Динамическое демпфирование вынужденных колебаний гироскопической системы демпфером с жидкостным маховиком Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.383

БОТ 10.18698/2308-6033-2017-10-1685

Динамическое демпфирование вынужденных колебаний гироскопической системы демпфером с жидкостным маховиком

© С. А. Черников, Сюэ Юнцзя МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

В настоящее время жидкостные демпферы все шире применяют в космических аппаратах для демпфирования угловых колебаний. Работа посвящена решению малоисследованной задачи демпфирования угловых колебаний гироскопических систем с применением жидкостных демпферов. Рассмотрено динамическое демпфирование вынужденных колебаний одноосного гиростабилизатора демпфером с тороидальной полостью, заполненной вязкой жидкостью. Получено интегро-дифференциальное уравнение, описывающее колебания гироскопической системы. Предложен новый подход к оптимизации параметров жидкостного демпфера. Найдено выражение для оптимального коэффициента вязкости жидкости. Полученные результаты можно использовать при проектировании жидкостного демпфера не только в гироскопическом приборостроении, но и в других областях.

Ключевые слова: динамический демпфер, вынужденные колебания, гироскопическая система, жидкостный маховик, вязкая жидкость, тороидальная полость

В настоящее время жидкостные демпферы широко применяются для демпфирования угловых колебаний космических аппаратов [1, 2]. Жидкостный демпфер имеет нескольких потенциальных преимуществ перед другими системами динамического демпфирования: низкую стоимость установки и обслуживания; меньше механических проблем; активизацию даже при низких уровнях возбуждений; отсутствие жестких требований к форме полости демпфера [2, 3].

Проблема эффективного гашения колебаний гироскопических систем занимает одно из центральных мест в гироскопическом приборостроении [4, 5]. Гироскопические системы в отличие от других объектов виброзащиты (например, спутников), как правило, обладают ярко выраженными резонансными свойствами, которые могут быть опасными в случае совпадения собственной частоты системы с частотой внешних возмущений [5]. Однако при наличии указанных выше преимуществ применение жидкостного демпфера для демпфирования гироскопических систем до сих пор мало исследовано. Цель настоящей работы — выявить возможность и определить эффективность демпфирования угловых колебаний с применением жидкостного демпфера для гироскопических систем.

Основные направления исследований в области виброгашения связаны с оптимизацией параметров и оценкой эффективности демпфера [6]. В работе [7] задача оптимизации параметров жидкостного

демпфера рассматривается путем проведения прямых испытаний. В работе [1] показано определение оптимальных параметров методом осреднения. В предлагаемой работе эта задача решена методом минимизации максимального значения амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) податливости объекта демпфирования во всем частотном диапазоне [5, 9].

В качестве объекта демпфирования рассмотрим одноосный гиро-стабилизатор индикаторного типа. Тороидальная полость демпфера полностью заполнена вязкой несжимаемой жидкостью (рис. 1). Предположим, что ось симметрии полости совпадает с осью стабилизации. Введем цилиндрическую систему координат с осью 2, направленной по оси симметрии демпфера, и полярными координатами г и ф в плоскости, перпендикулярной оси 2. Поскольку полость, заполненная жидкостью, имеет форму тора, траекториями движения частиц жидкости являются концентрические окружности. В этом случае векторы абсолютной скорости жидкости у удовлетворяют условиям:

Рис. 1. Одноосный индикаторный гиростабилизатор с жидкостным демпфером:

1 — платформа; 2 — гироскоп; 3 — датчик угла; 4 — датчик момента; 5 — жидкостный демпфер; 6 — вязкая жидкость; Н — собственный кинетический момент гироскопа

Тогда уравнение движения гиростабилизатора относительно оси стабилизации можно записать в виде

V ^ V V ^ V

г ф> г (

б

4

(1)

где А — момент инерции гиростабилизатора относительно оси г с демпфером без жидкости; ф — угол поворота гиростабилизатора вокруг оси г; К — коэффициент обратной связи по каналу стабилизации; Мж (уф) — момент сил, действующих на гиростабилизатор со стороны жидкости; М — возмущающий момент.

Для того чтобы вычислить Мж (уф), необходимо найти поле

скорости жидкости уф, которая удовлетворяет уравнению Навье — Стокса [1]:

V

1 ду д V

дг2 г дг

-:---у

я 2 2 ф

дг г

дуф дг

(2)

Течение жидкости удовлетворяет граничным условиям: на поверхности тора уф =(ф (г )г. В начальный момент жидкость находится

в покое, т. е. уф = 0 при г = 0.

