ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОМУ НЕПОДВИЖНОМУ ДИСКУ, ПЕРЕМЕЩАЕМОЙ ВЕРТИКАЛЬНО РАСПОЛОЖЕННОЙ К НЕМУ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ЛОПАСТЬЮ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 531 (075.8):621.01:631

ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОМУ НЕПОДВИЖНОМУ ДИСКУ, ПЕРЕМЕЩАЕМОЙ ВЕРТИКАЛЬНО РАСПОЛОЖЕННОЙ К НЕМУ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ЛОПАСТЬЮ

КСЕНДЗОВ Валентин Александрович, д-р техн. наук, профессор кафедры строительства инженерных сооружений и механики, Рязанский государственный агротехнологический университет имени П.А. Костычева, e-mail: vaksendzov@mail.ru

Ряд задач сельскохозяйственной механики сводится к рассмотрению движения частицы (материальной точки) по неподвижному горизонтальному диску с тем или иным характером трения. В статье рассмотрена динамика движения такой частицы с сухим линейным трением. Выведен закон движения частицы, расчеты проиллюстрированы примерами.

Ключевые слова: неподвижный диск, частица, сухое трение, вращающаяся лопатка. закон движения частицы.

Введение

Ряд задач механики сельскохозяйственных механизмов можно свести к исследованию движения частицы (материальной точки) по неподвижному или подвижному диску с тем или иным характером трения [1,2].

Цель и задачи исследования Целью исследования является установления закона движения частицы по неподвижному горизонтальному диску, перемещаемой вертикально расположенной к нему лопастью.

Метод исследования Исследование выполнено на основе классических законов механики, а также решением уравнений с применением ЭВМ.

Теоретическая часть Постановка задачи.

со

Рис. 1 - Расчетная схема По неподвижному диску (рис. 1, вид сверху) скользит вертикально расположенная к нему лопасть, вращающаяся с угловой скоростью ф вокруг оси z, перпендикулярной к диску и проходящей через его центр. На диск попадает частица массы т, увлекаемая в дальнейшем лопастью (рис. 1). Начальная координата частицы х0, начальная скорость у0 = 0 (ось х проходит вдоль лопатки от центра диска к его периферии). Движение частицы сопровождается сухим трением. Рассматриваются случаи неподвижного состояния части-

цы и ее скольжения по лопасти под действием центробежной силы инерции.

Данная задача рассматривалась в [1, с. 250254] с тем отличием, что диск вращался вместе с прикрепленной к нему лопастью и последняя была расположена под некоторым углом Ф0 к радиусу диска, а также в [2].

1. Случай неподвижного положения частицы. Для этого случая схема сил, действующих на частицу, показана на левой половине диска (рис. 1), где Фи = т©2х0 - центробежная сила инерции частицы, х0 - начальная координата частицы, F1 = ^д - сила трения частицы о диск, прижимающая частицу к лопасти, f - коэффициент трения скольжения частицы о диск, F2 = ^ тд + f fc тд = fc тд(1 + ^ - суммарная сила сцепления частицы с диском и лопастью, fc - коэффициент сцепления частицы с диском и лопастью (примем их одинаковыми). Частица будет неподвижна, если центробежная сила инерции не в состоянии преодолеть силу сцепления F2. Граничный случай получим из выражения

то)2х0 = +

откуда

со -

(1)

Пример зависимости (1) приведен на рисунке 2 для значений = 0,3; f = 0,2; д = 9,8 м/сек. Область А под кривой отвечает неподвижному положению частицы, а Б над кривой - подвижному.

рад/сек

1 Х0, м

Рис. 2 - Области неподвижности частицы А и подвижности Б

© Ксендзов В. А., 2016 г.

Технические науки

Х0 +

f2 g

а

+

bji+f (— f+

_Z e - fwt

(f)e

)e -

VT+ f 21 a i+ f

i+f2

f2 g

+

(3)

a

Проверить правильность решения (3) можно, подставив t = 0, при этом получим х = х0.

Решение же (14) в [2] неверно ввиду нарушения правила размерностей.

В [1 с. 253] приведено также решение (75) для радиального положения лопасти, которое неточно ввиду отсутствия в нем начального смещения частицы х0, необходимого для возникновения начальной центробежной силы mra2x0, без чего движение частицы невозможно. Действительно, полагая в (75) время t = 0, получим х0 = 0.

Дифференцируя (3) по времени, получим относительную скорость частицы:

v = а(хо + f 2 g/а ) e - fa

Г 2V1f (4)

При t0 = 0 начальная скорость частицы v0 = 0.

aj 1+ f 2t -a J1+ f 21

e — e

TXV =

0 1 2

0 0 0.05 0

1 С.01 0.05 5. Э9 7" 10"3

2 0.02 0.05 0.012

3 0.03 0.05 0.018

4 0.04 0.05 0.023

5 0.05 0.051 0.029

6 0.06 0.051 0.035

7 0.07 0.051 0.04

Э 0.08 0.052 0.045

0.09 0.052 0.052

10 0.1 0.053

<1

2. При нахождении точки с координатами а и х0 в области Б дифференциальное уравнение движения частицы приведено в [1, с. 252, формула (69)], в которой следует положить г0 = 0, а в правой части заменить f на f 2 ввиду того, что частица прижимается к лопасти силой трения. Имеем

х({) + 2/сох({)-(02х = -/2ё, (2)

Характеристическое уравнение z2 +2fo z - а2 = 0 имеет корни

zе,2 = -/о ± о^/2 +1 = -п ± п1, где п =

= /о, п1 = аф/2 +1 > п.

