Динамика адиабатного процесса в электрокалорическом элементе при гармоническом воздействии электрического поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

удк 669.017

Динамика адиабатного процесса в электрокалорическом элементе при гармоническом воздействии электрического поля

Канд. техн. наук А. В. ЗАЙЦЕВ, канд. физ.-мат. наук А. С. СТАРКОВ, канд. техн. наук О. В. ПАХОМОВ Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий

191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9

The paper examines peculiarities of adiabatic change of temperature under dynamic action on ferromagnetic. The results of numerical calculations of electrocaloric effect by Laudau-Khalatnikov theory are given.

Key words: adiabatic process, electric field, harmonic action, electrocaloric effect, ferroelectrics, numerical experiment, multipoint method.

Ключевые слова: адиабатный процесс, электрическое поле, гармоническое воздействие, электрокалорический эффект, сегнетоэлектрики, численный эксперимент, многоточечный метод.

Электрокалорический эффект (ЭКЭ) заключается в изменении температуры вещества при приложении или снятии электрического поля. Наиболее существенным ЭКЭ обладают сегнетоэлектрики, у которых диэлектрическая проницаемость сильно зависит от температуры. Появившиеся в последнее время новые сегнетоэлек-трические материалы [ 1 ] позволили повысить величину охлаждения с 1—2 до 10—12 °С, что дало возможность использовать их в практических целях. В то же время теория ЭКЭ остается неизменной с середины прошлого века и не позволяет описать множество новых явлений, обнаруженных экспериментальным путем. Например, до сих пор не получено объяснение разной диэлектрической восприимчивости при нагревании и охлаждении, сильной зависимости свойств сегнетоэлектрических пленок от толщины и др. Поэтому развитие теоретической модели ЭКЭ является весьма актуальной задачей.

Для описания состояния сегнетоэлектрика основным уравнением, связывающим напряженность электрического поля Е и поляризацию Р, является уравнение Ландау-Гинзбурга

Е = аР + ЬР3 (1)

или его обобщение на нестационарный случай — уравнение Ландау-Халатникова

дР

Е = аР + ЬР3 + а—, (2)

д1

гле а, Ь, а — некоторые феноменологические коэффициенты.

Коэффициент а линейно зависит от температуры: а = ао(Т-Тс), где Тс — температура Кюри сегнетоэлектрика. Коэффициенты ао, Ъ, а считаются постоянными. Уравнения (I) и (2) применимы в малой, порядка 10 град, окрестности температуры Кюри.

Для описания температурного состояния вещества с учетом ЭКЭ применяем уравнение

Се<\Т = -Т^-<\Е, (3)

дТ

где Се — теплоемкость сегнетоэлектрика при постоянной напряженности.

Так как все входящие в уравнение (3) величины могут быть получены экспериментальным путем, оно использовалось в основном при обработке экспериментальных данных.

В данной работе рассматривается теоретическая модель ЭКЭ, которая является простейшим обобщением теории Ландау, учитывающим взаимное влияние температуры и поляризации.

Напомним, что в основополагающих работах Л. Д. Ландау температура считалась постоянной, что может быть справедливо для стационарного уравнения (1), но при изменяющемся электрическом поле Е будет изменяться и поляризация, а следовательно, и температура. Таким образом, предлагается уравнения (2), (3) рассматривать не по отдельности, как это делалось ранее, а в системе. Более того, уравнение (3) заменим эквивалентным ему уравнением, содержащим теплоемкость при постоянной поляризации Ср.

При исследовании процессов в диэлектриках, связывающих тепловые и электрические явления, в качестве независимых переменных естественно выбрать температуру Т и напряженность Е или температуру и поляризацию Р. Тогда, согласно второму началу термодинамики,

dQ = TdS

или

d Q

-'(Я.

dr+riH)rd£=

(4)

dP,

р \9PJt

где S — энтропия; Q — количество теплоты.

