CC BY
4УДК 531 (075.8):621.01:631
ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОМУ НЕПОДВИЖНОМУ ДИСКУ, ПЕРЕМЕЩАЕМОЙ ВЕРТИКАЛЬНО РАСПОЛОЖЕННОЙ К НЕМУ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ЛОПАСТЬЮ
КСЕНДЗОВ Валентин Александрович, д-р техн. наук, профессор кафедры строительства инженерных сооружений и механики, Рязанский государственный агротехнологический университет имени П.А. Костычева, e-mail: [email protected]
Ряд задач сельскохозяйственной механики сводится к рассмотрению движения частицы (материальной точки) по неподвижному горизонтальному диску с тем или иным характером трения. В статье рассмотрена динамика движения такой частицы с сухим линейным трением. Выведен закон движения частицы, расчеты проиллюстрированы примерами.
Ключевые слова: неподвижный диск, частица, сухое трение, вращающаяся лопатка. закон движения частицы.
Введение
Ряд задач механики сельскохозяйственных механизмов можно свести к исследованию движения частицы (материальной точки) по неподвижному или подвижному диску с тем или иным характером трения [1,2].
Цель и задачи исследования Целью исследования является установления закона движения частицы по неподвижному горизонтальному диску, перемещаемой вертикально расположенной к нему лопастью.
Метод исследования Исследование выполнено на основе классических законов механики, а также решением уравнений с применением ЭВМ.
Теоретическая часть Постановка задачи.
со
Рис. 1 - Расчетная схема По неподвижному диску (рис. 1, вид сверху) скользит вертикально расположенная к нему лопасть, вращающаяся с угловой скоростью ф вокруг оси z, перпендикулярной к диску и проходящей через его центр. На диск попадает частица массы т, увлекаемая в дальнейшем лопастью (рис. 1). Начальная координата частицы х0, начальная скорость у0 = 0 (ось х проходит вдоль лопатки от центра диска к его периферии). Движение частицы сопровождается сухим трением. Рассматриваются случаи неподвижного состояния части-
цы и ее скольжения по лопасти под действием центробежной силы инерции.
Данная задача рассматривалась в [1, с. 250254] с тем отличием, что диск вращался вместе с прикрепленной к нему лопастью и последняя была расположена под некоторым углом Ф0 к радиусу диска, а также в [2].
1. Случай неподвижного положения частицы. Для этого случая схема сил, действующих на частицу, показана на левой половине диска (рис. 1), где Фи = т©2х0 - центробежная сила инерции частицы, х0 - начальная координата частицы, F1 = ^д - сила трения частицы о диск, прижимающая частицу к лопасти, f - коэффициент трения скольжения частицы о диск, F2 = ^ тд + f fc тд = fc тд(1 + ^ - суммарная сила сцепления частицы с диском и лопастью, fc - коэффициент сцепления частицы с диском и лопастью (примем их одинаковыми). Частица будет неподвижна, если центробежная сила инерции не в состоянии преодолеть силу сцепления F2. Граничный случай получим из выражения
то)2х0 = +
откуда
со -
(1)
Пример зависимости (1) приведен на рисунке 2 для значений = 0,3; f = 0,2; д = 9,8 м/сек. Область А под кривой отвечает неподвижному положению частицы, а Б над кривой - подвижному.
рад/сек
1 Х0, м
Рис. 2 - Области неподвижности частицы А и подвижности Б
© Ксендзов В. А., 2016 г.
Технические науки
Х0 +
f2 g
а
+
bji+f (— f+
_Z e - fwt
(f)e
)e -
VT+ f 21 a i+ f
i+f2
f2 g
+
(3)
a
Проверить правильность решения (3) можно, подставив t = 0, при этом получим х = х0.
Решение же (14) в [2] неверно ввиду нарушения правила размерностей.
В [1 с. 253] приведено также решение (75) для радиального положения лопасти, которое неточно ввиду отсутствия в нем начального смещения частицы х0, необходимого для возникновения начальной центробежной силы mra2x0, без чего движение частицы невозможно. Действительно, полагая в (75) время t = 0, получим х0 = 0.
Дифференцируя (3) по времени, получим относительную скорость частицы:
v = а(хо + f 2 g/а ) e - fa
Г 2V1f (4)
При t0 = 0 начальная скорость частицы v0 = 0.
aj 1+ f 2t -a J1+ f 21
e — e
TXV =
0 1 2
0 0 0.05 0
1 С.01 0.05 5. Э9 7" 10"3
2 0.02 0.05 0.012
3 0.03 0.05 0.018
4 0.04 0.05 0.023
5 0.05 0.051 0.029
6 0.06 0.051 0.035
7 0.07 0.051 0.04
Э 0.08 0.052 0.045
0.09 0.052 0.052
10 0.1 0.053
<1
2. При нахождении точки с координатами а и х0 в области Б дифференциальное уравнение движения частицы приведено в [1, с. 252, формула (69)], в которой следует положить г0 = 0, а в правой части заменить f на f 2 ввиду того, что частица прижимается к лопасти силой трения. Имеем
х({) + 2/сох({)-(02х = -/2ё, (2)
Характеристическое уравнение z2 +2fo z - а2 = 0 имеет корни
zе,2 = -/о ± о^/2 +1 = -п ± п1, где п =
= /о, п1 = аф/2 +1 > п.
