Динамическая устойчивость моделей в отсутствие и при наличии падающей ударной волны в набегающем сверхзвуковом потоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

№ 295

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Февраль

МЕХАНИКА

2007

УДК 533.6.011

Ф.М. Пахомов

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ МОДЕЛЕЙ В ОТСУТСТВИЕ И ПРИ НАЛИЧИИ ПАДАЮЩЕЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В НАБЕГАЮЩЕМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

Приводятся результаты решения четырех задач: 1) взаимодействие затупленного по сфере конуса с потоком за падающей на обтекаемое тело плоской ударной волной при фиксированном угле атаки; 2) взаимодействие с потоком за падающей ударной волной с учетом поворота модели относительно центра тяжести под действием аэродинамической силы; 3) исследование динамической устойчивости модели в невозмущенном набегающем сверхзвуковом потоке; 4) исследование зависимости динамической устойчивости модели от положения центра тяжести.

Современное состояние проблемы входа и движения летательных аппаратов в атмосфере Земли подразумевает изучение нестационарных аэродинамических характеристик движущихся тел при различных возмущающих факторах.

Так, нестационарная задача взаимодействия ударной волны в набегающем сверхзвуковом потоке с летательным аппаратом представляет исключительно важный практический интерес. В осесимметричном случае на примере обтекания полусферы она решена в [1]. В данной работе рассмотрен случай взаимодействия ударной волны с затупленным по сфере конусом (моделью спускаемого космического аппарата) при наличии угла атаки, причем кроме классической постановки задачи, когда ориентация обтекаемого тела относительно набегающего потока не меняется, учтено изменение угла атаки за счет поворота обтекаемого тела относительно центра тяжести под действием аэродинамической силы. Для сравнительного анализа приводятся также результаты динамики тела в невозмущенном набегающем сверхзвуковом потоке.

Дело в том, что при проведении исследований различных нестационарных процессов приходилось останавливаться на фразе «данное изменение аэродинамических характеристик может привести к ухудшению (улучшению) динамической устойчивости движения моделей». Желание ответить на подобные вопросы заставило предложить к использованию простейшую математическую модель поворота обтекаемого тела относительно центра тяжести в плоскости тангажа под действием аэродинамической силы.

Как показывают приведенные ниже результаты, использование предложенной модели позволило, пусть, может быть, и грубо, оценить динамические свойства обтекаемых тел.

1. Постановка задачи и метод решения

Положенная в основу моделирования система интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии для некоторого объема G(t) невязкого совершенного газа, ограниченного поверхностью ), в декартовой системе координат х, у z имеет вид [2]:

д

— ЛУ р СхсСуСг = р(у - ю, п)й 8,

дг

ЛУ р vdxdydz = (^У [и + ру(у — ю, и)] С 8,

д

— У|Ур edxdydz = $ [ _р(у, п) + рв(у - ю, п)] ^ 8,

1,о 1 Р

е = и + - V" , и =-------.

2 у-1 р

Здесь t - время; р - плотность; Р - давление; е - удельная полная энергия; V - скорость среды; и - удельная внутренняя энергия; ю - скорость смещения границы Е; п - внутренняя нормаль к поверхности £; у - постоянный для всего поля течения показатель адиабаты; G - область течения, ограниченная головной ударной волной, на которой задавались соотношения Рэнкина-Гюгонио поверхностью обтекаемого тела, где задавалось условие непротекания, и замыкающей поверхностью у донного среза тела, где выставлялись мягкие граничные условия сноса параметров течения вниз по потоку.

Определяемые газодинамические функции представляют собой безразмерные величины: компоненты скорости отнесены к максимальной скорости набегающего потока утахк; плотность - к плотности набегаю-

щего потока рк; давление - к величине рюУтахю ; линейные размеры - к радиусу сферического затупления конуса

Представленная система уравнений газовой динамики с соответствующими начальными и граничными условиями решалась конечно-разностным методом С.К. Годунова первого порядка точности по независимым переменным [2]. Введением подвижной расчетной сетки достигалось явное выделение головной ударной волны. Другие поверхности разрыва, возникающие в ударном слое, явным образом не выделялись.

