CC BY
33
УДК 519.6 https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-4-71-84
Динамика и адвекция в вихревом паркете
А.М. Филимонова
Южный федеральный университет Россия, 344006 Ростов-на-Дону, Большая Садовая, 105/42 E-mail: afilimonova@sfedu.ru Поступила в редакцию 26.05.2019, принята к публикации 19.06.2019
Предмет исследования. Статья посвящена численному исследованию динамики и адвекции в вихревом паркете. Рассматривается вихревая структура, состоящая из вихревых пятен и занимающая всю плоскость. Математическая модель формулируется в виде системы двух уравнений в частных производных относительно завихренности и функции тока. Динамика вихревых структур рассматривается в прямоугольной области при условии, что на функцию тока наложены периодические по обеим пространственным переменным краевые условия. Методы исследования. Нестационарная задача решается бессеточным методом вихрей-в-ячейках, основанным на аппроксимации поля завихренности по его значениям в жидких частицах и разложении функции тока в виде отрезка ряда Фурье. Результаты. Представлены результаты численного исследования динамики и взаимодействия вихревой структуры, состоящей из четырех пятен разной направленности. Изучено влияние величины радиуса вихревого пятна и взаимного расположения положительно и отрицательно направленных пятен на процессы взаимодействия и перемешивания на примере симметричной начальной вихревой конфигурации, когда центры вихревых пятен расположены в узлах равномерной сетки на плоскости. Полученные результаты соответствуют следующим возможным сценариям: исходная конфигурация не изменяется с течением времени; исходная конфигурация формирует новую квазистационарную структуру, которая сохраняется на больших временах; исходная конфигурация, деформируясь, образует новую структуру; исходная конфигурация возвращается в начальное состояние через определенный период времени. Были рассчитаны и проанализированы процессы пассивного переноса жидких частиц на плоскости. Представлены результаты численного анализа динамики частиц и их траекторий на всей плоскости, а также поля локальных показателей Ляпунова.
Ключевые слова: идеальная жидкость, бессеточные методы, вихревые структуры в жидкости, квазистационарные структуры, вихревой паркет.
Образец цитирования: Филимонова А.М. Динамика и адвекция в вихревом паркете//Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, № 4. С. 71-84. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-4-71-84
© Филимонова А.М., 2019
71
https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-4-71-84 Dynamics and advection in a vortex parquet
A. M. Filimonova
Southern Federal University 105/42, Bolshaya Sadovaya str., Rostov-on-Don 344006, Russia E-mail: afilimonova@sfedu.ru Received 26.05.2019, accepted for publication 19.06.2019
Issue. The article is devoted to a numerical study of the dynamics and advection in a vortex parquet. A vortex structure, consisting of vortex patches on the entire plane, is considered. The mathematical model is formulated as a system of two partial differential equations in terms of vorticity and stream function. The dynamics of the vortex structures is considered in a rectangular area under the assumption that periodic boundary conditions are imposed on the stream function. Investigation methods. The non-stationary problem is solved by the meshless vortex-in-cell method, based on the vorticity field approximation by its values in liquid particles and stream function expansion in the Fourier series cut. Results. Vortex structure consisting of four patches with different directions is investigated. The results of a numerical study of the dynamics and interaction of the structure are presented. The influence of the patch radius and the relative position of positively and negatively directed patches on the processes of interaction and mixing is studied. The obtained results correspond to the following possible scenarios: the initial configuration does not change over time; the initial configuration forms a new structure, which is maintained for longer times; the initial configuration returns to its initial state after a certain period of time. The processes of mass transfer of vorticity by liquid particles on a plane were calculated and analyzed. The results of a numerical analysis of the particles dynamics and trajectories on the entire plane and the field of local Lyapunov exponents are presented.
Key words: ideal fluid, meshless methods, vortex structures in liquids, vortex parquet.
Reference: Filimonova A.M. Dynamics and advection in a vortex parquet. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 27, no. 4, pp. 71-84. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-4-71-84
Введение
Нестационарные вихревые структуры играют важную роль в атмосфере, геофизических процессах, массопереносе, возникновении и развитии турбулентности. Такие конфигурации могут состоять, например, из нескольких распределенных вихревых пятен с различными размерами, интенсивностью и направлением вращения. Исследование качественного изменения таких структур с течением времени позволяет изучить интенсивность и направление массопереноса, динамику жидкости, структурную устойчивость заданной конфигурации. Все эти вопросы еще не до конца изучены. Для их исследования необходимы оценки качественных и количественных характеристик вихревых конфигураций в различные моменты времени, что требует разработки специальных численных алгоритмов.
