CC BY
36
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
энергетики. Разработка методики для комплексной 2. оценки технического состояния всей номенклатуры электрооборудования является первой ступенью в переходе от системы ППР к системе обслу- 3. живания по фактическому состоянию.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Лукьянов А.В. Управление техническим со- 4. стоянием роторных машин (система планово-диагностического ремонта). - Иркутск, Изд. ИрГТУ, 2000. - 230 с. 5.
Объём и нормы испытаний электрооборудования. - 6-е изд. перераб. и доп. РД 34.45-51.300-97.М.: Изд. НЦ ЭНАС, 2001. Методические указания по диагностике развивающихся дефектов по результатам хромато-графического анализа газов, растворённых в масле силовых трансформаторов. РД 34.46.302-89. М.: ВНИИЭ, 1989. - 28 с. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применения к принятию приближенных решений. - М: Мир, 1976. - 165 с. Ротштейн А.П. Медицинская диагностика на нечёткой логике. Винница: Континент.
Гоппе Г.Г.
УДК 681.51
ДИНАМИЧЕСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОТОКА ЖИДКОСТИ В КОМПЛЕКСЕ ТУРБОМЕХАНИЗМ -ТРУБОПРОВОДНАЯ МАГИСТРАЛЬ ПРИ ДВУХ СПОСОБАХ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬЮ
Общие положения
Потоки жидкостей и газов, транспортируемых по трубопроводным магистралям, представляют большой интерес с точки зрения управления. Известно, что причиной движения потоков является действие сил тяжести или давления, создаваемого насосами, вентиляторами, компрессорами. Транспортируемые продукты в технологических производствах ограничены емкостями, аппаратами, трубопроводами.
Взаимосвязь между действующими силами и характером движения потоков продуктов определяется как свойствами последних, так и геометрической формой, размерами аппаратов и характеристиками установленной арматуры. Обычно причиной движения потоков продукта являются силы давления, а само движение - следствие давления. Однако само движение также может выступать в качестве причины, а давление как следствие. Этим подчёркивается то обстоятельство, что поток и давление неразрывно связаны между собой и ре-
гулировать их независимо друг от друга при неизменных параметрах коммуникаций и технологических аппаратов невозможно.
В то же время известно, что трубы, задвижки и другие устройства оказывают сопротивление движению продуктов. Движущиеся жидкость или газ обладают массой, поэтому силам, вызывающим движение, противодействуют силы трения и инерции. Благодаря этому при изменении управляющих воздействий, в качестве которых чаще всего используются такие, как изменение положения затвора регулирующей арматуры (метод дросселирования) или внешнего давления, достигаемого изменением частоты вращения механизма, изменение производительности потока наступает не мгновенно, а оказывается растянутым во времени.
Физика этих явлений достаточно известна. Например, если необходимо повысить производительность, то массе продукта, которая находится в трубопроводе, необходимо обеспечить дополнительную энергию (мощность). И поскольку мощ-
СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
©
ность известных источников энергии ограничена по величине, то поток не может мгновенно изменять свою скорость. Эти инерционные свойства потоков среды в трубопроводах должны быть учтены в динамических математических моделях потоков транспортируемой среды.
В технологических процессах многих производств производительности (расходы) потоков, транспортируемых по трубопроводным магистралям сред или сами являются объектом управления, или с их помощью управляются некоторые другие переменные, такие как температура, уровень, концентрация, давление и др. Во всяком случае, и в первом и, особенно во втором случае, в соответствии с требованиями производственного процесса производительность потоков может изменяться в достаточно широком диапазоне. Поэтому показатели переходного процесса от одного значения производительности к другой должны соответствовать определённым требованиям по времени, точности обработки управляющего воздействия, величине перерегулирования и другим показателям. Для потоков жидкостей особенно важно обеспечить отсутствие гидроударов, вибраций. Отсюда следует, что для разработки эффективных систем управления потоками среды в трубопроводах необходимо иметь их математическое описание в динамике. В этих моделях должна отражаться взаимосвязь между внешним давлением, свойствами транспортируемой среды, параметрами трубопровода, регулирующей аппаратуры и величиной расхода во времени.
Для этого можно использовать уравнение Бернулли, учитывающего инерционную составляющую потока [1, 2]. Один из вариантов такой модели приведён в [3]. Однако здесь рассмотрен случай ламинарного течения, которое почти не встречается в практике технологических процессов. Другим недостатком этой модели является то, что она составлена в приращениях, предполагающих весьма малое отклонение расхода от некоторого установившегося режима, что опять же противоречит практике, где потоки изменяются в достаточно широком диапазоне.
Другой вариант математической модели для статического режима, учитывающей все особенности трубопровода и транспортируемой среды приведён в [4]. На основе этих моделей в [5] получена динамическая модель потока жидкости в трубопроводе для широкого диапазона его изменения. Данная математическая модель представлена нелинейным дифференциальным уравнением, относящимся к одному из разновидности уравнений Риккати. Для некоторых частных случаев входных
управляющих воздействий оно имеет даже аналитические решения [6]. В общем же случае решение может быть получено только численными методами.
