CC BY
68
Теория расчета строительных конструкций
УДК 624.042.8:534.1
ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ МНОГОЭТАЖНОГО КАРКАСНОГО ЗДАНИЯ НА ДЕЙСТВИЕ ИМПУЛЬСОВ СИНУСОИДАЛЬНОЙ ФОРМЫ
Л.М. Артемьева
Проводится анализ колебаний многоэтажного каркасного здания, моделируемого дискретной расчетной схемой и деформирующегося по форме сдвига, на действие синусоидального периодического импульса. Динамическая задача решается с помощью временного анализа, обеспечивающего надежную оценку реакции системы при сложном характере демпфирования и внешнего воздействия.
Введение
Современные конструкции испытывают сложные динамические нагрузки эксплуатационного и специального характера в виде ударов, импульсов, групп импульсов и т.д. Однако решение задачи о действии периодических кратковременных импульсов на систему с несколькими степенями свободы при учете внутреннего трения еще в недавнем прошлом не представлялось возможным [1] и наибольшие во времени перемещения системы оценивались весьма приближенно. С развитием более совершенных методов динамического анализа можно рассматривать реальную работу конструкций с учетом принятых допущений.
Общая информация
Наиболее эффективным методом динамического расчета упруго-вязких дискретных систем является временной анализ реакции, базирующийся на алгебраических подходах. Уравнение движения дискретной диссипативной системы и его алгебраический аналог - уравнение движения собственных форм - записываются в виде [2]:
MY(t) + CY(t) + KY(t) = P(t), (1)
MS2 + CS + K = Q, (2)
где М= diag (ти ..., т„), С = Ст= [сь], К=КТ= [ц] е М„ (R) (i,j = 1,..., и) - положительно определенные матрицы инерции, демпфирования и жесткости соответственно; Y(t) - вектор искомых перемещений; P{t) - вектор заданных внешних сил; S еМп (С) - матрица внутренних динамических
характеристик системы, определяющая коэффициенты демпфирования, собственные частоты и формы колебаний.
Уравнение реакции, полученное на основе анализа уравнения (2), представляется в матричной форме интеграла Дюамеля:
Y(t) = 2 Re |ф (f - /0 ) C/^M [SY0 +У0] +
+U~l P{r)dr\, (3)
'о J
где U = 2i-MlmS (ImS - мнимая часть S); Ф(/) = eSt - матричная экспонента; Y0, Y0 - векторы
начальных перемещений и скоростей; S - матрица, сопряженная к 5.
Уравнение реакции (3) является наиболее общей формой записи уравнения для динамической системы и содержит реакцию системы при свободных колебаниях (первое слагаемое в фигурных скобках) и реакцию при вынужденных колебаниях (второе слагаемое). В частности, из этого уравнения можно получить реакцию системы при действии группы периодических импульсов синусоидальной формы (рис. 1). Перемещения и скорости узлов системы на активном участке действия иго импульса длиной ta определяются уравнениями: 7(0 = 2Re(ф(f-f,_,)U~XM[-5У0 + Y0] + X(t)P0},
7(0 = 2 Re{s[<I>(/ ) IT1M[-SY0 +Уо]+Д0^о]} -
X(t) = [0Ф (t - ) - 5 sin (0 (/ - )) ■-
-0 cos (0 (/ - ))] [t/ (s2 + 02 )]”'.
Здесь 0 = diag(^1,52,...,6i„) - матрица угловых частот; fM, t,' - моменты начала и окончания действия /-го импульса.
Выражения для перемещений и скоростей системы при свободных колебаниях после окончания действия /-го импульса имеют вид:
7(0 = 2Re{<£(f-r( + 70]},
7(0 = 2Re{s®(/-r, ')U~lM[-SY0 +70]j.
Численная реализация разрешающих уравнений
Проведен анализ колебаний 15-этажного каркасного здания постоянной жесткости при действии группы импульсов синусоидальной формы. Очертания здания в плане и общий вид представлены на рис. 2. Шаг колонн £ = 6 м, высота этажа = 3,3 м. Плотность материала конструкций
2,2 т/м3; модуль упругости 2,05-107 кН/м2. Система имеет 3x15 = 45 степеней свободы: два линейных и одно угловое смещение в горизонтальной плоскости каждого перекрытия.
Внешняя нагрузка в уровне перекрытия каждого этажа задается группой периодических им-
пульсов синусоидальной формы (см. рис. 1), которую можно представить как модель ветровой нагрузки. Амплитудное значение ветровой нагрузки определяется в соответствии со СНиП [4] (Ш-й ветровой район, тип местности А) и меняется в зависимости от этажа в пределах Рх - 28,215 кН до РХ5 = 63,954 кН.
Внешние динамические параметры системы (матрицы инерции, жесткости и демпфирования) определяются приложении, разработанном на базе программного комплекса МаАаЬ. Матрица демпфирования соответствует модели непропорционального демпфирования и определяется по формуле [2]: С = КТ, где Г = <Иав(*1,*2,...5*„),
Рис. 2. Общий вид здания, план этажа
Теория расчета строительных конструкций
логарифмический декремент
колебаний; т), ги - диагональные элементы матриц инерции и жесткости. Поскольку такая матрица демпфирования не является симметричной, необходимо преобразовать уравнение (1), умножив его справа на матрицу К~ХМ . В результате получим уравнение симметричными матрицами-коэффициентами:
мк~1м у (о + тму (о + мг(0 = Р(1)к~1м ■
Внутренние динамические параметры системы (матрицы коэффициентов демпфирования, собственных форм колебаний и собственных частот) определяются на основе матрицы 5, так как они являются собственными значениями этой матрицы. Собственные частоты здания представлены в табл. 1. Вследствие симметрии здания в плане частоты, соответствующие линейным формам колебаний, дублируются.