Все приводимые ниже результаты получены на разностной сетке, содержащей 24000 ячеек: 40 интервалов по обводу тела; 20 интервалов поперек ударного слоя и 30 секторов по меридиальному углу от 0 до п.

С/

д

и

2. Взаимодействие ударной волны с фиксированным обтекаемым телом

В качестве начальных данных здесь и далее использовались газодинамические параметры сверхзвукового (Мс = 5, у = 1,4) стационарного обтекания затупленного по сфере конуса с углом полураствора 45° и радиусом донного среза Я0 = 2,5Я0 под углом атаки 10°. Контур обтекаемого тела и положение головной ударной волны (кривая 1) представлены на рис. 1.

Рис. 1. Картины обтекания модели:

1 - t = 0 и t = да; 2 - F = max

Наличие ударной волны в набегающем потоке моделировалось плоскостью, нормаль к которой совпадает с вектором скорости набегающего потока, а газодинамические параметры слева и справа от нее удовлетворяют основным законам сохранения [2]:

[р] •D - [pu ] = 0,

[ри ]• D -[ P + ры2 ] = 0,

[pe]-D — [pue + Pu ] = 0,

1 P u2

e =-------+ —.

Y-1 P 2

При записи использованы традиционные обозначения: р - плотность; P - давление; и - нормальная компонента скорости; e - удельная полная энергия; D - скорость движения разрыва.

В качестве параметров справа от разрыва брались параметры невозмущенного сверхзвукового потока и

M

при заданном значении D = Vm —— (M = 7) путем

M

решения выписанной системы уравнений определялись параметры слева от падающей ударной волны. Выбор корня квадратного уравнения относительно скорости за скачком осуществлялся путем решения задачи распада соответствующего разрыва.

Момент перехода точки (хв, y), лежащей на головной ударной волне, через поверхность разрыва определялся по смене знака у значения ориентированного расстояния до плоскости разрыва 5:

8 = xв cos а + yв sin а - x0 cos а, x0 = xó + Dt cos а, x0 =-0,5.

Здесь а - угол атаки; t - время; х0 и х0 соответственно текущая и начальная координаты пересечения падающей ударной волны оси х.

На рис. 2 представлены зависимости от времени осевой силы Fa (1) и коэффициента центра давления CD (2).

0 2 4 6 I

Рис. 2. Аэродинамические характеристики модели в процессе взаимодействия с падающей ударной волной при фиксированном угле атаки: 1 - ГА; 2 - 0о

На рис. 3 - зависимости нормальной силы (1) и

момента вращения Мг (2) относительно точки с координатами (1,5; 0; 0), выбранной в качестве центра тяжести обтекаемого тела.

л

2 А в Ь

Рис. 3. Аэродинамические характеристики модели в процессе взаимодействия с падающей ударной волной при фиксированном угле атаки: 1 - 2 - М2(хцТ)

Анализ кривых показывает, что осевая сила ГА в процессе взаимодействия тела с падающей ударной

волной резко и значительно возрастает, достигая максимального значения, и затем, несколько уменьшаясь, выходит на стационарное значение. Положение головной ударной волны на момент достижения максимума осевой силой изображено кривой 2 на рис. 1. В этот момент головной скачок находится гораздо ближе к обтекаемому телу, что приводит к более сильному сжатию газа в ударном слое, чем в период последействия, когда положение установившейся головной ударной волны с точностью до графика совпадает с кривой 1, отвечающей обтеканию невозмущенным потоком.

Наличие максимумов в зависимостях ^ и М можно объяснить тем, что падающая под углом атаки ударная волна сначала взаимодействует с наветренной стороной обтекаемого тела. Значительно большие абсолютные значения ^ и М2 в период последействия по сравнению с обтеканием невозмущенным потоком обусловлены более высоким скоростным напором потока за ударной волной.