Цель настоящей работы состоит в том, чтобы с использованием данной математической модели получить математическую модель потока жидкости в трубопроводе, учитывающую особенности такого источника давления как турбомеха-низм. Эти особенности состоят в том, что при управлении производительностью методом дросселирования, помимо изменения гидравлического сопротивления магистрали, одновременно изменяется входное давление трубопровода. Последнее объясняется напорной характеристикой турбоме-ханизма, зависящей от величины расхода. Вторая особенность объясняется возможностью изменения давления на выходе турбомеханизма при управлении его частотой вращения.
Таким образом, математическая модель динамики потока жидкости в трубопроводе должна учитывать изменения давления и расхода потока в турбомеханизме. Ниже динамическая математическая модель потока рассмотрена для двух способов управления производительностью.
Математическая модель потока жидкости при управлении производительностью методом дросселирования
Динамическая математическая модель непосредственно для потока жидкости в трубопроводе в [5] получена в виде:
&
Ь-у
1у)
а2
2Ь - БУ
,(1)
где 2 - объёмная производительность;
Н - давление на входе в трубопровод;
Бус - площадь внутреннего сечения трубопровода;
Ь - длина трубопровода (напорной части);
X - удельный коэффициент сопротивления о стенки трубопровода;
Бус - внутренний диаметр трубопровода; - суммарный коэффициент сопротивления, вносимый поворотами и местными сужениями в трубопроводе;
%а'(У) - коэффициент сопротивления трубопроводной арматуры (задвижки, клапанов, кранов);
у - удельный вес перекачиваемой среды;
g - ускорение силы тяжести; у - относительное положение затвора регулирующего органа трубопроводной арматуры ( у = 1 - полностью открыт, у = 0 - полностью
закрыт).
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
. (у) 20SS гс
(2)
С точки зрения регулирования производительности методом дросселирования наибольший интерес представляет величина
(у ) • Она изменяется от некоторой наименьшей величины при полностью открытой арматуре и до значения (у) = да при полностью закрытой ( y = 0). В промежуточных положениях затвора (0 < y < 1) величина коэффициента
min < Е,а (y) < да • Отсюда следует, что, перемещая
затвор регулирующей арматуры, можно управлять производительностью. Зависимость величины коэффициента сопротивления трубопроводной арматуры при её линейной "внутренней" расходной характеристике для воды получена в виде:
где 0ус - условная пропускная способность полностью открытой арматуры при падении давления на ней 0,0981МПа.
Второй способ управления производительностью предполагает изменение величины входного давления в трубопровод (Н). При этом трубопроводная арматура остаётся полностью открытой.
При управлении по любому из названных каналов для потока наблюдается переходный процесс. Как показано в [5, 7], уравнение (1) имеет аналитическое решение, если управляющее воздействие изменяется по ступенчатому закону во времени. При иных законах изменения управлений решение можно получить только численными методами. Правда представление управлений (давления или перестановки затвора регулирующей арматуры) в виде ступенчатых функций во времени - это тоже некоторая математическая идеализация. Но ведь известно, что с математическими моделями можно проводить самые немыслимые эксперименты. Однако в том случае, когда источником давления (напора) в системе является турбомеха-низм, то при изменении производительности методом дросселирования изменяется и давление на входе турбомеханизма. Это следует из математической модели для напорной характеристики турбомеханизма, которая, как показано в [5, 8] может быть представлена в виде:
Н = Ное - к • 0 2, (3)
где Н0е - давление на выходе турбомеханиз-ма при нулевом расходе и работе на естественной напорной характеристике (при номинальной частоте вращения); к - коэффициент для данного тур-бомеханизма.
Из (3) видно, что, изменяя в (1) величину (у) перестановкой регулирующего органа арматуры одновременно с изменением во времени расхода потока, в соотношении (3) во времени изменяется и давление на входе в трубопровод. Этим исключается возможность аналитического решения для (1), поскольку одно из управлений (по каналу давления) уже не может рассматриваться ступенчатым во времени. Поэтому совместное решение уравнений (1) и (3) может быть выполнено только численными методами. В качестве примера рассмотрим результаты такого решения для трубопровода со следующими параметрами: Х=200м; ^=0,1м; Л=0,02; £4=0. Регулирующий орган - задвижка: £а> (у = 1) = 0,2 ;
0ус=885м3/ч=0,24583м3/с. Пусть по трубопроводу транспортируется вода (у=9810Н/м3). Примем, что номинальный напор турбомеханизма равен Нм=1МПа и при данном давлении трубопровод при полностью открытой задвижке обеспечивает производительность, соответствующую номинальной производительности турбомеханизма. Тогда номинальная производительность может быть найдена из уравнения статики для трубопроводной магистрали, которое имеет вид:
Л0
Л
20 gS I
(W'
Н =
1 + XDT + +1а( У)
(4)
2L ■ S У
Соотношение (4) может быть получено из (1), если приравнять производную нулю. Из (4) подстановкой принятых значений параметров трубопровода и арматуры получаем, что 0„=0,054472м3/с=197м3/ч. С учётом этого результата (3) преобразуется к виду:
Н = 1,5-106 -0,5-106 0Г = 1,5-106 -166,97702' (5)
а соотношение (1) для принятых параметров запишется как
dQ = 3,927 ■lO-8H -dt
„, 0,2 41 - 02
0,3183Q2
(6)
Структурная схема для численного решения уравнений (5) и (6) приведена на рисунке 1. На рисунках 2 и 3 приведены графики изменения производительности при управлении методом дросселирования.
