координаты. Действительно, используя уравнения (1) и (4), находим
Y = -dt2 + d92 + cos2 (Vkq + O0)dj2 (6)
Аналогично строится решение для других корней второго уравнения (5). Все эти решения отличаются только размером пузыря, тогда как значение параметра k не меняется.
Всякий пузырь можно вывернуть наизнанку, просто изменив на противоположные неравенства (4). В этом случае можно до определить метрику во внешней области пузыря, используя решение первого уравнения (2), так, чтобы метрика внешнего пространства совпала с метрикой нашей Вселенной [6]. Наконец, третий тип частиц можно составить как комбинацию двух первых, в результате возникает пузырь, ограниченный оболочкой конечной толщины.
Преобразуем метрику (6) к стандартному виду. Для этого умножим обе части выражения (6) на постоянное число — k и введем новые переменные, отличающиеся от старых переменных на постоянный
множитель Vk, в результате находим
Y ® Y1 = dt2 — dO2 — sin2 Odj2 (7)
Метрика (7) использовалась для моделирования структуры барионов [7], в том числе протона и нейтрона.
Динамика кварков
Для описания динамики кварков во внутренней области пузыря с метрикой вида (7) рассмотрим систему уравнений Дирака во внешнем поле Янга-Миллса. Отметим, что согласно (2) в метрике (7) тензор энергии импульса является постоянным. Следовательно, будем предполагать, что поле Янга-Миллса во внутренней области пузыря сводится к некоторой совокупности констант. В настоящей модели использованы три константы, а само поле описывается скалярным и векторным потенциалом
В = (ФЪ, Аьт )
Кроме того, будем учитывать электромагнитное поле, которое генерируют кварки. Используя результаты работы [10], преобразуем уравнение Дирака к криволинейным координатам (7). Имеем систему уравнений
1Г'‘(Ут+ 14*ьАІ У* = таь¥ „
(8)
Здесь обозначено 7т, Чаъ, Лт,у а, таъ - матрицы Дирака, параметры взаимодействия, векторный потенциал, волновая функция и эффективная масса поля кварка а входящего в состав частицы Ъ соответственно. Матрицы Дирака в метрике (7) имеют вид
У
Г1 0 0 0 " ' 0 0 0 - їв9
0 1 0 0 , у9 = 0 0 їв'9 0
0 0 -1 0 0 їв -їф 0 0
,0 0 0 -1 ч- їв'9 0 0 0 ,
/ =
0
0
sin в
eip cos в
0
0
- e
-ip
cos в
sin в
- sin в ej cos в 0 0
- ip
cos в
sin в 0 0
В этих обозначениях оператор Дирака в метрике (7) можно представить в форме
gp
f‘Ñl¡=f Э, +/дв+^-дг
sin в
Поскольку кварки обладают электрическим зарядом, они генерируют электромагнитное поле, посредством которого взаимодействуют друг с другом. Для описания этого взаимодействия используем уравнения квантовой электродинамики в форме
ЩлУУУа =(Э2 -Ñ2)АЦ (9)
Здесь a = e2 /Не - постоянная тонкой структуры, Уа = ¥+а7°,¥+а -сопряженный (по Эрмиту) вектор. Таким образом, предполагаем, что токи и заряды кварков суммируются, создавая коллективное поле, с которым кварки взаимодействуют в соответствии с уравнениями (8).
Система уравнений (8)-(9) использовалась для моделирования динамики кварков в случае барионов [7]. В простейшем случае, в котором учитывается только одно электромагнитное поле, модель содержит 3х4+3=15 нелинейных уравнений в частных производных. Для понижения порядка системы представим решение уравнений (8)-(9) в форме
' /1(в) Л
У а = e
__ ~-iwt+iLp
ip
f2(в)e 3(в) vi/4(в)eip.
(10)
e
а
Здесь L,w _ проекция углового момента на выделенную ось и энергия системы соответственно. Система уравнений Дирака для случая представления решения в форме (10), приводится к виду,
fi = (L + qabAb sin в)( f1 COt в + f 2 ) + f 2 +
(mab + w - 4ab Ф b )(f3 Sin в~ /4 COS в)
/2' = (L + qabAb Sin в)( f1 - f2 COt в) - f2 COt в -
(mab +W- 4ab Ф b )(f3 COS в + f4 SÍn в)
= (m ab -W+ qabФ b )(f1 SÍn в - f2 COS в) + ^
(L + ^abAb SÍn в)( f3 COt в + /4) + f4
Л' = -(mab -W+ 4abФ b )(f1 COS в + f2 Sin в) +
(L + qab Ab SÍn в)(f3 - f4 COt в) - f4 COt в
Здесь предполагается, что Ль = Ле + Лгм , ф b = ф e + фгм .
