CC BY
36
16.8. Вычисление среднего значения разности между выходным параметром к-ой эталонной ситуации Yk и оцениваемой ситуации Yev :
ISumDy
-----, если с > 0
0, если с = 0
17. Вычисление значения выходного параметра Yev оцениваемой ситуации:
Yev = Yk - dyetk ~ev.
Таким образом, полученное значение выходного параметра оцениваемой ситуации соответствует значению выходного параметра наиболее схожей с оцениваемой, к-ой эталонной ситуации минус полученное корректирующее значение разности между выходным параметром к-ой эталонной ситуации Yk и оцениваемой ситуации Yev = Yk - dyetk-ev.
В заключении следует отметить, что проведенная оценка эффективности для рассмотренного метода показала адекватность использования данного метода при решении задач, в которых информация представлена в виде продукционных правил и имеет четкое и нечеткое представление.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Крумберг О.А. и др. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной.- Рига: Зинатне,1982.- 256 с.
2. Ларичев О.И., Мечитов А.И., Мошкович Е.М., Фуремс Е.М. Выявление экспертных знаний (процедуры и реализации).- М.: Наука, 1989.- 128 с.
3. Тэрано Т., Асаи К., СугэноМ. Прикладные нечеткие системы.- М.: Мир, 1993.- 368 с.
В.С. Васильев
ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ НА КРИВОЛИНЕЙНЫХ СЕТКАХ
Естественные и динамические переменные в уравнениях гидродинамики
Приведем [1] уравнение неразрывности
Ф + ФО, 0, (1)
дИ дх “
где р и Vг, 1 < г < п - плотность и физические [2] компоненты скорости среды в момент времени t в точке с декартовыми координатами (х1, х2,..., хп ) п-
мерного пространства, и уравнения движения вязкой (в линейном ньютоновом приближении) сжимаемой среды (в дивергентной форме)
Фй) + дРйО = _А( р рЭ^^Оац+ дк'|1, 1 < , < „, (2)
ди дх“ дхг I дха) дхг дх'ЧЧдх'* дхг))
где р - гидростатическое давление; ф - гравитационный потенциал; ц и ц' - первый и второй динамические коэффициенты вязкости.
Здесь и далее парные строчные греческие буквы (немые индексы) традиционно (для тензорного исчисления) означают суммирование от 1 до п.
i9i
В силу уравнения неразрывности (1) уравнениям движения (2) может быть придана недивергентная форма
8v, 8v, 1 8 f , 8va I 8ф 1 8 f f 8у, 8v„||
—L + v„—=-------------I p-ц'-^- I -=- +------1 d —+ —^ I 1, 1 <i <и . (3)
8t “ cX“ p cXi ^ cX“ I cXi p 8r“ 1Д8га cXi JJ
В случае несжимаемой (p = const) среды уравнения (1) и (2) принимают вид
^ = о, (4)
8x “ ’ )
дvj д(у1^п) д іp I д і і дуг ду„ . .
—- + v г а) =--------------------\ —+ ф I +-\ vj —г-II. І < i < n .
