Научная статья на тему 'Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням'

Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

CC BY
302
70
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС / МАГИСТРАЛЬ / УПРАВЛЕНИЕ / ТОЧКА ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ УПРАВЛЕНИЙ

Аннотация научной статьи по экономике и бизнесу, автор научной работы — Бойчук М. В., Шмуригіна Н. М.

Предложена обобщенная математическая модель динамического межотраслевого баланса с учетом контроля над загрязнением и приведен алгоритм ее исследования

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Generalized mathematical model of dynamic intersector balance taking into account the control above contamination and the resulted algorithm of its researching is offered

Текст научной работы на тему «Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням»

УДК 519.863:338.3

М.В. БОЙЧУК, Н.М. ШМУРИГІНА

ДИНАМІЧНА УЗАГАЛЬНЕНА МОДЕЛЬ МІЖГАЛУЗЕВОГО БАЛАНСУ З УРАХУВАННЯМ КОНТРОЛЮ НАД ЗАБРУДНЕННЯМ__________________________________________________________

Abstract: Generalized mathematical model of dynamic intersector balance taking into account the control above contamination and the resulted algorithm of its researching is offered.

Key words: intersector balance, highway, management, point of switching managements.

Анотація: Запропонована узагальнена математична модель динамічного міжгалузевого балансу з

урахуванням контролю над забрудненням і приведений алгоритм її дослідження

Ключові слова: міжгалузевий баланс, магістраль, керування, точка перемикання керувань.

Аннотация: Предложена обобщенная математическая модель динамического межотраслевого баланса с учетом контроля над загрязнением и приведен алгоритм ее исследования

Ключевые слова: межотраслевой баланс, магистраль, управление, точка переключения управлений.

1. Вступ. Постановка проблеми

Забруднення навколишнього середовища є побічним продуктом кожної нормальної економічної діяльності - в будь-якій із своїх численних форм воно пов'язане з певними процесами виробництва і споживання.

Боротьба із забрудненням навколишнього середовища вимагає постійно зростаючих витрат, приводить до створення нових виробництв по переробці і знищенню шкідливих відходів. В результаті розширюється сама сфера суспільного виробництва: вона включає не тільки створення матеріальних благ, але й різні види діяльності, пов'язані із зменшенням забруднення навколишнього середовища і відновлення природних ресурсів.

Однією із основних проблем є прогнозування подальшого розвитку екологічної ситуації, метою якого служить пошук оптимального плану розвитку економіки. Основним засобом прогнозування у цьому випадку є динамічні моделі еколого-економічної взаємодії. Моделі цього класу зберігають традиційну структуру економіко-математичних моделей, а також містять додаткові змінні і зв'язки, що характеризують екологічну підсистему.

У даній роботі проводиться дослідження однієї з економічних задач - оптимізація динамічної узагальненої моделі міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням. Процес описується моделлю економічної динаміки, в основу якої покладений міжгалузевий баланс, а потужності галузей описуються виробничими функціями. В динамічній моделі міжгалузевого балансу припускається миттєвість перетворення виробничого накопичення (капітальних вкладень) у приріст виробництва продукції.

Автори досліджували динаміку узагальненої моделі міжгалузевого балансу, визначили можливі сценарії її розвитку і зростання, особисто запропонували алгоритм обчислення моменту перемикання керувань.

Отже, за методами системного аналізу дослідимо процес і визначимо можливі й оптимальні траєкторії зростання узагальненої динамічної моделі міжгалузевого балансу з метою її використовування в задачах прогнозування, планування та управління.

2. Аналіз основних досліджень і публікацій, в яких започатковане розв’язання поставленої проблеми

Перша міжгалузева модель, яка охоплює взаємозв'язки економіки і навколишнього середовища, була запропонована В. Леонтьєвим і Д. Фордом. Вона охоплює дві групи галузей (виробництв): галузі матеріального виробництва і галузі, які знищують шкідливі відходи.

Запропонована В. Леонтьєвим на початку 50-х років динамічна міжгалузева модель [1] стала класичним прикладом використовування систем диференціальних рівнянь у дослідженні проблем економічного зростання. З часу своєї появи модель В. Леонтьєва знайшла широкий відгук, і вже накопичений значний досвід практичного використовування моделі і її модифікацій на національному і регіональному рівнях. Зокрема, в [2] проведені дослідження і числове моделювання статичної моделі міжгалузевого балансу. Це дало можливість отримати такі результати:

- запропонувати механізм для визначення магістральних траєкторій і відповідних їм керувань;

- досліджувати граничні траєкторії і керування.

