CC BY
2
Научная статья DOI: 10.18287/2541-7525-2024-30-1-112-121
УДК 517.9; 519.7; 530.145.83 Дата: поступления статьи: 22.11.2023
после рецензирования: 28.12.2023 принятия статьи: 28.02.2024
А. Осман
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, г. Самара, Российская Федерация E-mail:[email protected] ORCID: https://orcid.org/0009-0004-8811-2521
Е.К. Башкиров
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, г. Самара, Российская Федерация E-mail:[email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8682-4956
ДИНАМИКА АТОМ-АТОМНОГО ПЕРЕПУТЫВАНИЯ В ДВУХАТОМНОЙ МОДЕЛИ С ВЫРОЖДЕННЫМИ ДВУХФОТОННЫМИ ПЕРЕХОДАМИ РАМАНОВСКОГО ТИПА
АННОТАЦИЯ
Найдена точная динамика модели, состоящей из двух двухуровневых атомов, взаимодействующих с модой электромагнитного поля идеального резонатора посредством вырожденных рамановских переходов, для когерентного и теплового состояний поля. Точное решение использовано для расчета атом-атомной отрицательности. Показано, что для сепарабельных начальных состояний атомов их взаимодействие с полем резонатора не приводит к возникновению атом-атомного перепутывания. Найдено, что для белловских начальных состояний атомов в случае когерентного поля резонатора имеет место эффект мгновенной смерти перепутывания для больших средних значений числа фотонов, в то время как для теплового шума указанный эффект отсутствует для любых интенсивностей резонаторного поля.
Ключевые слова: двухуровневые атомы; вырожденные рамановские переходы; резонатор; перепутывание; отрицательность; мгновенная смерть перепутывания.
Цитирование. Осман А., Башкиров Е.К. Динамика атом-атомного перепутывания в двухатомной модели с вырожденными двухфотонными переходами рамановского типа // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия / Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2024. Т. 30, № 1. С. 112-121. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2024-30-1-112-121.
Информация о конфликте интересов: авторы и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.
© Осман А., Башкиров Е.К., 2024 Али Осман — аспирант кафедры общей и теоретической физики, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.
Евгений Константинович Башкиров — доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей и теоретической физики, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.
1. Предварительные сведения
Перепутывание, заключающееся в наличии нелокальных квантовых корреляций между частями многочастной квантовой системы, является одной из наиболее интересных особенностей квантовой механики, которая тесно связана с ее основами, в частности, с квантовой неразличимостью и нарушением неравенств Белла [1]. Перепутанные состояния в последнее время стали незаменимым ресурсом в квантовой информатике для реализации квантовых вычислений, квантовой связи, квантовой телепортации и др. [1; 2]. Для генерации, управления и контроля перепутанными состояниями естественных и искуственных атомов используют электромагнитные поля резонаторов. Недавние экспериментальные успехи в реализации сильных взаимодействий между фотонами и атомами в высокодобротных резонаторах открывают новые возможности в использовании перепутанных атомных состояний [3-8].
Для описания взаимодействия атомов с выделенными модами электромагнитных полей резонаторов используют модель Джейнса — Каммингса и ее обобщения. Модель Джейнса — Каммингса, как известно, представляет собой простейшую точно решаемую полностью квантовомеханическую модель, состоящую из двухуровневого атома, взаимодействующего с модой идеального резонатора, и позволяющую описать все извесные квантовые эффекты взаимодействия излучения с веществом [9]. В последствие было приложено немало усилий для обобщении этой модели [10; 11]. В частности, была изучена динамика многоатомного обобщения модели Джейнса — Каммингса, модель Джейнса — Каммингса с зависящей от интенсивности поля константой атом-полевого взаимодействия, найдены точные решения для трехуровневой модели Джейнса — Каммингса с различными конфигурациями переходов и многие другие (см. ссылки в [10-18]). В случае больших расстроек между частотами переходов и частотами выделенных мод резонатора трехуровневые модели можно свести к эффективным двухуровневым моделям путем аппроксимации, адиабатического исключения либо оценки унитарного преобразования пертурбативно. Полученный таким образом эффективный двухуровневый гамильтониан имеет вид обычного гамильтониана Джейнса — Каммингса, но с заменой одномодовых операторов поля на произведение операторов поля той же моды или произведения операторов мод нескольких выделенных полей с некоторым эффективным параметром связи атом-полевой связи.
