Научная статья на тему 'Динамика изменения цен финансовых инструментов (некоторые проблемы теории и практики)'

Динамика изменения цен финансовых инструментов (некоторые проблемы теории и практики) Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

CC BY
73
5
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
ЭКОНОМИНФО
Область наук
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Динамика изменения цен финансовых инструментов (некоторые проблемы теории и практики)»

ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕН ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ (НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ)

Д.В. Анненков, аспирант

Иркутский государственный технический университет

Важнейшей тенденцией последнего времени на фондовом рынке стала автоматизация торговли ценными бумагами. Автоматизация затронула многие аспекты функционирования бирж и, к настоящему времени большинство из них перешло на компьютерную торговлю, отказавшись от традиционного голосового аукциона [1]. Таким образом, мы видим, что программные инструменты и соответствующее им математическое обеспечение для организации торговли непрерывно развивается, следовательно, должны эволюционировать и подходы к анализу результата деятельности таких торговых систем, т.е. цен на акции, облигации и другие виды ценных бумаг.

В настоящее время существует достаточно много различных вероятностных моделей, описывающих поведение финансовых инструментов. Наиболее распространённой является модель, основанная на процессах с независимыми приращениями, поэтому особенно важной проблемой является исследование законов распределения приращений цен финансовых инструментов. Большинство моделей так или иначе связаны с нормальным законом распределения. Вместе с тем, практика показала, что функция плотности наблюдаемых распределений часто весьма сильно отличаются от нормальной. В данном докладе предлагается альтернативный подход, позволяющий получать теоретические распределения достаточно близкие к эмпирическим распределениям приращений цен. Профессором Поповым Е.И. был введён класс так называемых обобщённых законов распределения вероятностей. Плотность распределения первого обобщённого закона распределения задаётся следующим выражением [2]:

Р-

Г (х) =-

ц+а 1 \ар

а

Г

ц + а ар

где а> 0, р> 0, ц>0 и хеК+.

При ц = 0 плотность (1) примет вид:

1

/ (х)=-4^- * ■ ^

Г

где а> 0, р > 0 и хеЯ+.

Выражение (2) было названо Поповым Е.И. обобщением нормального и экспоненциального закона распределения вероятностей. Для исследования распределения цены финансового инструмента воспользуемся симметризованным вариантом плотности (2):

Р

Г (х) = ■

а

(3)

2-Г

Р

(1)

(2)

где а> 0, р > 0, хеЯ.

На рис. 1 приведены графики плотности (3) при различных значениях параметров. Из графиков видно, что при 0 < р < 1 плотности имеют достаточно "тяжёлые" хвосты, что часто наблюдается у эмпирических распределений приращений цен. При 1 <р< 2 наблюдается постепенное уменьшение "толщины" хвоста, по мере приближения к р = 2.

Одной из существенных проблем для любой модели является оценка параметров. Автором разработан алгоритм оценки параметров распределения (3) по эмпирическим данным. Этот алгоритм реализован в среде МаНаЪ и позволяет, не прибегая к сложным вычислениям (таким как при оценке методом наибольшего правдоподобия), получать достаточно точные оценки параметров а и р.

С целью проверки модели были проанализированы цены на акции различных компаний. На рис. 2 приведены результаты оценки параметров по временному ряду цен для акций ОАО "Иркутск Энерго". График плотности (3), построенный по оцененным параметрам а и р в большей степени соответствует эмпирическим данным, чем нормальное распределение. График нормальной плотности также построен по оцененным по выборке параметрам т и ст.

Анализ цен на акции других компаний показал, что параметры модели а и р принимают значения в достаточно широких пределах для различных акций. Если а является масштабным параметром, то роль р более значительна - от значения этого параметра зависит форма распределения и "тяжесть" хвостов. Для проанализированных данных параметр р принимал значения от 0,6 до 1,8.

1

р

х

а

е

1

р

ц

х

а

а

х - е

к

Рис. 1. Графики плотности (3) при различных значениях параметров

(/(х) - при а = 1, Р = 2;/1(х) - при а = 1, Р = 1;/2(х) - при а = 1, Р = 1,4;/3(х) - при а = 1, р = 0,7)

Данные были получены с фондовой биржи РТС биржи (www.micex.ru). Использовались только дан-(www.rts.ru) и московской межбанковской валютной ные, находящиеся в свободном доступе.