дt x дкг ip ) дг“\ \дг“ дгг I I
где V - кинематический коэффициент вязкости, а недивергентная форма (3) - вид
дйг дйг д (р | д ( (дй дй„ , ,
—L + й„—- =-------—+ ф | +------1 V] —^ ||, 1 < г < п . (5)
ди дха дх1 ^р ) дг“^ 1дг“ дхг 11
При достаточной гладкости
д\- д\
ь, = ь, , 1 < ,, j, k < и (6)
8xJ8x 8x dxJ
в случае v = const возможно дальнейшее упрощение уравнений (5)
8v, 8v, 8 f p I 8 2v,
—+ v„ —- =---------------------------------------------------1 p + Ф I + v-— , 1 < i < и . (7)
8t a8xa 8xi ^ p J 8ra8r“
В двумерном (и = 2, x1 = x, x2 = y, v1 = u, v2 = v) случае уравнения (4) и
(7) принимают вид
u'x + vy = 0, (8)
u't+ uu'x + vu'y =-(p-^.P +ф)* +v(u^x + u”yy ). (9)
v't + uv'x + w'y = -(p-^.p + Ф)у + v(vL + vyy ). (10)
Из уравнений движения (9) и (10) может быть исключен скаляр (p- ЛР + Ф). В результате получаем уравнение переноса вихря ю = u'y - v'x
ю; + ию'х + ую'у =у(юХх + юУу). (11)
В силу уравнения неразрывности (8) ему можно придать и дивергентную форму ю'; + (ию)х + (то)у = у(юХ; + Юуу) . (12)
Из уравнения неразрывности (8) следует, что всегда [1. С. 167] можно найти функцию (функцию тока) у(х, у), тождественно удовлетворяющую уравнению (8) и связанную с компонентами скорости и и V равенствами:
и =^у , V = -У; . (13)
Тем самым из уравнений (8) и (11) или (12) могут быть исключены и компоненты вектора скорости и и V
rot +roXVy-го "yVx =v(ro "X +го"Уу) . (i4)
Vxx +¥yy =го . (i5)
Б трехмерном (n = 3. Xі = x. x2 = y. x3 = z . v = u. v2 = v. v3 = w) случае
u'x + vy + wZ = О . (i6)
u" + uu'x + vu'y + WuZ = -(p-1p + ф)x +v(uXx + Uyy + uZz). (i7)
V" + uVx + vvy + WVZ = + ф)у +v(vXx + vyy + VZz). (iS)
w" + uw'x + vwy + wwZ = -(p-1p + ф)z +v(wXx + w"y + wZz) (i 9)
из уравнений движения (17)-(19) также может быть исключен скаляр (p- "V + ф). Б результате получаем три уравнения переноса трех компонент:
rox = Wy - vZ. roy = uZ- wX. roz = vX- uy
вектора вихря
ю = rot v = roxi + roy j + rozk. (20)
где i. j. k - единичные декартовы орты,
(rox )t + u(rox )x + v(rox )y + w(rox )z =
= v((rox L +(rox )yy +(rox )zz I+ UXrox + U'yroy + uzroz . (2i)
(roy )t + U(roy )x + V(roy )y + W(roy )z =
= v\(roy L +(roy )yy +(roy )zz I + VXrox + Vyroy + VZroz . (22)
(roz )t + u(roz )X + v(roz )y + w(roz )Z =
= v[(roZ )"" +(roZ )yy +(roZ )ZZ ) + WXroX + Wyroy + WZC
(2З)
Уравнениям (21)-(23) в силу (16) также может быть придана квазидивер-гентная форма
(rox )t + (urox )x + (vrox )y + (wrox )z =
= v((roxL +(rox)yy + (roxL )+ UXrox + Uyroy + U'z
(roy )t +(Uroy )x +(Vroy )y +(Wroy )z =
= v[(roy)xx +(roy)yy +(royL ) + VXrox + Vyroy + V
(roz )t +(uroz )x +(vroz )y +(wroz )z =
^faz )xx +(roZ )yy +(roZ L . + WXroX + Wyroy + WZroZ .
В общем случае для пространственного (и = 3) течения функции тока как таковой не существует, то есть не существует такой функции у , что изолиния у = const представляет собой линию тока. Но для соленоидального векторного поля (то есть поля, которое удовлетворяет уравнению неразрывности в трехмерном случае (16)) существует так называемый векторный потенциал у = yxi + ууj + уzk, такой, что
скорость v = ui + vj + wk будет равна [3. С. 313]:
v = rot у (24)
или покомпонентно
u = (V)y -(Vy)z > v = (VX -(V)x > w = (Уу)x -(Vx)y .
Из определения вихря (20) с учетом уравнения неразрывности (16) и гладкости (6) можно вывести три уравнения Пуассона для трех компонент скорости:
UXx + U"y + UZ" = (roy )" -(ro" )y .
^xx + V"yy + V"z = (ro")X -(rox)" .
w’ + w’ + — (ro ) — (ro )
vyXX ' yy "" V X / y \XJy)x •
Из уравнений (20) и (24) следует
rot(rot у) = ю (25)
или покомпонентно:
= [(Vy )y +(V")" -(Vx )yy -(Vx L .