Локальный минимум в зависимости М^(0 связан с тем, что в начальные моменты времени возмущенный падающей ударной волной набегающий поток взаимодействует с носовой частью обтекаемого тела, увеличивая отрицательную составляющую суммарного момента вращения относительно центра тяжести.

Повышенная нагрузка на носовую часть в начальные моменты времени находит свое отражение и в зависимости СЬ(^). Она свидетельствует о том, что точка приложения суммарной аэродинамической силы сначала смещается к передней точке тела и затем, в период последействия, возвращается в свое исходное положение. При этом запас статической устойчивости, определяемый как разность хцТ - СоЬ в процессе взаимодействия не меняет знак, что является определяющим фактором для динамической устойчивости обтекаемого тела.

3. Динамическая устойчивость модели при взаимодействии с падающей ударной волной

Динамически устойчивой модель называется в том случае, если в процессе свободного движения она восстанавливает нулевой угол атаки. В основу математического моделирования вращения модели относительно центра тяжести под действием аэродинамической силы положено уравнение r0 da = -Vdt, связывающее изменение угла атаки а со скоростью перемещения точки приложения суммарной аэродинамической силы V.

Здесь r0 = хц0 - хцТ - разность между координатой центра давления хц0 = CoL (CD = CMz (0)/CN - коэффициент центра давления; CM^ (0) - коэффициент момента тангажа относительно передней точки тела; CN -коэффициент нормальной силы; L - длина модели) и координатой центра тяжести.

В предположении равноускоренного движения центра давления V = V + at, где a - ускорение, которое определяется как отношение силы F к массе тела m (a = F/m). Силу F можно определить, зная момент вращения относительно центра тяжести Mz(x^ и плечо, совпадающее с r0, F = Mz(x^)/r0.

Суммируя вышеизложенное, приведем расчетные формулы для определения значения угла атаки на новом временном слое:

а = а

Vt+1 = V0 + ak At k,

( xaT \ p«

a =-

Все величины, входящие в формулы, являются безразмерными кроме р» - плотности набегающего потока и рт - плотности обтекаемого тела. Множитель 3 в выражении для ускорения обусловлен вычислением объема обтекаемого тела по формуле О = 3 £0Ь, где S0 -

площадь донного среза.

Таким образом, наряду с определением параметров течения в ударном слое, определяется изменение угла атаки в результате вращения модели в плоскости тангажа под действием аэродинамической силы.

На рис. 4 представлены зависимости от времени осевой силы ГА (1) и коэффициенты центра давления ^ (2).

Рис. 4. Аэродинамические характеристики модели в процессе взаимодействия с падающей ударной волной с учетом поворота тела в плоскости тангажа: 1 - ГА; 2 - Со

На рис. 5 - зависимости нормальной ^ (1), момента вращения относительно центра тяжести М (2) и угла атаки в градусах а (3) при взаимодействии с потоком за падающей ударной волной. Задача решалась при следующих значениях определяющих параметров: М» = 5; Мв = 7; У = 1,4; ао = 10 ; У0° = 0; хцт = 1,5; уцт = ^цт = 0; рт = 2100 кг/м3 (углерод). Целесообразно привести также численные значения безразмерных параметров газа перед падающей ударной волной и за ней: V» = 0,913; Р» = 0,024; р» = 1; Кв = 1,141; Рв = 0,107; рв = 2,667; В = 1,278.

При вычислении сил и моментов считалось, что донное давление совпадает с давлением за падающей ударной волной Рв = Рв, размерное значение плотности в невозмущенном потоке равна плотности воздуха на высоте 5000 м, р» = 0,735 кг/м3.

1

X \

г \\ и \ Ж2

25 ¿>1 'С 45 ^ 2.