В [3] приведено побудову узагальненої статичної моделі міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням.

Серед сучасних досліджень в області математичного моделювання еколого-економічних систем слід зазначити роботи М.В. Михалевича, А.А. Петрова, І.Г. Поспєлова, О.В. Рюміної, І.М. Ляшенка, В.С. Григорківа та ін., в яких обґрунтовується необхідність оцінювання еколого-економічної взаємодії на основі моделей, що в сукупності описують систему екологічних і економічних процесів.

3. Мета і методика проведення досліджень

Основною метою даної роботи є подальша розробка методологічних питань аналізу розвитку економіки, дослідницьких прийомів узагальненої динамічної моделі міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням.

Теоретичну і методологічну основу дослідження складають фундаментальні положення і принципи економічної теорії, методи оптимізації, економіко-математичне моделювання, теорії невід'ємних матриць і диференціальних рівнянь.

Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням має вигляд:

X(1) = A11X(1) + A12X(2) + A13X(3) + Y(1), X(2) = A21X(1) + A22X(2) + A23X(3) -Y(2);

X(3) = A31X(1) + A32X(2) + A33X(3)-Y(3);

Y“’ = ¿?.А + C • і B X(2) +B3 X(3);

j=1

Kk = Ik - mkKk , Kk (0)=Kk0, k є {1,...,n};

k=1

7(1),7(2),7(3) >0, Ік >0 , Kk >0 , Ck >cmln , k є {1,...,и}, (1)

де X(1),(их1) - вектор валового випуску продукції; 7(1),(их1)- вектор кінцевої продукції;

Х(2),(их1) - вектор створеного рукотворного капіталу; 7(2),(их1) - заданий запас наявного

капіталу; X (3),(и х1) - вектор знищених забруднювачів; 7 (3),(и х1) - задані ліміти на викиди забруднювачів в навколишнє середовище; Лц,А12,Л13 - невід'ємні матриці матеріальних витрат; Л21,Л22,Л23 - невід'ємні матриці використання рукотворного капіталу; Л31,Л32,Л33 - невід'ємні матриці випуску забруднювачів; I - інвестиції; С - невиробниче споживання; К - основні виробничі

фонди; Ь - трудові ресурси; ц- норми амортизації капіталів; X (1),(их1) - вектор абсолютних

• (2)

приростів випуску продукції; X ,(их1) - вектор абсолютних приростів створеного рукотворного

• (3)

капіталу; X ,(их1)- вектор абсолютних приростів знищених забруднювачів; В1,В2,В3 -

невід'ємні матриці коефіцієнтів капіталоємності приростів відповідних виробництв.

Задача полягає в тому, щоб знайти такий процес, який би задовольняв умови (1) і був оптимальним у змісті функціоналу

Я(п) = І" е t g(t,C)dt ® тах , (2)

0 шеМ

де М — множина процесів, які допускають виконання умов (1); д — норма дисконтування.

Функції Fk є виробничими функціями кожної галузі з властивостями [4]. На функцію корисності g накладають такі вимоги: двічі неперервно-диференційована по C і неперервна по

Og . dg

t > 0 ; монотонно зростаюча по C ; угнута по C ; lim =¥, lim =0 .

C®0 oC C®¥dC

Матриця структури капіталовкладень Q- невід'ємна, причому q j >0 при всіх k>5 , jє {1,...,п}. Галузі з номерами k<5 такі, що для кожного k<5 існує хоча б одне j, при якому qkj >0 , називаються фондоутворюючими. Для кожної галузі j знайдеться фондоутворююча галузь

n

k така, що qkj >0 , причому ^ qkj =1 для всіх j є {1,..., п} .

k=1

У задачі (1)-(2) в ролі стану виступає вектор капіталу, а решта змінних X(1), X(2), X(3), Y(1),I,L, C - компоненти вектора керування.

Оскільки економіка розвивається в умовах стійкої екологічної рівноваги, то Y = comt,

Y(3) = con5t.

00

З системи (1) виразимо X(2) і X(3) через X (1) і продиференціюємо ці вирази:

X(2) = (E-A22 -UA32)-1{(A21+UA31)X(1) -UY(3)-Y(2)};

X(3) = (E - A33)-1{[ A31+A32(E - A22 -UA32)-1( A21+UA31)] X(1) -

-[A32(E-A22-UA32)-1U+E]Y(3) -A32(E-A22 -UA32)-1Y(2)} ;

X(2) = (E-A22 -UA32)-1(A21 +UA31)X(1);

X(3) = (E - A33)-1 [ A31 + A32 (E - A22 -UA32 )-1 (A21+UA31)] X(1).

