CC BY
17
АСТРОНОМИЯ, АСТРОФИЗИКА И КОСМОЛОГИЯ
Динамическая эволюция тройных иерархических звездных систем
Н. А. Соловая
Государственный астрономический институт имени П. К. Штернберга (ГАИШ МГУ).
Россия, 119991, Москва, Университетский пр-т, д. 13.
E-mail: solov@sai.msu.ru
Статья поступила 13.07.2009, подписана в печать 12.03.2010
Динамическая эволюция тройных иерархических звездных систем с использованием возмущений высших порядков исследована в рамках неограниченной задачи трех тел. Тройные иерархические звездные системы — это такие звездные системы со сравнимыми массами, которые образуют близкую пару и имеют далекого компонента. Предполагалось, что такие звездные системы устойчивы на космологических временных интервалах в противоположность системам со сравнимыми расстояниями. Для промежуточного движения получено решение, в котором оба компонента в средних движениях имеют вековые члены. Возмущения далекого компонента замедляют среднее движение близкой пары, и наоборот, среднее движение далекого компонента возрастает под действием возмущений близкой пары. Величины возмущений малы, но на космологических временных интервалах могут изменить конфигурацию системы. Вероятность, что такие системы станут неустойчивы, высока.
Ключевые слова: тройные системы, эволюция, устойчивость.
УДК: 521.19. PACS: 95.10.Ce, 45.50.Pk, 45.50.Jf.
Введение
Двойные и тройные звездные системы — общее явление во Вселенной. Когда известны массы компонентов, расстояния между ними и значения кеплеров-ских элементов, возможно определить динамическую эволюцию системы, используя аналитическую теорию неограниченной задачи трех тел. Настоящее исследование посвящено изучению динамической эволюции таких тройных звездных систем, которые Д. Эванс [3] назвал иерархическими. В таких системах звезды имеют сравнимые массы, две из них образуют близкую пару и имеют удаленного компонента. Предполагалось, что такие системы устойчивы в противоположность системам со сравнимыми взаимными расстояниями. Численные экперименты [6] по динамическому поведению трех масс, движущихся под влиянием взаимного гравитационного притяжения, показали, что в 73% случаев такие тройные системы распадаются. Среднее время распада тройных звездных систем, согласно работе [6], составляет 109 лет.
Статистика показывает, что ускользающая масса не всегда наименьшая. Присутствие третьего компонента, даже далекого, может вызвать большие возмущения в эволюции орбитальных элементов. Предполагается, что в звездных системах наклоны орбит и их эксцентриситеты произвольные и могут изменяться в больших пределах в противоположность наклонам и эксцентриситетам планет в солнечной системе. Обычно большие эксцентриситеты вызывают большие сближения компонент в периастре, что также приводит к большим возмущениям и разрушению системы.
Устойчивость движения на основе численного интегрирования 412 орбит исследовалась в работе [5]. Под устойчивостью понималось либо ускользание одного из компонентов, либо образование двумя компонентами
настолько близкой пары, что между ними могли произойти приливные или материальные взаимодействия. В результате в работе [5] был дан следующий критерий устойчивости 5. Для прямых движений, т.е. когда угол взаимного наклона меньше 90°, величина 5 = а2( 1 •— е2)/о: 1 > 3.5, где аи а2 — большие полуоси орбит, — эксцентриситет орбиты удаленного компонента. Для обратных движений, когда угол взаимного наклона больше 90°, величина 5 > 2.75.
Промежуточные орбиты
Рассмотрим движение тройной звездной системы в рамках неограниченной задачи трех тел. В промежуточном движении используем первые три члена гамильтониана, разложенного по полиномам Лежандра по отношению больших полуосей. Из гамильтониана методом Цейпеля исключены короткопериодические члены.
Короткопериодические возмущения малы и не могут быть получены из наблюдений. Массы трех компонент одного порядка, эксцентриситеты и наклоны их орбит могут меняться в больших пределах. Тройная система имеет близкую пару (внутренняя орбита) и далекого компонента (внешняя орбита), медленно вращающегося вокруг их центра масс. Движение рассмотрено в якоби-евой системе координат. За основную плоскость принята плоскость Лапласа. Гамильтониан в промежуточном движении имеет вид
р = Л1- + л*- - —
21? 2/2 167з130з х х [(1^392)(5^3^15(1^2)(1^2)со5(2г1)], (1)
где коэффициенты 71, 72, и 73 зависят от масс, _ с2 - G? - Gf
»7= V 1
-1 >
(2)
2^2
с — постоянная углового момента системы, — аргумент периастра близкой пары в плоскости Лапласа, д - косинус угла взаимного наклона орбит.
Движение описывется в канонических элементах Делоне — Ц, Ц, & (/ = 1,2):
Ц =ßlyfii = A\, lx =Mi =ni(t-to),
gl = m,
l2=ß 2y^ = Ä2, G2 = l2^7^4 = A4 l2=M2 = n2(t-to),
g2 = w2,
(3)
большие средние
где £ = 1 — е\, Д и 02 — функции масс, а,-полуоси орбит, в/ — их эксцентриситеты, аномалии (/ = 1,2).
