CC BY
35
УДК 130.145
ДИНАМИКА АТОМНОГО ПЕРЕПУТЫВАНИЯ В МОДЕЛЯХ С ДВУХФОТОННЫМИ ПЕРЕХОДАМИ
© 2012 Е.К.Башкиров, Д.В. Литвинова
Самарский государственный университет
Поступила в редакцию 25.01.2012
Исследовано влияние диполь-дипольного взаимодействия на перепутывание двух атомов, приготовленных в различных начальных белловских состояниях, в рамках модели Тависа-Каммингса с невырожденными двухфотонными рамановскими переходами. Показано, что диполь-дипольное взаимодействие между атомами приводит к стабилизации перепутывания.
Ключевые слова:, двухфотонные рамановские переходы, белловские перепутанные состояния, согласованность, атом-атомное перепутывание.
Современная квантовая информатика и физика квантовых вычислений базируются на перепутанных состояниях. Поэтому в настоящее время большое внимание уделяется исследованию различных схем генерации и механизмов сохранения перепутанных состояний [1]. Для практических целей квантовых вычислений пригодны лишь долгоживущие атомные перепутанные состояния. Такие перепутанные состояния наблюдались в последнее время в ряде экспериментов с ионами и атомами в магнитных и оптических ловушках [2]. Однако во многих случаях возникающие атомные перепутанные состояния оказываются нестабильными. В частности, в случае атомов, взаимодействующих с электромагнитным полем в высокодобротных резонаторах и ловушках, нестабильность атомных перепутанных состояний обусловлена осцилляциями Раби. Исчезновение квантовых корреляций между атомами за счет взаимодействия с окружением получило название мгновенной смерти перепутыва-ния. В ряде недавних работ было показана возможность частичной стабилизации перепуты-вания за счет включения диполь-дипольного взаимодействия между атомами [3,4]. При этом в работе [3] исследована модель двух двухуровневых атомов с невырожденными двухфотонными переходами, взаимодействующими с двухмодо-вым полем в идеальном резонаторе, а в работе [4] - двухатомная модель с однофотонными переходами. Физически диполь-дипольное взаимодействие можно увеличить, уменьшая относительное расстояние между атомами в резонаторе или ионами в магнитной ловушке Пауля. Преимущество такой схемы заключается в том, что относи-
Башкиров Евгений Константинович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей и теоретической физики. E-mail: bash@ssu.samara.ru Литвинова Дарья Вадимовна, магистр физического факультета. E-mail: malek-90@mail.ru
тельное расстояние между атомами или ионами можно легко контролировать. В настоящее время в современных магнитных ловушках Пауля, охлажденные атомы могут быть заперты на расстояниях порядка длины волны излучения. В этом случае параметр диполь-дипольного взаимодействия становится сравнимым с константой диполь-фотонного взаимодействия. В связи с вышесказанным, представляет интерес продолжить исследования возможности стабилизации перепутывания в системах дипольно связанных атомов. В настоящей работе нами рассмотрено влияние диполь-дипольного взаимодействия на перепутывание атомных состояний в двухатомной модели с неырожденными двухфотонными переходами рамановского типа [5].
Рассмотрим два идентичных двухуровневых атома, резонансно взаимодействующих с двух-модовым квантовым электромагнитным полем в идеальном резонаторе посредством рамановских двухфотонных переходов, при наличии прямого диполь-дипольного взаимодействия между атомами. В представлении взаимодействия и приближении вращающейся волны гамильтониан такой модели можно представить в виде:
Н = ^¿(а+ агЯ- + Я+ ауа\) + ЙОВД" + Я+Я-), (1)
1=1
где а+ и а}. - операторы рождения и уничтожения фотонов ] - ой резонаторной моды ( ] = 1,2 ), Я+ и Я- - повышающий и понижающий операторы в I - ом атоме (г = 1,2 ), g - константа взаимодействия атомов с полем и ^ -константа прямого диполь-дипольного взаимодействия атомов.