Один класс таких систем обсуждался Герри и Эберли [18]. Они рассмотрели трехуровневый атом с конфигурацией переходов Л-типа, взаимодействующий с двумя выделенными модами полей резонаторов в предположении точного двухфотонного резонанса, как показано на рис. 1. Предполагалось, что уровень 3 находится далеко от резонанса и может быть адиабатически удален, так что этот высовоз-бужденный уровень играет роль виртуального переходного состоянии. между уровнями 1 и 2. В результате полученная модель состоит из двух невырожденных «основных» состояний, связанных между собой бесфотонным процессом, в котором одновременно поглощается фотон одной моды и испускается фотон другой моды. При этом атом совершает переходы между уровнями 1 и 2 через виртуальное состояние. В этом случае модель можно интерпретировать как резонаторную версию комбинационного рассеяния света, в котором одна мода является полем накачки, а вторая мода соответствует стоксо-вому полю. Авторы назвали такую модель двухмодовой невырожденной рамановской моделью. После адиабатического устранения третьего уровня эффективный гамильтониан взаимодействия имеет вид гамильтониана обычной модели Джейнса — Каммингса, но с заменой одномодовых полевых операторов произведениями операторов уничтожения фотонов одной моды и рождения фотонов другой моды.
Рис. 1. Схема энергетических уровней и переходов в атоме с невырожденным двухфотонным
рамановским взаимодействием Fig. 1. Scheme of energy levels and transitions in atom with nondegenerate two-photon raman interaction
Двухатомное обобщение невырожденной двухмодовой рамановской модели исследовали Герри и Ху-анг [19]. Возможность генерации в такой модели атом-атомного перепутывания, индуцированного тепловыми полями резонаторов, обсуждалась в работе [20]. Квантовая динамика невырожденной двухмодовой рамановской модели с зависящими от интенсивности константами атом-фотонной связи в резонаторе без потерь рассматривалась в [21]. В настоящее время рамановские процессы — стандартный инструмент для охлаждения атомов и манипулирования ими [6]. Вырожденная одномодовая модель с рамановски-ми переходами обсуждалась впервые в работе [22] в связи с исследованием коллапсов и возрождений осцилляций Раби и сжатия света. В этой модели, как показано на рис. 2, два вырожденных атомных уровня связаны через виртуальный уровень одномодовым переходом рамановского типа.
Рис. 2. Схема энергетических уровней и переходов в атоме с вырожденными двухфотонными
рамановскими переходами Fig. 2. Scheme of energy levels and transitions in atom with degenerate two-photon raman interaction
В работах [23; 24] рассмотрено двухатомное обобщение вырожденной одномодовой модели Дженйнса — Каммингса с переходами рамановского типа. На основе точного решения уравнения эволюции в работах исследована динамика атом-полевого перепутывания с помощью концепции линейной атомной энтропии. Представляет значительный интерес исследовать динамику атом-атомного перепутывания для указанной модели.
В настоящей статье мы проанализировали динамику атом-атомного перепутывания для двухатомной вырожденной одномодовой модели Дженйса — Каммингса с переходами рамановского типа для произвольного начального состояния атомов и двух начальных состояний поля резонатора: когерентного и теплового. В качестве критерия перепутывания атомов использовалась отрицательность. В результате показано, что перепутывание атомов, индуцированное полем резонатора, не происходит для сепарабель-ных начальных состояний атомов, а для начальных перепутанных состояний атомов возможен эффект мгновенной смерти и рождения перепутывания.
2. Двухатомная модель с вырожденными двухфотонными переходами рамановского типа
Рассмотрим модель, содержащую два атома, каждый из которых имеет два вырожденных состояния |+Ь и |—)г (г = 1,2), связанных вырожденными двухфотонными рамановскими переходами с модой поля идеального резонатора. Переход осуществляется через виртуальный уровень [22]. Гамильтониан взаимодействия такой модели в дипольном приближении и приближении вращающейся волны имеет вид
Н = %1 а+а(а+ + а-) + %2 а+а(а+ + а-). (1)
Здесь а+ = —)ц(+| и а~ = |+)ii (—| — повышающий и понижающий операторы (г = 1,2), а(а+) — оператор уничтожения (рождения) фотонов резонатора, а дг — константа связи г-го атома с полем резонатора.
Предположим, что в начальный момент времени атомы находятся в произвольной суперпозиции чистых атомных состояний вида
|Ф(0))Л! А = С (0)|+, +) + С2т+, —) + Сз(0)| —, +) + С4(0)| —, —), (2)
где
|С(0)|2 + |С2(0)|2 + |Сз (0)|2 + |С4(0)|2 = 1.