Коэффициенты при d Т в (4) есть соответствующие теплоемкости. Используя равенства Максвелла

dS_\ _ /дР\ дЕ)т~{дт)Е;

dS\ __(0Е\ дР)т~ \дт)Р'

можно написать два эквивалентных уравнения адиабатического процесса (S = const):

CEdT + TC^dE = 0-, дЕ

CpdT-T—dP = 0. (Л

(5)

Отметим, что уравнения (5) являются универсальными и не зависят от явного вида уравнения состояния, связывающего Р,Т и Е. Выберем свободную энергию в форме Ландау:

р2 р4

где (Г) — функция только температуры, явный вид которой не регламентируется. Отсюда последовательно находим энтропию

дР Р2

и теплоемкости

СЕ = Т = -77^' (Т) - аоТРРт-

Ср = Т[%)р = ~ТК{П

СЕ = СР- а0ТРРт,

здесь введено обозначение Рт = дР/дТ.

Из приведенных формул следует, что при отсутствии электрического поля в парафазе при Т > Тс, когда Р = О, теплоемкости Се и Ср совпадают.

Производные по температуре, входящие в уравнения (5), элементарным образом вычисляем из уравнения (2) или (1):

ЭР = аоР|

дР дТ

а0Р

а + 3ЬР2'

В результате получаем, что для моделей Ландау—Гинзбурга и Ландау—Халатникова теплоемкость Ср (в отличие от Се) является функцией только температуры, производная дЕ/дТ — функцией только поляризации, а второе из уравнений (5) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, нетрудно получить его общий интеграл:

JCplT)dT=a° (Р2"Р0)

То

Т

где То, Ро — начальные температура и поляризация.

В области применимости модели Ландау, т. е. в малой окрестности точки Кюри, функцию (Т) можно заменить на постоянную РЦ (Т) = х• Правомерность такой замены подтверждается экспериментальными данными [2], которые показывают линейную зависимость Ср от температуры. В результате уравнение адиабаты для сегнетоэлектрика принимает вид

(Т — То) = ао (Р2 — Ро); (6)

х = —

Заметим, что в уравнение (6) входит только Р2, так как поляризация Р есть векторная величина, и в простейшей изотропной модели в уравнение может входить только зависимость от Р2.

Временная динамика параметров сегнетоэлектрика описывается системой дифференциальных уравнений _dP(т)

РСЕ-

d Г

dT(r

+ а(Т)Р(т) + ЬР(т)3 = £(т); d Р(т) d Е(т)

(7)

= -Т(т)-

dт *г/с1Т(г) dr ' где а — коэффициент релаксации (а ит), здесь т — время, с;

а(Т) = ао(Т-Тс), здесь ао — коэффициент; Тс — температура Кюри, К;

Ь — коэффициент; — плотность, кг/м3;

се — удельная теплоемкость при постоянной напряженности, Дж/(кгК).

Пусть до момента времени т = 0 электрическое поле Ет^о = 0, температура сегнетоэлектрика поддерживалась равной Го < Тс, а поляризация равнялась спонтанной Р5 = \/-а/Ь (а < 0 в сегнетофазе при Т < Тс).

В момент времени г = 0 начинает действовать периодическое электрическое поле по закону

Ет>0 = Eq sin (шт),

гдеЕ0 — амплитуда изменения напряженности, В/м; ш — частота, 1/с. Начальные условия:

Р\т=0 = -Ро; Т\т-о = То-

(8)

Преобразуем систему (7). Разделим первое уравнение на а(Т) и обозначим тр = а/а (Т) — время релаксации, с; ка = 1/а (Т) — абсолютную диэлектрическую восприимчивость, Кл/(Вм). Во втором уравнении с учетом

dP(т) _ dP(т) /АТ{т) с\Т{т) dт / с1т '

после подстановки с1 Р (т) /с1 г из первого уравнения, получим

РСЕ

d Г (г)

d т

= -Т (т

клЕ0 sin (и>т) - Р (г) - fcB6P (т)3 d Е(т) rn dr

Окончательно, после преобразований, система (7) может быть записана в виде

d Р (т) _ каЕ0 sin (ит)-Р (т) (т)3

dr rD

dT(r) dr

(9)

= ±

k:xEo sin(wr)-P(r) — кпЬР(т)3 EquT{t) cos(u;т)

Тр PCE

Поиск решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (9) представляет собой задачу Коши

^ У\ (т)

dr

d Y2(t) dr

= /i (r,PT); = /2(r,PT).