Рис. 5. Аэродинамические характеристики модели в процессе взаимодействия с падающей ударной волной с учетом поворота тела в плоскости тангажа: 1 - ^; 2 - М2(хчг); 3 - а

Анализ поведения кривых на рис. 4, 5 показывает резкое и значительное изменение всех аэродинамических характеристик (кроме угла атаки) в начальные моменты времени. Поскольку угол атаки в эти моменты времени меняется незначительно, для детального анализа изменения аэродинамических характеристик можно воспользоваться данными на рис. 2, 3, соответствующими взаимодействию падающей ударной волны с фиксированным под углом атаки а = 10° обтекаемым телом.

В дальнейшем, вследствие уменьшения угла атаки в результате поворота тела, уменьшаются нормальная сила и момент вращения. Осевая же сила выходит на постоянное стационарное значение.

При переходе через ноль нормальная сила и момент вращения меняют знак, но не одновременно. В результате зависимость коэффициента центра давления дважды терпит разрыв второго рода. Данное обстоятельство приводит к незначительным колебаниям угла атаки в окрестности нуля.

Далее угол атаки уменьшается, принимая отрицательные значения, и достигает минимального значения, модуль которого в три с лишним раза меньше начального значения. Затем угол атаки увеличивается и, оставаясь отрицательным, асимптотически приближается к нулю. Соответствующим образом ведут себя зависимости нормальной силы и момента вращения. Зависимость коэффициента центра давления после резких колебаний выходит на постоянное стационарное значение, равное своему значению при ґ = 0.

Таким образом, несмотря на резкие и значительные перемещения центра давления, тело, обладающее достаточным запасом статической устойчивости, сохраняет и динамическую устойчивость даже при взаимодействии с падающей ударной волной.

4. Динамическая устойчивость модели в невозмущенном набегающем потоке

Для сравнительного анализа было проведено исследование динамики вращения тела в плоскости тангажа при невозмущенном набегающем потоке.

На рис. 6 и 7 приведены зависимости от времени аэродинамических характеристик, соответствующих рассматриваемому процессу.

Определяющие параметры задачи и соответствие кривых те же, что и в разделе 3.

2

-

2 , |[ \ ——* 2

- 1 Л

1

О 400 200 300 -ь ^00

Рис. 6. Аэродинамические характеристики модели при движении в невозмущенной среде с учетом поворота тела в плоскости тангажа: 1 - ГА; 2 - Со

Рис. 7. Аэродинамические характеристики модели при движении в невозмущенной среде с учетом поворота тела в плоскости тангажа:

1 - ^ ; 2 - М(хцт); 3 - а

Характер изменения аэродинамических характеристик тот же, что и в случае взаимодействия с падающей

ударной волной. Отличие состоит в том, что коэффициент центра давления терпит разрыв большее число раз в соответствии с большим числом неодновременной смены знака у нормальной силы и момента тангажа и несколько большей амплитудой колебания угла атаки в окрестности нуля.

Основное отличие заключается во времени релаксации процесса колебания тела, которое в случае обтекания невозмущенным потоком примерно в 4 раза больше, чем при взаимодействии с потоком за падающей ударной волной. Это объясняется большой разницей между плотностями и давлением в набегающем потоке в этих случаях (сравни безразмерные параметры, приведенные в разделе 2). Чем плотнее газ набегающего потока и больше давление в нем, тем меньше время релаксации колебаний обтекаемого тела.

Приведем физические интервалы релаксации в обоих случаях. Если принять скорость звука в воздухе равной 340 м/с, а радиус сферического затупления тела Я0 = 0,5 м, время релаксации в невозмущенном потоке составит 0,1 с, а при взаимодействии с падающей ударной волной 0,025 с.