Подробное решение уравнения (2) приведено в работе [1], где показано, что скорость жидкости

уф =

Я {ф (т)

1 - 2]Г^(-т) Л (рх*) к=1 х к-11(х к)

ё т,

(3)

где Я — радиус тора; а — радиус трубки, образующей тор; V — кинематическая вязкость жидкости; р — новая безразмерная полярная координата, введенная при решении уравнения Навье — Стокса [1]; J0, 31 — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка соответственно; Хк — нули функции Jо.

В рассматриваемом приближении сила вязкости, действующая со стороны жидкости на единицу площади стенки тора

-р^

дуф

д(ар)

2р^Я \

р=1

а

{Ф (т)2>

(г-т)

ё т,

(4)

к=1

где р* — плотность жидкости.

Момент сил, действующих на гиростабилизатор со стороны жидкости, имеет вид

Мж (Уф) = -4л2Я2а р^

дуф

д(ар)

р=1

= -8л2 Я3р^]ф (т)^<

о к=1

» -X2-VГ(г-т)

ёт. (5)

Тогда уравнение движения гиростабилизатора (1) по оси стабилизации примет следующий вид:

4-В 1 ю

АФ + ^т1Ф (т)Ее Л + К Ф =М' (6)

а 0 к=1

2 3 2

где В = 2л ^ а р* — момент инерции жидкости относительно оси г.

Применяя преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению (6), получаем линейное алгебраическое уравнение:

А'2Ф(5)+^ ♦(*) + К "(* )= М М- (7)

а к=1 5 + Х\ 4 * '

а

где ^ — переменная преобразования Лапласа.

Анализ второго члена левой части уравнения (7) для касательных напряжений является затруднительным в аналитическом плане. Однако с учетом геометрических и физических параметров изучаемого объекта выражение (7) можно упростить [7].

Действительно, параметр 5 имеет смысл частоты колебаний [7].

Примем, что он задается в пределах «50...200 с-1, значение

кинематической вязкости жидкости зададим в пределах

у«(1...50)10-3м2/с, радиус трубки примем а ~ (0,005...0,01) м.

Подставляя эти значения в выражение ^ получаем:

а2

1 1 , о

«-, к > 2.

л 2 V л 2 V

а а

Пренебрегая членами -1- (к > 2) в уравнении (7), получа-

5 + ^2 4 а2

ем выражения, пригодные для инженерных расчетов.

Уравнение (7) можно записать в виде

2

) + ^--1—-ф(5) + Кф(5)= М (5). (8)

а2

Передаточная функция податливости гиростабилизатора определяется следующим выражением:

Ж (5) =

а 5 +

Ф(5) =_

М (5) Аа2 53 +v ( АХ2 + 4 В) 52 + Ка2 5 + К X V'

(9)

Амплитуда податливости имеет вид

Ж (Н

ф('ш)

М (ш) 1 К X2 V

+ (а2ш)

2

2 v-v(AX2 + 4В )ш2 +(ка 2ш- Аа V)

(10)

где ш — частота.

Рассмотрим выражение (10). Очевидно, что при ш = 0 или при выполнении условия

\2

х4

(а 2ш)

КХ2 -(АХ2 + 4В)ш2 (Ка2ш- Аа2®3)

амплитуда |Ж ('ш)| не будет зависеть от V. После решения уравнения (11) получим

(11)

ш =

х2 к

(12)

Х2 А + 2В

т. е. АЧХ передаточной функции Ж (''ш) при разных значениях V

( I—тр—Л

( Г

обязательно пересекаются в точках Р (ш = 0) и Q ш = . ■

2 К

2 А + ХВв2

у

Положение точек Р и Q не зависит от V, но максимальные ординаты кривых Ж (''ш) зависят от значения V.

Наиболее выгодные условия будут получены при таком выборе V, при котором амплитудные кривые имеют горизонтальную касательную в точке Q [5, 8, 9], т. е.

д Ж ('ш)

дш

= 0.