Для решения нестационарных задач динамики жидкости широко используются различные вихревые методы [1-3]. В данной работе для численного анализа динамики и взаимодействия вихревых структур применяется метод вихрей-в-ячейках, предложенный и разработанный в работах [4, 5]. В основе метода лежит решение уравнений, определяющих распределение поля завихренности. По восстановленному полю завихренности вычисляется поле скорости и все остальные характеристики течения жидкости. Описанная численная схема служит необходимым вычислительным инструментом для анализа динамики вихревой конфигурации, ее качественных и количественных изменений с течением времени, а также характеристик пассивного массопе-реноса.
В данной работе исследуется динамика и адвекция в вихревом паркете. Для исследования процессов взаимодействия и перемешивания рассматривается структура, состоящая из симметрично расположенных вихревых пятен разной направленности, занимающая всю плоскость.
Центры пятен расположены в узлах равномерной сетки. Изучалось влияние величины радиуса и взаимного расположения пятен разной направленности на динамику и формирование вихревых структур. Для оценки процессов взаимодействия и перемешивания исследовалось поле локальных показателей Ляпунова, которые являются современным инструментом численного анализа таких процессов.
Для численного исследования динамики вихревого паркета широко используются модельные течения Колмогорова [6], в том числе и на бесконечной плоскости [7], а также АВС-течения [8] и САВС-течения [9]. АВС-течением является трехмерное стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости, для которого выполняется условие коллинеарности поля скорости своему ротору (условие Бельтрами). Впервые это течение было изучено В. И. Арнольдом в 1965 году. САВС-течение является аналогом АВС-течения для сжимаемой жидкости. В описанных выше случаях исследуется модельное решение. Задача динамики вихревого паркета и её решение в полных уравнениях до сих пор слабо изучены.
Известна возможность формирования квазистационарных структур в идеальной жидкости. Подобные структуры наблюдались в модельных задачах, что отражено в работах [9-11]. В частности, была обнаружена структура, обеспечивающая формирование так называемой стохастической паутины на плоскости. Наличие паутин обуславливает неравномерность пассивного переноса жидких частиц на плоскости и особые свойства массопереноса.
Статья построена следующим образом: в первом разделе дана математическая формулировка задачи двумерной вихревой динамики, во втором разделе кратко описаны методы численного исследования динамики вихревых структур. Третий раздел посвящен анализу результатов вычислительных экспериментов. В четвертом разделе проанализирована адвекция частиц в вихревом паркете. В Заключении обобщаются полученные результаты.
1. Математическая формулировка задачи
Рассматриваются плоские течения невязкой несжимаемой жидкости. Математически эта задача может быть описана системой двух уравнений в частных производных относительно завихренности ю = ю(ж, у) и функции тока ^ = ^(ж, у)
D ю
—— = mt + Юх - Юу = 0,
Dt (1)
—Д^ = ю.
Здесь D/Dt - материальная производная по времени t; x,y - пространственные переменные, по которым производится дифференцирование; Д - оператор Лапласа. Систему (1) называют уравнениями Эйлера динамики невязкой несжимаемой жидкости в терминах завихренности и функции тока. Первое уравнение системы (1) описывает пассивный перенос абсолютной завихренности жидкими частицами. Второе уравнение системы (1) связывает завихренность ю и функцию тока Поле скорости жидкости v = (vi, V2) выражается через функцию тока следующими соотношениями:
Vi = ^у (ж, у), V2 = — ^х(ж,у). (2)
Динамика частиц жидкости описывается системой следующего вида:
( xi = vi = ^у(xi,yi), (3)
\ yi = V2 = —^x(Xi,yi). Здесь точка обозначает дифференцирование по времени.
В начальный момент времени распределение завихренности в области определяется следующим условием: ш|^=0 = ю0(х,у).
Данная задача решается в предположении, что на функцию тока ф и её производную наложены периодические по обеим пространственным переменным граничные условия
ф|ж=-а = ф|х=а, Ф|у=-Ь = ■ у=Ь, ф'х ^=_а = Ф%х=а, ф'у |у=-Ь = ф'у |у=Ь- (4)
Такие граничные условия часто используются при моделировании течений жидкости на всей плоскости. Эти условия хорошо отражают рассматриваемую в этой работе задачу исследования вихревой конфигурации, состоящей из вихревых пятен с центрами в узлах равномерной прямоугольной сетки.
Рассматривается бесконечная конфигурация, но расчетной областью для решения системы ( ) является прямоугольник Б = {—а < х < а, — Ь < у < Ь}. Таким образом, берется участок вихревого паркета, а динамика на всей остальной плоскости повторяется благодаря периодическим краевым условиям.
