CC BY
70ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№3-4 (64-65) / 2018.
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК 521.1:531
©2018. А.М. Ковалев, С.Н. Судаков ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ
БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ ДАЛЬНЕГО ДЕЙСТВИЯ
Изложенная в лекциях С.П. Королева простая математическая модель движения баллистической ракеты дальнего действия использована для исследования полета ракеты "Блю Стрик".
Ключевые слова: баллистическая ракета, траектория полета, активный участок полета, пассивный участок полета.
Введение. В 1949 году на Высших инженерных курсах, организованных при МВТУ им. Баумана для подготовки инженеров различных специальностей для работы в ракетостроительной промышленности, С.П. Королевым был прочитан курс лекций [3], в котором для описания движения баллистической ракеты на активном участке полета (т.е. с работающими двигателями) была использована простая математическая модель движения ракеты, на практике вполне себя оправдывающая. По ряду причин эта модель сохраняет свою актуальность и сейчас. Во-первых, ее изучение является хорошим введением в теорию полета ракет и космонавтику. Во-вторых, за прошедшее время появилось много математических методов и вычислительных средств, позволяющих по-новому подойти к ее исследованию и решению. Учитывая сказанное, в работе авторов [2] эта модель использована для исследования полета ракеты "Блю Стрик"(Б1ие Streak - Лазурная полоса) на активном участке полета. Конструктивные параметры ракеты достаточно подробно изложены в литературе [4] и Интернете.
Настоящая работа является дальнейшим развитием работы [2] и посвящена исследованию полета ракеты "Блю Стрик"на всем интервале времени, начиная с момента старта и до момента приземления.
1. Уравнения движения. Задача решается в декартовой системе координат, жестко связанной с Землей. Для постановки и решения задачи делаются следующие предположения:
1. Ось ракеты все время направлена по касательной к траектории ее движения, то есть, угол атаки равен нулю. Векторы реактивной силы и вектор силы лобового сопротивления также направлены по касательной к траектории.
2. Коэффициент силы лобового сопротивления принимается постоянным.
3. Земля считается неподвижной.
4. Движение ракеты считаем происходящим в плоскости, проходящей через центр Земли. Землю считаем сферической.
5. Секундный расход топлива и силу тяги считаем постоянными во все время работы двигателей.
В плоскости движения ракеты вводим прямоугольную декартову систему координат Оху, начало которой О находится в точке старта, ось Ох направлена по касательной к поверхности Земли, а ось Оу - по радиусу Земли в сторону от ее центра. Следуя [3], уравнения движения на активном участке полета запишем в виде
<1У Р — X
— =--0 81110,
аЬ т
= псов 9, (1)
оЬ
<У ■ л
— = ИЙШЙ,
где V - скорость ракеты, Р - тяга двигателей, X - сила лобового сопротивления, д - ускорение свободного падения, т - масса ракеты, х,у - координаты ракеты в системе координат Оху, 0 - угол между касательной к траектории и осью Ох, Ь - время.
Сила тяги Р определяется формулой
Р = Ро + Ба(ро — р), (2)
где Р0 - сила тяги, замеренная на стенде; р0 - атмосферное давление у поверхности Земли; р - атмосферное давление на высоте полета ракеты; Ба - коэффициент, определяемый по формуле
= (3)
Ро
где Р1 - тяга двигателя в пустоте.
Сила лобового сопротивления X задается выражением
X = (4)
где Б - площадь миделя ракеты, - Сх коэффициент аэродинамического сопротивления, который считается постоянным. Масса ракеты т определяется формулой
т = т0 — тЬ, (5)
где то - начальная масса ракеты, т - секундный расход топлива, считающийся постоянным.
Движение ракеты на пассивном участке полета описываются уравнениями
йух
(V
- ^ х Хх —
Сшш1х
_У_ _ _ V ___
,И " " [ж2 + (Я + у)2]3/2
Г 9 Ч91Ч/9 ~ -^СхБрЮ,гЛ/г% +п
[х2 + (Я + у)2]3/2 2 V х
От^т^К + у) 1 гу- :
-Сх8рпу^4 + и
(6)
Vx
(1х (у
=
где vx, %)у - проекции вектора скорости ракеты на оси координат Оху, ш* масса ракеты после выработки топлива и окислителя, Ш1 - масса Земли, С гравитационная постоянная, Я - радиус Земли.
Высота полета ракеты Н над поверхностью Земли определяется формулой
/г = у/х2 + {К + у)'2 - П.