= ^(Vx )x' +(V" )"' ^ -(Vy )xx” -(Vy )""" .
= ^(Vx )x +(Vy )y ) -(V" )xx -(V" )yy .
При определении у возникает дополнительная степень произвола. Можно потребовать, чтобы вектор у был соленоидальным, то есть чтобы div у = О. Соотношение векторного анализа rot(rot у) = grad (div у)-Ау дает возможность записать уравнение (25) в виде векторного уравнения Пуассона [3. С. 3ii].
Ау = -ю
или покомпонентно:
(Vy L" + (Vy )yy ” + (V y l"=-roy.
Интегрирование системы (14)-(15) по времени в динамических переменных «функция тока - вихрь» может быть произведено с помощью следующей схемы [3]:
rox
Го = го + т(v(ro'X" + ro”yy )- div(rov)).
Vs+1) = V(s) + ^(V*+l))x"" + V+1!" -<ТО). (2б)
u = Vy. v = -VX.
где div(ro v) = ro div v + (v, grad ro). v = ui + vj;
s - индекс внутреннего итерационного цикла решения стационарной задачи
методом установления;
з - итерационный параметр, аналогичный шагу по времени т .
Б то же время системы и (8)-(10), и (16)-(19) могут быть разрешены в естественных переменных «скорость - давление» методом расщепления по физическим процессам - методом поправки к давлению (MAC-technique) [3]:
~ = v + x(v(vXx + v"yy )- Div(YYr )).
p(+l) = p(s) + a(div(x grad (p-1p(s+l) +ф))-div ~). (27)
v = ~ -т grad (p-1 p + ф). где Div(abr)= a div b + ia(b,grad aa) - дивергенция тензорной диады abr;
a = aaia . b = baia ( i1 = i . i2 = j . i3 = k ).
Подбором специальной системы координат стремятся добиться отображения на область сложной формы в физических координатах (x1,x2,...,xn) области простой формы в расчетных координатах (і;1,;2,...,) и (или) адаптации координатных линий и поверхностей к решению (помимо границ области). Быбором локального базиса стремятся добиться в выражении свойств решений и граничных условий (особенно 2-го и З -го родов, содержащих пространственные производные) покомпонентной селективности.
Бведение системы координат в n-мерном пространстве - это сопоставление каждой точке n чисел (координат). Быбор локального базиса - это сопоставление каждой точке n2 чисел (по n компонент для каждого из n локальных базисных векторов). То есть для одной и той же системы координат может быть указано кон-тинуумальное множество различающихся направлениями локальных базисов. Особое место занимают контравариантный и ковариантный локальные базисы. Как известно [2]. j-й контравариантный локальный базисный вектор eнаправлен касательно к j-й координатной линии, а j-й ковариантный локальный базисный вектор e1 направлен нормально к j-й координатной поверхности. Тем самым, j-я кон-травариантная компонента v1 вектора v пропорциональна потоку вектора v через элемент j-й координатной поверхности, а j-я ковариантная компонента Vj вектора
v пропорциональна работе вектора v по элементу j-й координатной линии. Физические закономерности, формулируемые в терминах циркуляций и потоков, вследствие этого приобретают особую наглядность при разложении векторных (и тензорных) величин по контравариантному или ковариантному локальным базисам.
Для случая n=2 (x1 = x. x2 = y. ;1 = ; . ;2 = ^ ) приведем выражения друг через друга декартовых
u = Х^У1 + ХЦу2 = £ ХУ1 + Ц ХУ2 = 7 1(vлv1 - ^2)> (28)
v = У^у1 + УЦу2 = £ УУ1 + Ц УУ2 = 7 _1(х5У2 - ХЦУ1)’ (29)
контравариантных
у1 = £ Хи + £УУ = 7 _1(УлМ - ХЦу) = 7^ (§22У1 - §12У2) >
у2 = ЦXй + Ц'уУ = 7^1(х£У - У£и) = 7- (^11У2 - ^12У1)
и ковариантных компонент вектора скорости
V = х’еЫ + у^У = ЯцУ1 + Я12У2 ,
У2 = ХЦи + УЦУ = &12у1 + Я22у2>
где 7 = х£уЦ - хЦу£ - якобиан преобразования координат;
£п = Й)2 + (у^)2 > ^12 = X,ХЦ+у£уЦ > §22 = (хЦ)2 + (уЦ)2 - компоненты метрического тензора.