В зависимости от выбора значений коэффициентов Сг (0) мы можем получить различные начальные состояния подсистемы атомов. Если три из четырех коэффициентов Сг (0) равны нулю, а оставшийся
коэффициент равен единице, то мы имеем из (2) начальные некогерентные сепарабельные состояния атомов вида | +, +}, \ +, —}, \ —, +}, \ —, —}. В случае
Ci(0) = (cos 0i \ +} +sin 0i \ —}, C2(0) = cos 0i sin 02, C3(0) = sin 0i cos 02, C4(0) = sin 0i sin 02
начальное состояние (2) представляет собой сепарабельное когерентное состояние атомов вида
|Ф(0))А1А2 =(cos di \ +)i +sin di \ -}i) ® (cos 02 \ +}2 +sin 02 \ -}2),
где
—П ^ 0i ^ П, —П ^ 02 ^ П.
Выбирая
Ci(0)=0, C2(0) = cos0, C3(0)=sin0, C4(0)=0 (—n < 0i < n), мы получаем из (2) белловское перепутанное состояние вида
^(0)^ =cos0\ +, —} +sin0 \ —, +},
а для
Ci (0) = cos 0, C2 (0) = 0, C3 (0) = 0, C4 (0) = sin 0 мы получаем из (2) другое белловское перепутанное состояние вида
!*(0)>AiA2 =cos0\ +, +} +sin0 \ —, —}.
(3)
(4)
В качестве начального состояния поля резонатора выберем чистое одномодовое когерентное состояние с волновой функцией
!*(0)>f = £ Fn\n}:
(5)
n=0
где ¥п = е-п/2пп/2/уШ, п — среднее число фотонов в когерентном состоянии и \п) — одномодовое фоковское состояние,
либо смешанное одномодовое тепловое состояние с матрицей плотности
PF(0) = 53 Pn\n}(n\;
(6)
где вероятности pn имеют вид
Pn =
(1 + n)n+i'
В формуле (6) n — среднее число фотонов в тепловой моде
exp[hu/hB T ] — 1;
где кв — постоянная Больцмана и Т — равновесная температура стенок резонатора.
Для рассматриваемой модели с гамильтонианом взаимодействия (1) можно легко найти явный вид оператора эволюции и(£) = ехр(—гШ/Н). В двухатомном базисе \ +, +), \ +, -), \ —, +), \ —, —) оператор эволюции и (£) имеет вид
U (t)
( Uii ... U2i •••
••• Ui4 ^ ••• U24
V
U4i
U44
(7)
/
где
Uii = U22 = U33 = U44 = cos(üt)cos(aüt), Ui2 = U2i = U34 = U43 = —i cos(ílt)sin(aílt) , Ui3 = U3i = U24 = U42 = —isin(Qt) cos(aQt), Ui4 = U4i = U23 = U32 = — sin(Qt)sin(aQt)
П = а+а, а = д2/д\.
Для случая а = 0 мы имеем дело с одноатомной моделью, а для случая а =1 мы имеем дело с двумя идентичными атомами с одинаковыми константами связи. Ниже для удобства мы будем использовать обозначение д\ = д.
n
1
и
Используя явный вид оператора эволюции (7), мы можем получить временную волновую функцию системы для произвольного состояния атомов (2) и когерентного начального состояния поля резонатора (5) в виде
|*(ь)) = и ШЩ0))А1А2 |ф(0)^ =
= 53Fn[Cln(t)\+, +) + C2n(t)\+, -) + C3n(t)\-, +) + Cin(t)\-, -)]\n).
Здесь
(6)
С1п(Ь) = С1(0) сов(ПпЬ) сов(Г2пЬ) — гС2(0) сов(ПпЬ) вш(Г2пЬ) —
—гС3(0) вт(ПпЬ) сов(Г2пЬ) — С4(0) вт(ПпЬ) вш(Г2пЬ) , С2п(Ь) = —гС1(0) сов(ПпЬ) вт(Г2 пЬ) + С2(0) сов(ПпЬ) сов($1 пЬ) —
—С3(0) вш(ПпЬ) вт(72пЬ) — гС4(0) вт(ПпЬ) сов(Г2пЬ)— , С3п(Ь) = —гС1(0) вт(ПпЬ) сов(ПпЬ) — С2(0) вт(ПпЬ) вт(П пЬ)+
+С3(0) сов(ПпЬ) сов(Г2пЬ) — гС4(0) сов(ПпЬ) сов(Г2пЬ) , С4п(Ь) = —С1(0) вт(ПпЬ) 8т(П пЬ) — гС2(0) вт(ПпЬ) сов(7пЬ) — —гС3(0) сов(ПпЬ) п(72пЬ) + С4(0) соъ(0,пЬ) сов(Г2пЬ) ,
где 0.п = п и п = ап.