Отметим, что масса и заряд являются индивидуальными для каждого кварка, а момент и энергия всей системы выбираются из условия образования стоячих волн вдоль меридиональной координаты. Вычисляя ток в левой части уравнения (9) и оператор набла в правой части, находим уравнения, описывающие электродинамическую часть потенциала
OqabYa/Va = Wb
( 4 Л
(i /2)
V i=1 )
= -Ф"е - Ф'е COt в ,
Л.
(12)
MlatVafVa = 2a?aí (. АУ1 - f>.f3 )a =- ЛГ - Л'е TOt в + -
sin2 в ’ WafWa = 0.
Здесь по индексу а осуществляется суммирование по всех кваркам, входящим в систему. Таким образом, в случае нуклонов задача сводится к решению системы из 14 обыкновенных дифференциальных уравнений, а в случае дейтрона число уравнений в системе вырастает до 26.
Как известно, электромагнитные свойства элементарных частиц характеризуются электрическим зарядом и магнитным моментом. Поэтому
a
параметры поля Янга-Миллса, фигурирующие в уравнениях (11), должны быть связаны с величиной заряда и магнитного момента системы кварков, которые для данной системы определяются следующим образом
ж/2
Qb = J dVchbV аУУа = 4Ж J dqsin &!„Ь Z f2
а.\ а
о V i=1
(13)
н /I / Z,
m = 2 J dV[r х j]z = 2pßq J de sin2 eqabyagpyi
а/ Ta
0
ж/2
2
4Pq J deSin2 eZ qab (fJt - fl f3 )a
0 а
В качестве единицы измерения массы возьмем 1 МэВ, тогда параметры поля Янга-Миллса, векторный потенциал и энергия системы будут выражаться в единицах МэВ. Единицей магнитного момента в этом
случае является ßq = eh /MeV = 2memB = 1.0219978mB, где ßB - магнетон
Бора. Сомножителем здесь выступает удвоенная масса электрона, выраженная в принятых единицах массы.
Модель нуклонов
Влияние векторного потенциала на параметры барионов исследовалось в работе [7]. Было установлено, что масштаб изменения параметров векторного поля Янга-Миллса не превышает 1 МэВ. Следовательно, можно исключить это поле из рассмотрения, заменив его скалярным потенциалом, влияющим на эффективную массу кварков [11]. Решение системы уравнений (11)-(12) с нулевым векторным потенциалом Янга-Миллса можно получить в виде ряда по степеням параметра а . Для системы кварков основное состояние с нулевым моментом представляется в стандартном виде (10) с постоянными функциями f:
L = 0 f1 = /аЬ , f2 = 0 f3 = f4 = gob (14)
а
В случае (14) система уравнений (11) с нулевым векторным потенциалом приводится к виду:
2gab + (mab Wab )fab = 0 W
ab
-m
ab
(15)
Вычисляя компоненты 4-вектора тока, и используя первое условие нормировки (13), находим
•0 г2 - rt2 /л - 2 \ г2
J = fab + gab = (1 + mab )f ab ,
f = 2fabg ab Sin в = 2mabfab Sin в
4P0 = 1, fab =
1
(16)
4^(1 + таЬ )
Используем полученные результаты для вычисления магнитных моментов нейтрона и протона. Общие свойства исследуемых нуклонов и кварков представлены в таблицах 1-2.