В расчетной области рассматривались симметричные вихревые конфигурации, состоящие из четырех одинаковых вихревых пятен, центры которых расположены в узлах равномерной сетки. В начальный момент времени распределение завихренности задавалось согласно гауссовому распределению
®о(х,у) = <
1
лДж
е 2 ■
1 _ (х±а)2 + (у±в)2
е 2 ,
0, 0,
(х ^ а)2 + (у ± в)2 < Я2
(х ± а)2 + (у ± в)2 < Я2
(х ± а)2 + (у ± в)2 > Я2
(х ^ а)2 + (у ± в)2 > Я2
(5)
где (±а, ±в), (^а, ±в) - координаты центров четырех вихревых пятен, Я - радиус вихревых пятен.
Для существования решения второго уравнения системы (1), необходимо, чтобы интеграл от суммарной завихренности в расчетной области был равен нулю. Это условие выполняется благодаря начальному распределению завихренности, заданному по закону (5).
(хта)2 + (у±В)2
2. Методы численного анализа динамики плоских вихревых конфигураций
В данном разделе представлен алгоритм расчета и анализа динамики и взаимодействия распределенных вихревых конфигураций на плоскости. Разработанный алгоритм позволяет провести расчет динамики невязкой несжимаемой жидкости при помощи варианта метода вихрей-в-ячейках, построить фазовый портрет поля скорости жидкости на каждом временном шаге, а также изучить числовые характеристики массопереноса в области путем вычисления поля локальных показателей Ляпунова.
2.1. Расчет динамики жидкости. Для численного решения задачи (1)-(4) используется вариант бессеточного метода вихрей-в-ячейках, который был предложен и подробно описан в работах [4,12,13].
В данной работе реализован алгоритм, основанный на следующих процедурах: 1. В начальный момент времени поле завихренности задается дискретно значениями в N жидких частицах: ш(хг, у»)|*=о = ®г. Значение ю сохраняется в г—жидкой частице с течением времени, что следует из первого уравнения системы (1).
2.
Функция тока ф на каждом временном шаге приближается отрезком ряда Фурье
кх ку
г=1 1=1
где у» (ж), Н (у) - тригонометрические базисные функции, удовлетворяющие периодическим краевым условиям; йх,йу - число членов разложения по ж и по у, соответственно;
- неизвестные коэффициенты, которые в каждый момент времени находятся проекционным методом Бубнова-Галеркина.
3. Поле завихренности ш(ж,у) аппроксимируется на каждом временном шаге. Для этого область Б разбивается
на N^07: — пх х Пу прямоугольных ячеек, в каждой из которых поле завихренности ш(ж, у) приближается многочленами третьей степени, полиномиальные коэффициенты которых находятся методом наименьших квадратов.
4. Динамика жидких частиц описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида:
ж — VI(ж, у), у — -У2(ж,у).
Данная система решается псевдо-симплектическим методом Рунге-Кутты порядка точности 3(6) (см. [14]) . Выбор данного метода интегрирования обоснован в работе [13].
2.2. Расчет поля локальных показателей Ляпунова. Показатели Ляпунова позволяют оценить, насколько бесконечно близкие траектории отдаляются друг от друга в фазовом пространстве с течением времени. Изучение их спектра позволяет определить тип динамики и ее зависимость от величины тех или иных параметров системы. Так как течения жидкости рассматриваются на конечных промежутках времени, то изучаются локальные показатели Ляпунова (ЛПЛ). Величина ЛПЛ зависит от начальных координат частиц всей вихревой конфигурации и времени интегрирования. Следуя работам [15,16], опишем понятие ЛПЛ и алгоритм их вычисления.
Пусть и(£) — (ж(£),у(£)) - координаты жидкой частицы на плоскости, начальное положение которой описывается условием: ио — (ж(£о),у(£о)). Каждая частица с течением времени переносится полем жидкости вида: V — (-и(х), -и(у)). Этот процесс описывается следующей задачей Коши:
и — v(í, и), и(^) — ио. (6)
Задача (6) представляет собой сдвиг вдоль траектории за некоторый промежуток времени Т, который может быть описан отображением: и(£о + Т) — ф^°+Т(ио). Начальное возмущение в момент времени Т будет иметь вид
8и(Т) — ф^°+т (ио + 6и(<о)) - Ф?°+Т (ио) — 6и(*о) + О (У 8и(^)2 ||). (7)
Здесь аи ^ - тензор градиента перемещения вдоль траектории. Используя тензор деформации Коши-Грина Ь для конечного момента времени Т, получим
Ь — (ио)* (ио)
где звездочка обозначает сопряжение. Тогда величину возмущения (7) можно оценить по норме
II »и(Т)
\
<+Т (ио)* М*0, — V (М< о), ььыг о)). (9)
^и ^и
Бесконечно близкие траектории сильнее всего будут разбегаться вдоль направления собственного вектора, соответствующего максимальному собственному значению A,max(L) оператора L
max || Su(T) ||= \/W(L) || Su(io) ||, (10)
Su(io)
где Su(to) сонаправлен с собственным вектором, соответствующим собственному значению ^max(L). В точке u(to) на временном интервале T ЛПЛ определяется следующей формулой:
о£ (u(to)) = |T| WWL || Su(io) || . (11)
Стоит отметить, что из (11) следует, что при T ^ имеем
о?0(u(to)) ^ const = max || Su(T) || .