Соответственно, для начального состояния атомов (2) и теплового состояния поля резонатора (6) временная матрица плотности может быть представлена в виде
р(Ь) = и (Ь)р(0)и-1(ь) =
ж
= Рп[Сщ(Ь)|+, +) + С2п(Ь)+, —) + Сзп(Ь)|—, +) + С4п(Ь)| —, —)]х
п
х[СГп(Ь)(+, +| + С|п(Ь)(+, —| + С*3п(Ь)(—, +| + С1п(Ь)(—, —|]. (8)
3. Расчет отрицательности
В настоящее время существуют два строгих количественных критерия атом-атомного перепутывания: отрицательность (критерий Переса — Хородецких) [25; 26] и согласованность (критерий Вуутерса) [27]. В настоящей работе для анализа динамики перепутывания двух атомов мы будем использовать отрицательность. Для вычисления отрицательности необходимо вычислить редуцированную двухатомную матрицу плотности, которая в двухатомном базисе
\ +, +), \ +, -), \-, +), \-, -)
будет иметь вид
PA1A2(t) =
/ Р11(Ь) Р12(Ь) Р13(Ь) Р14(Ь) \
Р21 (Ь) Р22 (Ь) Р23 (Ь) Р24(4)
Р31(Ь) Р32(Ь) Р33(Ь) Р34(г)
Р41 (Ь) Р42 (Ь) Р43 (Ь) Р44(г)
где для начального когерентного состояния поля (5) матричные элементы (9) имеют вид
\
(9)
/
Рч(Ь) = Е ^п^Ст^Сп^Ь) (г,з = 1, 2, 3,4),
п=0
а для начального теплового состояния поля (6) соответствующие матричные элементы есть
ж
РЦ(Ь) = ЕРпСгп(Ь)С*п(Ь) (г,з = 1, 2, 3,4).
Для двухатомной системы, описываемой редуцированным атомным оператором плотности раха2 (¿), отрицательности можно определить в виде
£ =
к
(10)
где ¡¡- - отрицательные собственные значения частично транспонированной по переменным одного ку-бита атомной матрицы плотности (рА ). Если е = 0, то состояния атомов сепарабельны, если е > 0, то состояния атомов перепутаны. Значение е = 1 указывает на максимальную степень перепутывания атомов.
Частично транспонированная по переменным одного кубита атомная матрица плотности для (9) есть
( Pll(t) Pl2 (t) Pt(T ) Р32 (t) \ P2l(t) Р22 (t) Р41 (t) P42 (t)
Paa t =
Pl3(t) P14 (t) P33 (t) P34 (t) P23 (t) P24 (t) P43 (t) P44 (t)
(11)
Собственные значения матрицы (11) слишком громоздки, поэтому в настоящей работе не приводятся.
4. Результаты и их обсуждение
Результаты численных расчетов отрицательности (11) показывают, что как для сепарабельных некогерентных, так и сепарабельных когерентных начальных состояний атомов перепутывание между ними не возникает в процессе эволюции системы. Аналогичный результат для невырожденной двухатомной модели с рамановскими переходами был ранее получен в статье [20]. Для практических приложений в области квантовой информатики наиболее интересным является исследование динамики атомов, приготовленных в белловских состояниях (3) и (4). При этом для одинаковых значений параметра в временные зависимости отрицательностей для начальных состояний (3) и (4) совпадают, поэтому в настоящей работе мы остановились на исследовании динамики рассматриваемой модели для начального состояния (3). На рис. 3 представлена временная зависимость отрицательности для начального перепутанного состоя-
£(t) 1.0
Рис. 3. Отрицательность e(t) как функция безразмерного времени gt для белловского начального атомного состояния (3) при в = Pi/4 для когерентного состояния поля резонатора. Среднее число фотонов n = 0.1 (сплошная линия), n=1 (штриховая линия) и n = 20 (точечная линия).
Соотношение констант атом-полевого взаимодействия а =1 (а) и а = 2 (б) Fig. 3. Negativity e(t) as a function of scaled time gt for Bell type atomic initial state (3) with 0 = Pi/4 for coherent state of resonator field. The mean photon number n = 0.1 (solid), n = 1 (dashed) and n = 20 (dotted).