Обозначим через | +) и | -) - возбужденное и основное состояние двухуровневого атома. Тогда двухатомная волновая функция может быть представлена в виде комбинации волновых векторов вида | а,Р) =| а) | р), где а,р = +,- .
Рассматриваемая нами система обладает унитарной динамикой. В представлении взаимодействия такая динамика описывается оператором эволюции вида и1 ) = exp(-гHIt/h) . Если система, включающая атомы и поле, находится в начальный момент времени в чистом состоянии, то ее вектор состояния в любой момент времени в представлении взаимодействия может быть представлен в виде
)> = иI ($) |Т(0)>. (2)
В двухатомном базисе | +, +>, | +,->, | -,+>, | -,-> оператор эволюции и 1 ^) для может быть записан как
U (t) =
U11 U12 U13 U14 ^
U21 U22 U23 U24
U31 U32 U33 U34
U41 U42 U43 U44 ,
(3)
Матричные элементы оператора эволюции в двухатомном базисе для рассматриваемой модели могут быть представлены в виде:
А А
ип = 1+2ц а2+— ц+а2, и14 = 2ц а+ — аЦ,
= + А + = + А +
1
X
U12 = U13 = § , U21 = U31 = §B a2 ,
U24 = U34 = §Bai U42 = U43 = §,
exp[-/ -(a + ©)t] . U22 = U33 = a-4§-{[1 - e1-©' ] +
+2эЛ™ + ©[1 + ]},
A--
cos
(r © 1 a . (- © л " + i §sin
B-
rl2(a+0)t |1 - eir§ 1
Предположим, что система "атомы+поле" приготовлена в начальный момент времени в перепутанном состоянии белловского типа
| Т(0)> = [sin р | +, -> + cos р | -, +>] 11,0), (4)
где 11,0) - двухфотонное фоковское состояние резонаторного поля
Используя соотношения (1) - (4), можно представить временную волновую функцию системы в виде
где
|T(t )> = Xi(t) | +, -; 1,0) +
+X2 (t) | -,+; 1,0) + X3(t) | +,+;0,1>,
X1 (t) = cos P(U22 )1,0 + sin P(U23 )1,0 ,
X2 (t) = COs P(U32 )1,0 + sin P(U33 )1,0 ,
Д
X3(t) = (cosp + sinp)
(5)
1,0
Я
обозначение O - произволь-
Здесь мы ввели
°пи п2 = п п2 1 0 1Щ, п2 X где ный оператор, зависящий от переменных поля и | п1, п2 > - полевое состояние с определенным числом фотонов.
Информация относительно перепутывания атомов содержится в редуцированной атомной матрице плотности рА ^), которая может быть получена при усреднении полной матрицы системы "атомы+поле" рАР ^) )>(Г ^) | по переменным резонаторного поля
Ра «) = Ттр РАР ^). (6)
В двуатомном базисе | +,+>, | +,->, | -,+>, | -,-> редуцированная атомная матрица плотности (6) может быть записана в виде
U23 = U32 = a
exP[-i -2(a+0)t ] .
