CC BY
28
УДК 658.264 ББК 3350.7-420.7
В.А. ТАРАСОВ, А.Г. КАЛИНИН, В В. ТАРАСОВА, В В. АФАНАСЬЕВ, В Г. КОВАЛЕВ
ДИНАМИЧЕСКИЕ ТЕПЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОГРАЖДАЮЩИХ КОНСТРУКЦИЙ*
Ключевые слова: нестационарные температурные поля, распределенные параметры, передаточные функции, постоянные времени, среднеинтегральная температура.
Показано, что стена здания является объектом с распределенными параметрами, температура в каждом слое которого является суммой слагаемых, каждое из которых удовлетворяет граничным условиям третьего рода. Передаточная функция для слоя на любой глубине стены может быть представлена как сумма инерционных звеньев с различными коэффициентами передачи и постоянными времени. Средне-интегральная температура полностью характеризует тепловое состояние стены и может быть использована в качестве возмущающего параметра регулирования автоматизированных тепловых пунктов. Характеристики для среднеинтегральной температуры по форме близки к характеристикам инерционного звена.
Для разработки алгоритмов оптимального управления системами отопления зданий и сооружений необходимы динамические тепловые характеристики ограждающих конструкций, которые являются объектами с распределенными параметрами. Тепловые поля в таких объектах описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Для математического моделирования нестационарных процессов теплопередачи через ограждения решается уравнение теплопроводности при граничных условиях 3-го рода, когда задаются температуры среды и коэффициенты теплоотдачи [5, 6]. В условиях несимметричного теплообмена плоская стена здания толщиной 5 (рис. 1) с коэффициентом теплопроводности X, удельной теплоемкостью с и
плотностью р омывается с внутренней поверхности средой с температурой Т1, с внешней поверхности - средой с температурой Т2. При этом Т2 ФТ1.
Передача тепла от воздуха в помещении к внутренней поверхности стены характеризуется коэффициентом теплоотдачи а1. Передача тепла от внешней поверхности стены к наружному воздуху характеризуется коэффициентом теплоотдачи а2. В общем случае несимметричного теплообмена а1 Ф а2 [5, 6].
Для одномерного нестационарного температурного поля в области 0 < х < 5 при т > 0 температурное поле описывается уравнением:
Рис. 1. Теплопередача через плоскую стену
* Работа выполнена при поддержке Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере, грант УМНИК 2015.
ср-
дТ (х, т) ~дт
д Л дТ(х,т)
дх I дх
Начальное условие 0 < х < 5 и т = 0
Т(х,0) = Ах)-
Граничные условия: при х = 0 ХдТ (0, Т) +а1[Г1 - Т (0, т)] = 0;
при х = 5
Л
дх дТ (5, т)
дх
(1) (2) (3)
+ а2 [[ (5, т) - Т2 ] = 0.
Для расчета нестационарного температурного поля в стене при несимметричных граничных условиях третьего рода и любых начальных условиях решение уравнения (1) находится в виде конечной суммы, каждое слагаемое которой удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям третьего рода [5].
т
Т(х , т) = (Л - Бкх ) + £
и=1
а1
С„ | ео8(ц„х) + --8ш(ц„х) | ехр(-ац„т)
„
(4)
При изменении условий теплообмена, когда меняются температуры наружного воздуха или (и) температуры воздуха внутри помещения, происходит переход от одного установившегося состояния к другому. Во время теплового переходного процесса распределение температуры по толщине стены является нелинейным (рис. 2).
20
15
и
о
,а 10
Л
1?
а Л 5
=
м е 0
Т
-5
- 10
15
^ч^ * • . *
ч. ' , ч 1 2
Ч. * • .
4 4 ч
ч
■. \
\ -. ч
ч^« ч
0
0.1
0.4
0.5
0.2 0.3
Толщина стены, м
Рис. 2. Распределение температуры по толщине стены
в различные моменты времени при похолодании: 1 - начальное стационарное распределение температуры перед началом теплового переходного процесса; 2 - распределение температуры через 6 ч после начала теплового переходного процесса; 3 - распределение температуры через 18 ч после начала теплового переходного процесса; 4 - конечное стационарное распределение температуры после окончания теплового переходного процесса
Формула (4) может быть представлена в виде
Т(х,т) = у(х) + ^(х,т).
(5)
Функция v(x) описывает установившийся стационарный режим с линейным распределением температуры по толщине стены, а функция w(jc, x) - переходный тепловой процесс, по окончании которого функция w(jc, x) стремится к нулю. Функция w(x,t) имеет вид
m
w(x,x)=SCnUn exp(-a|M2x), (6)
n=1
tt , ai •
где Un = cos |Mnx H--sin |Mnx, цп определяется при решении характеристиче-
|nX
ского уравнения [5]:
tg |5= |5(1 + СТ) B'i , (7)
(|5)2 -aB/2
где a = a2 / ai - критерий несимметричности теплообмена; В/1 = ai5 / X - критерий Био для внутренней поверхности стены.