The relation between atom-field couplings a =1 (a) and a = 2 (b)
ния атомов (3) и когерентного состояния поля резонатора. Интересной особенностью поведения отрицательности для модели с одинаковыми константами атом-фотонного взаимодействия (рис. 3, а) является отсутствие зависимости амплитуды колебаний параметра перепутывания от среднего числа фотонов в моде. Для любых значений интенсивности поля резонатора отрицательность меняется от максимального значения, равного единице, до практически нулевого значения. Для модели с разными значениями констант атом-полевого взаимодействия (рис. 3, б) амплитуда колебаний отрицательности увеличивается с
ростом интенсивности поля резонатора. Для второй модели в сравнении с первой уменьшается также период осцилляций отрицательности. Отметим также, что для обоих случаев для высоких интенсивностей поля резонатора имеет место эффект мгновенной смерти перепутывания.
На рис. 4 представлена временная зависимость отрицательности для начального перепутанного состояния кубитов (3) и теплового состояния поля резонатора. Для модели с одинаковыми константами атом-фотонного взаимодействия (рис. 3,а) амплитуда колебаний отрицательности слабо зависит от среднего числа фотонов в моде. Однако в отличие от модели с когерентным полем максимальное значение отрицательности существенно уменьшается с увеличением интенсивности теплового поля. Поведение модели с различными константами взаимодействия атомов с полем (рис. 4,6) качественно похоже на поведение модели с одинаковыми значениями констант взаимодействия. Отличие заключается лишь в увеличении периода осцилляций отрицательности для второй из рассматриваемых моделей.
e(t) e(t)
Рис. 4. Отрицательность e(t) как функция безразмерного времени gt для белловского начального атомного состояния (3) при в = Pi/4 для теплового состояния поля резонатора. Среднее число фотонов n = 0.1 (сплошная линия), n = 1 (штриховая линия) и n = 20 (точечная линия).
Соотношение констант атом-полевого взаимодействия а =1 (а) и а = 2 (б) Fig. 4. Negativity e(t) as a function of scaled time gt for Bell type atomic initial state (3) with 0 = Pi/4 for thermal state of resonator field. The mean photon number n = 0.1 (solid), n = 1 (dashed) and n = 20 (dotted).
The relation between atom-field couplings a =1 (a) and a = 2 (b)
Наиболее интересной особенностью поведения отрицательности для теплового поля резонатора является отсутствие эффекта мгновенной смерти перепутывания атомов в процесе их эволюции для любых интенсивностей теплового поля резонатора. Полученные результаты могут быть использованы в области физики квантовых вычислений при выборе наиболее эффективных механизмов управления и контроля перепутанными состояниями атомов.
Заключение
Таким образом, в настоящей статье мы рассмотрели динамику атом-атомного перепутывания двух неидентичных двухуровневых атомов, взаимодействующих с когерентным или тепловым электромагнитным полем идеального резонатора посредством вырожденных переходов рамановского типа. Нами найдено точное решение рассматриваемой модели для любых начальных состояний атомов. На основе точного решения проведен расчет критерия перепутывания атомов - отрицательности. Показано, что для сепарабельных начальных состояний атомов перепутывания атомов за счет взаимодействия с полем резонатора не происходит. Наиболее интересным в поведении критерия перепутывания атомов для их белловских начальных перепутанных состояний является отсутствие эффекта мгновенной смерти пере-путывания атомов для теплового поля резонатора и его наличие для когерентного состояния в случае высоких интенсивностей поля резонатора.
Литература
[1] Gu X., Kockum A.F., Miranowicz A., Liu Y.X., Nori F. Microwave photonics with superconducting quantum circuits // Physics Reports. 2017. Vol. 718-719. Pp. 1-102. DOI: https://doi.org/10.10167j.physrep.2017.10.002.
[2] Xiang Z.-L. Ashhab S., You J.Q., Nori F. Hybrid quantum circuits: Superconducting circuits interacting with other quantum systems // Review of Modern Physics. 2013. Vol. 85, Issue 2. Pp. 623-653. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.85.623.
[3] Kjaergaard M., Schwartz M.E., J. Braumuller J., Krantz P., Wang J.-I., Gustavsson S., Oliver W.D. Superconducting Qubits: Current State of Play // Annual Review of Condensed Matter Physics. 2020. Vol. 11, Issue 1. Pp. 369-395. DOI: https://doi.org/10.1146/annurev-conmatphys-031119-050605.
[4] Souza A.M., Sarthour R.S., Oliveira I.S. Entanglement in many body systems // Physica B: Condensed Matter. 2023. Vol. 653. P. 414511. DOI: https://doi.org/10.1016/j.physb.2022.414511.