-2-{[1 - el-©t ]-
4© u J
_2eel2(3a+0)t +©[1+е-© ]},
где
a = Q / -, X = 2(a1+ a2a a+2 + a1 a+ a+ a2), © = a+ a2 a1 a+ + a1 a+2 a+ a2) + a2
0 0 0 0
0 |X1I* X1X2 0
0 X2X1 X2I2 0
0 0 0 IX3
Pa
Для количественной оценки степени перепутывания двух двухуровневых атомов воспользуемся критерием перепутанности двух кубитов согласованностью [6]. Для редуцированной атомной матрицы плотности (6) соответствующий параметр перепутывания дается выражением
C(pA) = 2 max{0, | X^1}. (7)
Рассмотрим также другое начальное перепутанное белловское состояние вида
|Т(0)> = [sinр | +, +> + cosp|-,->]11,0>. (8)
В рассматриваемом случае временная волновая функция принимает вид
| T(t)> = Xi (t) | +, +; 1,0> + X2 (t) | +,-; 0,1> + +X3(t)| -, +;0,1> + X4(t) |-,-;1,0>,
где
X1 (t) = sin p, X2 (t) = X3 (t) = cos p
BG
a
X4 (t ) = cos p
1 + 2
Ap,i XG 1
Тогда редуцированная матрица плотности может быть записана в виде
и, соответственно, согласованность дается выражением
С(рА ) = 2 max{0, || ХгХ4 | -1 Х2Хз ||>. (9)
Результаты численного моделирования параметра перепутывания (7) и (9) для начальных состояний двухатомной системы вида (4) и (8) представлены на рис. 1-2. Из рисунков хорошо видно, что для рассматриваемой модели эффект мгновенной смерти перепутыва-ния атомов отсутствует, в отличие от модели Тависа-Каммингса с невырожденными двухфотонными переходами [3]. Влияние поля на атомы проявляется в нашем случае в виде ос-цилляций параметра перепутывания. При этом диполь-дипольное взаимодействие приводит для всех начальных состояний и параметров модели к значительной стабилизация атомного перепутывания. Другие механизмы стабилизации перепутывания, связанные с наличием особых типов внешнего окружения, будет рассмотрены в наших следующих работах.
(a)
(б)
Рис. 1. Временная зависимость параметра перепутывания С (рА ) для начального состояния (4) и значений параметра р = я / 4 (а) и р = я / 6 (б). Параметр диполь-дипольного взаимодействия ß = 4g (сплошная линия) и ß = 0 (штриховая линии)
(а)
(б)
Рис. 2. Временная зависимость параметра перепутывания С (рА ) для начального состояния (9) и значений параметра р = я/4 (а) и р = я/6 (б). Параметр диполь-дипольного взаимодействия
4g (сплошная линия) и ß = 0 (штриховая линии
Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы "Научные и научно—педагогические кадры инновационной России" на 20092013 годы по лоту "Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области оптики, лазерной физики и лазерных технологий", шифр "2010-1.1-122084" (номер государственного контракта 14.740.11.0063).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Quantum Computation and Quantum Information / M.A. Nielsen, I.L. Chuang. Cambridge: Cambridge
University Press, 2000. 823 p.
2. SchumackerD, WestmorelandM.D. Quantum Processes, Systems, and Information, New York: Oxford University Press, 2010. 469 p
3. Zhang G, Chen Z. The entanglement character between atoms in the non-degenerate two photons Tavis-Cummings model / / Optics Communications. 2007. V.275. P. 274-277.
4. Li C, Shao X, Zhang S. The influence of dipole-dipole interaction and detuning on the sudden death of entanglement beween two atoms in the Tavis- Cummings model // Chinese Physics. 2009. V.B18. P. 888-893.
5. Bashkirov E.K. Entanglement induced by the two-mode thermal noise // Laser Physics Letters. 2006. V.3. P 145-150.
6. Wootters W.K. Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits // Phys. Rev Lett. 1998. V. 80. №10. P. 2245-2248.
DYNAMICS OF ATOMIC ENTANGLEMENT IN THE MODELS WITH TWO-PHOTON TRANSITIONS
© 2012 E.K. Bashkirov, D.V. Litvinova
Samara State University
The influence of dipole-dipole interaction on two-atom entanglement prepared in different initial Bell states in the framework of Tavis-Cummings model with non-degenerate raman transitions has been investigated. The results show that the dipole-dipole interaction leads to stabilization of atomic entanglement. Keywords: two-photon raman transitions, Bell entangled states, concurrence, atom-atom entanglement.
Eugene Bashkirov, Doctor of Physics and Mathematics, Pro fessor at the General and Theoretical Physics Department. E-mail: bash@ssu.samara.ru.
Darya Litvinova, 5-th Year Student of Physical Department. E-mail: malek_90@mail.ru
