CC BY
71
УДК 519.863:338.3
М.В. БОЙЧУК, Н.М. ШМУРИГІНА
ДИНАМІЧНА УЗАГАЛЬНЕНА МОДЕЛЬ МІЖГАЛУЗЕВОГО БАЛАНСУ З УРАХУВАННЯМ КОНТРОЛЮ НАД ЗАБРУДНЕННЯМ__________________________________________________________
Abstract: Generalized mathematical model of dynamic intersector balance taking into account the control above contamination and the resulted algorithm of its researching is offered.
Key words: intersector balance, highway, management, point of switching managements.
Анотація: Запропонована узагальнена математична модель динамічного міжгалузевого балансу з
урахуванням контролю над забрудненням і приведений алгоритм її дослідження
Ключові слова: міжгалузевий баланс, магістраль, керування, точка перемикання керувань.
Аннотация: Предложена обобщенная математическая модель динамического межотраслевого баланса с учетом контроля над загрязнением и приведен алгоритм ее исследования
Ключевые слова: межотраслевой баланс, магистраль, управление, точка переключения управлений.
1. Вступ. Постановка проблеми
Забруднення навколишнього середовища є побічним продуктом кожної нормальної економічної діяльності - в будь-якій із своїх численних форм воно пов'язане з певними процесами виробництва і споживання.
Боротьба із забрудненням навколишнього середовища вимагає постійно зростаючих витрат, приводить до створення нових виробництв по переробці і знищенню шкідливих відходів. В результаті розширюється сама сфера суспільного виробництва: вона включає не тільки створення матеріальних благ, але й різні види діяльності, пов'язані із зменшенням забруднення навколишнього середовища і відновлення природних ресурсів.
Однією із основних проблем є прогнозування подальшого розвитку екологічної ситуації, метою якого служить пошук оптимального плану розвитку економіки. Основним засобом прогнозування у цьому випадку є динамічні моделі еколого-економічної взаємодії. Моделі цього класу зберігають традиційну структуру економіко-математичних моделей, а також містять додаткові змінні і зв'язки, що характеризують екологічну підсистему.
У даній роботі проводиться дослідження однієї з економічних задач - оптимізація динамічної узагальненої моделі міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням. Процес описується моделлю економічної динаміки, в основу якої покладений міжгалузевий баланс, а потужності галузей описуються виробничими функціями. В динамічній моделі міжгалузевого балансу припускається миттєвість перетворення виробничого накопичення (капітальних вкладень) у приріст виробництва продукції.
Автори досліджували динаміку узагальненої моделі міжгалузевого балансу, визначили можливі сценарії її розвитку і зростання, особисто запропонували алгоритм обчислення моменту перемикання керувань.
Отже, за методами системного аналізу дослідимо процес і визначимо можливі й оптимальні траєкторії зростання узагальненої динамічної моделі міжгалузевого балансу з метою її використовування в задачах прогнозування, планування та управління.
2. Аналіз основних досліджень і публікацій, в яких започатковане розв’язання поставленої проблеми
Перша міжгалузева модель, яка охоплює взаємозв'язки економіки і навколишнього середовища, була запропонована В. Леонтьєвим і Д. Фордом. Вона охоплює дві групи галузей (виробництв): галузі матеріального виробництва і галузі, які знищують шкідливі відходи.
Запропонована В. Леонтьєвим на початку 50-х років динамічна міжгалузева модель [1] стала класичним прикладом використовування систем диференціальних рівнянь у дослідженні проблем економічного зростання. З часу своєї появи модель В. Леонтьєва знайшла широкий відгук, і вже накопичений значний досвід практичного використовування моделі і її модифікацій на національному і регіональному рівнях. Зокрема, в [2] проведені дослідження і числове моделювання статичної моделі міжгалузевого балансу. Це дало можливість отримати такі результати:
- запропонувати механізм для визначення магістральних траєкторій і відповідних їм керувань;
- досліджувати граничні траєкторії і керування.
В [3] приведено побудову узагальненої статичної моделі міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням.
Серед сучасних досліджень в області математичного моделювання еколого-економічних систем слід зазначити роботи М.В. Михалевича, А.А. Петрова, І.Г. Поспєлова, О.В. Рюміної, І.М. Ляшенка, В.С. Григорківа та ін., в яких обґрунтовується необхідність оцінювання еколого-економічної взаємодії на основі моделей, що в сукупності описують систему екологічних і економічних процесів.
