CC BY
57
удк 699.842 + 624.04
В.А. Смирнов
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЫ В ВЕРОЯТНОСТНОЙ ПОСТАНОВКЕ
Исследована виброзащитная система высокоточного оборудования, подверженного низкочастотному возбуждению основания, вызванного естественным фоном города. Считая, что для колебания основания имеет место нормальное распределение, определяется вероятность того, что относительное смещение виброизолируемой массы не превысит значения критерия виброзащиты. Решение производится в трехмерной области, образованной исследуемыми параметрами системы — демпфированием и собственной частотой. При этом определяется вероятность превышения критерия в зависимости от различных комбинаций указанных параметров. Определены оптимальные значения демпфирования и собственной частоты для виброзащитной системы высокоточного оборудования, при которых вероятность превышения критерия виброзащиты VC-E и VC-D составляет менее 0,04.
Ключевые слова: высокоточное оборудование, низкочастотная виброизоляция, нормальное распределение, спектральная плотность колебаний.
во многих прикладных задачах возникает необходимость определения вероятности превышения случайной функцией заданного уровня, например, при проектировании виброизоляции для высокоточных станков [1—3]. Практический интерес представляет задача о вероятности превышения случайной функцией критерия виброзащиты. Под критерием виброзащиты понимается максимальная амплитуда скорости колебаний основания [1] или ее среднеквадратическое значение — (скЗ) в соответствии с [2]. так, для критерия VC-C [2] скЗ виброскорости составляет 12,5 мкм/с, что является труднодостижимым уровнем для линейных виброзащитных систем.
рассмотрим линейную виброзащитную систему, представленную на рис. 1, и определим набор параметров системы, при которых значения виброскорости защищаемой массы т будут укладываться в критерий [1] (взят для примера).
рис. 1. расчетная схема виброзащитной системы
из теории случайных процессов [4] известно, что при стационарных колебаниях основания можно получить соотношение, связывающее спектральную плотность (тт) относительного смещения массы х(/) со спектральной плотностью воздействия основания (и ):
^(ю) = |Я(н»)Г^(а>), (1)
5/2012
где |Я(/со)| — модуль передаточной функции, связывающий вход 1(0 с относительным смещением виброизолированной массы.
Считая, что для х() имеет место нормальное распределение (что характерно для низкочастотного фона города), можно найти математическое ожидание т и среднее квадратическое отклонение Сх.
Зная параметры нормального распределения, находим вероятность того, что относительное смещение х не превысит значение х .
1 Л*
/'(*(/)>*„) = -;=[<■' -^=Ф(Х)-Ф(/,). (2)
л/2 л
где t =-
(3)
С появлением высокопроизводительных вычислительных комплексов типа Mat-Lab оказывается возможным значительно повысить размерность решаемой задачи, в частности определить вероятность превышения критерия по формуле (2) не только при фиксированных значениях х0 и cx, но также и в зависимости от параметров системы: демпфирования и собственной частоты упругого подвеса.
Уравнение вынужденных колебаний защищаемой массы т записывается в виде
х + 2фг + ю0х = 2£у + са0>',
(4)
е ^ 2
где £,=—, ®0 =—.
2т т
Тогда передаточная функция рассматриваемой системы имеет вид ю0 + 2§гю
H (iro) =
®0 -ro2 + 2^iro
(5)
Примем, что колебания основания происходят со спектральной плотностью £,(ю), описываемой следующей формулой (согласующейся с данными замеров естественного низкочастотного фона города):
Sy( ш) =
50,со < 2 Гц;
-.?0)-л'| + 2s0,2 Гц < ю < 4Гц;
- .V, - — со, 4 Гц < со < 20 Гц, 4 1 16
(6)
где параметры 50, s1 могут варьироваться в зависимости от места строительства. В общем случае можно принять s0 = 16 мкм/с, s1 = 10 мкм/с. Спектральная плотность колебаний основания представлена на рис. 2.
з if
Рис. 2. Спектральная плотность колебаний основания
0
5
10
15
20
25
Спектральная плотность колебаний виброизолированной массы при различных значениях демпфирования и фиксированной собственной частоте представлена на рис. 3.
ш
Рис. 3. Спектральная плотность колебаний виброизолированной массы
Рис. 3 предоставляет возможность наглядно оценить влияние демпфирования на амплитуду колебаний виброизолированной массы, а также при изменении параметра фиксированной частоты ю влияние таких параметров системы, как масса т и жесткость пружины к.