Коэффициенты C определяются из начальных условий [5]. При исследованиях переходных процессов в системах автоматического регулирования применяется операторный метод с использованием преобразования Лапласа, при этом обычные дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические уравнения [1]. Математические модели ограждающих конструкций как объектов с сосредоточенными параметрами, которые описываются обычными дифференциальными уравнениями, позволяют разрабатывать только упрощенные алгоритмы управления системами теплоснабжения зданий и сооружений [3, 4]. Для решений дифференциального уравнения (1) в частных производных преобразование Лапласа может быть применено для функций, описывающих зависимость температуры от времени на определенной глубине.
Функция w(x,t) может быть представлена в виде
W( x, x) = expí-(8)
n=1 Tn V Tn /
где kn - коэффициент передачи, зависящий от координаты х; Тп - постоянные времени, зависящие от коэффициента температуропроводности стены a и корней цп5 характеристического уравнения (7)
Tn 2.
a|n
Изображение по Лапласу функции w(x,y) может быть представлено в виде
m k
W(p)=X (9)
n=1 TnP + 1
Согласно формулам (6) и (9) передаточная функция для слоя на любой глубине стены может быть представлена как сумма передаточных функций инерционных звеньев с различными постоянными времени и различными коэффициентами передачи. Постоянные времени зависят только от граничных условий, коэффициенты передачи зависят как от граничных, так и от началь-
ных условий. Поскольку корни характеристического уравнения (7) образуют возрастающую последовательность (см. таблицу), постоянные времени слагаемых суммы (6) убывают, что позволяет ограничиться несколькими слагаемыми суммы (8).
Корни характеристического уравнения (7) и постоянные времени слагаемых суммы (8)
Номер слагаемого 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Корень ци5 2,552 5,209 7,986 13,79 16,767 19,78 22,82 25,88 28,948 32,03
Постоянная времени Тп, ч 22,9 5,47 2,32 0,78 0,528 0,379 0,285 0,222 0,177 0,145
С течением времени все слагаемые суммы (8) становятся исчезающе малыми по сравнению с первым, наступает регулярный режим, когда любой слой стены можно считать инерционным звеном с передаточной функцией
ж (Р) = т^.
Т р+1
Колебания температуры наружного воздуха вызывают изменения температуры и тепловых потоков в толще и на внутренней поверхности наружного ограждения. По мере удаления от наружной поверхности колебания температуры в толще ограждения уменьшаются по величине и запаздывают во времени [6]. Колебания температуры внутренней поверхности непосредственно влияют на температуру помещения. Свойство теплоустойчивости сквозному прониканию температурных колебаний характеризуют показателем затухания, который определяет, во сколько раз амплитуда изменения температуры на внутренней поверхности ограждения Тт(0) меньше амплитуды колебания наружной температуры Тт (5).
у = Зд)
Тт(0)'
Из общего решения уравнения (1) определяются амплитуды температур на внутренней и внешней поверхностях стены, что позволяет определить показатель сквозного затухания V [5]. При периоде 24 ч, что соответствует суточному изменению температуры воздуха, для стены толщиной 0,5 м показатель сквозного затухания V = 44. Таким образом, даже при разности максимальной и минимальной суточных температур наружного воздуха, равной 15°С, амплитуда колебаний температуры внутренней поверхности стены не превысит 0,35°С, при средней в течение отопительного периода разности максимальной и минимальной суточных температур наружного воздуха 5,7°С амплитуда колебаний температуры внутренней поверхности стены не превысит 0,13°С.
Расчеты нестационарных тепловых полей показали, что стена является объектом с распределенными параметрами, температура на внешней поверхности стены достигает установившегося значения через несколько часов, на внутренней поверхности через десятки часов после начала теплового переходного процесса. При резком похолодании, когда температура снаружи по-
низилась на 15°С при неизменной температуре в помещении, температура на внутренней поверхности оставалась практически неизменной в течение 16 ч. Температура наружной поверхности стены в течение первых 4 ч снизилась на 12°С (рис. 3). Процесс выхода стены толщиной й = 0,5 м на установившийся тепловой режим занимает более 2 суток [2]. Поэтому температура внутренней поверхности стены не может быть непосредственно использована в качестве параметра регулирования температуры в помещении. Температура наружной поверхности стены вследствие влияния на нее случайных изменений климатических условий также не может быть непосредственно использована в качестве параметра регулирования температуры.