[5] Cole Daniel C., Erickson S.D., Wu J., Hou P., Wilson A., Leibfried D., Reiter F. Dissipative preparation of W states in trapped ion systems. // New Journal of Physics. 2021. Vol. 23. P. 073001. DOI: https://doi.org/10.1088/1367-2630/ac09c8.
[6] Raimond J.M., Brune M., Haroche S. Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity // Reviews of Modern Physics. 2001. Vol. 73, Issue 3. Pp. 565-582. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.73.565.
[7] Buluta I., Ashhab S., Nori F. Natural and artificial atoms for quantum computation // Reports of Progress in Physics. 2011. Vol. 74, Number 10. P. 104401. DOI: https://doi.org/10.1088/0034-4885/74/10/104401.
[8] Georgescu I.M., Ashhab S., Nori F. Quantum simulation // Reviews of Modern Physics. 2014. Vol. 88, Issue 1. Pp. 153-185. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.86.153.
[9] Jaynes E.T., Cummings F.W. Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser // Proceedings of the IEEE. 1963. Vol. 51, Issue 1. Pp. 89-109. DOI: https://doi.org/10.1109/PROC.1963.1664.
10] Yoo H.Y., Eberly J.H. Dynamical theory of an atom with two and three levels interacting with quantized cavity fields // Physics Reports. 1985. Vol. 118, Issue 5. Pp. 239-337. DOI: https://doi.org/10.1016/0370-1573(85)90015-8.
11] Shore B.W., Knight P.L. The Jaynes-Cummings model // Journal of Modern Optics. 1995. Vol. 40, Issue 7. Pp. 1195-1238. DOI: https://doi.org/10.1080/09500349314551321.
12] Faraji E., Tavassoly M.K., Baghshahi H.R. Entanglement Evolution Between Various Subsystems of Two Three-level Atoms Interacting with a Two-mode Quantized Field in the Presence of Converter Terms // International Journal of Theoretical Physics. 2016. Vol. 55. Pp. 2573-2587. DOI: https://doi.org/10.1007/s10773-015-2892-8.
13] Pakniat R., Tavassoly M.K., Zandi M.H. Dynamics of Information Entropies of Atom-Field Entangled States Generated via the Jaynes-Cummings Model // Communications in Theoretical Physics. 2016. Vol. 65, Number 3. Pp. 266-272. DOI: https://doi.org/10.1088/0253-6102/65/3/266.
14] Alexanian M., Bose S.K. Unitary transformation and the dynamics of a three-level atom interacting with two quantized field modes // Physical Review A. 1995. Vol. 52, Issue 3. Pp. 2218-2224. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.52.2218.
15] Wu Y. Effective Raman theory for a three-level atom in the A configuration // Physical Review A. 1996. Vol. 54, Issue 2. Pp. 1586-1592. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.54.1586.
16] Wu Y., Yang X.X. Effective two-level model for a three-level atom in the S configuration // Physical Review A. 1997. Vol. 56, Issue 3. Pp. 2443-2446. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.56.2443.
17] Bashkirov E.K. Dynamics of the Two-Atom Jaynes-Cummings Model with Nondegenerate Two-Photon Transitions // Laser Physics. 2006. Vol. 16. Pp. 1218-1226. DOI: https://doi.org/10.1134/S1054660X0608010X.
18] Gerry C.C., Eberly J.H. Dynamics of a Raman coupled model interacting with two quantized cavity fields // Physical Review A. 1990. Vol. 42, Issue 11. Pp. 6805-6815. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.42.6805.
19] Gerry C.C., Huang H. Dynamics of a two-atom Raman coupled model interacting with two quantized cavity fields // Physical Review A. 1992. Vol. 45, Issue 11. Pp. 8037-8044. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.45.8037.
20] Bashkirov E.K. Entanglement induced by the two-mode thermal noise // Laser Physics Letters. 2006. Vol. 3, Issue 3. Pp. 145-150. DOI: https://doi.org/10.1002/lapl.200510081. EDN: https://elibrary.ru/ljnxsz.
21] Singh S., Gilhare K. Dynamics for a Two-Atom Two-Mode Intensity-Dependent Raman Coupled Model // Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2016. Vol. 122. Pp. 984-994. DOI: https://doi.org/10.1134/S1063776116050216.
22] Gerry C.C. Degenerate Raman coupled model interacting with two quantized cavity fields // Physics Letters A. 1991. Vol. 161, Issue 1. Pp. 9-12. DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601(91)90535-g.
23] Song T.-Q., Feng J., Wang M.-Z., Xu J.-Z. Effects of the relative coupling constants on the dynamic properties of a two-atom system // Physical Review A. 1995. Vol. 51, Issue 3. Pp. 2648-2550. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.51.2648.