Su(io)
В случае, когда ЛПЛ рассматриваются в некоторой области фазового пространства, можно говорить о поле ЛПЛ. Для численного построения поля в расчетной области D в начальный момент времени задаются точки с координатами u = (x^to), yi(to)) в узлах прямоугольной сетки с шагами hx и hy по x и по y соответственно. Будем использовать четырехточечный шаблон, то есть для каждой точки (xj(io), yi(to)) будем использовать соседние точки вида
ui = (xi(to) - hx, yi(to)), < = (xi(to) + hx, yi(to)), ( )
(12)
ud = (xi(to),yi(to) - hy), uU = (xi(to),yi(to) + hy).
Для аппроксимации тензора градиента перемещения вдоль траектории 0+T(uo)/du используется метод конечных разностей
(ui (to))
du
ФЮ+t(ur) - ф!о+T(ui) ф|0+T(uU) - Ф10+T(ud)
2hx 2hy
(13)
Для того, чтобы найти значение ф^ (и^(£о)) для каждой частицы, необходимо решать задачу Коши (6) на временном интервале £ € [¿о, ¿о + Т]. Решение этой задачи Коши является частью шага по времени метода вихрей-в-ячейках. Следовательно, решение исходной задачи (1) методом вихрей-в-ячейках при условии, что в начальный момент все жидкие частицы расположены в узлах равномерной сетки, позволяет в каждый момент времени Т построить поле ЛПЛ. Построенные поля ЛПЛ изображаются на рисунках для дальнейшего анализа: чем темнее оттенок серого, тем меньше значение ЛПЛ.
3. Динамика системы симметричных вихревых пятен
При помощи метода вихрей-в-ячейках проводился ряд вычислительных экспериментов. Исследовалось взаимодействие, динамика и процессы перемешивания в вихревом паркете, состоящем из попарно противоположно направленных вихревых пятен равного радиуса, расположенных в узлах равномерной сетки. В данном разделе представлены результаты проведенных экспериментов. В качестве расчетной области берется участок вихревого паркета, состоящий из четырех таких пятен.
В начальный момент времени для всех экспериментов в (5) значение завихренности задавалось согласно гауссовому закону. Из четырех пятен два брались с положительной завихренностью и два с отрицательной. Это позволило учесть необходимость равенства нулю интеграла
от суммарной завихренности в рамках данной постановки задачи. Изучалось влияние величины радиуса R и взаимного расположения пятен разной направленности на сохранение, разрушение или формирование новой вихревой структуры, а также на протекание процессов взаимодействия и перемешивания.
Вычислительные эксперименты проводились в прямоугольной области D со сторонами а = b = 20. В начальный момент времени в поле задано N — 160000 жидких частиц, в каждой из которых задано начальное значение завихренности. Для аппроксимации поля завихренности на каждом временном шаге область D разбивается на Пх х Пу = 35 х 35 ячеек. В разложении функции тока ^(x,y) в отрезок ряда Фурье бралось k х х ky — 25 х 25 число членов ряда по x и по y соответственно. Шаг по времени динамики жидких частиц в большинстве расчетов составлял At — 0.005.
Далее на рис. 1-4 представлены результаты серии вычислительных экспериментов, где в верхнем ряду (фрагменты a-d) изображена динамика участка вихревого паркета в различные моменты времени, а в нижнем (фрагменты e-h) - поле ЛПЛ для этой конфигурации в эти же моменты времени. Динамика отражает перемещение в расчетной области жидких частиц, которые в начальный момент времени составляли исходную вихревую конфигурацию. Светло серый цвет означает пятна с суммарной положительной завихренностью, а чёрный - с суммарной отрицательной.
Визуализация поля ЛПЛ позволяет наглядно увидеть, насколько бесконечно близкие в начальный момент времени траектории отдаляются друг от друга в фазовом пространстве с течением времени. Здесь черный цвет означает наименьшее разбегание (минимальный ЛПЛ равен 0, см. ф. (11)), а чем светлее оттенок серого, тем больше значение ЛПЛ и тем сильнее разбегание частиц.
На рис. 1 представлена динамика участка вихревого паркета ( ) для радиуса R — 2.5. Поскольку данная конфигурация является симметричной на всей плоскости, то такая структура не разрушается и практически не меняется. Можно предположить, что она является устойчивой.