3. Мета і методика проведення досліджень
Основною метою даної роботи є подальша розробка методологічних питань аналізу розвитку економіки, дослідницьких прийомів узагальненої динамічної моделі міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням.
Теоретичну і методологічну основу дослідження складають фундаментальні положення і принципи економічної теорії, методи оптимізації, економіко-математичне моделювання, теорії невід'ємних матриць і диференціальних рівнянь.
Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням має вигляд:
X(1) = A11X(1) + A12X(2) + A13X(3) + Y(1), X(2) = A21X(1) + A22X(2) + A23X(3) -Y(2);
X(3) = A31X(1) + A32X(2) + A33X(3)-Y(3);
Y“’ = ¿?.А + C • і B X(2) +B3 X(3);
j=1
Kk = Ik - mkKk , Kk (0)=Kk0, k є {1,...,n};
k=1
7(1),7(2),7(3) >0, Ік >0 , Kk >0 , Ck >cmln , k є {1,...,и}, (1)
де X(1),(их1) - вектор валового випуску продукції; 7(1),(их1)- вектор кінцевої продукції;
Х(2),(их1) - вектор створеного рукотворного капіталу; 7(2),(их1) - заданий запас наявного
капіталу; X (3),(и х1) - вектор знищених забруднювачів; 7 (3),(и х1) - задані ліміти на викиди забруднювачів в навколишнє середовище; Лц,А12,Л13 - невід'ємні матриці матеріальних витрат; Л21,Л22,Л23 - невід'ємні матриці використання рукотворного капіталу; Л31,Л32,Л33 - невід'ємні матриці випуску забруднювачів; I - інвестиції; С - невиробниче споживання; К - основні виробничі
фонди; Ь - трудові ресурси; ц- норми амортизації капіталів; X (1),(их1) - вектор абсолютних
• (2)
приростів випуску продукції; X ,(их1) - вектор абсолютних приростів створеного рукотворного
• (3)
капіталу; X ,(их1)- вектор абсолютних приростів знищених забруднювачів; В1,В2,В3 -
невід'ємні матриці коефіцієнтів капіталоємності приростів відповідних виробництв.
Задача полягає в тому, щоб знайти такий процес, який би задовольняв умови (1) і був оптимальним у змісті функціоналу
Я(п) = І" е t g(t,C)dt ® тах , (2)
0 шеМ
де М — множина процесів, які допускають виконання умов (1); д — норма дисконтування.
Функції Fk є виробничими функціями кожної галузі з властивостями [4]. На функцію корисності g накладають такі вимоги: двічі неперервно-диференційована по C і неперервна по
Og . dg
t > 0 ; монотонно зростаюча по C ; угнута по C ; lim =¥, lim =0 .
C®0 oC C®¥dC
Матриця структури капіталовкладень Q- невід'ємна, причому q j >0 при всіх k>5 , jє {1,...,п}. Галузі з номерами k<5 такі, що для кожного k<5 існує хоча б одне j, при якому qkj >0 , називаються фондоутворюючими. Для кожної галузі j знайдеться фондоутворююча галузь
n
k така, що qkj >0 , причому ^ qkj =1 для всіх j є {1,..., п} .
k=1
У задачі (1)-(2) в ролі стану виступає вектор капіталу, а решта змінних X(1), X(2), X(3), Y(1),I,L, C - компоненти вектора керування.
Оскільки економіка розвивається в умовах стійкої екологічної рівноваги, то Y = comt,
Y(3) = con5t.
00
З системи (1) виразимо X(2) і X(3) через X (1) і продиференціюємо ці вирази:
X(2) = (E-A22 -UA32)-1{(A21+UA31)X(1) -UY(3)-Y(2)};
X(3) = (E - A33)-1{[ A31+A32(E - A22 -UA32)-1( A21+UA31)] X(1) -
-[A32(E-A22-UA32)-1U+E]Y(3) -A32(E-A22 -UA32)-1Y(2)} ;
X(2) = (E-A22 -UA32)-1(A21 +UA31)X(1);
X(3) = (E - A33)-1 [ A31 + A32 (E - A22 -UA32 )-1 (A21+UA31)] X(1).