Підставимо останні рівності в перше і п'яте рівняння системи, отримаємо

Xf = twKjXf - j (Zkj + bj j - jjf + Y(), k e (1,..., n},

j=1 j=1 j=1

I=dX (1),

де матриці U=A23(E - A33) 1, Z=A^(E - A22 -UA32) 1, R=A^(E - A33) 1,

B=RA32(E-A22 -UA32)-1, D1=(Z+B)(A21 +UA31)+RA31, W=A11+D1, S=(Z+B)U+R ,

D2=(E-A22 -UA32) (A21+UA31), D=B1 + B2D2+B3(E-A33) (A31 + A32D2), M=QD .

Відповідно до достатніх умов оптимальності [2, с. 382-385], необхідно оптимізувати дві

функції:

R(t, X, C, I) = і ^§^[-АА + Ii ] + e~S'g(‘, C) + ® max,

k=1 OA| öt

lim min j(t, K). (3)

t®¥ k >0

Невідому функцію j шукатимемо у вигляді

j(t,K)=je y(t) Kk.

k=1

Тоді (3) набуває вигляду

n n

R = і [Vk -mkWk ]Kk +i Wkh + e"V(t,C) ® max;

k=1 k=1

lim min yk (t) Kk = 0, "k e {1,..., n} .

■ - k| ^

і Кк >0

Враховуючи міжгалузеві зв'язки моделі (1), за допомогою методу множників Лагранжа замінимо задачу про максимум Я на максимум функції

С п \

R=ZУ -mkyk]кк +£ул + е 8tg(t,c) + gN-2Lk

k=1 k=1 V k=1 J

+

jtЛ„iXi" -±w„X"' + ±(z„ + b„)Yj2) + ±SJ»' -±%I, -C,

k=1 V 1=1 1=1 1=1 1=1

k

на множині M всіх X(1),C,K,I,L моделі (1). Тут g(t>0), 1,(t>0), kє{1,...,п}- множники

Лагранжа. Введемо позначення:

G(t,C)=e-StS (t,C) - £ l ,Ck , h, =1 k - t l jWjk , M = y, - ¿«*1 ;

k=1 1=1 1=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

p, = -y k +m,y,, r* (t, K, X (1\ L)=-pkKk +hkXf -TLk ■

Тоді

R = t r* (t,K, X(1),L) + It Mkh + G(t,C)+gN + £ 1 k t{(z,j + bkj)Yj2) + 1(3)} ■ k=1 k=1 k=1 1=1

Задача (4) набуває такого вигляду в нових позначеннях:

R, (t, K, X(1), L) ® max (5)

0£X,1 <Fk (t,K,L), Kk >0,Lk >0

max (D.I. = 0 "k, t. (6)

Ik >0 k k

Пошук оптимального режиму економічного розвитку зводиться до максимізації функцій

Rk (t, K, X(1),L) і G(t,C) і підбору таких множників yk (t), 1k (t), g(t) , щоб цей процес тгє M

виявився допустимим.

Множники yk ,1k ,g мають зміст дисконтованих до початкового моменту внутрішніх цін. Зміст поточних цін мають величини

у* (0 = yk (t)ed, 1, (0=1* (0e8t, Y(0=g(t)edt.

Режим розвитку економіки, визначений (5)-(6), назвемо оптимальним при даних цінах. Він забезпечує максимум всіх видів прибутку в кожний момент часу. Ціни Z = (У,1, g)є П назвемо допустимими.

Згідно з (5), споживання C(t>0) забезпечує максимум комерційного прибутку G(t,C) . З урахуванням властивостей функції g(t,C) необхідною умовою існування цього максимуму є

п

невід'ємність вектора 1(t) при кожному t > 0 . Якщо корисність лінійна g = ,Ck , то внутрішні

k=1 k k

поточні ціни не нижче за зовнішні: 1, >0,, kє{1,.,п}. ЯкщоC, >C,nin , то поточна ціна даного

■ — ■ 1 dg(t,C) і >dg(t,C) г r min q

продукту дорівнює граничній корисності 1 k = -w ,— . Якщо 1, > -w ,— , то C, = C, . В

dL, oC*

'гШІП

частинному випадку, якщо g = Як С* , то значення С* >С^^ можливе тільки при такому к = І,

к=1

що

ql_______________ qk

=шах^=1 . (7)

1 k 1 k

Галузь l є єдиною.