5. Динамическая устойчивость модели удаленного конуса в зависимости от положения центра тяжести

Модель, исследованная в разделах 3 и 4, представляющая собой затупленный по сфере конус с достаточно большим углом наклона образующей, заранее обладает большим запасом статической устойчивости при практически любом разумном расположении центра тяжести. Интерес представляет решение поставленной задачи в случае обтекания удлиненного конуса с относительно малым углом наклона образующей, когда положение центра тяжести может варьироваться в достаточно широком диапазоне.

С этой целью в качестве примера был выбран затупленный по сфере конус с углом полураствора 15° и с тем же, что и для первой модели, радиусом донного среза Я0 = 2,5Я0. Таким образом, длина второй модели составила Ь « 6,5Я0. Все определяющие параметры взаимодействия данной модели с ударной волной в набегающем сверхзвуковом потоке совпадают с параметрами раздела 3, соответствующими исследованию динамической устойчивости первой модели. Отличие заключается в том, что в качестве начальных данных использовались параметры течения, соответствующие сверхзвуковому обтеканию модели под нулевым углом атаки, а не под углом атаки в 10°, как это было в разделе 3.

В верхнем правом углу рис. 8 приведены контур обтекаемого тела с различными пронумерованными положениями центра тяжести и положение ударной волны при осесимметричном обтекании. Здесь же приведены зависимости угла атаки от времени при различном положении центра тяжести модели. Кривая 1 соответствует динамике поворота модели при ее взаимодействии с потоком за падающей под углом атаки ударной волной при координате положения центра тяжести хцТ = 2Я0, кривая 2 - хцТ = 4Я0 и кривая 3 - хцТ = 5Я0.

В случае значительного запаса статической устойчивости (кривая 1) угол атаки монотонно уменьшается, избегая колебаний в окрестности нулевого значения, принимает отрицательные значения в силу инерции обтекаемого тела и достигает минимального значения а = -0,5° за безразмерное время А? « 200.

В случае смещения центра тяжести к донному срезу (уменьшение запаса статической устойчивости) модель приобретает большую маневренность, вследствие чего время релаксации уменьшается примерно вдвое. При этом (кривая 2) в начальные моменты времени вследствие взаимодействия ударной волны на носовую часть модели она начинает опрокидываться (увеличение угла атаки), но в результате того, что центр тяжести модели оказывается левее центра давления, при воздействии ударной волны на ее кормовую часть угол атаки начинает резко уменьшаться. В окрестности нуля, в силу особенностей в перемещении центра давления (аналогично тому, как это было для первой модели в разделе 3), наблюдается незначительное колебание угла атаки со сменой знака. Затем, проскакивая по инерции нулевой угол атаки, модель поворачивается другой стороной к потоку с амплитудой а « -4° и в дальнейшем довольно быстро восстанавливает нулевой угол атаки.

И, наконец, динамическую неустойчивость модели иллюстрирует кривая 3 на рис. 8. В этом случае центр тяжести модели оказывается правее центра давления и в результате ее взаимодействия с потоком за падающей ударной волной угол атаки очень быстро и монотонно возрастает (модель опрокидывается).

значениях координаты центра тяжести удлиненной модели

Таким образом, представленные результаты указывают на возможность оценки динамических свойств некоторых моделей летательных аппаратов в рамках вычислительного эксперимента с использованием достаточно простой математической модели вращения тела в плоскости тангажа.

***

Предложенный алгоритм учета изменения угла атаки в результате вращения обтекаемого тела под дейст-

вием аэродинамической силы позволил исследовать динамическую устойчивость моделей как при наличии падающей ударной волны в сверхзвуковом потоке, так и при ее отсутствии.

Показано, что тело, обладающее достаточным запасом статической устойчивости, сохраняет способность восстанавливать нулевой угол атаки даже при столкновении с падающей ударной волной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Каменецкий В.Ф., Турчак Л.И. Сверхзвуковое движение тела в газе с ударными волнами // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 5. С. 141-147.

2. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.

Статья представлена кафедрой физической вычислительной механики механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Механика и астрономия» 12 декабря 2006 г., принята к печати 19 декабря 2006 г.