Различие во времени для переходных процессов при одинаковых ступенях нарастания (снижении) производительности объясняется нелинейностью математического описания. Более полный анализ временных характеристик для потоков жидкостей в переходных режимах приведен в [5].
СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Рис. 1. Структурная схема решения уравнения динамики для потока жидкости при управлении производительностью методом дросселирования
Рис. 2. График переходного процесса производительности потока при мгновенном открытии задвижки ( у = 1)
©
входе в трубопровод является давление и поскольку оно создаётся турбомеханизмом регулированием частоты его вращения, то в качестве управления для всей системы будем рассматривать последнюю переменную. Если при методе дросселирования формировались искусственные напорные характеристики магистрали, то в данном случае искусственные напорные характеристики будут у механизма. Что касается напорной характеристики магистрали, то она является неизменной и предполагается естественной - при полностью открытой трубопроводной арматуре.
В работе [6] показано, что для принятой математической модели турбомеханизма в виде (3) переход на искусственные характеристики реализуется в виде следующих уравнений:
И = Н
О2
0е
- к - 22
(7)
где - скорость вращения турбомеханизма на искусственных напорных характеристиках; шн - номинальная скорость вращения турбомеханизма.
В (7) для частоты вращения можно перейти на относительные единицы. Тогда динамические математические модели для комплекса турбоме-ханизм-трубопроводная магистраль будут иметь вид:
И = И о
0е
о*2 - к - 22
а=иб ус g
& Ь -у
1 + + У )
22
2Ь - Б,,
Из двух приведённых уравнений можно получить:
л
Н оо - БУ, ' Ь-у
Б 1+Ш
кБ ус g + О ус
Ь-г
2Ь - Б у
- а2. (8)
Рис. 3. График переходного процесса при ступенчатом открытии (закрытии) задвижки (у1 = 0,0116, у2 = 0,0248, у3 = 0,0426, у4 = 0,0756 , у5 = 1, у6 = 0,0756, у7 = 0,0426, у8 = 0,0248, у9 = 0,0116)
Математическая модель потока жидкости при управлении частотой вращения турбомеханизма При этом способе изменения производительности потока управляющим воздействием на
Подстановка в (8) параметров трубопровода и турбомеханизма, принятых выше, преобразует его к виду:
= 0,0589о2 -19,6122.
Ж
Схема численного решения последнего уравнения приведена на рисунке 4. На рисунке 5 приведён график переходных процессов при сту-
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
пенчатом увеличении (уменьшении) частоты вращения механизма.
-к-
19.61
Рис. 4. Структурная схема решения уравнения динамики для потока жидкости при управлении производительностью изменением частоты вращения турбомеханизма
Рис. 5. График переходных процессов при ступенчатом изменении частоты вращения турбомеханизма (Аю .=0,2)
Переходные процессы при управлении частотой вращения турбомеханизма по сравнению с методом дросселирования получаются более длительными, что уменьшает вероятность возникновения гидроударов.
Выводы:
1. Получены и исследованы численными методами уравнения динамики потоков жидкости для комплекса турбомеханизм-трубопроводная магистраль при изменении производительности потоков двумя способами: дросселированием и изменением частоты вращения механизма.
2. Переходные процессы при управлении частотой вращения турбомеханизмов более "благоприятны", чем при методе дросселирования, облегчают условия работы оборудования и уменьшают вероятность возникновения гидроударов.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. - М.: Машиностроение, 1987. - 439с.
2. Шерстюк А.Н. Насосы, вентиляторы, компрессоры. - М.: Высшая школа, 1972. - 342с.
3. Кэмпбелл Д.П. Динамика процессов химической технологии. Перевод с английского. - М.: НИИТЭХИМ, 1962. - 280с.
4. Гуревич Д.Ф. Расчёт и конструирование трубопроводной арматуры. - Л.: Машиностроение, 1969. - 887с.
5. Гоппе Г.Г. Математическая модель расхода потоков жидкостей в трубопроводах как звено САР //Автоматизация химических производств. НИИТЭХИМ, 1973 г., №4, стр. 32-43.
6. Гоппе Г.Г. Математические модели систем регулирования жидкостей и газов в трубопроводах при использовании для управления ресурсов электропривода. /Отчёт по гранту Минобразования РФ. Гос. регистр. ВНТИЦ №02.200.108420.2001, 61с.
7. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 1963. - 675с.
8. Браславский И.Я., Ишматов З.Ш., Поляков В.И. Энергосберегающий асинхронный электропривод. М.: ЛСЛББМЛ, 2004. - 252с.
