CC BY
63
!5БМ 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 3 (2009). С. 132-138.
УДК 517.9
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
М.И. ТИМОШИН
Аннотация. Рассматривается задача использования динамических симметрий для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Выделяется класс динамических симметрий, обладающих инвариантами, обеспечивающими понижение порядка дифференциального уравнения. Приведены примеры.
Ключевые слова: динамические симметрии, инварианты, обыкновенные дифференциальные уравнения, каноническое уравнение Абеля второго рода.
1. Введение
Понятие динамических симметрий приведено, например, в [1]. Дифференциальное уравнение второго порядка заменяется системой дифференциальных уравнений первого порядка:
у” = /(ж,У,у) ^ ^ = /• (1)
Инфинитезимальный оператор
д д д X = £ (х, у, г) — + п (Х у, *) ду + ^ (Х У> г) (2)
допускается системой (1) тогда и только тогда, когда выполняется условие инвариантности
[X, А] = А (х, у,г) А, (3)
д д д
где А = + / (Х У, г) ^.
дх ду дг
В отличии от касательных симметрий, определяемых характеристической функцией П (х, у, г)
д д д х = П дХ +(г П — П) ду — (Пх +г Пу) д^
у оператора динамической симметрии (2) компоненты £, п, ^ определяются только условием (3).
В работе [2] предпринимались неудачные попытки использовать динамические симметрии к интегрированию автономных ОДУ второго порядка.
В предлагаемой работе исследование интегрируемости дифференциального уравнения проводится на основе специальных динамических симметрий.
M.I. Timoshin, Dynamical symmetries of ODE. © Тимошин М.И. 2009.
Поступила 7 августа 2009 г.
2. Нахождение динамических симметрий по их инвариантам При нахождении точечных симметрий ОДУ второго порядка
Р (ж, у, у', у") = О,
придерживаются следующего алгоритма. Рассматривают продолженный оператор
д д д д
X = ^(ж’у) дЖ + п(жу) ду + щ (ж’ у у) ду + П2(ж у у, у/) ду7, (4)
где
Критерий инвариантности
= _ уМ ¿С. (5)
г ¿ж ¿ж
=0 = 0, (6)
2
дает определяющую систему уравнений. Разрешая переопределённую систему определяющих уравнений, находят оператор точечной симметрии (4). Найденная симметрия используется для понижения порядка исходного дифференциального уравнения. При этом может быть использовано выпрямление оператора (4), то есть переход от переменных (ж, у) к переменным (Ь,и). Для этого необходимо разрешить дифференциальные уравнения
ХЬ = 1, Хи = 0. (7)
Если функции а (ж, у) , в (ж, у)являются решениями уравнений (7), то есть
Г = а (ж, у) , и = в (ж, у) , то компоненты оператора (4) могут быть выражены в терминах функций а (ж, у) , в (ж, у)
дв дв С (ж,у) = ~дОд1__1даШ, П (ж,у) = _~дод1_1даШ. (8)
1х ду ду 1х 1х ду ду 1х
Таким образом, критерий инвариантности (6) с помощью соотношений (8) может быть использован непосредственно для нахождения, как симметрии, так и выпрямляющей замены переменных. Отметим, что при этом не обязательно использовать формулу продолжения (5), достаточно заметить, что выражения
¿и = Ш + Щу ¿2и = (§Х + §у/) £(Ш + §у'у') _ (И + §у'у') аХ (1х +1;у)
* = да+да у ’ 02 = ( ^+»а у3
у1х ду&
являются первым и вторым дифференциальными инвариантами, и разрешить систему линейных уравнений
ХЬ =1, Хи = 0, Х^и = 0, Х^^и = 0. (9)
1 ас 2 ас2
Определяющая система уравнений будет при таком подходе нелинейной относительно функций а (ж, у) , в (ж,у), однако сохранится её переопределённость.
Отбросив из системы (9) первое уравнение, получим систему линейных однородных уравнений относительно компонент продолженного оператора. Разрешая систему алгебраических уравнений
Хи = 0, Х 0^ = 0, Х^ = 0, (10)
1 аг 2 аг2
получим выражения для координат оператора точечных симметрий с точностью до функционального множителя. При этом также может быть использован критерий инвариантности (6).