Общее решение уравнения (2) приведено в [1] на стр. 253, первая формула сверху, в которой также следует положить г0 = 0 (начало лопасти совмещено с центром диска) и Ф0 = 0 (лопасть расположена по радиусу диска). Получим

Для представления величин ^ х, V в единой таблице запишем их в программе MathCAD в виде ранжированных переменных 1, х^ для I = 1-100 и соберем их оператором

TXV = аидте^(аидтеп^,х)^). В первой колонке записаны значения I от 0 до 100 с шагом 1, во второй (0) - время t (сек.), в третьей (1) - координата х (м.), в четвертой (2) - скорость V (м/сек.). При необходимости увеличения точности расчета следует увеличить число точек отсчета I и число цифр после запятой. Для просмотра всех значений величин следует щелкнуть на таблице и воспользоваться полосой прокрутки.

На рисунке 2 приведены примеры зависимостей х = х© (сплошная линия) и V = V© (пунктирная линия) для значений f = 0,2; х0 = 0,05 м, а = 2 рад/сек.

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

t, сек.

Рис. 2 - Зависимости х = x(t) и v = v(t) vr O.i м/сек

0.2 0.25 0.3 X, м.

Рис. 3 - Зависимость V = v(x) Зависимость скорости частицы от координаты х получим, решив совместно уравнения (3) и (4) в программе MathCAD для конкретных значений приведенных выше величин. Получим график, приведенный на рисунке 3. Из расчетов и графика следует, что при х = L= 0,3 м относительная скорость частицы vг = 0,626 м/сек., где L - длина лопасти (рис. 1). Переносная скорость ve1 = оЬ = 0,6 м/сек. Угол схода частицы с лопасти Y = агСд^Д) = 43,80.

ВращаюЩий лопасть момент определим по формуле

Мер=т(2смт+ё/)>с=т

-/1" 1 / ,- .- '

■ (*-0+/У ^и^'-е^1'

йУ

\

1+Г

+fg

2

-fot

{x^+fgjo}1)

fV

а работа

-fg¡

СУ

Aq = m

2 2 O xQ

(5)

4

Í2mT , -2mT

e + e

При расчете затрат работы на перемещение частицы исходя из формулы (5) запишем элементарную работу по перемещению частицы:

=Мере1(р = М ерсоск.

Полная работа т

А = в>\МерЖ, о

где Т- время перемещения частицы по лопасти, которое берем из графика на рис. 2 или из таблицы при L = 0,3 м. Для приведенных выше величин Т = 0,907 сек.

Для идеального механизма следует положить f = 0. Тогда момент

M вр = m

2 2 O xQ

2mt

2

e

e

-2mt

Коэффициент полезного действия механизма

А

п=А

А0

Для приведенных выше величин и т = 0,1 кг А = 0,081 Дж., А0 = 9,416Ю_3 Дж., и п= 0,116.

Список литературы

1. Василенко, П. М. Теория движения частицы по шероховатым поверхностям сельскохозяйственных машин. [Текст] / П. М. Василенко. - Киев : Изд. УСХА, 1960. - 283 с.

2. Теория процесса сепарации гранул перги через отверстия выгрузной решетки измельчителя пчелиных сотов. [Текст] / В. Н. Некрашевич, М. Ю. Костенко, Р. А. Мамонов, К. В. Буренин, Е. И Буренина // Вестник Рязанского государственного агро-технологического университета имени П.А. Косты-чева. - 2016. -№ 3 (31). - С. 61-65.

DYNAMICS OF THE MOVEMENT OF PARTICLES ON A HORIZONTAL STATIONARY DISC, MOVES

VERTICALLY AFFECTION FOR HIM PALM

Ksendzov, Valentin A. doctor of technical sciences, professor of a department building of engineering building and mechanic. vaksendzov@mail.ru

A number of problems of agricultural mechanics reduces to the consideration of particle motion (material point) at a fixed horizontal disk with a certain friction character. The article deals with the dynamics of motion of such a particle with dry linear friction. Disabled Act of particle motion, the calculations are illustrated by examples.

Key words: fixed plate, a particle, dry friction, the rotating blade. the law of motion of the particle.

Literatura

1. Vasilenko P. M. Teoriya dvizheniya chasticy po sherohovatym poverhnostyam sel'skohozyajstvennyh mashin. [Tekst]/P. M. Vasilenko //Kiev.: Izd. USKHA, 1960. - 283 s.

2. Nekrashevich V. N. Kostenko M. YU. Mamonov R. A. Burenin K. V. Burenina E. I. Teoriya processa separacii granul pergi cherez otverstiya vygruznoj reshetki izmel'chitelya pchelinyh sotov. [Tekst] / V. N. Nekrashevich, M. YU. Kostenko, R. A. Mamonov, K. V. Burenin, E. I Burenina // Vestnik RGATU. - 2016. -№3 (31). S. 61-65.

Редакция и редакционная коллегия журнала глубоко скорбит о кончине доктора технических наук, профессора, члена редакционной коллегии и постоянного автора нашего издания

Ксендзова Валентина Александровича.

Его отличали высочайший профессионализм, безупречная честность, беззаветная преданность своему делу. Он навсегда останется в наших сердцах талантливым ученым, мудрым советчиком, готовым всегда оказать помощь.