(13)

ЙQ

После решения уравнения (13) получим оптимальный коэффициент вязкости жидкости:

АК

V = а

^(2 + 2 В )(2 + 4 В )

(14)

При этом максимальное значение АЧХ податливости во всем частотном диапазоне принимает вид

К (уш)| . (15)

I ^ Лшах 2КВ

Отношение максимума АЧХ податливости в зоне гашения и статической податливости определяется коэффициентом максимального усиления податливости [5]:

^ = К (ю1ах А + 2В _ 1+12л (16)

К (0| 2В 2В '

Результаты моделирования представлены на рис. 2. Параметры демпфера:

А _ 0,005 кг• м2; К _ 100(Н• м)/рад; а _ 610"3м; В _ 3,5 10"4кг• м2.

1|/| Щ0)

Рис. 2. Относительные АЧХ податливости гиростабилиза-тора с жидкостным демпфером:

1 — V = 0; 2 — V = 3 — V = V*

В качестве демпфирующей жидкости выбрана полиметилсилок-сановая жидкость (ПМС-Ж), имеющая широкий диапазон изменения вязкости 5-10_6 ... 0,01 м2 /с. При этом оптимальное значение V*= 8,5 10-4 м2/с.

Динамическое демпфирование вынужденных колебаний гироскопической системы...

В выражении (14), пренебрегая величиной В (В « А), получим

*

V 1

оптимальную безразмерную вязкость -— = 0,173, значение

а2 А— 1

V А

которой точно совпадает со значением оптимальной безразмерной вязкости, приведенной в работе [1], полученной методом осреднения.

Кроме того, в выражении (16) появилась постоянная ^ (^ « 5,78),

2,9 А

тогда N « 1 + —-. Эффективность такого демпфера, как и демпфера

В

с традиционным твердым маховиком, существенно зависит от отношения моментов инерции объекта демпфирования и маховика.

Заключение. Разработана методика определения оптимальных параметров, обеспечивающих максимальную эффективность жидкостного демпфера, установленного на оси стабилизации одноосного индикаторного гиростабилизатора. Получены важные для практики выражения оптимального коэффициента вязкости жидкости

* 2 v = a

AK и коэффициента максимального уси-

+ 2 B )(ЛХ2 + 4 в)

X2 А

ления податливости N = 1 н—1—. Полученные результаты можно ис-

2B

пользовать при проектировании жидкостного демпфера не только в гироскопическом приборостроении, но и в других областях.

Известно, что введение упругой связи между присоединенной массой и объектом демпфирования существенно повышает эффективность демпфирования [10]. В связи с этим дальнейшее повышение эффективности жидкостного демпфера возможно путем создания упругой связи между жидкостным маховиком и объектом демпфирования.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Пивоваров М.Л., Черноусько Ф.Л. Колебания твердого тела с тороидальной полостью, заполненной вязкой жидкостью. Прикладная математика и механика, 1990, т. 54 (2), с. 164-168.

[2] Шишаков К.В. Создание управляющих моментов с помощью жидкостных маховиков. Интеллектуальные системы в производстве, 2010, № 1 (15), с. 108-114.

[3] Marivani M. Numerical Investigation of Sloshing Motion inside Liquid Dampers with and Without Submerged Screens. PhD thesis. McMaster University, Hamilton, 2009, 150 p.

[4] Черников С. А., Самер С. Демпфирование резонансных колебаний гироскопических систем динамическим гасителем переменной структуры. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2006, № 4, с. 111-125.

[5] Черников С. А., Ли М. Активное динамическое гашение резонансных колебаний гироскопических систем. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2008, № 4, с. 38-55.

[6] Коренев Б.Г., Резников Л.М. Динамические гасители колебаний: теория и технические приложения. Москва, Наука, 1988, 304 с.

[7] Покусаев М.Н. Демпфирование крутильных колебаний в валах судовых дизелей: моделирование, экспериментальные и натурные исследования. Дис. ... д-ра техн. наук. Астрахань, 2005, 345 с.

[8] Ефремов Л.В. Теория и практика исследований крутильных колебаний силовых установок с применением компьютерных технологий. Санкт-Петербург, Наука, 2007, 276 с.

[9] Черников С.А. Расширение полосы гашения виброзащитной системы динамическим гасителем с обратной связью. Проблемы машиностроения и надежности машин, 2015, № 5, с. 54-61.

[10] Богоряд И.Б., Лаврова Н.П. Численная модель течения жидкости во вращающемся цилиндре с упругими радиально расположенными ребрами. Прикладная механика и техническая физика, 2013, т. 54, № 2, с. 59-64.

