Динамика диска, катающегося по балке на упруго-вязком основании Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №9/1(59).

МЕХАНИКА

УДК 531.3

ДИНАМИКА ДИСКА, КАТАЮЩЕГОСЯ ПО БАЛКЕ НА УПРУГО-ВЯЗКОМ ОСНОВАНИИ

© 2007 Г.В. Павлов, В.С. Бородин, А.В. Алимов1

Предлагается методика анализа неголономных механических систем, когда напряженно-деформированное состояние описывается релаксационной моделью Кельвина. Приводится пример исследования динамики жесткого диска на балке с упруго-вязким основанием.

Введение

В настоящее время, в связи с широким применением синтетических материалов и конструкций в строительстве и промышленности, наблюдается повышенный интерес к применению реологических моделей в решении задач механики твердых деформируемых тел [1—3]. В монографии [1] представлены уравнения движения механических систем с реологическими элементами в форме уравнений Лагранжа и приведено большое количество примеров и задач, имеющих прикладное значение и иллюстрирующих применение этих уравнений к анализу механических систем с голономными связями, в частности, построено уравнение

й дТ дТ К , ----

* щ + £ Ькр = - =1 ”• (1)

эл дх

где Рк —реакция к-го реологического элемента, Ьк, = / в(к—-, к — косинусы уг-

£1 % ’

лов, образуемых реакцией Рк с осями декартовых координат, ЪИ — число координат, К — число реологических элементов. В работе [4] уравнение (1) было получено иным образом.

Авторы данной работы предлагают, модифицируя уравнение (1), применить его к решению нового класса задач — к неголономным системам с реологическими элементами, что имеет место как в машиностроении, так и в строительстве. Это вращение буровой колонны, совершающей прецессионное движение в скважине [5], процесс поверхностной пластической деформации металла [6], движение раскатчика при формировании грунтовых стенок для набивки свай [7], профилирование и уплотнение оснований под фундаменты [8], движение эксцентрика в вибраторе, используемого для уплотнения бетонных смесей [9] и т.д.

1 Павлов Георгий Васильевич, Бородин Владимир Сергеевич, Алимов Артем Валерьевич, кафедра сопротивления материалов и строительной механики Самарского государственного архитектурно-строительного университета, 443001, Россия, г.Самара, ул.Молодогвардейская, 194.

Во всех перечисленных процессах большую роль играют силы неупругого сопротивления материалов, структура которых, как показано в современной литературе, не вполне описывается математическим аппаратом теории упругости и пластичности. При решении подобного рода задач часто в уравнения Лагранжа вводят поправки на рассеяние энергии в виде нелинейной функции, учитывающей гистерезисные потери или диссипативные функции, пропорциональные и-ой степени скорости перемещения. В данной работе модифицированные уравнения Лагранжа строятся на основе реологической модели Кельвина, учитывающие временную зависимость между деформациями и напряжениями, так как доказано оптимальное соответствие этой модели с экспериментальными данными [1, 10].

Один из вариантов построения модифицированных уравнений Лагранжа приведен в данной работе. Наиболее обозримый вид эти уравнения принимают, если записать их в форме уравнений Рауса с множителями связей

уравнения неголономных связей.

Поскольку тело Кельвина — неидеальная связь, то для исключения реакции Рк следует использовать уравнение [1]

вытекающее из анализа структуры модели Кельвина.

Здесь Пк — время релаксации к-го элемента, ук(д) — к-ая реологическая координата, описывающая линейное напряженно-деформированное состояние, л СкіСк2 „ ,

Ск =------длительный модуль упругости на растяжение-сжатие к-го реоло-

Ск1 + Ск2

гического элемента, Ск = Скі, Скі, Ск2 —жесткости пружин тела Кельвина.

Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда число реологических элементов меньше числа обобщенных координат К < т. Разделим систему уравнений (2) на две подсистемы

В силу независимости уравнений (5), их можно разрешить относительно Рк

І = 1, т.

(2)

(3)

ПкРк + Рк = ПкСкУк (д) + СкУк (д), к = 1, К,

(4)

І = 1, К,

(5)

І = К + 1, т.

(6)

К

к = 1, К,

(7)

V=1

где Ь (д, Д, і) — Лагранжиан индекса V, имеющий вид

V = 1, К.

Решая совместно уравнения (7) и (4), получаем систему Лагранжевых уравнений третьего порядка

1 + Пк—^^аку (Я)

' У=1

- дТ дТ Л

-г дду дду е ^ р р]

р=1

+

(8)

+ПкСкУк (Я) + СкУк (Я) = 0, к = 1, К. Подсистема уравнений (6) после подстановки равенств (7) принимает вид

- дТ

-г дд] дд] "1/ йг дду дду

р=1

= й] + ^ ^ Хр Ар ],] =К +1,т,

(9)

р=1

где —V = Ък]акм- Система уравнений (8), (9) должна быть проинтегрирована

к=1

совместно с уравнениями неголономных связей (3).