Рис. 1. (a-d) - распределение завихренности на плоскости (x,y) и (e-h) - величина ЛПЛ в моменты времени t для вихревой конфигурации из четырех вихрей ( ) при R = 2.5 и а = р = 5.0
Fig. 1. (a-d) - the vorticity distribution on the (x, y) plane and (e-h) - the Lyapunov exponents at the specific time t for a vortex configuration of four vortices ( ) for R = 2.5 and а = p = 5.0
Каждое из пятен вращается вокруг своей оси с постоянной скоростью, при этом вся вихревая конфигурация стоит на месте в течение всего промежутка расчета Ь € [0,400]. Полный оборот вокруг своей оси каждое из пятен совершает за Ь ~ 10, то есть за весь промежуток расчета каждое из пятен совершило по 40 оборотов.
Анализируя величины ЛПЛ, можно сделать вывод о пассивном транспорте частиц вокруг исходных вихревых пятен: эти частицы разбегаются сильнее всего с течением времени. При Ь = 0.2 (см. рис. 1, е) видно, что расстояние между центром каждого из пятен и близкими к нему точкам мало, а расстояния между приграничными точками пятен увеличиваются, то есть эти частицы разбежались. При Ь = 200 (см. рис. , g) становятся отчетливо видны сепаратрисы (белые линии), делящие расчетную область на четыре равных квадрата, внутри которых происходит пассивный транспорт частиц. Центры пятен и близкие к ним частицы по-прежнему остаются черными, то есть эти частицы не разбегаются далеко с течением времени. При Ь = 400 (см. рис. , к) области внутри квадратов становятся еще светлее, что свидетельствует о перемешивании.
Перенос на большие расстояния происходит в малой окрестности сепаратрис седловых стационарных точек поля скорости на плоскости. Однако, в силу малости величины скорости в этих областях, это проявляется только на больших временах.
На рис. 2 представлены результаты вычислительного эксперимента с наименьшей в серии величиной радиуса К = 2.0. В отличие от предыдущего эксперимента, данная конфигурация имеет смещенный центр, что позволяет получить качественно другой тип динамики вихревого паркета в расчетной области.
В момент времени Ь = 10 (см. рис. , а) конфигурация из четырёх пятен распадается на два диполя, которые начинают двигаться в противоположные стороны. Дойдя до границы расчетной области по х, диполи снова распадаются на отдельные пятна и продолжают движение в противоположные стороны вдоль границы по вертикали. При Ь = 50 (см. рис. 2, Ь) каждое из пятен достигает угла области и начинает движение навстречу пятну с суммарной завихренностью
10
10 0 10 -10 0 10 -10 0 10 -10 0 10
е / g h
/=10 ¿=50 t=190 t=600
Рис. 2. (a-d) - распределение завихренности на плоскости (x,y) и (e-h) - величина ЛПЛ в моменты времени t для вихревой конфигурации из четырех вихрей (5) при R = 2.0 и а = в = 4.0
Fig. 2. (a-d) - the vorticity distribution on the (x, y) plane and (e-h) - the Lyapunov exponents at the specific time t for a vortex configuration of four vortices (5) for R =2.0 and а = в = 4.0
противоположного знака. Пройдя половину пути по х, пятна снова образуют диполи, которые движутся к центру области. Так, к Ь ~ 95 формируется конфигурация, схожая с начальной. Для данного расчета наблюдается периодическая динамика с периодом Ь ~ 95. В момент времени Ь = 190 (см. рис. , с) конфигурация возвращается в начальное состояние во второй раз. На всем промежутке расчета конфигурация совершает шесть полных циклов, при этом каждое из пятен совершает оборот вокруг своей оси за Ь ~ 40.
Это обуславливается тем, что в рамках задачи с периодическими краевыми условиями, при условии, что в расчетной области находится лишь участок вихревого паркета, за границами этой области находится такая же конфигурация с такой же динамикой, то есть, дойдя до границы расчётной области, оба диполя встречают идентичные им структуры, и снова образуется конфигурация из четырёх пятен.
На изображении поля ЛПЛ видно, что сильнее всего частицы разбегаются вдоль сепаратрис, причем сначала формируется вертикальная сепаратриса Ь ~ 50 (см. рис. 2, /), а затем - горизонтальная Ь = 190 (см. рис. , g). Транспорт пассивных частиц вокруг самих пятен оказывается слабее, чем транспорт внутри самих пятен.
В следующих двух экспериментах в начальный момент времени одинаковыми брались: распределение завихренности, радиус пятна Я = 3.5 и смещение центров пятен а = в = 5.0. Отличалось только расположение пятен с суммарной завихренностью разных знаков.
На рис. 3 в начальный момент времени пятна одинакового знака располагаются по диагонали, то есть слева вверху и справа внизу - пятна с суммарной отрицательной завихренностью, а справа вверху и слева внизу - с положительной. С самого начала расчета происходит симметричная деформация пятен, что хорошо видно при Ь = 15 (см. рис. 3, е). Далее происходят процессы филаментации, что приводит к формированию пятен новой формы. Такая структура сохраняется далее по времени на всем промежутке расчета Ь € [65, 400], причем вся структура стоит на месте, а каждое из пятен вращается вокруг своей оси, совершая один полный оборот за Ь ~ 10, что значительно быстрее, чем в предыдущем эксперименте.