Підставимо останні рівності в перше і п'яте рівняння системи, отримаємо
Xf = twKjXf - j (Zkj + bj j - jjf + Y(), k e (1,..., n},
j=1 j=1 j=1
I=dX (1),
де матриці U=A23(E - A33) 1, Z=A^(E - A22 -UA32) 1, R=A^(E - A33) 1,
B=RA32(E-A22 -UA32)-1, D1=(Z+B)(A21 +UA31)+RA31, W=A11+D1, S=(Z+B)U+R ,
D2=(E-A22 -UA32) (A21+UA31), D=B1 + B2D2+B3(E-A33) (A31 + A32D2), M=QD .
Відповідно до достатніх умов оптимальності [2, с. 382-385], необхідно оптимізувати дві
функції:
R(t, X, C, I) = і ^§^[-АА + Ii ] + e~S'g(‘, C) + ® max,
k=1 OA| öt
lim min j(t, K). (3)
t®¥ k >0
Невідому функцію j шукатимемо у вигляді
j(t,K)=je y(t) Kk.
k=1
Тоді (3) набуває вигляду
n n
R = і [Vk -mkWk ]Kk +i Wkh + e"V(t,C) ® max;
k=1 k=1
lim min yk (t) Kk = 0, "k e {1,..., n} .
■ - k| ^
і Кк >0
Враховуючи міжгалузеві зв'язки моделі (1), за допомогою методу множників Лагранжа замінимо задачу про максимум Я на максимум функції
С п \
R=ZУ -mkyk]кк +£ул + е 8tg(t,c) + gN-2Lk
k=1 k=1 V k=1 J
+
jtЛ„iXi" -±w„X"' + ±(z„ + b„)Yj2) + ±SJ»' -±%I, -C,
k=1 V 1=1 1=1 1=1 1=1
k
на множині M всіх X(1),C,K,I,L моделі (1). Тут g(t>0), 1,(t>0), kє{1,...,п}- множники
Лагранжа. Введемо позначення:
G(t,C)=e-StS (t,C) - £ l ,Ck , h, =1 k - t l jWjk , M = y, - ¿«*1 ;
k=1 1=1 1=1
p, = -y k +m,y,, r* (t, K, X (1\ L)=-pkKk +hkXf -TLk ■
Тоді
R = t r* (t,K, X(1),L) + It Mkh + G(t,C)+gN + £ 1 k t{(z,j + bkj)Yj2) + 1(3)} ■ k=1 k=1 k=1 1=1
Задача (4) набуває такого вигляду в нових позначеннях:
R, (t, K, X(1), L) ® max (5)
0£X,1 <Fk (t,K,L), Kk >0,Lk >0
max (D.I. = 0 "k, t. (6)
Ik >0 k k
Пошук оптимального режиму економічного розвитку зводиться до максимізації функцій
Rk (t, K, X(1),L) і G(t,C) і підбору таких множників yk (t), 1k (t), g(t) , щоб цей процес тгє M
виявився допустимим.
Множники yk ,1k ,g мають зміст дисконтованих до початкового моменту внутрішніх цін. Зміст поточних цін мають величини
у* (0 = yk (t)ed, 1, (0=1* (0e8t, Y(0=g(t)edt.
Режим розвитку економіки, визначений (5)-(6), назвемо оптимальним при даних цінах. Він забезпечує максимум всіх видів прибутку в кожний момент часу. Ціни Z = (У,1, g)є П назвемо допустимими.
Згідно з (5), споживання C(t>0) забезпечує максимум комерційного прибутку G(t,C) . З урахуванням властивостей функції g(t,C) необхідною умовою існування цього максимуму є
п
невід'ємність вектора 1(t) при кожному t > 0 . Якщо корисність лінійна g = ,Ck , то внутрішні
k=1 k k
поточні ціни не нижче за зовнішні: 1, >0,, kє{1,.,п}. ЯкщоC, >C,nin , то поточна ціна даного
■ — ■ 1 dg(t,C) і >dg(t,C) г r min q
продукту дорівнює граничній корисності 1 k = -w ,— . Якщо 1, > -w ,— , то C, = C, . В
dL, oC*
'гШІП
частинному випадку, якщо g = Як С* , то значення С* >С^^ можливе тільки при такому к = І,
к=1
що
ql_______________ qk
=шах^=1 . (7)
1 k 1 k
Галузь l є єдиною.