т-1-1-1-г

0.4 -0.2 О 0.2 0.4

X

Рис. 2. Гистограмма по приращениям цены на акцию компании "Иркутск Энерго" /(х) - плотность нормального распределения

/1(х) - плотность (3) с параметрами а = 0,083, Р = 0,96

Наиболее интересно сравнение предлагаемой описания динамики изменения цены процесс, полумодели с широко используемой моделью, основанной чивший в дальнейшем название броуновского движе-на нормальном распределении. Это сравнение инте- ния. ресно по той причине, что ещё на заре финансовой математики Л. Башелье предложил использовать для

Броуновское движение или процесс Башелье -Винера 5 = (5 )/>0 определяется тем условием, что

= 0 и что при т > , величина — 5 не зависит

от 5. Иными словами, процесс имеет независимые

приращения и стационарные переходные вероятности. При т > , переходные вероятности, характеризующие переход из (,, ) в (т, 5т), нормальны с

математическим ожиданием

5

и дисперсией

а2

(т —')

т.е.

/ (Бт,т\Б{, ,) = ■

1

(-У )2

а2 (т—,)

(4)

^2па2 (т —,) Таким образом, сам процесс, принятый Л. Баше-лье для описания ценового процесса выглядит следующим образом [4]:

5 = 5 + ¡й + а^, (5)

где Wt - стандартное броуновское движение, а коэффициенты л и а называются коэффициентами роста и изменчивости (волатильности), а 80 - начальное состояние.

Введенный нами процесс, по аналогии с (5) будет иметь вид:

X = X + Л + а/р^,

где - случайный процесс с = 0,

(6)

приращения

которого независимы и распределены с плотностью (3) при а=1. Коэффициент ¡л в формуле (6) играет ту

у

же роль, что и в (5), а будет также являться коэффициентом изменчивости.

Стоит упомянуть также модель К. Рэй [3], которая изучала распределения доходности векселей. Она пришла к выводу, что изменения, происходящие с векселем, значительно лучше описываются экспоненциальным распределением и что форма экспоненциального распределения соответствует форме распределения реальных данных хотя и не полностью, но значительно лучше, чем нормальное распределение. Экспоненциальное распределение имеет высокий центральный пик

и большие "хвосты", что, по мнению К. Рэй, типично для изменений доходности векселя.

Интересной особенностью выражений (1) - (3) является то, что при различных значениях параметров а, р и л можно получать функции плотности многих известных распределений вероятности (гамма-распределение, Вейбула, Максвелла и др.). При

а = 2а2, р = 2, л = 0 имеем плотность нормального распределения, а при а = —, Р = 1 л = 0 - экспонен-

Я

циального. При значениях 1 < Р < 2 получим принципиально новые плотности, лежащие между нормальным и экспоненциальным распределениями, а при 0 < Р < 1 - плотности с более "тяжёлыми" хвостами, чем у экспоненциального распределения. Эта особенность позволяет рассматривать процесс Баше-лье - Винера и модель К. Рэй как частный случай предлагаемой модели, а также дополнить эти модели реально наблюдаемыми распределениями, получаемыми при других значениях параметров а, Р и ¡.

Естественно, что в докладе не была затронута такая важная проблема, как устойчивость законов распределений вероятностей, это является темой самостоятельного доклада.

Литература

1. Рубцов Б.Б. Мировые рынки ценных бумаг / Б.Б. Рубцов. М.: "Издательство "Экзамен", 2002. -448 с.

2. Вероятностная модель однопродуктового совершенного рынка / Е.И. Попов // Научные труды международной академии науки и практики организации производства. М.-Воронеж. 1998. Т. 1. С. 55-69.

3. Рэй Кристина И. Рынок облигаций. Торговля и управление рисками: пер. с англ. / К.И. Рэй. - М.: Дело, 1999. - 600 с.

4. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики / А.Н. Ширяев // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т. 1. Вып. 1. С. 4-21.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.