¿=65 ¿=250
Рис. 3. (a-d) - распределение завихренности на плоскости (x,y) и (e-h) - величина ЛПЛ в моменты времени t для вихревой конфигурации из четырех вихрей (5) при R = 3.5 и а = в = 5.0
Fig. 3. (a-d) - the vorticity distribution on the (x, y) plane and (e-h) - the Lyapunov exponents at the specific time t for a vortex configuration of four vortices (5) for R = 3.5 and а = в = 5.0
-10 0 10 -10 0 10 -10 0 10 -10 0 10 е f g h
t= 10 t=45 *=120 ¿=400
Рис. 4. (a-d) - распределение завихренности на плоскости (x,y) и (e-h) - величина ЛПЛ в моменты времени t для вихревой конфигурации из четырех вихрей (5) при R = 3.5 и а = ß = 5.0
Fig. 4. (a-d) - the vorticity distribution on the (x, y) plane and (e-h) - the Lyapunov exponents at the specific time t for a vortex configuration of four vortices (5) for R = 3.5 and а = ß = 5.0
Анализируя поле ЛПЛ, можно заметить, что также, как и в предыдущих экспериментах, происходит формирование горизонтальной и вертикальной сепаратрис. Процессы перемешивания при t = 65 интенсивнее, чем при t = 400. Это обусловлено тем, что на начальных временах только начинает формироваться структура, которая потом остается без качественных изменений до t = 400.
На рис. 4 в начальный момент времени пятна одинакового знака располагаются в одну колонку, то есть слева вверху и слева внизу - пятна с суммарной положительной завихренностью, а справа вверху и справа внизу - с отрицательной. Динамика такой структуры качественно отличается от предыдущего эксперимента уже на начальном этапе расчета. При t = 10 (см. рис. , а) происходит симметричная деформация всех пятен, которая к моменту времени t = 45 (см. рис. 4, b) приводит к взаимодействию и перемешиванию частиц пятен одинакового знака. В этот же момент времени начинается формирование новой квазистационарной структуры.
К моменту времени t = 120 (см. рис. , с) формируется симметричная паутинно-образная структура, которая сохраняется на всем промежутке расчета t € [120, 400].
Анализ ЛПЛ позволяет сделать вывод о транспорте частиц в области: сильнее всего разбегаются частицы, в начальный момент времени находящиеся на границе каждого из пятен. При t = 45 (см. рис. , f) разбегание сильнее, чем при t = 400 (см. рис. , h), что говорит о том, что в жидкости сформировалась новая квазистационарная структура. В отличие от всех предыдущих расчетов, здесь не происходит формирование вертикальной и горизонтальной сепаратрис.
4. Адвекция частиц в жидкости
В данном разделе представлены результаты анализа траекторий жидких частиц на всей плоскости для вихревых конфигураций, рассмотренных в предыдущем разделе.
Так как данная задача рассматривается при периодических краевых условиях, то для каждой частицы, которая покинула область во время расчета, можно проследить её траекторию на
всей плоскости. Изучались траектории следующих частиц: центры завихренности пятен, внутренние частицы пятен, близкие к сепаратрисам, случайные частицы. Траектории всех из них приведены и проанализированы далее.
На рис. 5 представлены траектории частиц, соответствующие рис. 1 и рис. 2.
На рис. 5, а представлены траектории частиц, соответствующие сценарию, когда структура паркета сохраняется на больших временах. Каждое из пятен вихревого паркета стоит на месте и вращается вокруг своей оси. Это значит, что траекториями его центров завихренности являются точки. Внутренние частицы пятен этой конфигурации будут вращаться по кругу вокруг центра завихренности с постоянной скоростью. Чем дальше от центра находится частица, тем больше радиус её круговой траектории. Частицы, лежащие на сепаратрисах (или близко к ним), будут бежать вдоль сепаратрис практически по прямой. Если частица выходит за пределы расчетной области, она продолжает свое движение вдоль сепаратрисы далее на плоскости. Все эти случаи отображены на рис. 5, а для £ € [0, 400].
На рис. 5, Ь представлены траектории частиц, соответствующие сценарию, когда на плоскости наблюдается периодическое движение. Траектории и центров завихренности, и внутренних точек пятен представляют собой спирали, соответствующие движению пятен на рис. 2, а-й. Частицы, близкие к сепаратрисам, движутся вдоль них по всей плоскости. В силу громоздкости, на рис. 5, Ь приведены траектории на промежутке £ € [0, 300].