Если бы звезды двигались по невозмущенным орбитам, их средние движения определялись бы из 3-го закона Кеплера:
«1 =k.
lm0 + m 1
n2 = k.
I т0 + mi + т2 а о '
(4)
В работе [1] получено решение для промежуточного движения, которое позволяет определить максимальные и минимальные изменения эксцентриситета близкой пары, определяемые формулами
е\ min = /Г^; е\ шах = д/1 - £1. (5)
Здесь (/ = 1,2) — два корня полинома 5-го порядка в знаменателе промежуточного решения, полученного методом Гамильтона-Якоби.
Средние движения звезд S;, щ = 2тгР^1 (Р — период обращения), движущихся по возмущенным орбитам, выражаются как
а) среднее движение звезды Si
щ = {\ +
7 »г
J_
16 (1-е|)3/2
З7Г 6
4Л3 +
KEiG22
ö(SiQI+S2Q2 + S3Q3)
m; (6)
б) среднее движение звезды S2 1 ЗЛ;
v2
m
7 »г
16 (1-е|)3/2
пи
(7)
звезды на величину Д«1 = 1/1 — щ , а среднее движение далекой звезды ускоряется под влиянием возмущений близкой пары на величину Ап2 = ь>2 - п2.
Тройная звездная система е Нуёгае (АОБбЭЭЗ) была выбрана для иллюстрации теории. Система является пятикратной, но только для трех ярких компонентов, возможно сверхгигантов, определены значения кепле-ровских элементов. Далекий компонент имеет слабого близкого спутника, масса которого включена в массу удаленного компонента. Пятый компонент удален больше чем на 400 а.е. и практически не влияет на эволюцию трех компонентов. Три ярких компонента удовлетворяют всем условиям для иллюстрации теории. Необходимые значения кеплеровских элементов были взяты из работы [4] (таблица). Компоненты имеют массы ш0= 1.5ОМ0, т,1 = 1.3ОМ0, т2 = 2.74М0.
Значения кеплеровских элементов
Близкая пара Далекий компонент
щ =3.967 AU а2 = 75.76 AU
ej =0.67 е2 = 0.29
Тщ = 1961.05 Т^ = 1933.00
= 264.00° ш2 = 203.1°
0] = 109.30° 02 = 55.5°
ц =49.30° г2 = 42.0°
Т0 = 2000.0 Т0 = 2000.0
где Л3 = (1 - 3^2)(5 - 3?72) - 15(1 ^ д2)(1 ^ 9?2) соэ^), £; (/ = 1,2,3) — вековые части гиперэллиптических интегралов, 02 = 02/Ь1, 7 = т2/(то + т\ + т2), т — отношение средних движений.
Тогда средние аномалии /1 и 12 определятся по формулам
/1=61+ щ Ц - ¿о) + РТ, 12 = В2 + и2Ц^^) + РТ, (8)
где РТ — периодические члены.
Так как звезды испытывают взаимные возмущения, оказалось, что движение звезды по внутренней орбите замедляется под влиянием возмущений удаленной
Полученные результаты показывают, что под влиянием возмущений далекого компонента среднее движение щ близкой пары замедляется на величину 0.019° в год и, наоборот, среднее движение п2 далекой звезды ускоряется на величину 0.002° в год.
Эксентриситет близкой пары изменяется в интервале от е1т1п = 0.62 до в1тах = 0.77. В периастре звезды сближаются до величины г^ = ах (1 — е\ тах) = = 0.90516 а.е. и возможны большие возмущения.
Возмущения третьего порядка
Общее решение дифференциальных уравнений промежуточного движения зависит от десяти произвольных постоянных Л; и В; (/ = 1,2,..., 5). Будем считать эти постоянные в возмущенном движении функциями времени. Так как постоянные возникают в процессе интегрирования системы дифференциальных уравнений методом Гамильтона-Якоби, то метод вариации произвольных постоянных осуществляется автоматически. В промежуточном движении внутренняя орбита есть некеплеровский эллипс с движущимся узлом и пери-астром и изменяющимся эксцентриситетом. Внешняя орбита — некеплеровский эллипс с движущимся узлом и периастром. Средние движения компонентов имееют вековые члены.
Будем рассматривать промежуточное движение как невозмущенное, а члены третьего порядка в гамильтониане Й будем рассматривать как возмущения. Из решения системы с упрощенным гамильтонианом (1) видно, как угловые переменные — средние аномалии /1 и 12 — связаны со временем. Возмущения третьего порядка дадут вековые ускорения в средних движениях. Они малы, но на космологическом временном интервале
могут вызвать изменения в конфигурации системы. Возмущающая функция имеет следующий вид:
1
Я=_15_ 4¿f
5127 L¡ (I ^ е2)Ц1 + е2)3 л
X [(4 + Зе?) + (-1 - + + 15fl3)cos(gi +
+ 35ef (1 — + q)2 cos(3gi — g2) +
+ (4 + 3ef)(—1 + llq + bq2 _ 15q3)cos(gi + g¿>) +
+ 35e,(-l + fl)2(l + q) cos(3gi + g2), (9)
где
74 = k2ßi
Щ
m! 01
(10)
т.о + т.1 /3°
Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных, разработанным в работе [7], и сохраним все употребляемые в ней обозначения. Автоматически получаем необходимые дифференциальные уравнения и решаем их, используя классические методы небесной механики:
dBi ÔR dvi dt ÔL{ dt Введем обозначения:
öl '
t,
d.B2 ~~df
dR ~дП2
dv2
dt
t.