20 15 10 5
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
1
2
3
0
5
4
Время, ч
Рис. 3. Временные зависимости температуры на внутренней поверхности стены (1); среднеинтегральной температуры (2); средней по сечению температуры стены (3) и температуры на наружной поверхности стены (4)
Изменение во времени теплосодержания стены в течение переходного процесса характеризуется среднеинтегральной температурой [2, 5]
1 8
Тг =—| Т (х, х)йх, 8 0
т„=* - м 4 К 2 8 0 „=1
Сп| оо8(ц„х) + —^8т(ц„х) | ехр(-ацПх)
(10)
йх. (11)
При протекании теплового переходного процесса от одного установившегося режима к другому среднеинтегральная температура и, соответственно, теплосодержание стены меняются. Изменение аккумулированного стеной тепла при переходе от одного установившего теплового режима к другому определяется изменением среднеинтегральной температуры
Ад = ерУст Тк - Тт),
где Уст - объем стены.
Среднеинтегральная температура стены вследствие затухания случайных колебаний температуры в объеме стены, вызванных быстрыми незначитель-
ными изменениями климатических условии, полностью характеризует тепловое состояние стены и может быть использована в качестве возмущающего параметра систем регулирования автоматизированных тепловых пунктов и определения удельноИ динамической тепловоИ характеристики здания и сооружения [2]. В упрощенных математических моделях, когда ограждающие конструкции рассматриваются как объекты с сосредоточенными параметрами, используется средняя по сечению стены температура [3] . Вследствие нелинейного закона распределения температуры по сечению в начале переходного процесса средняя по сечению и среднеинтегральная температура стены различаются и становятся одинаковыми только по окончании переходного процесса (рис. 3).
Расчет нестационарного теплового поля стены дает аналитическую зависимость (11) от времени среднеинтегральной температуры в течение теплового переходного процесса при любых начальных условиях. Преобразование Лапласа позволяет получить передаточную функцию Ж(р).
Амплитудно-фазочастотная характеристика Ж(/'ю) для среднеинтеграль-ной температуры
т к
Ж (/ш) = У—к-,
„=1 Тп (/Ш) +1
Ж (/ш) = Л(ю)е/ф(ш).
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика
Ц(ш) = 20^ Л(ш).
На рис. 4 приведены рассчитанные по выражению (9) частотные характеристики Ж(/ш) для среднеинтегральной температуры кирпичной стены толщиной 0,5 м.
ь 100
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
- 10 - 20
ф, град
— 20
— 40
— 60
- 12 - 10 - 8 - 6 - 4 - 2 1о§(ш)
12 - 10 - 8 - 6 - 4 - 2 0
^(го)
а б
Рис. 4. Логарифмическая амплитудно-частотная (а) и логарифмическая фазово-частотная (б) характеристики для среднеинтегральной температуры
Из рис. 4 видно, что амплитудно-фазовые частотные характеристики для среднеинтегральной температуры по форме близки к характеристикам инерционного звена.
0
Выводы. Стена здания и сооружения является объектом с распределенными параметрами, температура в каждом слое которого выражается в виде суммы слагаемых, каждое из которых удовлетворяет граничным условиям третьего рода. Передаточная функция для слоя на любой глубине стены может быть представлена как сумма передаточных функций инерционных звеньев с различными коэффициентами передачи и постоянными времени. При наступлении регулярного режима любой слой стены можно считать инерционным звеном. Среднеинтегральная температура стены вследствие затухания случайных колебаний температуры в объеме стены, вызванных быстрыми незначительными изменениями климатических условий, полностью характеризует тепловое состояние стены и может быть использована в качестве возмущающего параметра регулирования автоматизированных тепловых пунктов, а также для определения удельной динамической тепловой характеристики зданий и сооружений и аккумулированного стеной тепла.
Литература
1. Автоматическое управление электротермическими установками / под ред. А.Д. Свенчанского. М.: Энергоиздат, 1990. 416 с.
2. Афанасьев В.В., Ковалев В.Г., Тарасов В.А., Тарасова В.В., Федоров Д.Г. Исследование нестационарных тепловых режимов отопления зданий и сооружений // Вестник Чувашского университета. 2015. № 1. С. 20-29.
3. Панферов В.И., Анисимова Е.Ю., Нагорная А.Н. К теории математического моделирования теплового режима зданий // Вестник Южно-Уральского государственного университета. 2006. № 14. С. 128-133.
4. Прокопчук Е.Л. Синтез системы упреждающего управления процессом подачи тепла на отопление здания: автореф. дис. ... канд. техн. наук. Дзержинск, 2009.
5. Тарасова В.В. Математическое моделирование нестационарных тепловых процессов в ограждающих конструкциях зданий // Современные наукоемкие технологии. 2016. № 8. С. 265-269.