Згідно з (5), оптимальний продукт галузі X^, капітал Kk і робоча сила Lк повинні
забезпечити максимум прибутку Rk . А це можливо при виконанні умови
Fk (t, Kk, Lk ), якщо hk > 0,
Xk = <0, якщо hk < 0, (8)
не визначено, якщо hk = 0.
Позначимо
Rk = шах Rk = hkFk (t,Kk,Lk)-PkKk ~gLk . (9)
0£Xk £Fk (t,Kk L)
Враховуючи лінійну однорідність виробничих функцій Fk , можемо записати
Rk = ~ (t,kk )Lk ,
де kk = KkjLk - фондоозброєність, ~k (t,kk )=hk/k (t,kk ) ~Rkkk _g_ виробничий прибуток галузі з одиниці праці. Оскільки Lk >0 для всіх k і t, отримаємо необхідні і достатні умови максимуму Rk за Kk і Lk:
~k (t,kk )=max~k (t,kk ) (10)
для всіх k і t. Для існування такого kk необхідно, щоб Pk >0 , g > 0 для всіх k і t. Якщо hk >0 і
/k (t,kk ) > 0 , Pk > 0 , g > 0 , то існує kk > 0.
Вектор H = (hi ,...,hn) виражається через вектор 1=(1i,...,1 n) матричною формулою
H=(£-WT )1 . (11)
Із (8), згідно з (10), випливає повна загруженість галузей на оптимальному режимі:
Xk = Fk (^Kk,Lk ) , k n} , t > 0 .
На основі властивості обмеженості на сумарну робочу силу матимемо
Yhk (t)=N(t), t > 0 . (12)
k=1
Використовуючи (9) і (10), отримаємо
Н
эЕ . К, Ь„)
к
эи
Ж к Ц, кк, ик)
к
эк,
к
(13)
^к к
для всіх к і і > 0. Це означає, що чистий граничний прибуток з одиниці праці однаковий для всіх галузей і повинен співпадати з ціною праці, а з одиниці фондів - з ціною їх зношення. Якщо
л (ік ) = дрк!дЬк ~ -
Лк ^рк/дКк ’ к
, рк = рк 17, тоДі рк% 0 ,кк) =1, тобто оптимальна фондоозброєність
залежить тільки від відношення ціни зношення фондів до ціни праці .
Зокрема, для виробничої функції Кобба- Дугласа Рк = а^е5к(Кк)ак (Рк)Ьк маємо
ц„ (глк)=-^4 кк =^(р )-1.
а
ак
Позначивши Н» = Н» 7, 1» =1» 7, з (11) отримаємо
ґ
1=(Е-№т) 1Н, Ик
Щ ('КкРк)
эи
4-1
, к є {1,...,п}.
(14)
(15)
Максимум (6) за Ік визначений при умові й)к = ук - Е ч»1-£ 0. Тоді
і=1
І к =
0, якщо ук - Е ч-Л < 0
і=1
> 0, якщо у к - Е Чік^і = °.
і=1
Назвемо к - ту галузь розвиваючою в момент часу ї, якщо Ік (ї) > 0 . Якщо всі галузі розвиваються, то
у к = Е чі, к є{1,...,п}.
і=1
Тоді ціни зношення приймають вигляд
Рк = Е Чік СМ; - ^ ) , Vі =-7- , к є{1,..., п} , -^а... 5} . 7
і=1
(16)
Перші 5 рівнянь в (15) при заданих 1-, -є{1,...,5} утворюють замкнену нелінійну систему з 5 невідомими V- . Позначимо через V- (1^,...,15) розв'язок цієї системи при заданих І1,...,15 . Тоді для цін фондоутворюючих продуктів 1,, -є{1,...,5} одержимо задачу Коші:
fij =yvj(VУ.....1,/T), jє{1.....s},
I1 j (°)=* j 0.
яку при заданій ціні праці g(t > 0) можна розв'язати.
Якщо відомі ціни фондоутворюючих продуктів 1 k (t) , k<s, ціна праці g(t), t > 0 , то з (16)
знаходимо ціни зношення Pk , з (14) - магістральні фондоозброєності kmog (t>0), з (15) - ціни
нефондоутворюючих продуктів 1k, k>s . Таким чином, ціни всіх продуктів і фондів i (t), yk (t) ,
t > 0, а також магістральні фондоозброєності k^ag(t>0) залежать від ціни праці T(t) та
початкових значень цін фондоутворюючих продуктів 1 к(0) , kє {1,...,s} .