(11)
1
с i
i
7 m2
An«3' = ™
dAn
4 (1 -e¡)3/2 dt
уьград/год
■ni, (Т2 ■
7 mí
dAi
16 (1
e2)G2 dt
-ni,
V 2, град/год
t X 10
Рис. 1. Изменения средних движений и ^ [градус/год] звездной системы г Нуёгае на внутренней и внешней орбитах на интервале 1.5- 10® лет
a i, а.е.
Ü2, а.е.
Рис. 2. Изменения больших полуосей щ и а<2 звездной системы е Нуёгае на внутренней и внешней орбитах на интервале 1.5- 10® лет
где (71, (72 — коэффициенты при t в уравнениях (11). Среднее движение 1/1 близкой пары уменьшается под действием возмущений далекой звезды:
vi = Iii - Arii
A nf>
(Tit,
(12)
а большая полуось а{ увеличивается. Изменения этих величин на интервале 1.5 • 108 лет представлены на рис. 1 и 2. За этот промежуток времени большая полуось внутренней орбиты увеличится до 9.8 а.е.
Среднее движение щ далекой звезды ускоряется:
Щ = П2 + Д«2 + Art® + (721,
(13)
а большая полуось а2 уменьшается. Изменение этих величин на интервале 1.5- 108 лет также представлено на рис. 1 и 2. За этот промежуток времени большая полуось а2 далекой звезды уменьшится до 30 а.е. Принимая во внимание критерий устойчивости S [5], после 1.5 • 108 лет коэффициент S будет приблизительно равен 2. Система трансформируется из иерархической в систему с расстояниями одного порядка, которые считаются неустойчивыми.
Заключение
В рамках частного случая аналитической теории неограниченной задачи трех тел с использованием возмущений третьего порядка показано, что на космологическом временном интервале в процессе динамической эволюции иерархические звездные системы трансформируются в звездные системы со сравнимыми расстояниями. В качестве промежуточных орбит использованы некеплеровские эллипсы с движущимися периастрами и узлами. Под влиянием взаимных возмущений среднее движение близкой пары замедляется, что приводит к увеличению большой полуоси. И наоборот, движение далекого компонента ускоряется и его большая полуось уменьшается. Для иллюстрации теории приведена система г Hydrae. Система из иерархической с отношением больших полуосей порядка 19 трансформируется в систему с отношением больших полуосей меньше 3.
Коэффициент S < 3.5. Согласно критерию [5], система станет неустойчивой. Подтвеждаются предположения, высказанные в работе [2] о возможном распаде тройных систем независимо от знака полной энергии системы.
Список литературы
1. Орлов A.A., Соловая H.A. // Труды ГАИШ. 1974. 45. С. 119.
2. Birkhoff, G.D. Dynamical Systems. Providence, 1927.
3. Evans D. 11 Q.H.R. Astron. Soc. 1968. 9. P. 388.
4. Heintz W.D. I ! Zeitschrift für Astrophysics. 1963. 57. P. 3.
5. Harrington R. 11 Celestial Mech. 1972. 9. P. 322.
6. Szebehely V. // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. 1972. 69. P. 1077.
7. Соловая H.A. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1997. № 4. С. 47.
Dynamical evolution of triple hierarchical stellar systems N. A. Solovaya
P.K. Sternberg State Institute of Astronomy, Moscow State University, Moscow 119191, Russia. E-mail: solov@sai.msu.ru.
The dynamical evolution of triple hierarchical stellar systems is studied with using of the perturbations of high orders. It is supposed that such systems are stable contrary to stellar systems with of comparable distances. We consider the motion in the frame of the general three-body problem. In the differential equations of motion we used the Hamiltonian without short-periodic terms. They are very small and cannot be obtained from observations. In the solution the mean motions of the both components have the secular terms. Under the influence of perturbations of a distant companion the mean motion in the near pair is slowed and vice versa. The mean motion of distant star is increased. This changes are little, but on the cosmological time interval the hierarchical systems will convert to stellar systems which components have comparable distances. Such systems are unstable.
Keywords: triple hierarchical stellar systems, dynamical evolution, dynamical stability. PACS: 95.10.Ce, 45.50.Pk, 45.50.Jf. Received 13 July 2009.
English version: Moscow University Physics Bulletin 4(2010).
Сведения об авторе
Соловая Нина Андреевна — докт. фнз.-мат. наук, вед. науч. сотр.; тел.: (495) 939-37-64, e-mail: solov@sai.msu.ru.