Згідно з (5), оптимальний продукт галузі X^, капітал Kk і робоча сила Lк повинні

забезпечити максимум прибутку Rk . А це можливо при виконанні умови

Fk (t, Kk, Lk ), якщо hk > 0,

Xk = <0, якщо hk < 0, (8)

не визначено, якщо hk = 0.

Позначимо

Rk = шах Rk = hkFk (t,Kk,Lk)-PkKk ~gLk . (9)

0£Xk £Fk (t,Kk L)

Враховуючи лінійну однорідність виробничих функцій Fk , можемо записати

Rk = ~ (t,kk )Lk ,

де kk = KkjLk - фондоозброєність, ~k (t,kk )=hk/k (t,kk ) ~Rkkk _g_ виробничий прибуток галузі з одиниці праці. Оскільки Lk >0 для всіх k і t, отримаємо необхідні і достатні умови максимуму Rk за Kk і Lk:

~k (t,kk )=max~k (t,kk ) (10)

для всіх k і t. Для існування такого kk необхідно, щоб Pk >0 , g > 0 для всіх k і t. Якщо hk >0 і

/k (t,kk ) > 0 , Pk > 0 , g > 0 , то існує kk > 0.

Вектор H = (hi ,...,hn) виражається через вектор 1=(1i,...,1 n) матричною формулою

H=(£-WT )1 . (11)

Із (8), згідно з (10), випливає повна загруженість галузей на оптимальному режимі:

Xk = Fk (^Kk,Lk ) , k n} , t > 0 .

На основі властивості обмеженості на сумарну робочу силу матимемо

Yhk (t)=N(t), t > 0 . (12)

k=1

Використовуючи (9) і (10), отримаємо

Н

эЕ . К, Ь„)

к

эи

Ж к Ц, кк, ик)

к

эк,

к

(13)

^к к

для всіх к і і > 0. Це означає, що чистий граничний прибуток з одиниці праці однаковий для всіх галузей і повинен співпадати з ціною праці, а з одиниці фондів - з ціною їх зношення. Якщо

л (ік ) = дрк!дЬк ~ -

Лк ^рк/дКк ’ к

, рк = рк 17, тоДі рк% 0 ,кк) =1, тобто оптимальна фондоозброєність

залежить тільки від відношення ціни зношення фондів до ціни праці .

Зокрема, для виробничої функції Кобба- Дугласа Рк = а^е5к(Кк)ак (Рк)Ьк маємо

ц„ (глк)=-^4 кк =^(р )-1.

а

ак

Позначивши Н» = Н» 7, 1» =1» 7, з (11) отримаємо

ґ

1=(Е-№т) 1Н, Ик

Щ ('КкРк)

эи

4-1

, к є {1,...,п}.

(14)

(15)

Максимум (6) за Ік визначений при умові й)к = ук - Е ч»1-£ 0. Тоді

і=1

І к =

0, якщо ук - Е ч-Л < 0

і=1

> 0, якщо у к - Е Чік^і = °.

і=1

Назвемо к - ту галузь розвиваючою в момент часу ї, якщо Ік (ї) > 0 . Якщо всі галузі розвиваються, то

у к = Е чі, к є{1,...,п}.

і=1

Тоді ціни зношення приймають вигляд

Рк = Е Чік СМ; - ^ ) , Vі =-7- , к є{1,..., п} , -^а... 5} . 7

і=1

(16)

Перші 5 рівнянь в (15) при заданих 1-, -є{1,...,5} утворюють замкнену нелінійну систему з 5 невідомими V- . Позначимо через V- (1^,...,15) розв'язок цієї системи при заданих І1,...,15 . Тоді для цін фондоутворюючих продуктів 1,, -є{1,...,5} одержимо задачу Коші:

fij =yvj(VУ.....1,/T), jє{1.....s},

I1 j (°)=* j 0.

яку при заданій ціні праці g(t > 0) можна розв'язати.

Якщо відомі ціни фондоутворюючих продуктів 1 k (t) , k<s, ціна праці g(t), t > 0 , то з (16)

знаходимо ціни зношення Pk , з (14) - магістральні фондоозброєності kmog (t>0), з (15) - ціни

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

нефондоутворюючих продуктів 1k, k>s . Таким чином, ціни всіх продуктів і фондів i (t), yk (t) ,

t > 0, а також магістральні фондоозброєності k^ag(t>0) залежать від ціни праці T(t) та

початкових значень цін фондоутворюючих продуктів 1 к(0) , kє {1,...,s} .