Статья поступила в редакцию 30.08.2017

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Черников С.А., Сюэ Юнцзя. Динамическое демпфирование вынужденных колебаний гироскопической системы демпфером с жидкостным маховиком. Инженерный журнал: наука и инновации, 2017, вып. 10.

http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2017-10-1685

Статья подготовлена по материалам доклада, представленного наXLIАкадемических чтениях по космонавтике, посвященных памяти академика С. П. Королёва и других выдающихся отечественных ученых — пионеров освоения космического пространства. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 24-27января 2017 г.

Черников Сергей Акимович родился в 1931 г., окончил в 1954 г. ВИА им. Ф.Э. Дзержинского. Д-р техн. наук, профессор кафедры «Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации» МГТУ им. Н.Э. Баумана, академик Российской Академии навигации и управления движением. Автор более 160 научных работ в области гироскопической техники. e-mail: SA_chernikov@mail.ru

Сюэ Юнцзя — аспирант кафедры «Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: xueyongjia88@gmail.com

Dynamic damping of forced vibrations of gyroscopic system by damper with liquid flywheel

© S.A. Chernikov, Xue Yongjia

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

In recent years, liquid dampers are widely used in spacecraft for damping angular vibrations. Damping of the angular vibrations of gyroscopic systems by the use of a liquid damper has so far not been studied sufficiently. In this case, in order to increase the efficiency of the damper, it is necessary to optimize its parameters. In this article, we consider the dynamic damping of forced oscillations of a uniaxial gyrostabilizer by a damper with a toroidal cavity completely filled with a viscous liquid. An integro-differential equation describing the oscillations of a gyroscopic system is obtained. A new approach to optimizing the parameters of a liquid damper is proposed. The expression for the optimum coefficient of viscosity of a liquid is found. The results obtained can be used in the design of a liquid damper not only in gyroscopic instrumentation, but also in other areas.

Keywords: dynamic damper, Forced vibration, gyro system, fluid flywheel, viscous fluid, toroidal cavity

REFERENCES

[1] Pivovarov M.L., Chernousko F.L. Prikladnaya matematika i mekhanika — Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1990, vol. 54 (2), pp. 164-168.

[2] Shishakov K.V. Intellektualnye sistemy v proizvodstve — Intellectual systems in production, 2010, no. 1 (15), pp. 108-114.

[3] Marivani M. Numerical investigation of sloshing motion inside liquid dampers with and without submerged screens. PhD thesis, McMaster University, Hamilton, 2009,150 p.

[4] Chernikov S.A., Samer Salek. VestnikMGTU im. N.E. Baumana. Seriya Pribo-rostoenie — Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Instrument Engineering, 2006, no. 4, pp. 111-125.

[5] Chernikov S.A., Li Ming. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Seriya Priboro-stoenie — Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series InstrumentEngineering, 2008, no. 4, pp. 38-55.

[6] Korenev B.G., Reznikov L.M. Dinamicheskie gasiteli kolebaniy: teoriya i tekhnicheskie prilozheniya [Dynamic vibration dampers: theory and technical application]. Moscow, Nauka Publ., 1988, 304 p.

[7] Pokusaev M.N. Dempfirovaniye krutil'nykh kolebaniy v valakh sudovykh dize-ley: modelirovaniye, eksperimentalnye i naturnye issledovaniya. Dis. ... d-ra tekhn. nauk [Damping torsional vibrations in the shafts of marine diesel engines: modeling, experimental and field studies. Thesis for the degree of Doctor of Technical Sciences]. Astrakhan, 2005, 345 p.

[8] Efremov L. Teoriya i praktika issledovaniy krutilnykh kolebaniy silovykh usta-novok s primeneniyem kompyuternykh tekhnologiy [Computerized Analyses of Torsional Vibrations in Propulsion Units: Theory and Practice]. St. Petersburg, Nauka, 2007, 276 p.

[9] Chernikov S.A. Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin — Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2015, no. 5, pp. 54-61.

[10] Bogorjad I.B., Lavrova N.P. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika — Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2013, vol. 54, no. 2, pp. 59-64.

Chernikov S.A. (b. 1931) graduated from Dzerzhinsky Military Engineering Academy in 1954. D. Sc. (Eng.), professor of "Instruments and Systems of Orientation, Stabilisation and Navigation" department of the Bauman Moscow State Technical University. Academician of the Russian Academy of Navigation and Motion Control. Author of more than 160 publications in the field of gyro technology. e-mail: SA_chernikov@mail.ru

Xue Yongjia post-graduate student of "Instruments and Systems for Orientation, Stabilization and Navigation" department of the Bauman Moscow State Technical University. e-mail: xueyongjia88@gmail.com