Отметим, что переменные, определяемые из (10), также рассматривались в [3] (так называемые полу-канонические переменные) и использовались для интегрирования ОДУ с нелокальными симметриями.
Пусть и = и (ж, у, у') , V = V (ж, у, у') инварианты оператора динамической симметрии. Потребуем, чтобы выражение
¿и дг + дг у' + ди у”
__ 1х ду* ду & / \
^ ^ + О»у' + дъ.у'' , ( )
1х + дуу + ду'у
также являлось инвариантом динамической симметрии. Определим компоненты оператора динамической симметрии
д д д д Х = С (ж, y, у') дж + П(ж, y, у) ду + ^(ж, У, у) ду + ^1(ж, У, у, у") ду^ (12)
разрешая систему уравнений
аи
Хи = 0, Х V = 0, Х = 0.
¿V
Очевидно, что и в этом случае условие (6) является критерием инвариантности дифференциального уравнения относительно оператора динамической симметрии (12). Причём наложенное условие (11) позволяет понижать порядок дифференциального уравнения. В общем случае критерий инвариантности (6) не допускает расщепления.
Отметим, что точечные симметрии можно рассматривать как апва12в динамических симметрий, когда
М + М у'
и = II + £у, v = в (ж,у). (13)
1х + ду у
Инварианты (13) определяются двумя функциями а (ж, у) , в (ж, у) от двух переменных. Взяв в качестве инвариантов выражения
а (ж,у)+в (ж,у) у' / ч
и = ^------г-, Т7--, v = X (ж,у) , (14)
^ (ж,у) + ф (ж,у) у'
придём к динамическим симметриям, содержащим в себе все случаи точечных симметрий. Вид инвариантов (14) позволяет расщеплять критерий инвариантности (6), однако
необходимо учесть, что увеличение числа функций приводит к уменьшению степени пе-реопределённости определяющей системы.
3. Примеры использования динамических симметрий к интегрированию
ОДУ
ПРИМЕР 1. В качестве первого примера рассмотрим дифференциальное уравнение, опубликованное Н.Х. Ибрагимовым в брошюре [4] посвящённой 150-летию Софуса Ли,
у'' = (ж + ж2)еу у' + (1 + 2ж)еу (15)
Уравнение (15) не допускает группу точечных преобразований. Однако, взяв новые переменные в виде
и = у' _ (ж + ж2)еу, V = ж (16)
придём к уравнению
¿и 0
¿V
После однократного интегрирования, и возвращения к исходным переменным получается уравнение
у' = (ж + ж2) еу + С1,
которое линеаризуется заменой и приводится к виду Отсюда
г = е
г = е
-у
г' + С1г + ж + ж2 = 0.
~С1‘{С2 _ /(ж+ж>Сіх<гж)
и решение уравнения (15) получается в квадратурах:
у = СІЖ — /п
С2 — / (ж + ж2) еСіх/іж
Разрешая систему уравнений
аи
Хи = 0, ХV = 0, Х— = 0,
¿V
в случае уравнения (15), с инвариантами (16), найдём симметрию
/ д д д \
Х = С2 (ж, у, у') ( ду + еу (ж + ж2) ду + еу (ж2 (1 + ж)2 еу + у' (ж + ж2) + 2ж + 1) ду" ) .
Непосредственной проверкой легко убедиться, что нельзя подобрать функцию С2 (ж, у, у') так чтобы указанная симметрия стала касательной. В случае уравнения (15) операторы
д д д А = — + г— + еу (1 + 2ж + г(ж + ж2)) —, дж ду 4 ' дг
д
X = £2 (ж,у,г) ду + еУ (ж +ж2)
и для выполнения условия (3) функция С2 (ж, у, г) должна удовлетворять уравнению
+ (г (ж2 + ж) + 2ж + 1) еу_ (ж2 + ж) еу^2 = 0. дж ду у у ' дг у '
Таким образом, приведённая симметрия может рассматриваться как динамическая в смысле определений книги [1].