Тогда выражение для вихря в криволинейных координатах (£,, ц) через декартовы (и, у) , контравариантные (у1, у2 ) и ковариантные (у , у2 ) компоненты вектора скорости V примет вид:
® = иУ -^ = 3 1((х^м + уЙл - (хли + Улу) ) =
= 3 ^1 )л -(у2 \ ]= 3 + #12У2 )л -(?12^ + #22^ \ ] •
Аналогично, уравнение неразрывности (8) может быть представлено одним
из видов
< + vy = - x;v) +kv - уйл )=-/^(v )= +(jv 2 ^ )=
= •/_1((/_1(g22v1 - gl2v2^ + (j 1 (gl1v2 - gl2v1 ))л ] = 0 . (30) По физическому смыслу функции тока [1]
у = Jv1, у = -Jv2 . (31)
Действительно, в этом случае выражения (13), представленные в виде
vy = J^Йу'л - xW0 = u ’ vx = J-1(v;y’n-Vr]y'e)=-v >
оказываются эквивалентными (28) и (29).
Уравнение (15) представляет собой уравнение для скалярной функции у. Поэтому его вид инвариантен относительно разложения векторных (и тензорных) величин по декартову, контравариантному или ковариантному базисам:
(j~1(?22У-Я^У'Д +(j-1(^11Ул -= Jro .
Пусть система координат 5,1 = \ , £,2 = ^ введена (не исключается случай и декартовой системы координат 5,1 = x, £,2 = у). Точка пересечения координатных линий (при n=2 совпадающих с координатными поверхностями) £,г- =£,0 + ih^ = const
и "Л j = Л0 + j'h = const (h^= const, кц = const - шаги вдоль координатных направлений £ и л ) представляет собой узел (г, j) расчетной сетки j) h j eZ, 1 < г < N, 1 < j <M}. Отрезки, соединяющие узел (г, j) с узлами (г, j +1) и (i +1, j), - ребра (совпадающие с гранями) (г, j +1) и (г + -1, j) соответственно. Четырехугольник с вершинами в узлах (г, j), (г +1, j), (г +1, j +1), (г, j +1) - ячейка ( +1, j +1). Значения сеточных функций, относящиеся к узлам, ребрам-граням и
ячейкам, будем снабжать индексами соответствующих узлов, ребер-граней или ячеек.
Например, при задании декартовых компонент и и v вектора скорости v на гранях вида (г, j +1) и (г +1, j), соответственно, декартовой сетки, а сеточной функции тока у в ее узлах и использовании для выражений (13) аппроксимаций
Ui,j+\ = (Уг, j+1 -V>,J Vj - yj ), V,+\,j =-(Уг+1,./- ~V.,J V(xг■ +1 - X ) (32)
сеточное уравнение неразрывности (8)
(yj+1 - yj h+1, j+1 - U г, j+1)+ X+1 - )(Vг+i j+1 - V+i j )= 0 (33)
удовлетворяется тождественно [3].
Аппроксимация вихря следующим образом заданного значениями в узлах:
“г, j =k j+2 -j )/\yj+1 - У j-1 )-(v,+j - Vj—X ^2 - *-1), (34)
где Хг+1 = 2 (хг + X+1) > У j+1 = 2 (Уj + У; +1 )>
обеспечивает справедливость на сеточном уровне формулы Стокса [1]:
ЦоаХаУ =-|(v, dl) (35)
G дО
в смысле следующего интегрирования по площади (суммирования по узлам)
X Jг, j “г, j ’ (36)
(г^')
где =(хг+1 - Хг - 1 Ь+1 - У - * ).
Подставляя в (34) выражения (32), получим сеточное уравнение (15) для функции тока. В сумме X Jу-юг- j могут быть выделены подсуммы
(г, j) , , ,
С........... л2 г........... л2
Vi, 1+1 - Vi, j
-У j Ti,j+L Ti,j и - У J 1
, У^ i, 1 +1 ,у, i +1
(i,j+і) 2 І У;+1 У; J (i+^, j) 2 ^ ^+1
Vi+1,1 - Vi,.