Значение среднего квадратического отклонения виброскорости массы т можно найти, воспользовавшись формулой
а2 = — [ (ю^ю. (7)
2% 1
—да
Зависимость среднего квадратического отклонения скорости колебаний виброизолированной массы представлена на рис. 4.
Рис. 4. Зависимость ст.
Л
Используя данные рис. 4, представляется возможным на стадии проектирования системы виброзащиты по любому заданному входному спектру производить оценку параметра ах и предлагать меры по его корректировке.
Необходимо отметить, что в процессе вычисления интеграла в (2) при ручном счете достаточно воспользоваться таблицами значений функции Лапласа Ф (х).
5/2012
При работе с Ма1ЬаЬ возможно либо провести вычисление интеграла в (2) каким-либо известным методом, либо воспользоваться преобразованиями через встроенную функцию егДх) [5, 6]. В таком случае вычисление Ф (х) сводится к выражению
Ф( х) = 2 (1 + вг/ (х) ).
(8)
Таким образом, вероятность (2) может быть построена графически в зависимости от параметров системы £ и ю0 при различных пороговых значениях х0.
Анализ формулы (2) и рис. 5, а, б показывает, что при снижении порогового значения х0 вероятность превышения критерия увеличивается с увеличением £ и ю При этом для виброзащитных систем с комбинацией параметров со0 е {0,1...0,8-1,0}; £ е {0,01...0,08-0,1} вероятность превышения критерия а или б составляет менее 0,04. Здесь следует сделать оговорку: вероятность 0,04 — это вероятность наступления предельного состояния (превышение критерия виброзащиты), которое не может рассматриваться как массовое событие, т.е. это число не позволяет судить о качестве конструкции. Однако это значение позволяет сравнивать две виброзащитные системы и предпочтение отдавать той, у которой данное значение оказывается меньшим.
Вероятность ¡'(х(1) х ) х =2 мкм/с
а
Вероятность Р(х(г)>х0) х =0,5 мкм/с
11.15
Рис. 5. Вероятность превышения случайной функцией х(Г) порогового значения х0 = 2 (а) и х0 = 0,5 мкм/с (б)
Указанные ранее границы параметров для ш0 и £ на практике оказываются труднодостижимыми, например, для виброзащитной системы с f = 0,8 Гц, необходимо применять массивный инерционный блок массой 66 т (данная задача рассмотрена в [7]). В связи с этим стоит задача разработки виброзащитной системы с малой собственной частотой менее 1 Гц при сохранении габаритов виброизолируемого оборудования. Такая задача может быть решена либо применением активной системы виброизоляции, рассмотренной в [8], либо использованием нелинейных виброизоляторов квазинулевой жесткости [9].
Разработанный алгоритм определения вероятностных границ решения случайной функции может быть применим к любому спектру, полученному в результате испытаний, что делает его универсальным при определении эффективности виброзащитной системы.
Библиографический список
1. Рекомендации по виброзащите несущих конструкций производственных зданий / ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко. М., 1988. 217 с.
2. Evolving Criteria for Research Facilities: Vibration, (with HalAmick, Michael Gendreau, and Todd Busch), Proceedings of SPIE Conference 5933: Buildings for Nanoscale Research and Beyond, San Diego, CA, July 31-August 1, 2005.
3. Смирнов В.А. Кинематическая виброзащита объектов, чувствительных к вибрации / Промышленное и гражданское строительство в современных условиях : матер. Междунар. науч.-техн. конф. студентов. М. : МГСУ, 2011.
4. Светлицкий В.А. Случайные колебания механических систем. 2-е изд., перераб. и доп. М. : Машиностроение, 1991. 320 с.
5. MatLab R2010b User's guide. MathWorks Corp, 2010.
6. Cody W.J. Rational Chebyshev Approximations for the Error Function, Math. Comp., 1969. Pp. 631—638.
7. Мондрус В.Л., Смирнов В.А. Динамический анализ систем виброзащиты выскоточного оборудования с применением ПК MSC Software [Электронный ресурс] // Форум MSC Software. 2011. Эл.—опт. диск.