(10)

Поскольку аналитическое решение системы (9) не представляется возможным, произведен анализ возможных численных методов.

Обычно в вычислительной практике часто применяют методы Рунге—Кутты четвертого порядка погрешности. Применение модификации такого метода — метода Рунге— Кутты—Мерсона — с оценкой погрешности на каждом шаге интегрирования и автоматическим изменением шага при интегрировании системы (9) привело к достаточно неустойчивому решению. При этом было выявлено, что уравнения системы (9) являются так называемыми жесткими уравнениями, особенность которых — медленное изменение их решений при наличии быстро затухающих возмущений [3].

Для решения системы жестких уравнений выбираем многоточечный метод, реализующий неявную схему Ги-ра четвертого порядка типа прогноз—коррекция [4]. Погрешность интегрирования имеет порядок 5тъ. Этот метод реализуется следующим алгоритмом.

1. Задаем константы а, а0, Тс, Ь, Е0, р, се, начальный шаг интегрирования 5т и начальные значения г = т0, Р = Ро,Т = Т0.

2. Вычисляем значения искомых функций Р = VI (г) и Т = У2(т) на первых трех шагах (] = 1, 2, 3). Для этого применим наиболее используемую в вычислительной практике схему Рунге—Кутты четвертого порядка [5]:

(т?-1 + 5т) = У{ (т^-х) + {Кц + 2Кг2 + 2Кгз + К«)

+ где

б

(П)

Кн =5r/i[ri_1,yi(ri_1)]; Ki 2 = ÓTfi

Ti-1 + ~2~»У* \Tj—i) + ~Y

Ki 3 = ÓTfi

ÓT V / \ . Ki2

Tj-1 + Y^Yi(Tj-i) + —

Кг 4 = дт/{ [г,_1 + 5т, У{ (т,-_!) + К я].

3. На четвертом и последующих шагах вычисляем значения искомых функций по формуле

у< (т' } =-25-+

+

16У; (rj-з) - 36У; (tj-2) + 48У; (т,-.3) 25

(12)

Поскольку уравнение (12) является неявным, его следует решать итеративно, используя, например, метод Ньютона. В качестве начального приближения-прогноза используем уравнение

Уг (т.,-4) ~ 10Ц (Т^г)

+ ■

подставляем в уравнение-

а результат затем коррекцию (12).

Произведем тестовый расчет при следующих исходных данных:

q = 2 • Ю-5; ао = -2 • 10~4; Тс = 350 К; 6 = 0;

Е0 = 300 В/м; сЕ = 372 ДжДкг К); р = 8080 кг/м3.

Результаты численного эксперимента отображены на рисунке.

В расчетах принимался знак «+» перед корнем в уравнении (9), поэтому получен рост температуры. При выборе знака «—» получаем, соответственно, уменьшение температуры.

Анализ расчетов показывает, что решение системы (10) существует лишь при определенном соотношении свойств и режимных параметров процесса. Для правильного выбора соотношения необходимо провести натурный эксперимент.

В заключение заметим, что приведенная теория позволяет рассмотреть взаимное влияние температуры и поляризации. Тем не менее она не может считаться завершенной, так как не учитывает теплообмен с окружающей средой, конечность размера сегнетоэлектрика и т. д.

Данная работа выполнена в рамках государственной аналитической программы «Развитие потенциала высшей школы 2009—2010», раздел «Проведение фундаментальных исследований в области технических наук», регистрационный номер 2.1.2/5063.

Список литературы

1. MischenkoA. S., Zhang Q , Scott J. F., Whatmore R. W., Marhur N. D. Science 311. 1270 (2006).

2. Шнаидштеин И. В. Неклассические тепловые явления в реальных сегнетоэлектрических кристаллах: Авто-реф. дис. на соискание ученой степени канд. техн. наук. — М.: МГУ, 2007.

3. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рун-ге—Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.

4. Чуа Л. О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы / Пер. с англ. — М.: Энергия, 1980.

5. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2. 2-е изд., перераб. — М.: ГИФМЛ, 1962.