6. Тарасова В.В. Математическое моделирование нестационарных процессов теплопередачи // Региональная энергетика: проблемы и решения: сб. науч. тр. Вып. 9. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2013. С. 128-144.
ТАРАСОВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры теплоэнергетических установок, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (tarwol@yandex.ru).
КАЛИНИН АЛЕКСЕЙ ГЕРМАНОВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры систем автоматического управления электроприводами, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (humanoid1984@yandex.ru).
ТАРАСОВА ВАЛЕНТИНА ВЛАДИМИРОВНА - аспирантка кафедры теплоэнергетических установок, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (charming_cerl@rambler. ги).
АФАНАСЬЕВ ВЛАДИМИР ВАСИЛЬЕВИЧ - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теплоэнергетических установок, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (avvteo@mail.ru).
КОВАЛЕВ ВЛАДИМИР ГЕННАДЬЕВИЧ - кандидат технических наук, заведующий кафедрой электроснабжения промышленных предприятий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (espp21@mail.ru).
V. TARASOV, A. KALININ, V.TARASOVA, V. AFANASYEV, V. KOVALEV DYNAMIC THERMAL PERFORMANCE OF FENCING STRUCTURES Key words: unsteady temperature fields, distributed parameters, transfer functions, time constants, the average integral temperature.
The building wall is shown to be an object with distributed parameter, the temperature in each layer being a sum of terms, each of which satisfies the boundary conditions of the third kind. The transfer function for the layer in any depth of the walls can be represented as the sum of inertial links with different transmission ratios and time constants. Average integral temperature fully characterizes the thermal state of the wall and can be used as a disturbance parameter to control automated thermal points. Specifications for the average integral temperature of the shape are close to that of the inertial unit.
References
1. Svenchanskii A.D., ed. Avtomaticheskoe upravlenie elektrotermicheskimi ustanovkami [Automatic control of electrothermal installations]. Moscow, Energoizdat Publ., 1990, 416 p.
2. Afanasyev V.V., Kovalev V.G., Tarasov V.A., Tarasova V.V., Fedorov D.G. Issledovanie nestatsionarnykh teplovykh rezhimov otopleniya zdanii i sooruzhenii [The study of non-stationary thermal modes of heating of buildings and structures]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2015, no. 1, pp. 20-29.
3. Panferov V.I., Anisimova E.Yu., Nagornaya A.N. K teorii matematicheskogo modelirova-niya teplovogo rezhima zdanii [The theory of mathematical modeling of the thermal regime of buildings]. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta, 2006, no. 14, pp. 128-133.
4. Prokopchuk E.L. Sintez sistemy uprezhdayushchego upravleniya protsessom podachi tepla na otoplenie zdaniya: avtoref. dis. ... kand. tekhn. nauk [Synthesis of proactive management of process heat supply system for heating the building. Diss. Abstract]. Dzerzhinsk, 2009.
5. Tarasova V.V. Matematicheskoe modelirovanie nestatsionarnykh teplovykh protsessov v ograzhdayushchikh konstruktsiyakh zdanii [Mathematical modeling of non-stationary thermal processes in the building envelope ]. Sovremennye naukoemkie tekhnologii [Modern High Technologies], 2016, no. 8, pp. 265-269.
6. Tarasova V.V. Matematicheskoe modelirovanie nestatsionarnykh protsessov teploperedachi [Mathematical modeling of transient heat transfer processes]. Regional'naya energetika: problemy i resheniya: sb. nauch. tr. Vyp. 9. [Regional pover engineering and electrical engineering:problems and decisions: Coltcted papers, issue 9]. Cheboksary, Chuvash State Univesity Publ., 2013. pp. 128-144.
TARASOV VLADIMIR - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Heat and Power Plants Department, Chuvash State University, Cheboksary, Russia.
KALININ ALEXEY - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Automatic Electric Drives Control Systems Department, Chuvash State University, Cheboksary, Russia.
TARASOVA VALENTINA - Post-Graduate Student, Heat and Power Plants Department, Chuvash State University, Cheboksary, Russia.
AFANASYEV VLADIMIR - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Heat and Power Plants Department, Chuvash State University, Cheboksary, Russia.
KOVALEV VLADIMIR - Candidate of Technical Sciences, Head of Industrial Enterprises Power Supply Department, Chuvash State University, Cheboksary, Russia.
Ссылка на статью: Тарасов В.А., Калинин А.Г., Тарасова В.В., Афанасьев В.В., Ковалев В.Г. Динамические тепловые характеристики ограждающих конструкций // Вестник Чувашского университета. - № 3. - С. 124-131.