[24] Башкиров Е.К., Сочкова Е.Ю. Перепутывание в двухатомной модели с вырожденными рамановскими переходами // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер.: Физико-математические науки. 2011. Вып. 2(23). С. 135-141. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu934.
[25] Peres A. Separability Criterion for Density Matrices // Physical Review Letters. 1996. Vol. 77, Issue 8. Pp. 1413-1415. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.77.1413.
[26] Horodecki R., Horodecki M., Horodecki P. Separability of Mixed States: Necessary and Sufficient Condition // Physics Letters A. 1996. Vol. 223, Issues 1-2. Pp. 333-339. DOI: https://doi.org/10.1016/S0375-9601(96)00706-2.
[27] Wootters W.K. Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits // Physical Review Letters. 1998. Vol. 80, Issue 10. Pp. 2245-2248. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.80.2245.
Scientific article
DOI: 10.18287/2541-7525-2024-30-1-112-121 Submited: 22.11.2023
Revised: 28.12.2023
Accepted: 28.02.2024
A. Othman
Samara National Research University, Samara, Russian Federation E-mail:[email protected]. ORCID: https://orcid.org/0009-0004-8811-2521
E.K. Bashkirov
Samara National Research University, Samara, Russian Federation E-mail:[email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8682-4956
DYNAMICS OF ATOM-ATOM ENTANGLEMENT IN TWO-ATOM MODEL WITH DEGENERATE TWO-PHOTON RAMAN TRANSITIONS
ABSTRACT
The exact dynamics of a model consisting of two two-level atoms interacting with the electromagnetic field mode of an ideal resonator through degenerate Raman transitions are found for coherent and thermal field states. The exact solution is used to calculate atom-atom negativity. It is shown that for separable initial states of atoms, their interaction with the resonator field does not lead to the occurrence of atom-atom entanglement. It was found that for the Bell initial states of atoms in the case of a coherent resonator field, the effect of sudden death of entanglement takes place for large average values of the number of photons in the resonator, while in case of thermal noise, this effect is absent for any intensities of the resonator field.
Key words: two-level atoms degenerate raman transitions; cavity; entanglement; negativity; sudden death of entanglement.
Citation. Othman A., Bashkirov E.K. Dynamics of atom-atom entanglement in two-atom model with degenerate two-photon raman transitions. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya / Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 112-121. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2024-30-1-112-121. (In Russ.)
Information about the conflict of interests: authors and reviewers declare no conflict of interests.
© Othman A., Bashkirov E.K., 2024 Ali Othman — graduate student of the Department of General and Theoretical Physics, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.
Eugene K. Bashkirov — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, 443086, Russian Federation.
References
[1] Gu X., Kockum A.F., Miranowicz A., Liu Y.X., Nori F. Microwave photonics with superconducting quantum circuits. Physics Reports, 2017, vol. 718-719, pp. 1-102. DOI: https://doi.org/10.1016/j.physrep.2017.10.002.
[2] Xiang Z.-L. Ashhab S., You J.Q., Nori F. Hybrid quantum circuits: Superconducting circuits interacting with other quantum systems. Review of Modern Physics, 2013, vol. 85, issue 2, pp. 623-653. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.85.623.
[3] Kjaergaard M., Schwartz M.E., J. Braumuller J., Krantz P., Wang J.-I., Gustavsson S., Oliver W.D. Superconducting Qubits: Current State of Play. Annual Review of Condensed Matter Physics, 2020, vol. 11, issue 1, pp. 369-395. DOI: https://doi.org/10.1146/annurev-conmatphys-031119-050605.
[4] Souza A.M., Sarthour R.S., Oliveira I.S. Entanglement in many body systems. Physica B: Condensed Matter, 2023, vol. 653, p. 414511. DOI: https://doi.org/10.1016/j.physb.2022.414511.
[5] Cole Daniel C., Erickson S.D., Wu J., Hou P., Wilson A., Leibfried D., Reiter F. Dissipative preparation of W states in trapped ion systems. New Journal of Physics, 2021, vol. 23, p. 073001. DOI: https://doi.org/10.1088/1367-2630/ac09c8.
[6] Raimond J.M., Brune M., Haroche S. Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity. Review of Modern Physics, 2001, vol. 73, issue 3, pp. 565-582. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.73.565.
[7] Buluta I., Ashhab S., Nori F. Natural and artificial atoms for quantum computation. Reports on Progress in Physics, 2011, volume 74, number 10, p. 104401. DOI: https://doi.org/10.1088/0034-4885/74/10/104401.