8. Смирнов В.А. Обзор систем активной виброизоляции // Проблемы и пути развития энергосбережения и защиты от шума в строительстве и ЖКХ: c6. матер. науч.-практ. конф., НИИСФ РААСН — Москва — Будва, 2011. C. 222—225.
9. Смирнов В.А. Нелинейный виброизолятор для целей кинематической виброзащиты объектов, чувствительных к вибрации // Вестник МГСУ. 2011. № 3. Т. 1. С. 107—112.
Поступила в редакцию в апреле 2012 г.
Об авторе: Смирнов Владимир Александрович — аспирант кафедры строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, belohvost@list.ru.
Для цитирования: Смирнов В.А. Динамический анализ виброзащитной системы в вероятностной постановке // Вестник МГСУ. 2012. № 5. С. 87—92.
V.A. Smirnov
VIBRATION ISOLATION SYSTEM PROBABILITY ANALYSIS
The article deals with the probability analysis for a vibration isolation system of high-precision equipment, which is extremely sensitive to low-frequency oscillations even of submicron amplitude. The external sources of low-frequency vibrations may include the natural city background or internal low-frequency sources inside buildings (pedestrian activity, HVAC). Taking Gauss distribution into account, the author estimates the probability of the relative displacement of the isolated mass being still lower than the vibration criteria. This problem is being solved in the three dimensional space, evolved by the system parameters, including damping and natural frequency. According to this probability distribution, the chance of exceeding the vibration criteria for a vibration isolation system
is evaluated. Optimal system parameters — damping and natural frequency — are being developed,
thus the possibility of exceeding vibration criteria VC-E and VC-D is assumed to be less than 0.04.
Key words: vibration-sensitive equipment, low-frequency vibration isolation, Gauss
distribution, PSD.
References
1. Rekomendatsii po vibrozashchite nesushchikh konstruktsiy proizvodstvennykh zdaniy [Recommendations for Vibration Isolation of Bearing Structures of Industrial Buildings]. CNIISK im. V.A. Kucherenko [Central Scientific and Research Institute of Building Structures named after V.A. Kucherenko]. Moscow, 1988, 217 p.
2. Hal Amick, Michael Gendreau, and Todd Busch. Evolving Criteria for Research Facilities: Vibration. Proceedings of SPIE Conference 5933: Buildings for Nanoscale Research and Beyond. San Diego, CA, July 31 - August 1, 2005.
3. Smirnov V.A. Kinematicheskaya vibrozashchita ob"ektov, chuvstvitel'nykh k vibratsii [Kinematic Vibration Isolation of Sensitive Equipment]. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo v sovremennykh usloviyakh [Industrial and Civil Engineering in the Present-day Environment], student conference. Collected papers, Moscow, Moscow State University of Civil Engineering, 2011.
4. Svetlitskiy V.A. Sluchaynye kolebaniya mekhanicheskikh sistem [Random Vibrations of Mechanical Systems]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1991, 320 p.
5. MatLab R2010b User's guide. MathWorks Corp, 2010.
6. Cody W. J. Rational Chebyshev Approximations for the Error Function. Math. Comp., 1969, pp. 631—638.
7. Mondrus V.L., Smirnov V.A. Dinamicheskiy analiz sistem vibrozashchity vysokotochnogo oborudovaniya s primeneniem PK MSC [Dynamic Analysis of Vibration Isolation Systems for Precision Equipment]. Forum MSC Software, 2011.
8. Smirnov V.A. Obzor sistem aktivnoy vibroizolyatsii [Overview of Active Vibration Isolation Systems]. Collected works, International Scientific and Practical Conference. Problems and Development Patters of Power Saving and Noise Protection in Civil Engineering and Utility Sector. NIISF RAASN [Scientific and Research Institute of Building Physics]. Moscow - Budva, 2011, pp. 222—225.
9. Smirnov V.A. Nelineynyy vibroizolyator dlya tseley kinematicheskoy vibrozashchity ob"ektov, chuvstvitel'nykh k vibratsii [Nonlinear Vibration Isolation of Vibration-Sensitive Equipment]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 3, vol. 1, pp. 107—112.
About the author: Smirnov Vladimir Alexandrovich — postgraduate student, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; belohvost@list.ru.
For citation: Smirnov V.A. Dinamicheskiy analiz vibrozashchitnoy sistemy v veroyatnostnoy postanovke [Vibration Isolation System Probability Analysis]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 5, pp. 87—92.