Таблица 1. Свойства барионов
Symbol Spül Charss Mass Euy-M’lsiHiter GFactor Hypaehase Isciptn. QuaricCodtDBit
Р г 1 93 E.272Ü3 1 5 j Si 694713 1 г {{DoraiQuaric. UpQuarii UpQuaric}}
Р г -1 9307200 -1 5J Ei 694713 -1 г [[DoxviiQuafkBai. UpQusrfcBsi. UpQoaitBar}}
Л г О 939_5 6536 1 -3.S160S545 1 г [{DorsfiQuaric. DowiiQuaifc. UpQuafk] ]
г 0 93936536 -1 -3.B26QB545 -1 г [[DownQuafkBar. Dowr.QuakBsi. UpQoaricBar}}
Таблица 2. Свойства кварков
Symbol Spin Charge Mass BaiyonNumber Bottomness Chaim Hyperchaige Iso spin Strangeness Topness
и l 2 22 l 0 0 l 1 0 0
2 3 J J :
П 1 22 1 0 0 1 l 0 0
2 3 Г Г :
d 1 і 50 1 0 0 1 і 0 0
2 j J J :
d 1 і 5.0 1 0 0 1 і 0 0
2 Г 3 J :
Если предположить, что в составе протона кварки типа и имеют противоположно направленные спины, а в составе нейтрона кварки d имеют противоположно направленные спины, тогда магнитный момент протона зависит от эффективной массы d кварка, а магнитный момент
нейтрона зависит от эффективной массы и кварка. В этих предположениях находим
m /m =- , , b = n p; a = U, d. (17)
3(1 + mab )
В случае протона имеем mp / ßq = 1.5544916 X10 3, соответственно уравнение (17) имеет два корня
шРр = 0.00699556MeV; 142.948MeV . (18)
Для нейтрона ßn / mq = -1.06479466 X10 3, а эффективная масса и кварка имеет два значения:
mn = 0.0023958MeV; 417.397MeV . (19)
Следовательно, в каждом случае имеем два корня уравнения (17). Один из них соответствует очень малой энергии кварков порядка нескольких кэВ.
Модель дейтрона
Как известно, нуклоны объединяются в атомные ядра под влиянием ядерных сил. Однако сами ядерные силы долгое время оставались загадкой, не смотря на многочисленные феноменологические модели, в которых ядерные силы моделировались гипотетическими потенциалами типа потенциала Юкава, Вудса-Саксона или квантового гармонического осциллятора, положенного в основу модели ядерных оболочек [12]. Заметный прогресс в моделировании ядерных сил связан с развитием квантовой хромодинамики [13-14] и численных моделей нуклонов и легких ядер [1-5].
Объединяя два пузыря, путем погружения одного пузыря в другой, приходим к метрике ядра дейтерия — рис. 1. В этом случае возможны две комбинации, когда нейтрон погружен в протон — структура D={n,p}, и когда протон погружен в нейтрон, D={p,n}.
Можно предположить, что нуклоны образуют атомные ядра в состоянии с низкой энергией кварков. Эффективная масса кварка связана с массой покоя и потенциалом скалярного поля линейным уравнением [11]
таЬ = та + КъФъ (20)
Здесь 1аЪ - параметр взаимодействия кварков с полем Янга-Миллса. Таким образом, если предположить, что в основном состоянии эффективная масса совпадает с минимальным корнем уравнения (17), то из уравнения (20) следует простая оценка
та »-¿аъФь , а = и, ^; Ъ = П Р- (21)
Рис. 1. Модель метрики ядра дейтерия: слева протон погружен в нейтрон, в центре нейтрон погружен в протон, справа геометрия двух метрик типа (7).
Используя приведенную выше модель барионов, можно оценить магнитный момент и энергию связи нуклонов в ядре дейтерия. Будем предполагать, что спины нейтрона и протона параллельны. Тогда магнитный момент системы оценивается просто как сумма магнитных моментов протона и нейтрона, что составляет
mD » mn + mp = (2.792847356 -1.91304272)^ = 0.879805mN
(22)
Здесь mN - ядерный магнетон. Экспериментальное значение магнитного момента дейтрона равно mD = 0.85743823/uN, что отличается от величины в правой части (20) на 2.6%.
Энергию связи можно оценить, используя гипотезу, что общая энергия связи складывается из разности потенциалов Янга-Миллса, тогда в случае системы D={p,n}, состоящей из протона в нейтроне — рис. 1, имеем с учетом (21)
Eb » mu = 2.2MeV (23)
Полученная оценка лишь на 1% отличается от энергии связи дейтрона Eb = 2.22457 MeV . Детальный расчет магнитных моментов и энергии связи осуществляется в рамках численной модели, описанной в работе [7]. Объединенная модель дейтрона включает 26 обыкновенных дифференциальных уравнений, которые решаются численными методами, реализованными в системе [9].
Возникает вопрос, почему в природе не реализуется комбинация нуклонов типа нейтрона вложенного в протон с энергией связи порядка массы d кварка? Можно предположить, что эта комбинация реализуется в ядре трития, которое состоит из двух нейтронов и одного протона - рис. 2. В этом случае полная энергия связи составляет 8.4818 МэВ, что близко к величине суммарной массы u и d кварков.