Общее решение уравнения (2) приведено в [1] на стр. 253, первая формула сверху, в которой также следует положить г0 = 0 (начало лопасти совмещено с центром диска) и Ф0 = 0 (лопасть расположена по радиусу диска). Получим
Для представления величин ^ х, V в единой таблице запишем их в программе MathCAD в виде ранжированных переменных 1, х^ для I = 1-100 и соберем их оператором
TXV = аидте^(аидтеп^,х)^). В первой колонке записаны значения I от 0 до 100 с шагом 1, во второй (0) - время t (сек.), в третьей (1) - координата х (м.), в четвертой (2) - скорость V (м/сек.). При необходимости увеличения точности расчета следует увеличить число точек отсчета I и число цифр после запятой. Для просмотра всех значений величин следует щелкнуть на таблице и воспользоваться полосой прокрутки.
На рисунке 2 приведены примеры зависимостей х = х© (сплошная линия) и V = V© (пунктирная линия) для значений f = 0,2; х0 = 0,05 м, а = 2 рад/сек.
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
t, сек.
Рис. 2 - Зависимости х = x(t) и v = v(t) vr O.i м/сек
0.2 0.25 0.3 X, м.
Рис. 3 - Зависимость V = v(x) Зависимость скорости частицы от координаты х получим, решив совместно уравнения (3) и (4) в программе MathCAD для конкретных значений приведенных выше величин. Получим график, приведенный на рисунке 3. Из расчетов и графика следует, что при х = L= 0,3 м относительная скорость частицы vг = 0,626 м/сек., где L - длина лопасти (рис. 1). Переносная скорость ve1 = оЬ = 0,6 м/сек. Угол схода частицы с лопасти Y = агСд^Д) = 43,80.
ВращаюЩий лопасть момент определим по формуле
Мер=т(2смт+ё/)>с=т
-/1" 1 / ,- .- '
■ (*-0+/У ^и^'-е^1'
йУ
\
1+Г
+fg
2
-fot
{x^+fgjo}1)
fV
а работа
-fg¡
СУ
Aq = m
2 2 O xQ
(5)
4
Í2mT , -2mT
e + e
При расчете затрат работы на перемещение частицы исходя из формулы (5) запишем элементарную работу по перемещению частицы:
=Мере1(р = М ерсоск.
Полная работа т
А = в>\МерЖ, о
где Т- время перемещения частицы по лопасти, которое берем из графика на рис. 2 или из таблицы при L = 0,3 м. Для приведенных выше величин Т = 0,907 сек.
Для идеального механизма следует положить f = 0. Тогда момент
M вр = m
2 2 O xQ
2mt
2
e
e
-2mt
Коэффициент полезного действия механизма
А
п=А
А0
Для приведенных выше величин и т = 0,1 кг А = 0,081 Дж., А0 = 9,416Ю_3 Дж., и п= 0,116.
Список литературы
1. Василенко, П. М. Теория движения частицы по шероховатым поверхностям сельскохозяйственных машин. [Текст] / П. М. Василенко. - Киев : Изд. УСХА, 1960. - 283 с.
2. Теория процесса сепарации гранул перги через отверстия выгрузной решетки измельчителя пчелиных сотов. [Текст] / В. Н. Некрашевич, М. Ю. Костенко, Р. А. Мамонов, К. В. Буренин, Е. И Буренина // Вестник Рязанского государственного агро-технологического университета имени П.А. Косты-чева. - 2016. -№ 3 (31). - С. 61-65.
DYNAMICS OF THE MOVEMENT OF PARTICLES ON A HORIZONTAL STATIONARY DISC, MOVES
VERTICALLY AFFECTION FOR HIM PALM
Ksendzov, Valentin A. doctor of technical sciences, professor of a department building of engineering building and mechanic. [email protected]
A number of problems of agricultural mechanics reduces to the consideration of particle motion (material point) at a fixed horizontal disk with a certain friction character. The article deals with the dynamics of motion of such a particle with dry linear friction. Disabled Act of particle motion, the calculations are illustrated by examples.
Key words: fixed plate, a particle, dry friction, the rotating blade. the law of motion of the particle.
Literatura
1. Vasilenko P. M. Teoriya dvizheniya chasticy po sherohovatym poverhnostyam sel'skohozyajstvennyh mashin. [Tekst]/P. M. Vasilenko //Kiev.: Izd. USKHA, 1960. - 283 s.
2. Nekrashevich V. N. Kostenko M. YU. Mamonov R. A. Burenin K. V. Burenina E. I. Teoriya processa separacii granul pergi cherez otverstiya vygruznoj reshetki izmel'chitelya pchelinyh sotov. [Tekst] / V. N. Nekrashevich, M. YU. Kostenko, R. A. Mamonov, K. V. Burenin, E. I Burenina // Vestnik RGATU. - 2016. -№3 (31). S. 61-65.
Редакция и редакционная коллегия журнала глубоко скорбит о кончине доктора технических наук, профессора, члена редакционной коллегии и постоянного автора нашего издания
Ксендзова Валентина Александровича.
Его отличали высочайший профессионализм, безупречная честность, беззаветная преданность своему делу. Он навсегда останется в наших сердцах талантливым ученым, мудрым советчиком, готовым всегда оказать помощь.