где Зг,} +1 = 1Хі+1 - Хі-1 &+1 - У! )> +1 у = (хі+1 - Хі )(у,+1 - У]-1
знакоопределенность которых означает знакоопределенность оператора сеточного уравнения для функции тока (15).
Традиционными в гидродинамике являются задание на границе значений компонент вектора скорости (условия прилипания), проекции вектора скорости на нормаль к границе или потока (в частности, условия непротекания), вязких напряжений (в частности, условия скольжения без трения), вязких напряжений как функций компонент вектора скорости (условия скольжения с трением).
Естественными для уравнения (15) оказываются граничные условия, получающиеся подстановкой вместо компонент вектора скорости производных (13). Однако в случае задания на границах компонент вектора скорости или потоков, а сеточной функции тока - значениями в узлах, граничные условия для функции тока могут быть сведены к граничным условиям первого рода в силу (31), что обеспечит более быструю сходимость уравнения (26).
Криволинейная сетка
На криволинейной сетке в сеточном уравнении неразрывности для ячейки ( + -1, у +1) подобно (33) также можно обойтись использованием только контра-
вариантных компонент V1 на гранях (', у +*) и только контравариантных компонент V2 на гранях ( + -1, у) (в угловые скобки будем заключать аппроксимируемые выражения):
М-*'),+и+1 - <Л' +* + МЛ' %+*.у+, - Мл'2),+и = 0- (37)
Собственно, под ячейками будем понимать элементы сетки, для которых (и именно для которых) предполагается выполнение (или нарушение) уравнения неразрывности. То есть, если уравнение неразрывности выполняется для иных областей, чем ячейки сетки, то рассматривается сетка, для которой эти иные области и будут ячейками, если такая существует. Точнее говоря, криволинейная сетка строится, и для ее ячеек, какими бы они ни получились, рассматривается вопрос о выполнении уравнения неразрывности.
Следующие выражения названных компонент V1 и V2 на гранях (, у + -*) и
( + *, у) соответственно через значения сеточной функции тока у в узлах
= )«■, у+1 = У,у+1 - У,у, (38)
2),+^ = М"У )«+1 у = Уу "У+1,у (39)
также подобно (32) обеспечивают тождественное выполнение уравнения неразрывности (37). Тем самым требование тождественного выполнения уравнения неразрывности для ячейки ( + *, у + -1) влечет задание сеточной функции тока своими значениями в узлах (см. (38), (39)). Вопрос существования иных выражений вида (38) и (39), обеспечивающих тождественное выполнение уравнения неразрывности (37), открыт. Возможно, их не существует. Возможно, нужно изменить взгляд на нотацию уравнения неразрывности (37).
В случае прямолинейных прямоугольных координат декартовы, контрава-риантные и ковариантные базисные векторы сонаправлены. Тем самым, контрава-риантная V1, ковариантная V* и декартова и компоненты могут быть выражены только друг через друга. Аналогично, и контравариантная V2, ковариантная ^ и декартова V компоненты. В случае криволинейных координат для выражения компоненты одного типа требуются обе компоненты другого типа. Например, для выражения каждой из контравариантных компонент V1 и V2 требуются обе декартовы компоненты и и V:
где
^= ///’* “/>/ ,
2)/, * = /, *У/,* -^ *
и наоборот:
/ х0/,Л(3 + Лп(хП>/, Л(3 ")/, ,)/(//’*Лг;Лл), (40)
у/, * -(^(у£)/,М3у + ^0/, ,)/(-7/’ АО’ (41)
3/’*\\ -х)/,*(уп )/, * _(хп )/, *^/,* ’