Плотность атмосферы р и атмосферное давление р задаются интерполяционными полиномами, которые строятся по данным ГОСТ 4401-81 "Атмосфера стандартная. Параметры"[1]. Так, плотность атмосферы р для высот от 0 до 20000 м интерполируется полиномом
р - -5.20123 • 10-22Н5 + 2.85855 • 10-17Н4 - 5.90010 • 10-13Н3+
+7.96192 • 10-9Н2 - 0.125504 • 10-3Н + 1.2254,
который при Н — 0; 4000; 9000; 14000; 16000; 20000 принимает значения плотности стандартной атмосферы на высотах Н — 0; 4000; 9000; 14000; 16000; 20000 м над уровнем моря, которые равны р — 1.225; 0.8194; 0.4671; 0.2279; 0.1665; 0.0889 кг/м3 соответственно. Коэффициенты интерполяционного многочлена вычислялись с поомощью пакета Мар1е-12.
Аналогично, для высот от 20000 до 40000 м - плотность атмосферы интерполируется полиномом
р — -1.38346 • 10-23Н5 + 2.71159 • 10-18Н4 - 2.13711 • 10-13Н3+
+8.54286 • 10-9Н2 - 0.175197 • 10-3Н + 1.49580, который при Н — 20000; 24000; 28000; 32000; 36000; 40000 принимает значения
р — 0.0889; 0.0469; 0.0251; 0.0136; 7.26 • 10-3; 4 • 10
3
На высотах от 40000 до 80000 м плотность воздуха интерполируется полино-
мом
р — -1.354 • 10-11Н3 + 0.2731 • 10-5Н2 - 0.1830Н + 4094.0,
который при у — 40000, 50000, 60000, 80000 принимает значения р — 4 • 10 1.03 • 10-3; 3.0 • 10-4; 1.85 • 10-5.
На высотах от 80000 до 150000 м плотность воздуха становится достаточно малой и ее будем задавать линейной функцией
р = —0.14 • 10"4Н + 2.1,
которая при у = 80000; 150000 принимает значения р = 1.85 • 10"5; 2.00 • 10"9 соответсвенно.
Атмосферное давление р для высот от 0 до 20000 м интерполируется полиномом
р = —1.09020 • 10"17Н5 + 6.28719 • 10"13Н4 — 2.08013 • 10"8Н3+
+0.616684 • 10"3Н2 — 12.0886Н + 1.013300 • 105,
который при у = 0; 4000; 9000; 14000; 16000; 20000 принимает значения р = 101330.0; 61661.0; 30801.0; 14170.0; 10353.0; 5529.0. Здесь и ниже атмосферное давление р имеет размерность Па или, что то же самое, н/м3. Для высот от 20000 до 40000 м давление р задается полиномом
р = —1.23698 • 10"18Н5 + 2.19402 • 10"13Н4 — 1.59036 • 10"8Н3+
+0.594271 • 10"3 Н2 — 11.5809Н + 95521.2,
который при Н = 20000; 24000; 28000; 32000; 36000; 40000 принимает значения р = 5529.0; 2971.0; 1616.0; 889.0499.0; 287.0.
Для высот от 40000 до 80000 м давление р задается полиномом
р = —1.354 • 10"11 Н3 + 0.2731 • 10"5Н2 — 0.1830Н + 4094,
который при значениях у = 40000; 50000; 60000; 80000 принимает значения р = 278.0; 80.0; 22.0; 1.0.
Для высот от 80000 до 150000 м давление р достаточно задать линейной функцией
р = —0.14 • 10"4Н + 2.1,
принимающей при Н = 80000; 150000 значения р = 1; 4.49 • 10_4 соответственно.
Угол 0 является заданной функцией времени Ь и играет роль управления. Функция 0 = 0(Ь) может быть задана таблично, графически или аналитически. Если 0(Ь) задана таблично или графически, то ее нужно интерполировать подходящей функцией. В данной работе 0 = 0(Ь) задается следующим образом
6> = | при 0 < г < ¿1,
(7)
в = -|(1 — автс^ — ¿1)) при ¿1 < £ < ¿2)
где а = 0.5, ш = 0.005. То есть, на промежутке времени 0 < Ь < Ь1 ракета поднимается вертикально вверх, а при Ь1 < Ь <Ь2 подъем происходит по наклонной
траектории. Здесь Ь2 - время работы двигателей, Ь1 - время, за которое ракета поднимется по вертикали на высоту 100 м. Время Ь1 вычисляется в процессе решения задачи.
Начальные условия для системы уравнений (1) - (7) следующие
Уравнения движения (1) - (7) с начальными условиями (8) полностью определяют движение ракеты на активном участке. Для решения уравнений движения использовался численный метод Рунге-Кутта.