ПРИМЕР 2. В качестве второго примера рассмотрим дифференциальное уравнение
у'' = у' + / (у). (17)
В работе [5] отмечается, что уравнение (17) связано с уравнением диффузии Колмогорова-Петровского-Пискунова, с уравнением Семёнова используемым в теории цепных химических реакций и уравнением Зельдовича, играющим фундаментальную роль в математической теории горения и взрыва. Если искать симметрии уравнения (17), взяв инварианты (14) в виде
и = а(ж, у) + в(ж, у)у', V = ж,
то придём к симметриям
(
X = £2
(
д_
ду
ду + Щу' _д_
в ду'
д | _ду | ___ І _ду І +
дх \ в I I в +
+у( * (#) + £( ЇУ) _2
+у
д2в в-2( дв )2 '2 ду2 в ( ду )
в2
да дв ду ду
в2
\ \
д
+
дв
+ у'' "дУ
ду
/ /
2
Критерий инвариантности (6) в этом случае принимает вид
_у'2 Ёвд _ 2(^ 2
\ ду2 V ду
_ у' Г +_д!^в _ _ 3 ^а^'] _
\ ду2 ду дж дж ду ду ду ^
¿/ 2 /^да д2а да дв / да\2 дв
¿у ду + дудж ду дж \ ду / + ду ^
и расщепляется на систему трёх уравнений относительно двух функций а (ж, у) , в (ж, у) .
Разрешая полученную систему уравнений, находим, что уравнение (17) допускает динамические симметрии с указанными инвариантами, если функция £(у) имеет вид:
В В 2
/ (у) = Ау +-------3.
у у3
Используя автономность уравнения (17), можно привести его к виду уравнения Абеля
¿г В В2
г— = г + Ау + з.
¿у у у3
В справочнике [6] указаны решения приведённого уравнения Абеля в параметрическом виде. Динамические симметрии позволяют привести явный вид решений уравнения (17). При этом возможны четыре случая
Первый случай
у = у
1 + а2 В В2
-----А------у + Г ,
4 у у3
у (ж) = ±е2 ^СазтОж _ С^созО-
Со 2В
(2Сззта2ХУ
: ¿ж.
Второй случай
у
1 В В2
у _ ту + ^,
4 у у3
у (ж) — ±е2 (С1ж + С3) л /С2 _ 2В
(С1ж + Сз)2
: ¿ж.
Третий случай
у'' = у'
1 _ а2 В В2
й у + Г,
4 у у3
х(1 — а)
у (ж) = ±е 2 (С3 + а (а _ 1) С1 (е“Х (а _ 1) _ а _ 1)) х
х д / С2 _ 2В
ех(а—1)
(С3 + а (а _ 1) С1 (е“Х (а _ 1) _ а _ 1))2
г ¿ж.
—Х
е
— Х
е
Четвёртый случай
'' ' В В2
у = у + ^, у у3
у (ж) = ± (1 + С1еХ) \1 С2 + 2В ( 1и (1 + С1еХ) _ 1 + с еХ _ ж
ПРИМЕР 3. В качестве третьего примера рассмотрим дифференциальное уравнение (17) с инвариантами
и = а(у) + в (y)y', "у = ж + т (у).
Определяющая система уравнений примет в этом случае вид
¿в ¿т ^ ¿2в ^ ¿в ¿т ¿а /¿в\2 ¿2а ¿т ^ ¿2т ¿а ^ ¿2т „2
_-Т^в _ т^в + + 2 ИГ _ ^7^в + ^7-гв + ^в2 = 0,
¿у ¿у ¿у2 ¿у ¿у ¿у ¿у ¿у2 ¿у ¿у2 ¿у ¿у2
¿2Т # 2 ¿т ¿2ад , oавdrrtí / \ П
^в / (у) _ ¿ув ¿у - ¿у2в+3 ¿у ¿у -2 ¿у ¿ув/ (у) = °-
¿в „ <. / ч ¿т „¿а „ . . „¿а /¿а\2 / „2
^ (у)_ ¡¡ув5у/ (у>+ в5у + (¿у- / ='0'
¿2в ¿т ¿2т - ¿в ^2 ¿т 0
в + 12 1 в + \ 7 ] 7 0.