У випадку сталих і не залежних явно від часу початкових матриць системи (1), виробничих функцій і функції корисності магістральні значення траєкторії і керування визначаються за таким алгоритмом.
1. Задамо 1 k =1 k0е , kє{1,...,n}, T=T0е , де 1 k0,T0 - сталі, які необхідно
визначити. Тоді =_k°, р^ = Zq (^ +d)1j, Ає{1,...,n} і система (15) при Ає{1,...,s} є
T 0 j=1
нелінійною системою рівнянь з s невідомими 1k , kє{1,...,s} . Позначимо її розв'язок 1 . Тоді Pk ,
*
kk відповідні цьому розв'язку значення з урахуванням рівності (14). Значення змінних
1j , je{s+1,...,n} обчислюємо за формулою (15).
n
2. Нехай g(C) = Z#kCk . Із (5) знаходимо C^g . Якщо значення Ck не визначені умовою
k=1
її ®1 ®k ®l
(5), то маємо надлишкову галузь k=l. Знайдемо —=шах~^ і задамо g=—.
1 k Ч 1
3. З лінійної системи n+1 рівняння
Z(E-W)kj.fj (t,kj )Lj =-Z (zkj+bkj )yj2) - isk/j3)+¿qkjmjkjLj+Ck, k є {1,..., n}, j=1 j=1 j=1 j=1
n
Z L = N
k=1
знаходимо n+1 невідому Lk , k є{1,..., n} ; C^ при Ck = C™n , k Ф l, l > s.
4. Якщо задовольняється нерівність C^ >C™n , то знаходимо сталий оптимальний план
Kkmcg = kkmcgLk , 1 kmcg = mkKkmcg , Xmag = f (kmag )L ,
X,® = (Е - л22 -1Щ2 )-1 {(л21 +илп) х1^-иг(3) -у<2'},
= (£ - ЛззГ1! А31 x;(lag+А32 хіа-V<3)!; X ® = о-'ітщ, X- <2' = 02• X- ®,
X(3) = (£- А33)-1(А31 + А32 • 02)X(1),
. (г.) |X(г), якщо X(г) > 0,
^ = |о, якщо X(і) < 0, і = 1,2,3,
збалансований за всіма умовами постановки задачі.
Ліві граничні траєкторії знаходяться з відповідних задач Коші (1). Розв'язавши їх, отримаємо
К„ (і) =т + (Кко - І-*-»•, кЕ {1,.
А А
Перетин лівої граничної траєкторії з магістраллю дає точку перемикання т. Її можна визначити з такої задачі математичного програмування:
• * Л< ^к (Ккта8 Кк0Є * ) < Т*
тіп *, 0 <—------------------------< 1 ^0,
1 - е к
де
*
1 кта8
1к,а8, Кк0 ^Ккта§, К * = [Кт« (1 -^к), Кк0 < К^,
К Ікта8 , Кк0 > Ккта8 , кта8 [Ккта8 (1 + Єк X Кк0 > Ккта8 ■
"kmag
Оскільки кожна компонента лівої крайової траєкторії Кк (і) при прямуванні і до безмежності наближається знизу при Кк о < К; або зверху Кк о > К; до відповідної компоненти магістралі К; і їх не перетинають, тому введені досить малі додатні величини єк , щоб ліва
край°ва траєкт°рія перетинала К^(1-єк) при Кк0 <К^ аб° К^(1+єк) при
Кк0 > Kkmag .
Після визначення точки перемикання т можна знайти компоненту лівого керування за формулою:
. У,, (К'„а, - Кк0Єт )
“ 1 - е-п’
Наведемо результати дослідження динамічної узагальненої моделі міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням при таких даних: п=3 , т = 0,07 , т2 = 0,04 , Уз = 0,05 ;
51 = 0,08, 52 = 0,09 , 53 = 0,07 ; 8 = 0,05 ; 5=1; 01 = 0,1, 02 = 0,2 , 03 = 0,3 ; N=30 ;
Е,( К|, І,)=10 К,)1,2( і,)1'2, Е2(К 2, ¿2)=12( К 2)І/3( І2)2/3, ВД, ¿3)=15( К3)1/4( і,)3'4;
А„
(0,003 0,05 0,099 ^
0,07 0,003 0,09
0,03 0,07 0,0056
(0,03 0,02 0,0Л
, А
12
У
0,09 0,025 0,03 0,06 0,059 0,06
А21
(0,0001 0,0004 0,00043^ 0,0002 0,0006 0,0006 0,0003 0,0007 0,00076
(0,001 0,1
, А22 =
У
, А13 0,06 ^
(0,04 0,02 0,05 ^
0,02 0,085 0,073 0,18 0,045 0,025
( 0,0008 0,00048 0,0009 ^
0,00057 0,0008 0,0007
0,00073 0,00027 0,00064
, А3.