У випадку сталих і не залежних явно від часу початкових матриць системи (1), виробничих функцій і функції корисності магістральні значення траєкторії і керування визначаються за таким алгоритмом.

1. Задамо 1 k =1 k0е , kє{1,...,n}, T=T0е , де 1 k0,T0 - сталі, які необхідно

визначити. Тоді =_k°, р^ = Zq (^ +d)1j, Ає{1,...,n} і система (15) при Ає{1,...,s} є

T 0 j=1

нелінійною системою рівнянь з s невідомими 1k , kє{1,...,s} . Позначимо її розв'язок 1 . Тоді Pk ,

*

kk відповідні цьому розв'язку значення з урахуванням рівності (14). Значення змінних

1j , je{s+1,...,n} обчислюємо за формулою (15).

n

2. Нехай g(C) = Z#kCk . Із (5) знаходимо C^g . Якщо значення Ck не визначені умовою

k=1

її ®1 ®k ®l

(5), то маємо надлишкову галузь k=l. Знайдемо —=шах~^ і задамо g=—.

1 k Ч 1

3. З лінійної системи n+1 рівняння

Z(E-W)kj.fj (t,kj )Lj =-Z (zkj+bkj )yj2) - isk/j3)+¿qkjmjkjLj+Ck, k є {1,..., n}, j=1 j=1 j=1 j=1

n

Z L = N

k=1

знаходимо n+1 невідому Lk , k є{1,..., n} ; C^ при Ck = C™n , k Ф l, l > s.

4. Якщо задовольняється нерівність C^ >C™n , то знаходимо сталий оптимальний план

Kkmcg = kkmcgLk , 1 kmcg = mkKkmcg , Xmag = f (kmag )L ,

X,® = (Е - л22 -1Щ2 )-1 {(л21 +илп) х1^-иг(3) -у<2'},

= (£ - ЛззГ1! А31 x;(lag+А32 хіа-V<3)!; X ® = о-'ітщ, X- <2' = 02• X- ®,

X(3) = (£- А33)-1(А31 + А32 • 02)X(1),

. (г.) |X(г), якщо X(г) > 0,

^ = |о, якщо X(і) < 0, і = 1,2,3,

збалансований за всіма умовами постановки задачі.

Ліві граничні траєкторії знаходяться з відповідних задач Коші (1). Розв'язавши їх, отримаємо

К„ (і) =т + (Кко - І-*-»•, кЕ {1,.

А А

Перетин лівої граничної траєкторії з магістраллю дає точку перемикання т. Її можна визначити з такої задачі математичного програмування:

• * Л< ^к (Ккта8 Кк0Є * ) < Т*

тіп *, 0 <—------------------------< 1 ^0,

1 - е к

де

*

1 кта8

1к,а8, Кк0 ^Ккта§, К * = [Кт« (1 -^к), Кк0 < К^,

К Ікта8 , Кк0 > Ккта8 , кта8 [Ккта8 (1 + Єк X Кк0 > Ккта8 ■

"kmag

Оскільки кожна компонента лівої крайової траєкторії Кк (і) при прямуванні і до безмежності наближається знизу при Кк о < К; або зверху Кк о > К; до відповідної компоненти магістралі К; і їх не перетинають, тому введені досить малі додатні величини єк , щоб ліва

край°ва траєкт°рія перетинала К^(1-єк) при Кк0 <К^ аб° К^(1+єк) при

Кк0 > Kkmag .

Після визначення точки перемикання т можна знайти компоненту лівого керування за формулою:

. У,, (К'„а, - Кк0Єт )

“ 1 - е-п’

Наведемо результати дослідження динамічної узагальненої моделі міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням при таких даних: п=3 , т = 0,07 , т2 = 0,04 , Уз = 0,05 ;

51 = 0,08, 52 = 0,09 , 53 = 0,07 ; 8 = 0,05 ; 5=1; 01 = 0,1, 02 = 0,2 , 03 = 0,3 ; N=30 ;

Е,( К|, І,)=10 К,)1,2( і,)1'2, Е2(К 2, ¿2)=12( К 2)І/3( І2)2/3, ВД, ¿3)=15( К3)1/4( і,)3'4;

А„

(0,003 0,05 0,099 ^

0,07 0,003 0,09

0,03 0,07 0,0056

(0,03 0,02 0,0Л

, А

12

У

0,09 0,025 0,03 0,06 0,059 0,06

А21

(0,0001 0,0004 0,00043^ 0,0002 0,0006 0,0006 0,0003 0,0007 0,00076

(0,001 0,1

, А22 =

У

, А13 0,06 ^

(0,04 0,02 0,05 ^

0,02 0,085 0,073 0,18 0,045 0,025

( 0,0008 0,00048 0,0009 ^

0,00057 0,0008 0,0007

0,00073 0,00027 0,00064

, А3.