¿у2 ¿у ¿у2 ¿у ¿у ¿у
Анализ определяющей системы приводит к параметрическому заданию функции /(у)
ра^Ь _ 2) _ р3—ь _ рь—/^Ь2
/
ЬХ1(РЬа1 в2(Ь _ 2) _ р2Ь
а1в2(6_ 2) р1 ь Х2
у =-----;-----+
ЬХ1Р Х1(1 _Ь) Х1’
где р - параметр, а1, в2, Ь, /1, х1, Х2 - некоторые константы.
Перейдя в уравнении (17) с параметрически заданной функцией / (у) к новым переменным р, £ = ж + Ыир, (во = а1 в2) придём к уравнению
(рь+4 (4в0 + в0Ь2 _ 4во2Ь) + 2р6Д,Ь (2 _ Ь) + Ь2р8—ь) ^ +
+ Ьр2+ь (5во2Ь2 _ в?Ь3 + /1Х1Ь4 + 4в0 _ 8/^) (+
+ (р7 Ь^° (Ь _ 3) + 2р5/Зо6(Ь _ 2) + р3+ь (16в0б _ 3/,Х1б4 _ Юф2 _ 8в0 + 2в0Ь3)) (+
+ (Ьр8—ь (3 _ Ь) + р4+ь (3/1х,Ь3 _ в2 (Ь _ 2)2) + р6Д,Ь (2 _ Ь)) ¿р+
+ р7во (Ь _ 2) _ р9—ь _ рБ+Ь/1Х1б2 = 0.
Приведённое уравнение обладает инвариантами
= (Ь_ 2) воС1р5+Ь| р18+Ьвок1 (Ь _ 2) _ р20 (С1 + М) v = ,
и = вор6+Ь (Ь _ 2) _ р8Ь + р18+Ьво (Ь _ 2) _ р20Ь , V = , использование которых позволяет прийти к уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами Д0, Л1, Д2, Д3, Д4,
¿и
Д0——+ Л1 + Д2и + Д3и2 + Л4и3 = 0, (18)
где
Ro — eoc2 (b — 2) ,
e0ki(5fcib2 — 4ci + 4cib — cib2 — fcib3 + 4fci — 8fcib+
R = (c + k b) f ^M5^2 — 4ci
Ri = — (ci + kib)^ /iXib2(kib + ci)2
18Ь2к1с1 _ 24Ьк1с1 _ 3Ь4&2 + 8к1с1 _ 4с2 + 15Ь3к2+
0 ^ +12Ь^2 + 4Ьс° _ 24Ь2^2 _ Ь2с2 _ 4Ь3к1с1
+ /1X1 (бЬ4к1С1 + 3Ь5к2 + 3Ь3с2) ,
Я3 =в0 (3Ь4к1 + 12Ьс1 + 2Ь3с1 _ 4с1 _ 12Ьк1 _ 15Ь3к1 _ 9Ь2с1 + 24Ь2к1) _
_ 3Ь4/"1X1 (с1 + Ьк1) ,
^4 =Ь (Ь4/1Х1 + в02Ь (5Ь2 _ Ь3 _ 8Ь + 4)) .
Полученное уравнение (18) является автономным уравнением первого порядка, и следовательно легко интегрируется. Отметим также, что за счёт подбора постоянных с1,к1 можно изменить вид уравнения (18).
Таким образом находится первый интеграл уравнения (17) с функцией /(у), заданной параметрически.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hans Stephani, Differential equations: their solution using symmetries, Cambridge university Press 1989.
2. M.I. Timoshin, Dynamical symmetries of autonomous differential second order equations // Proceedings of Institute of Mathematics, Kyiv, 2004, Part 1, 1152-1160.
3. Ibragimov N.Kh, Elementary Lie group analysis and ordinary differential equations, Wiley, 1999.
4. Н.Х. Ибрагимов, Опыт группового анализа, М.: Знание, 7/1991
5. Л.М. Беркович, Факторизация как метод нахождения точных инвариантных решений уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова и связанных с ним уравнений Семёнова и Зельдовича // ДАН 1992, том 322 № 5.
6. В.Ф.Зайцев, А.Д. Полянин, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения, - М.: Физматлит, 1995.-560с. ISBN 5-02-015182-3.
Михаил Иванович Тимошин,
Ульяновский государственный технический университет, ул. Северный Венец, 32,
432027, г. Ульяновск, Россия E-mail: midvolga@mail. ru