Т ={и,р,п}
2
Рис. 2. Модель метрики ядра трития.
Можно предположить, что и в общем случае при любом числе нуклонов атомные ядра организованы по принципу вложенных оболочек. Эта гипотеза согласуется с теорией ядерных оболочек [12,15-16]. Отметим, что в [15-16] ядерные силы моделировались векторным потенциалом в пространстве пяти измерений на основе модифицированной теории Калуцы-Клейна. В рамках этой модели была вычислена энергия связи нуклонов для всех известных нуклидов.
Таким образом, развитая модель позволяет объяснить природу ядерных сил, которые обусловлены, главным образом, метрикой барионов и топологией атомных ядер. Сами ядра состоят из оболочек с метрикой типа (7) и остова, состоящего из глюонного конденсата. Такая модель позволяет описать свойства всех известных нуклидов [15-16] и адронов [17-18].
Наконец заметим, что результаты исследования свойств атомных ядер на основе сформулированной модели можно применить для решения
проблемы многих тел в квантовой теории, в частности, для описания свойств многоэлектронных атомов [15].
References
1. S. Durr, Z. Fodor, J. Frison et all. Ab Initio Determination of Light Hadron Masses// Science, 21 November 2008: Vol. 322, no. 5905 pp. 1224-1227.
2. R. G. Edwards (LHPC Collaboration), B. Joo (UKQCD Collaboration). The Chroma Software System for Lattice QCD// arXiv:hep-lat/0409003, Proceedings of the 22nd International Symposium for Lattice Field Theory (Lattice2004), Nucl. Phys B1 40 (Proc. Suppl) p832, 2005.
3. Doron Gazit, Sofia Quaglioni and Petr Navratil. Three-Nucleon Low-Energy Constants from the Consistency of Interactions and Currents in Chiral Effective Field Theory//arXiv:0812.4444v2 [nucl-th] 21 Sep 2009
4. S. Quaglioni, P. Navratil,R. Roth, and W. Horiuchi. From nucleons to nuclei to fusion reactions//arXiv: 1203.0268 [nucl-th]
5. M. Hirai, H. Kawamura, S. Kumano, and K. Saito. Selected topics on parton distribution functions//arXiv: 1111.0353v1 [hep-ph] 2 Nov 2011.
6. Трунев А.П. Моделирование метрики адронов на основе уравнений Янга-Миллса // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2012. - №10(84). С. 874 - 887. -Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/10/pdf/68.pdf, 0,875 у.п.л.
7. Трунев А.П. Динамика кварков в метрике адронов и структура барионов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2013. - №01(85). С. 525 - 542. -Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2013/01/pdf/42.pdf
8. Л.Н. Кривоносов, В.А. Лукьянов. Полное решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметричной метрики// Journal of Siberian Federal University, Mathematics & Physics 2011, 4(3), 350-362.
9. Wolfram Mathematica 9.0/ http://www.wolfram.com/mathematica/
10. V. Dzhunushaliev. Canonical conjugated Dirac equation in a curved space// arXiv:1202.5100, Feb. 25, 2012.
11. J.J.J. Kokkedee. The Quark Model. - W.A. Benjamin Inc., NY-Amsterdam, 1969.
12. Maria Goeppert-Mayer. On Closed Shells in Nuclei/ DOE Technical Report, Phys. Rev. Vol. 74; 1948. II DOE Technical Report, Phys. Rev. Vol. 75; 1949
13. S. Weinberg, Physica 96A, 327 (1979); Phys. Lett. B 251, 288 (1990); Nucl. Phys. B363, 3 (1991);
14. G. Gasser and H. Leutwyler, Ann. Phys. 158, 142 (1984).
15. Трунев А.П. Ядерные оболочки и периодический закон Д.И. Менделеева / А.П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2012. - №05(79). С. 414 - 439. -Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/05/pdf/29.pdf
16. Трунев А.П. Ядерные оболочки и периодический закон Д.И.Менделеева. Часть
2. / А.П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2012. - №07(81). С. 491 - 514. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/07/pdf/37.pdf
17. Трунев А.П. Моделирование массы адронов и энергии возбужденных состояний атомных ядер в модели глюонного конденсата // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2012. - №07(81). С. 545 - 554. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/07/pdf/40.pdf
18. Alexander Trunev. Hadrons mass spectrum and the gluon thermodynamics//Chaos and Correlation, Nov. 25, 2012, http://chaosandcorrelation.org/Chaos/CR 2 11 2012.pdf