2. Численный пример. В качестве примера рассмотрим движение ракеты Блю-Стрик [2]. Ракета имеет два маршевых двигателя с общей тягой Р = 124280.0 • 9.8 н или 1.217944 • 106 н. Остальные параметры имеют следующие значения:
стартовая масса всей ракеты т0 = 104700 кг; масса ракеты без топлива и окислителя т* = 16700 кг; масса горючего и окислителя 88000 кг; время работы двигателей Ь2 = 180 с;
секундный расход топлива и окислителя т = 488.8888889 кг/с; масса Земли т1 = 5973 • 1021 кг; радиус Земли К = 6371000 м;
гравитационная постоянная О = 6673 • 10"14 м3с_2кг_1. Принимая радиус миделя ракеты равным 1.3 м находим Б = 1.69^ м2. Система (1) - (7) с начальными условиями (8) решалась для Сх = 0.1. Высота полета над поверхностью Земли определялась по формуле
Скорость ракеты на пассивном участке полета выражается через vx и Vy следующим образом:
Результаты расчетов представлены в таблице.
Расстояние вдоль поверхности Земли от точки старта до точки приземления дается соотношением
где х* - значение координаты х в точке приземления. Проводя вычисления, находим I = 1532345.5 м.
Заключение. Результаты рассчета, представленные в таблице, показывают, что при заданном управлении (7) и, входящими в него параметрами а = 0.5, ш = 0.005, ракета "Блю Стрик"преодолевает расстояние 1532 км за 17 мин., или, более точно, 1015 с. При этом она достигает высоты 745.8 км. Максимальная скорость полета достигается при приземлении и составляет 4048.6270м/с.
V = 0, х = 0, у = 0.
/г = ^х2 + (П + уУ2 - К.
I = К агс8т(х*/К),
А.М. Ковалев, С.Н. Судаков Таблица. Координаты, высота и скорость полета ракеты
Цс) х (м) У (м) h (м) V (м/с)
0 0 0 0 0
10 0 100.9056 100.9051 21.1306
92.9818 4569.8638 20000.0261 20001.659 652.3111
117.6046 12184.6454 40000.0155 40011.596 1115.4357
147.1554 31763.7926 79999.9768 80078.177 1969.6759
177.7608 74308.7427 149999.8329 150423.204 3575.4918
180 76702.3258 153567.5797 154018.4180 3672.5014
280 278276.4204 414442.2290 420146.001 2949.5367
380 476341.0573 588750.5610 605032.445 2364.0617
480 668824.9783 681182.0772 712826.572 1962.1256
580 853806.5959 694399.7068 745801.158 1824.4282
680 1029330.7242 629359.6948 704631.251 1995.0632
780 1193241.1833 485415.5931 588472.631 2420.8869
880 1342988.8229 260235.6850 394863.263 3022.9791
970.3 1463395.3833 -16436.0554 149890.198 3683.0166
992.1735 1490104.8004 -94457.6884 79999.589 3858.6274
1004.1276 1504257.8757 -138975.7611 39999.757 3957.2484
1009.9642 1511048.2258 -161200.2131 19999.932 4005.7758
1015.70944 1517613.9863 -183392.2383 0.081 4048.6270
Принятые значения коэффициента аэродинамического сопротивления Cx = 0.1 и радиуса миделя ракеты 1.3 м не являются достоверными и могут значительно отличаться от истинных, что вносит соответствующие погрешности в проводимые расчеты.
1. Атмосфера стандартная // Большая советская энциклопедия.- В 30 томах.- Том 2.-С. 385.
2. Ковалев А.М. К вопросам динамики баллистических ракет дальнего действия / А.М. Ковалев, С.Н. Судаков // Механика твердого тела. - 2018.- Вып. 48.- С. 65-70.
3. Королев С.П. Основы проектирования баллистических ракет дальнего действия / Творческое наследие академика Сергея Павловича Королева. - М.: Наука, 1980.- С. 208-290.
4. Фертрегт М. Основы космонавтики / М. Фертрегт. - М.: Просвещение, 1969.- 304 с.
A.M. Kovalev, S.N. Sudakov
The dynamics of motion of ballistic rockets for long-range action.
The motion of the rocket Blue Streak on active and passive parts of flight investigated by the simple mathematical model presented in the lectures of S.P. Korolev. Keywords: ballistic rocket, trajectory of flight, active part of flight..
ГУ "Ин-т прикл. математики и механики", Донецк Получено 03.12.18
sudakov@iamm.su