Чх0/, * - +2 * - х/-2,* , кМ)/* - У/+ 2,* - У/-2* ,
йл(х^/,* - х/, *+^- х/, * - ^, иц{у1) / * - у/, *+,- у/, * - ,,
(/, *) - индекс узла, ребра, грани или ячейки сетки, в зависимости от того, на каком из перечисленных элементов происходит преобразование компонент (при этом, если какая-то из компонент на соответствующем элементе не задается, то используется некоторый сеточный проектор с вытекающими последствиями несогласованности размерностей сеточных пространств образа и прообраза, вопроса существования проектора обратного преобразования, утраты выполнения для образа выполнявшихся для прообраза на сеточном уровне каких-то физических закономерностей и т.п.), и, например, сеточные проекторы:
Хі+1 і+1 = 1 (Хи + Хі,і+1 + Хі+1,і + Х+1,і+1) , У+1 і+і = 7 У І + Уі, і+1 + Уі+1,1 + Уі+1,1+1) •
Уi+11+1 - 7 У 1 + Уи 1+1 + У1+1,1 + Уi+1,1+1)
Поскольку требование тождественного выполнения уравнения неразрывности (37) повлекло задание сеточной функции тока в узлах (38)-(39), то для получения сеточного уравнения (15) рассмотрим контур, охватывающий узел (,, ]). То есть сеточный вихрь также можно считать заданным значениями в узлах. При этом если контур составлен из дуг координатных линий, то можно обойтись заданием только ковариантных компонент у на дугах 1-го координатного направления и только ковариантных компонент у2 на дугах 2-го координатного направления. Например, простым суммированием по узлам сетки, аналогичным (36), выражения:
(■Н-А^п- ,, 1+1- ^Ы, 1 -1- КЬ),+1,1 + %Ыг-1,1
на сеточном уровне обеспечивается справедливость формулы Стокса (35).
Используя следующие выражения для сеточных ковариантных компонент через декартовы:
М у1> ,,1+1 - М х0 ,,1+1 и,,1+2+Ч у0 ,,1+1 +1;
^Ы+- к{х'п),+1,1й,+1,1 + к{уп),+1, /,+12,1,
выражения декартовых компонент через контравариантные (40) и (41), а также дополняя (38) и (39) выражениями недостающих на гранях контравариантных компонент через функцию тока (сеточными проекторами):
Ч72)иц = 4“^)і,і+1 = 1 (У'-1,і -Уі+1,і + У'-1і+1 +1,і+1),
")г+У = і+і і = 1 ^+1 -'¥‘,і-1 +¥'+1,і+1 -Ц,і+1і-1) ’
получим сеточное уравнение (15):
(7- ЯнУТД +(3 ^(япУ'т - ЯпУД ) ^т = (7®}к Д^Т • (42)
где (7-1(Я22^^ -ЯнУТД +(7- (£пУТ -ЯнУгД ) ЬК =
= с(7)Уі-1, і-1+с(Г-0)^г-1, і + 4-+)Уі-1, і+1+4°^, і-1 +
+ С^Уі, і + С(°+)Уі; і+1 + 4+у-)Уг+1, і-1 + 4+0 V*+1, і + с[у+)^г+1, і+1•
Сн = -с(1? - с(12)! , сі = с(22 - с(12)! + с(12)! = с(22 + с(--) + с(-+,
^ г -\,і і,і - | ',■* і - і2,і *,і - 1 *,і+1 1 - іі
с(-+) = с(12) + с(12) , , с(°т) = с(11). - с(12 + с(12 = с(11). + с(-г) + с(+-),
^ і - іі *,і+V ^ і,і - і і - 2,і і+іі *,і - 2 ',-> ',->
с7) = с(12)! + с(121 , = с(11)! + с(^ - с(121 = с(11)! + с(-,+ ) + 4++),
^ *,і -1 і+іі г,і+1 г -\,і 1+іі *,і+1 ,] ,]
с(++) = -с(12\ - с(12) , СН = с(22) + с(12\ - с(і2) , = с(22) + С7) + с(++,
і^ і,і+і і+іі ’ ^ і+іі і,і - і і,і+^ і+іі і^ і,і ’
СУ2 = £и/ /,/'^'т / (7 /,*ґ%"т
/.?=к їи> /ДуМл) •
і 1 =0 • С(”)і = Ы^Л2/7 іЛ'Ф ° •
,(°°)=-С(22) - С(11) - С(11) - С(22) =-С(-°)- С(°-)- С(°+)- С(+0). і,і = Сі-2і Сі,і-1 с/,і+2 Сі+іі = С/,і Сі,і Сі,і С/,і ■
= -С(—) — С(-°) - С(-+) - С(°-) - С(°+) - С(+-) - С(+°) - С(+ + ) < ° с/,і сі;і Сі,і і,і і,і Сі,і і,і Сі,і < ° •
(Я1^і,і+1 ^^2 = Л^2(х0г,і+1 + %{у0и+1
(«1^ = Чх0/,^Лл(Х0/,, + ЧуО/,Л(уО/ж
(^2^і+1,і^Т| = ^Г|(Х0г+1 і + ^{Уч)і+1 і •
’22/і+“Т "Т\ХТ/1+1,і + V і+і,і