В качестве примера применения уравнений (8) и (9) рассмотрим задачу о движении однородного диска массой т и радиуса г по безмассовой бесконечно длинной балке жесткостью С1 на упруго-вязком основании, моделируемом системой параллельных вертикальных пружин, обладающих реологическими свойствами. Это позволяет представить физическую модель как дискретную систему, движение которой описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Ориентацию диска в системе определим при помощи четырех координат:

а, ф, у и р (рис. 1).

Угол у характеризует степень наклона касательной к упругой линии балки. Координаты а, в и у — генеральные, координата р —реологическая, обусловленная деформацией сжатия винклеровского основания. Она является избыточной и зависимой, так как может быть известным образом найдена в функции угла у. Но для удобства представления уравнений движения именно в дифференциальной форме, принимаем координату р за обобщенную. Введены четыре системы координат (рис. 1)—неподвижная и подвижные: Б|*п*^* —оси которой па-

раллельны осям О^, система БтЬ, которая при движении вершины Б (точки

касания диска с балкой) вращается с угловой скоростью у вокруг оси Ь, параллельной оси ^ и полуподвижную систему Вхуг, ось х которой ортогональна плоскости диска. Положение плоскости диска по отношении к осям БтпЬ определим углом а, образуемым вращением диска вокруг оси т.

Так как при движении диска система осей т, п вращается против часовой стрелки, то имеет место равенство |у| = у.

Косинусы углов между осями координат представлены следующей таблицей

Таблица

Косинусы углов

I n z

X cos а - sin а sin y - sin а cos y

у 0 cos y - sin y

z sin y cos а sin y cos а cos y

Vd = -г (гфп0 - PZ0 + rz0) + w x GD,

Проекции абсолютной угловой скорости диска на подвижные и неподвижные оси определяются равенствами

юх = -ф + у cos а, юу = а,

Ю = Ysin а, (10)

Ш| = у - ф cos а, ()

юп = -ф sin а sin у + а cos у,

= ф sin а cos y - а sin у.

Условие качения диска по балке без проскальзывания в точке касания D выражено векторным равенством

d dt

где w = Ш|§о + юпПо + ®zZo, GD = -r (sin а|0 + cos а sin уп0 + cos а cos yZo), |o, По, Zo, zo — единичные вектора соответствующих осей.

Проектируя (11) на неподвижные оси Oi|nZ находим уравнения связей

Ф1 (а, у, ф, у) = ф - cos у (у cos а + ф) = o,

Ф2 (а, у, ф,у, р) = -р + r sin Y(фcos2а + ycos а) = o, (11)

Фз (а, у, ср) = ф sin 2а sin 2у = o.

д2Ф; д2Ф; . , „

Поскольку выполняются неравенства ——— = „ „ , i = 1,2, то первые два урав-

дфду дудф

нения (12) представляют собой неинтегрируемые соотношения, то есть являются уравнениями неголономных связей.

Последнее уравнение связи накладывает ограничение на характер движения диска, оставляя ему свободу передвижения в вертикальной плоскости, что совпадает с классическим представлением о движении диска по горизонтальной прямой. Поэтому в дальнейшем угловая координата а исключается из рассмотрения.

Координаты точки касания диска и проекции силы P на оси системы O^nZ удовлетворяют равенствам f|D = o, nD = гф, ZD = -р, P% = o, Pn = P sin у cos y,

Pz = P cos2 y.

Кинетическая и потенциальная энергии диска имеют вид

Юх

mVD T = —0 + m 2

Xo yo zo

Vox Voy Voz

+ 2

2 (Jx№2 + JyЮ2 + JzW2z) ,

о

П =

-р

о о

С1 /уіу ^ ео82 гЛг - mg[r (1 - ео8 у) + р],

где положено 1х = ——, ]у = ——, ]г = ; хО = уО = 0, ю = г, ю = (-ф + у, 0,0,

3шг2 т 5шг2 т шг2

-у-, Ту = — > т = -4

Уох, Уоу, Убі — проекции скорости точки О на оси полуподвижной системы координат.

В силу консервативности системы, структура обобщенных сил полностью определяется выражением потенциальной энергии

дП _ дП

др ’ б = - ’

бр = -^~, бу = -^“ ’ бф = 0-

Силовыми факторами, учтенными в задаче, в соответствии с рис. 2, являются реакция Р реологического основания, сила реакции упругой балки Я (на рисунке не изображена) и сила тяжести диска mg.

Рис. 1.

эл дх

Сумма Ьк]Рк = Р{ д~~, ] = 1, т определена как ]'-ая обобщенная сила,

к=1 1=1

соответствующая ]-ой обобщенной генеральной координате для к-ой реологической силы реакции по формулам

V и о о д^о „ дцо „ д^о „ .