У
0,08 0,05 0,45
ч 0,07 0,087 0,004у
(0,002 0,034 0,012^
0,08 0,045 0,023
0,048 0,075 0,003
, А23
, А33
У
( 0,1 0,6 0,13^
0,2 0,3 0,06
ч0,46 0,5 0,8 у
(0,13 0,02 0,05^
0,67 0,5 0,03
0,08 0,9 0,5
В
(0,037 0,4 0,05^
0,02 0,1 0,03
0,06 0,01 0,4
, В
(0,031 0,3 0,03 ^
0,09 0,5 0,02
ч 0,05 0,01 0,5 у
, В
(0,028 0,51 0,42 ^
0,09 0,7 0,011
0,048 0,01 0,7
б =
(1 1 1 ^
000
000
; у(2) =
У
(0,005^ 0,004 0,003
у(3) =
У
( 0,001 ^ 0,002 0,006
К
V
-тШІП
У
10
15
40 , К20 = 55 , К30 = 45; С^ =10 , С2 =12 , С$
В результаті розрахунків отримали магістраль:
- ціни зношення р = 0,118 , Р%2 = 0,102 , Р%3 = 0,094 ;
- ціни продуктів 1 = 0,788, 1 = 0,78 , 1 = 0,979 ;
- надлишкова галузь І=3 ;
- початкове значення ціни праці у0 = 0,307 ;
- початкові значення цін продуктів Д0 = 0,242 , 10 = 0,239, 130 = 0,3 ;
- трудові ресурси Ц = 5,365 , Ь2 = 12,361, Ц3 = 12,274 ;
- невиробниче споживання С1 =10, С2 =12, С3 = 25,275 ;
- капітал К1 = 45,46, К2 = 59,532 , К3 = 43,339 ;
- валовий випуск X!1'1 = 156,164 , X^ = 249,189, X3(1) = 252,382;
- створений рукотворний капітал X™ = 518,04, X22) = 773,446, X3(2) = 1098;
- знищені забруднювачі X1(3) = 109,352 , X^3) = 405,717, X3(3) = 920,798 ;
- приріст випуску продукції ^^1(1) = 6,381, X21
- приріст рукотворного капіталу ^^1(2) = 5,817 , X22) = 8,684, ^^3(2) = 12,332;
- приріст знищеного забруднення ^^1(3) = 1,229, ;&23) = 4,556, ;&3(3) = 10,343 ;
: 1,45 , X® = 0;
- кінцева продукція У,(1) = 17,73 , У^р =12 , У3(1) = 25,275 ;
- інвестиції I1 = 3,182 , I2 = 2,381, I3 = 2,167;
- лівий момент перемикання t = 3,25 ;
- ліве керування за інвестиціями I1l = 3,163 , I2l = 0,865 , I3l = 0,532 .
4. Висновки
Економічне обґрунтування для отриманих результатів таке: спочатку на часовому проміжку (0; 3,25) перша галузь виробництва вкладає 74,282% капіталу на споживання і 25,718% на накопичення щодо кінцевої продукції, а друга і третя галузі вкладають весь свій капітал на споживання, накопичення капіталу не відбувається. Починаючи з моменту перемикання t = 3,25 розвиток усіх галузей іде за магістральним режимом.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика: Пер. с англ. / Автор предисл. и науч. ред. А.Г. Гранберг. - М.: ОАО издательство «Экономика», 1997. - 479 с.
2. Основы теории оптимального управления / Под ред. В.Ф. Кротова. - М.: Знание, 1990. - 430 с.
3. Ляшенко І.М. Деякі узагальнення моделі Леонтьєва “Витрати-випуск” // International Conference: Dynamical system modelling and stability investigation. - Kyiv. - 2003. - May 27-30. - С. 200.
4. Колемаев В.А. Математическая экономика. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 240 с.