В сумме ХУгі(7ю) Ь^ИТ могут быть в^іделен^і знакоопределенные подсум-
(і,і) , і,і
мы - X С11+1 (Уі,і+1 -Уі^^ и - X С+і у (у/+1 і - V; і ^ , но при этом подсуммы
(і,і+, 2 (і+іі) 2,
X ("С!+;1,і+1 - Сі(+:ї),і')(Уі,іУі,і+1 - V/+1,іУг+1,і+1),
(і+^,і-+^2і 2і;
X ІС!+и+1 - Сїї 1 ^(Уі,і V;+1,і - Уі,і+1Уі+1,і+1) •
(і+2,і+^ '2 ^'2
Х (cj 1 + c!+f j + ci(+1?,j+1 + c(+2)j+і^(Vi,j+iVi+i,j -Vi,jVi+1,1+1)
отсутствуют только на сетках специального вида, то есть на произвольной криволинейной сетке оператор (42) не обладает знакоопределенностью.
В дальнейшем предполагается показать влияние нарушения на сеточном уровне формулы Стокса (35) и (или) уравнения неразрывности (30), (37), знакоопределенности оператора для функции тока (42), сеточных проекторов преобразования декартовых, контравариантных и ковариантных компонент друг в друга и сравнить результаты решения с результатами решения задачи в естественных переменных на тех же криволинейных сетках.
Безусловно, можно утверждать следующее. В тех случаях, когда граничные условия для функции тока могут быть сведены к условиям 1 -го рода, будет наблюдаться более быстрая сходимость процесса установления решения для функции тока (26) по сравнению с процессом установления решения для давления (27). При спрямлении криволинейной сетки к прямолинейной прямоугольной шаблон оператора (42) превращается в шаблон «крест» на узлах ((+1, j). (i, j). ((, j + і). Это подавляет возникновение таких флуктуаций в решении, как в случаях, когда шаблон спрямляется до шаблона «крест», но охватывающего узлы (i, j). ((+1, j + і). В эти
случаях множество узлов распадается на два подмножества узлов, расположенных в «шахматном» порядке, решения на которых могут оказаться не связанными между собой, либо связанными опосредованно. Но и в том, и в другом случае решения могут различаться между собой вследствие развития подсеточных процессов [4].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 5-е, перераб.- М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1978.- 736 с.
2. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд. 9-е.- М.: Наука, 1965.- 428 с.
3. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / Пер. с англ.- М.: Мир, 1980.- 616 с.
4. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т. Пер. с англ.- М.: Мир, 1991.
С.П. Вовк
СИТУАЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ РИСКОМ ПРЕДПРИЯТИЯ
Управление рисками предприятия состоит в предвидении и уменьшении негативных последствий неопределенности ожиданий. Как известно, факторы, влияющие на прибыль, подразделяются на производственные и финансовые и, соответственно, выделяют области действия финансового и производственного рычага.
Операционный рычаг связан с управлением себестоимостью. Он создает потенциальную возможность для влияния на балансовую прибыль путем изменения объема выпуска продукции и оптимизации структуры общих затрат.
Финансовый рычаг связан с решениями о финансировании. Создает возможность влиять на чистую прибыль путем варьирования соотношения собственных и заемных средств.
Рискованность менеджмента определяется уровнем левериджа, т.е. степенью изменения прибыли в зависимости от выбора того или иного управленческого решения. Высокий уровень левериджа возникает, если существует повышенный риск:
1) оказаться в убытках (предпринимательский риск ROS);