У

0,08 0,05 0,45

ч 0,07 0,087 0,004у

(0,002 0,034 0,012^

0,08 0,045 0,023

0,048 0,075 0,003

, А23

, А33

У

( 0,1 0,6 0,13^

0,2 0,3 0,06

ч0,46 0,5 0,8 у

(0,13 0,02 0,05^

0,67 0,5 0,03

0,08 0,9 0,5

В

(0,037 0,4 0,05^

0,02 0,1 0,03

0,06 0,01 0,4

, В

(0,031 0,3 0,03 ^

0,09 0,5 0,02

ч 0,05 0,01 0,5 у

, В

(0,028 0,51 0,42 ^

0,09 0,7 0,011

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0,048 0,01 0,7

б =

(1 1 1 ^

000

000

; у(2) =

У

(0,005^ 0,004 0,003

у(3) =

У

( 0,001 ^ 0,002 0,006

К

V

-тШІП

У

10

15

40 , К20 = 55 , К30 = 45; С^ =10 , С2 =12 , С$

В результаті розрахунків отримали магістраль:

- ціни зношення р = 0,118 , Р%2 = 0,102 , Р%3 = 0,094 ;

- ціни продуктів 1 = 0,788, 1 = 0,78 , 1 = 0,979 ;

- надлишкова галузь І=3 ;

- початкове значення ціни праці у0 = 0,307 ;

- початкові значення цін продуктів Д0 = 0,242 , 10 = 0,239, 130 = 0,3 ;

- трудові ресурси Ц = 5,365 , Ь2 = 12,361, Ц3 = 12,274 ;

- невиробниче споживання С1 =10, С2 =12, С3 = 25,275 ;

- капітал К1 = 45,46, К2 = 59,532 , К3 = 43,339 ;

- валовий випуск X!1'1 = 156,164 , X^ = 249,189, X3(1) = 252,382;

- створений рукотворний капітал X™ = 518,04, X22) = 773,446, X3(2) = 1098;

- знищені забруднювачі X1(3) = 109,352 , X^3) = 405,717, X3(3) = 920,798 ;

- приріст випуску продукції ^^1(1) = 6,381, X21

- приріст рукотворного капіталу ^^1(2) = 5,817 , X22) = 8,684, ^^3(2) = 12,332;

- приріст знищеного забруднення ^^1(3) = 1,229, ;&23) = 4,556, ;&3(3) = 10,343 ;

: 1,45 , X® = 0;

- кінцева продукція У,(1) = 17,73 , У^р =12 , У3(1) = 25,275 ;

- інвестиції I1 = 3,182 , I2 = 2,381, I3 = 2,167;

- лівий момент перемикання t = 3,25 ;

- ліве керування за інвестиціями I1l = 3,163 , I2l = 0,865 , I3l = 0,532 .

4. Висновки

Економічне обґрунтування для отриманих результатів таке: спочатку на часовому проміжку (0; 3,25) перша галузь виробництва вкладає 74,282% капіталу на споживання і 25,718% на накопичення щодо кінцевої продукції, а друга і третя галузі вкладають весь свій капітал на споживання, накопичення капіталу не відбувається. Починаючи з моменту перемикання t = 3,25 розвиток усіх галузей іде за магістральним режимом.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика: Пер. с англ. / Автор предисл. и науч. ред. А.Г. Гранберг. - М.: ОАО издательство «Экономика», 1997. - 479 с.

2. Основы теории оптимального управления / Под ред. В.Ф. Кротова. - М.: Знание, 1990. - 430 с.

3. Ляшенко І.М. Деякі узагальнення моделі Леонтьєва “Витрати-випуск” // International Conference: Dynamical system modelling and stability investigation. - Kyiv. - 2003. - May 27-30. - С. 200.

4. Колемаев В.А. Математическая экономика. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 240 с.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.