[8] Georgescu I.M., Ashhab S., Nori F. Quantum simulation. Reviews of Modern Physics, 2014, vol. 88, issue 1, pp. 153-185. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.86.153.
[9] Jaynes E.T., Cummings F.W. Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser. Proceedings of the IEEE, 1963, vol. 51, pp. 89-109. DOI: https://doi.org/10.1109/PROC.1963.1664.
10] Yoo H.Y., Eberly J.H. Dynamical theory of an atom with two and three levels interacting with quantized cavity fields. Physics Reports, 1985, vol. 118, issue 5, pp. 239-337. DOI: https://doi.org/10.1016/0370-1573(85)90015-8.
11] Shore B.W., Knight P.L. The Jaynes-Cummings model. Journal of Modern Optics, 1995, vol. 40, issue 7, pp. 1195-1238. DOI: https://doi.org/10.1080/09500349314551321.
12] Faraji E., Tavassoly M.K., Baghshahi H.R. Entanglement Evolution Between Various Subsystems of Two Three-level Atoms Interacting with a Two-mode Quantized Field in the Presence of Converter Terms. International Journal of Theoretical Physics, 2016, vol. 55, pp. 2573-2587. DOI: https://doi.org/10.1007/s10773-015-2892-8.
13] Pakniat R., Tavassoly M.K., Zandi M.H. Dynamics of Information Entropies of Atom-Field Entangled States Generated via the Jaynes-Cummings Model. Communications in Theoretical Physics, 2016, vol. 65, number 3, pp. 266-272. DOI: https://doi.org/10.1088/0253-6102/65/3/266.
14] Alexanian M., Bose S.K. Unitary transformation and the dynamics of a three-level atom interacting with two quantized field modes. Physical Review A, 1995, vol. 52, pp. 2218-2224. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.52.2218.
15] Wu Y. Effective Raman theory for a three-level atom in the A configuration. Physical Review A, 1996, vol. 54, issue 2, pp. 1586-1592. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.54.1586.
16] Wu Y., Yang X.X. Effective two-level model for a three-level atom in the S configuration. Physical Review A, 1997, vol. 56, pp. 2443-2446. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.56.2443.
17] Bashkirov E.K. Dynamics of the Two-Atom Jaynes-Cummings Model with Nondegenerate Two-Photon Transitions. Laser Physics, 2006, vol. 16, pp. 1218-1226. DOI: https://doi.org/10.1134/S1054660X0608010X.
18] Gerry C.C., Eberly J.H. Dynamics of a Raman coupled model interacting with two quantized cavity fields. Physical Review A, 1990, vol. 42, issue 11, pp. 6805-6815. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.42.6805.
19] Gerry C.C., Huang H. Dynamics of a two-atom Raman coupled model interacting with two quantized cavity fields. Physical Review A, 1992, vol. 45, issue 11, pp. 8037-8044. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.45.8037.
20] Bashkirov E.K. Entanglement induced by the two-mode thermal noise. Laser Physics Letters, 2006, vol. 3, issue 3, pp. 145-150. DOI: https://doi.org/10.1002/lapl.200510081.
21] Singh S., Gilhare K. Dynamics for a Two-Atom Two-Mode Intensity-Dependent Raman Coupled Model. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2016, vol. 122, pp. 984-994. DOI: https://doi.org/10.1134/S1063776116050216.
22] Gerry C.C. Degenerate Raman coupled model interacting with two quantized cavity fields. Physics Letters A, 1991, vol. 161, issue 1, pp. 9-12. DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601(91)90535-g.
23] Song T.-Q., Feng J., Wang M.-Z., Xu J.-Z. Effects of the relative coupling constants on the dynamic properties of a two-atom system. Physical Review A, 1995, vol. 51, issue 3, pp. 2648-2550. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.51.2648.
24] Bashkirov E.K., Sochkova E.Yu. Entanglement in two-atom model with degenerate Raman transitions. Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences, 2011, issue 2 (23), pp. 135—141. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu934. (In Russ.)
25] Peres A. Separability Criterion for Density Matrices. Physical Review Letters, 1996, vol. 77, issue 8, pp. 1413-1415. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.77.1413.
26] Horodecki R., Horodecki M., Horodecki P. Separability of Mixed States: Necessary and Sufficient Condition. Physics Letters A, 1996, vol. 223, issues 1-2, pp. 333-339. DOI: https://doi.org/10.1016/S0375-9601(96)00706-2.
27] Wootters W.K. Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits. Physical Review Letters, 1998, vol. 80, issue 10, pp. 2245-2248. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.80.2245.