На рис. 6 представлены траектории частиц, соответствующие рис. 3 и рис. 4.
Рис. 6, а соответствует сценарию, когда пятна, составляющие вихревой паркет, на малых временах деформируются и образуют новую структуру, которая сохраняется дальше по времени. Для частиц, являющихся центрами завихренностей, наблюдается небольшое смещение, соответствующее изменению пятна. Частицы, движущиеся вдоль сепаратрис, разбегаются по всей плоскости, образуя ячеистую структуру, схожую со структурой траекторий в расчетной области.
10 0 10 -10 0 10
а Ъ
Рис. 5. Траектории частиц на всей области для вихревого паркета ( ): a - при радиусе пятен R = 2.5 и а = в = 5.0; b - при радиусе пятен R = 2.0 и а = в = 4.0
Fig. 5. Particle trajectories over the plane for a vortex parquet ( ): a - with a patch radius R = 2.5 and а = в = 5.0; b - with a patch radius R = 2.0 and а = в = 4.0
100
-10
а
10
30
-100
-10
10
Рис. 6. Траектории частиц на всей области для вихревого паркета ( ): a - при радиусе пятен R = 3.5 и а = в = 5.0; b - при радиусе пятен R = 3.5 и а = в = 5.0
Fig. 6. Particle trajectories over the plane for a vortex parquet ( ): a - with a patch radius R = 3.5 and а = в = 5.0; b - with a patch radius R = 3.5 and а = в = 5.0
На рис. 6, Ь представлены траектории частиц, соответствующие рис. 4. Видно, что частицы, являющиеся центрами завихренности каждого из пятен, стоят на месте на всем промежутке расчета. Внутренние частицы пятен вращаются вокруг центра завихренности по круговой траектории с постоянной скоростью. Граничные частицы пятен перемещаются по всей плоскости по синусоидальной траектории, что соответствует сценарию образования квазистационарной структуры паутины, полученному в условиях этого вычислительного эксперимента. Для частиц, лежащих на сепаратрисах, траекториями являются прямые.
Заключение
В статье представлены результаты численного исследования динамики вихревого паркета путем анализа поля локальных показателей Ляпунова и траекторий жидких частиц на плоскости. Рассмотрена вихревая конфигурация, состоящая из четырех пятен одинакового размера, расположенных в узлах равномерной сетки, имеющих разную ориентацию. Такая конфигурация представляет собой участок вихревого паркета на плоскости. Изучено влияние величины радиусов и взаимного расположения пятен разной направленности на динамику и адвекцию в вихревом паркете. Представлены результаты численного расчета динамики жидких частиц и локальных показателей Ляпунова в различные моменты времени.
Показано, что в случае симметричной на всей плоскости начальной конфигурации вся структура стоит на месте, в то время как каждое из пятен вращается вокруг своей оси с постоянной скоростью. В случае нарушения симметрии возможны несколько сценариев в зависимости от параметров начального распределения: периодическая динамика, формирование квазистационарной структуры и формирование паутины.
Обнаружено, что при одинаковых исходных параметрах конфигурации расчета взаимное расположение пятен разной направленности в начальный момент времени оказывает существенное влияние на динамику всего вихревого паркета.
Библиографический список
1. Григорьев Ю.Н., Вшивков В.А. Численные методы «частицы-в-ячейках». Новосибирск: Наука, 2000.
2. Дынникова /.Я.Использование быстрого метода решения «задачи N тел» при вихревом моделировании течений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49, № 8. С. 1458—1465.
3. Cottet G.H., Koumoutsakos P.D. Vortex methods. Cambridge University Press, 2000.
4. Говорухин В.Н.Вариант метода вихрей в ячейках для расчета плоских течений идеальной несжимаемой жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51, № 6. С. 1133-1147.
5. Говорухин В. Н. Численный анализ динамики распределенных вихревых конфигураций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56, № 8. С. 1491-1505.
6. Ревина С.В. Устойчивость течения Колмогорова и его модификаций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. Т. 57, № 6. С. 1003-1022.
7. Fortova S.V., Oparina E.I., Belotserkovskaya M.S. Numerical simulation of the Kolmogorov flow under the influence of the periodic field of the external force //Journal of Physics: Conference Series, 2018. Vol. 1128. 012089.
8. Dombre T., Frisch U., Greene J.M., Henon M., Mehr A., Soward A.M. Chaotic streamlines in the ABC flows // Journal of Fluid Mechanics. 1986. Vol. 167. Pp. 353-391.
9. Govorukhin V.N., Morgulis A.B., Yudovich V.I., Zaslavsky G.M. Chaotic advection in compressible helical flow // Physical Review E. 1999. Vol. 60, № 3. Pp. 2788-2798.
10. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Минимальный хаос, стохастическая паутина и структуры с симметрией типа «квазикристалл» //Успехи физических наук. 1988. Т. 156, №2. С. 193-251.
11. Zaslavky G.M. The Physics of Chaos in Hamiltonian Systems. Second edition. Imperial College Press, 2007.
12. Говорухин В.Н., Филимонова А.М. Расчет плоских геофизических течений невязкой несжимаемой жидкости бессеточно-спектральным методом // Компьютерные исследования и моделирование. 2019. T. 11, № 3. С. 413-426.
13. Говорухин В.Н. О выборе метода интегрирования уравнений движения множества жидких частиц // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54, № 4. С. 177-190.
14. Aubry A., Chartier P. Pseudo-symplectic Runge-Kutta methods // BIT. 1998. Vol. 38, № 3. Pp. 439-461.
15. Shadden S., Lekien F., Marsden J. Definition and properties of Lagrangian coherent structures from finite-time Lyapunov exponents in two-dimensional aperiodic flows // Phys. D: Nonlinear Phenomena. 2005. Vol. 212, № 3-4. Pp. 271-304.
16. Haller G. Finding finite-time invariant manifolds in two-dimensional velocity fields // Chaos. 2000. Vol. 10, № 1. Pp. 99-108.
References
1. Grigoryev Yu.N., Vshivkov V.A. Numerical Methods «Particle-in-Cells». Novosibirsk: Nauka, 2000 (in Russian).
2. Dynnikova G.Ya. Fast technique for solving the N-body problem in flow simulation by vortex methods. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2009, vol. 49, no. 8, pp. 13891396.
3. Cottet G.H., Koumoutsakos P.D. Vortex methods. Cambridge University Press, 2000.
4. Govorukhin V.N. A vortex method for computing two-dimensional inviscid incompressible flows.
Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2011, vol. 51, no. 6, pp. 1061-1073.
5. Govorukhin V.N. Numerical analysis of the dynamics of distributed vortex configurations. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2016, vol. 56, no. 8, pp. 1474-1487.
6. Revina S.V. Stability of the Kolmogorov flow and its modifications. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2017, vol. 57, no. 6, pp. 995-1012.
7. Fortova S.V., Oparina E.I., Belotserkovskaya M.S. Numerical simulation of the Kolmogorov flow under the influence of the periodic field of the external force. Journal of Physics: Conference Series, 2018, vol. 1128, 012089.
8. Dombre T., Frisch U., Greene J.M., Henon M., Mehr A., Soward A.M. Chaotic Streamlines in the ABC Flows. Journal of Fluid Mechanics, 1986, vol. 167, pp. 353-391.
9. Govorukhin V.N., Morgulis A.B.,Yudovich V.I., Zaslavsky G.M. Chaotic advection in compressible helical flow. Physical review E, 1999, vol. 60, no. 3.
10. Zaslavskii G.M., Sagdeev R.Z., Usikov D.A., Chernikov A.A. Minimal chaos, stochastic webs, and structures of quasicrystal symmetry. Sov. Phys. Usp, 1988, vol. 31, pp. 887-915.
11. Zaslavky G.M. The Physics of Chaos in Hamiltonian Systems. Second edition. Imperial College Press, 2007.
12. Govorukhin V.N., Filimonova A.M. Numerical calculation of planar geophysical flows of an inviscid incompressible fluid by a meshfree-spectral method. Computer research and modelling, 2019, vol. 11, no. 3, pp. 413-426 (in Russian).
13. Govorukhin V.N. On the choice of a method for integrating the equations of motion of a set of fluid particles. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2014, vol. 54, no. 4, pp. 706-718.
14. Aubry A., Chartier P. Pseudo-symplectic Runge-Kutta methods. BIT, 1998, vol. 38, no. 3. pp. 439-461.
15. Shadden S., Lekien F., Marsden J. Definition and properties of Lagrangian coherent structures from finite-time Lyapunov exponents in two-dimensional aperiodic flows. Phys. D: Nonlinear Phenomena, 2005, vol. 212, no. 3-4, pp. 271-304.
16. Haller G. Finding finite-time invariant manifolds in two-dimensional velocity fields. Chaos, 2000, vol. 10, no. 1, pp. 99-108.
Филимонова Александра Михайловна - родилась в 1993 году в Ростове-на-Дону, окончила Южный федеральный университет в 2015 году по специальности «Прикладная математика и информатика». В 2019 года окончила аспирантуру Южного федерального университета. С 2017 года работает в Институте математики, механики и компьютерных наук им. И.И.Воровича ЮФУ ассистентом кафедры вычислительной математики и математической физики. Опубликовала более 10 работ (из них 3 статьи) в области математического моделирования вихревых структур.
Россия, 344006 Ростов-на-Дону, Большая Садовая, 105/42 Южный федеральный университет E-mail: afilimonova@sfedu.ru