Анализ колебаний каркаса проводился при варьировании длины импульса ха, периода его действия Тр и угла а действия нагрузки. Графики (рис. 3-5) построены при периодичности действия
импульсов Тр =7|/2 = 0,76 с, где Тх = 1,522 с -период основного тона колебаний каркаса.
Анализ полученных поверхностей показывает, что максимальные перемещения вдоль оси х возникают в здании при а = 0°, а вдоль оси у при а = 90° ; максимальные суммарные перемещения и нормальные напряжения в колоннах возникают при а = 45°. Это не противоречит расчетам, выполненным в программном комплексе Лира, что позволяет говорить о достоверности результатов.
Максимальное суммарное перемещение ^тах=2!25 см, максимальное напряжение °тах =4,71 МПа. С увеличением длины импульса растут перемещения и напряжения (см. рис. 3, 5). Максимальные нормальные напряжения, возникающие в колоннах различных этажей, показаны на рис. 6.
В связи с тем, что жесткость здания по высоте постоянна (рис. 7а), величина максимальных нормальных напряжений с увеличением номера этажа монотонно убывает (кривая а на рис. 6). В случае здания со ступенчато переменной жесткостью (рис. 76) в уровне этажа с измененной жесткостью наблюдается резкий скачок напряжений (кривая б, рис. 6).
Спектр частот собственных колебаний здания
Таблица 1
№ п/п Частота, 1/с Число I № повторений I п/п Частота, 1/с Число повторений № п/п Частота, 1/с Число повторений
1 4,1294 2 И 42,9182 2 21 74,4559 2
2 4,8862 1 12 49,6139 2 22 77,3372 2
3 12,3404 2 13 50,7841 1 23 78,6396 1
4 14,6022 1 14 55,8053 2 24 79,4225 2
5 20,4098 2 15 58,707 1 25 80,6846 2
6 24,1504 1 16 61,4383 2 26 83,7938 1
7 28,2485 2 17 66,0332 1 27 88,102 1
8 33,4258 1 18 66,4591 2 28 91,5114 1
9 35,7753 2 19 70,815 2 29 93,9788 1
10 42,3321 1 20 72,6985 1 30 95,4723 1
МАКСИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПЕРЕКРЫТИЯ 15-ГО ЭТАЖА
МАКСИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕ1ЩНИЯ ПЕРЕКРЫТИЯ 15-ГО ЭТАЖА
ДЛИНА ИМПУЛЬСА, сек
УГОЛ ОБДУВА, град
У\ V
ДЛИНА ИМПУЛЬСА,
УГОЛ ОБДУВА, град
Рис. 3. Поверхности линейных смещений перекрытия 15-го этажа (1 - вдоль оси х, 2 - вдоль оси у, 3 - суммарные)
Артемьева Л.М.
Графики (рис. 8, 9) построены при угле действия нагрузки а = 45°.
Максимальные суммарные перемещения <5тах = 6,6 см (рис. 8а) и напряжения =14,1 МПа (рис. 9а) возникают при совпадении периода внешней нагрузки ТР = 1,5 с с периодом основного
перекрытия 15-го этажа
МАКСИМАЛЬНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. МПі
Рис. 6. Максимальные нормальные напряжения по этажам
тона колебаний здания 7] =1,522 с. В данном случае имеет место явление резонанса. Поскольку учитывается внутреннее трение, резонансные амплитуды являются конечными, что согласуется с известными источниками [5].
Резонанс возникает также при совпадении
напряжений в колоннах
а) 6)
Рис. 7. Схемы зданий: а - постоянной, 6 - ступенчато-переменной жесткости
Теория расчета строительных конструкций
частоты внешней нагрузки с собственными частотами более высокого порядка (рис. 96).
Приведенные результаты решения динамической задачи при действии периодических импульсов с учетом внутреннего трения показывают возможность получения замкнутых решений для различных приложений динамики дискретных диссипативных конструкций. Данная методика может быть использована в традиционно трудных для анализа задачах с неустановившимися режимами колебаний, для оптимизации проектирования строительных конструкций, поскольку отражает картину реальной работы сооружения в рамках принятых допущений.
Литература
1. Динамический расчет зданий и сооружений/ М.Ф. Барштейн, В. А. Ильичев, Б.Г. Коренев и
др.; Под ред. Б.Г Коренева, ИМ. Рабиновича. -2-е изд., перераб. и доп. -М.: Стройиздат, 1984. -303 с.
2. Потапов А.Н. Динамический анализ дискретных диссипативных систем при нестационарном воздействии: Монография. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003. -167 с.
3. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров.
М.: Наука, 1977.-831 с.
4. СНиП 2.01.07-85. Нагрузки и воздействия/ Госстрой СССР. - М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1986. -36 с.
5. Киселев В.А. Строительная механика// Специальный курс: Динамика и устойчивость сооружений. -М.: Стройиздат, 1980. -616 с.