Ь **р р ^ + рп-^ + р ^ = Рг яп т С“ '<•

V Ь р р д,° + р дПо + р 0

2> р = Р,— + рп — + р^ = 0

І=1

Реакция упруго-вязкого основания может быть найдена из дифференциального уравнения (4), определяющего линейное напряженно-деформированное состояние в точке касания О. Уравнения движения диска, записанные в форме Рауса с мно-

жителями связей, принимают вид d д'Т д'Т

--- ----------бф + Pr sin у cos у + Xir (cos у - 1) - Х2Г sin у = o,

dt дф дф

d дТ дТ

dt ду - ду - qy + Xir cos у - X2r sin у = o (12)

d др - дт - Qp + p • Cos2y + X2 = o. dt др др

к

В соответствии с определением суммы ^ bkjPk при нахождении обобщенной

k=1

силы Qp, в нее не должна входить возможная работа, производимая реологической силой P.

t, сек

ф'-

у,

Рис. 2. Графики изменения: а —реологической силы реакции основания; б —прогиба балки; в — угловой скорости диска; г — скорости изменения угла, образованного касательной к изогнутой оси балки

Исключая из уравнений (13) множители Лагранжа и реакцию основания Р, следуя алгоритму (5)—(9), сводим задачу к интегрированию системы уравнений

1

і d

1 + n— dt

d дТ дТ

cos2 y \ dt дp дp p +

+ ncp + cp = 0,

ф (1 - cos y) - Y cos y = 0,

-p + r sin y (ф + Y) = 0.

Здесь f — функция, зависящая от координат ф, y, p и их производных.

С использованием численных методов проведен анализ режима движения диска при следующих эксплуатационных данных и начальных условиях ю = 20 с-1,

п = 50 с, с = 0,7 с, с = 70 Н/м, с1 = 50 Н/м, г = 0,2 м, ш = 0, 5 кг, ^ = 1500 с, g = 10 м/с2, у(0) = 0,01 рад, р(0) = 0, ф(0) = 0, ф(0) = 20с-1, ф(0) = 0,1. Здесь g — ускорение силы тяжести, ш — масса диска, ^ — время движения диска.

Картина протекания реологического процесса представлена на графиках (рис. 3).

Достоверность результатов, вытекающих из анализа графических зависимостей, подтверждается их соответствием законам физики. Установлено, что наличие сил неупругого сопротивления приводит к интенсивному гашению амплитуд колебаний. Диск будет менять направления движения по балке, совершая затухающие маятниковые колебания. Данный режим отличается от характера движения диска по прямолинейной траектории на абсолютно твердой плоскости, когда центр масс диска может иметь только постоянную скорость.

Литература

[1] Горошко, О.А. Аналитичка динамика (механика) дискретних наследних система (на сербском языке) / О.А. Горошко, К.Хедрих. - Издавачка Универзитета у Нишу, 2000. - 429 с.

[2] Радченко, В.П. Анализ нелинейной обобщенной модели Максвелла /

B.П. Радченко, Д.В. Шапиевский // Вестник СамГТУ, 2005. - №38. -

C. 55-64.

[3] Макарова, Л. Л. Демпфирование колебаний в среде, моделируемой последовательным соединением элемента Кельвина с параллельно соединенными элементами Фойхта и Джеффриса / Л.Л. Макарова, В.В. Кондрашов // Деп. в ВИНИТИ, 2005. - №908-В2005. - 5 с.

[4] Павлов, Г.В. Обобщение уравнений Лагранжа для анализа механических систем с наследственными элементами, моделируемыми телами Кельвина / Г.В. Павлов, А.В. Алимов // Вестник САМГТУ, Серия физико-мтематических наук. - 2007. - №2(15). - С. 192-195.

[5] Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко. - М.: Наука, 1967. - 444 с.

[6] Белый, А.В. Поверхностная упрочняющая обработка с применением концентрированных потоков энергии / А.В. Белый, Е.М. Макушок, И.Л. Поболь. -Минск: Навука I техніка, 1990. - 80 с.

[7] Бобылев, Л.М. Перспективы развития машин для формования набивных свай / Л.М. Бобылев, Л.Л. Бобылев // Специальные строительные работы: Экспресс-информация. - Вып. 2. - М., 1992. - С. 1.

[8] Справочная энциклопедия дорожника, Том 1. Строительство и реконструкция дорог. - М., 2005. - 645 с.

[9] Быховский, И.И. Основы теории вибрационной техники / И.И. Быховский. -М.: Машиностроение, 1969. - 363 с.

[10] Василенко, Н.В. Теория колебаний / Н.В. Василенко. - Киев: В. Ш. 1992. -430 с.

[11] Нарисова, И. Прочность полимерных материалов: Пер. с англ. - М.: Химия, 1987. - 400 с.

Поступила в редакцию 12/ХД/2007; в окончательном варианте — 12/Х///2007.

DYNAMICS OF A RIGID DISK ON A BEAM ON VISCOELASTIC GROUND

© 2007 G.V. Pavlov, V.S. Borodin, A.V. Alimov2

A method of analysis of non-holonomic mechanical system when their stress-strain states is due to the relaxation Kelvin’s model is given. A sample analysis for dynamics of a rigid disk on a beam on viscoelastic ground is discussed.

Paper received 12/X///2007. Paper accepted 12/X///2007.

2Pavlov Georgii Vasil’evich, Borodin Vladimir Sergeevich, Alimov Artem Valer’evich, Dept. of Strength of Materials and Structural Mechanics, Samara State University of Architecture and Civil Engineering, Samara, 443001, Russia.