Динамическая дисциплина приоритетного обслуживания на компьютерной сети Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика

УДК 629.735.015:681.3

ДИНАМИЧЕСКАЯ ДИСЦИПЛИНА ПРИОРИТЕТНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ НА КОМПЬЮТЕРНОЙ СЕТИ

С.А. ПЕРЕБЕЙНОС, М.А. ЧЕРНИКОВА Статья представлена доктором технических наук, профессором Рудельсоном Л.Е.

Рассмотрена модель многоканальной системы массового обслуживания с приоритетами для динамической дисциплины распараллеливания вычислений. Модель основана на гипотезе о равновесном состоянии очередей заявок в общем и в разделенном буферном накопителе. Получены оценки для вероятностей потери заявок для каждого входного потока. Приведены результаты статистического моделирования.

Введение

Универсальным средством исследования систем с приоритетами, позволяющим обойти сложности построения графа переходов и состояний системы, является метод статистических испытаний, который допускает получение характеристик самых разнообразных моделей. Ограничением его применения становятся относительно невысокая точность и большая трудоемкость достижения результата [1]. Развиваются эвристические модели, основанные на умении своих создателей выделить доминирующие закономерности исследуемого процесса и отвлечься от второстепенных связей и отношений. С этой целью вводятся дополнительные ограничения, сужающие область взаимного влияния различных системных факторов и позволяющие упростить их анализ. Это направление исследований отражено в данной работе.

Исходя из сказанного, нетрудно сформулировать основную задачу исследования, излагаемого в настоящей работе. Должен быть разработан и обоснован метод анализа систем обслуживания с относительными приоритетами, отличающийся тем, что с целью получения расчетных формул используются физические ограничения процесса образования очередей заявок. Метод должен учитывать взаимное влияние парциальных входных потоков как их динамическое равновесие в системе, чтобы избежать ветвления графа переходов и состояний системы, сводя ее модель к простой композиции марковских цепей для каждой составляющей суммарного потока заявок.

В отличие от статической модели, рассмотренной в [2], динамическая дисциплина разделения заявок допускает взятие на обслуживание любым освободившимся каналом системы массового обслуживания (СМО) заявки любого входного потока, руководствуясь при выборе лишь шкалой приоритетности, а не жестким назначением типа потока на конкретный канал. Основные закономерности реализации отношений предпочтения между заявками в такой модели проследим на двухприоритетной двухканальной СМО (п = т = 2). Распределение обоих потоков пуассоновское, интенсивности поступления заявок Х1 и Х2 соответственно, обслуживание экспоненциальное, его параметры ц1 и ^2. Заявки принимаются в общий буферный накопитель (БН) объемом г мест для ожидания по принципу приоритетного вытеснения. Загрузка системы обоими потоками не превосходит единицы, обслуживание выполняется с относительным приоритетом.

1. Модель с общим буферным накопителем

Основываясь на допущении о правомерности замены случайной величины длины очереди, образующейся в БН, ее наиболее вероятным значением Ь1 = (1 + ь2')р1у [3], оценим вероятности п1 и п2 потери заявок высокого приоритета (ЗВП) и заявок низкого приоритета (ЗНП) в такой

системе. В момент ее освобождения от всех ЗВП на обслуживание, среднее время которого Т2 = 1/^2, назначается ЗНП. Если за время Т2 в БН образуется очередь ЗВП, наиболее вероятная длина которой Ь1 < г, то вероятность потери ЗВП практически не зависит от характеристик второго потока и может быть приближенно подсчитана по формуле для п = 2

2р? 2(1 ~Рі) 1 + р - 2Р\

г+3

, если (1 + З )р1у < г.

При невыполнении условия Ь1 = (1 + и )р1у < г в сеансе обслуживания одной ЗНП БН переполняется очередью Ь1, и часть ее, равная Ь1 - г, теряется, причем доля потерь ЗВП, как и в случае одноканальной СМО [4], составляет

г

если (1 + З )р1у < г.

(1 + $2)рг'

Вероятность события, при котором теряются ЗВП, как и в модели с одним каналом, пропорциональна р2 и приобретающей более громоздкий вид вероятности Р2 обслуживания ЗНП в условиях отсутствия для них свободного места в БН (г = 0)

1 + р — 2'р

-, если (1 + З )р1у > г.

1 + р2 2 ' ръ

Составная формула для оценки вероятности п1 потери ЗВП приобретает вид:

2рГ(1 -Р)

1 + р - 2р;+3

+ 3- р2

1-

(1+ З )р1/_ 2

10, если (1 + З2)р1у< г,

[1 в противном случае.

Учитывая, что при выполнении условия (1 + и ')р1у < г, т.е. слева от точки излома кривых укр = г / (1 + $2)рь зона общего БН, свободная от ЗВП, возрастает до известной величины г - (1 + $ 2)р1у, можно записать для оценки вероятности п2 потери ЗНП

2р2+(1—в)[г—(1+$2)р1Г](1 — р^ )

Р2 =-

3+(1-3)|г-(1+32)рг]

Р

1 + р2— 2 р2

Отметим, что справа от точки излома кривой вероятности п2 потери ЗНП в зависимости от у абсолютные значения п2 снижаются относительно одного канала, так как

^2 = 2^(1—А >з < р, р1# 0.

1 + р2 2 ■ рЕ 1 + р2

В [5] показано, что относительный выигрыш в по критерию п при отсутствии БН г = 0 и 1 от перехода к двухканальной СМО достигает 20% (в = 0,2). Для сопоставления результатов слева от точки излома рассмотрим графики п = /(у) на рис. 1. Параметры исследованных систем: п={ 1, 2};

р1=р2=0,45; $ = 0; г = 10. Приведены результаты как расчета по приближенным формулам, так и эксперимента с помощью статистического моделирования на ЭВМ. В сравнении с обслуживанием одним прибором, динамическое распределение дает относительное возрастание вероятности п1 потери ЗВП и сни-

Рис. 1. Графики зависимостей п = /(у) для дисциплины жение вер°ятн°сти ж2 потери

динамического разделения с приемом заявок в общий БН ЗНП. Слева от точки излома

г

снижаются потери по обоим потокам, так как в двухканальной системе на одно место для ожидания больше, но для ЗНП снижение существеннее, так как они обладают абсолютно меньшим объемом БН. Справа от точки излома потери ЗНП снижаются на 20%, следовательно, возрастает вероятность события, приводящего к потере £ ЗВП, и происходит рост П1 относительно одноканального варианта.

Таким образом, как и при статическом разделении записей, снижается эффективность приоритетного обслуживания, т.е. происходит выравнивание вероятностей потерь заявок, принадлежащих потокам различной приоритетности. Более того, существует некоторое критическое значение укр, равное для анализировавшихся СМО укр ~ 65, начиная с которого значение потери ЗВП при обслуживании двумя каналами превосходит потери ЗНП. Заметим, что критическое значение укр, при котором происходит пересечение кривых п1 и п2 на графике, построенном по результатам статистического моделирования, лежит несколько правее, чем это предсказано расчетными формулами: укр ~ 85, а также обратим внимание на то обстоятельство, что подобные соотношения длительностей времени обслуживания практически не встречаются. Важна обнаруженная тенденция, а не ее частное проявление.

Для распространения результатов на случай т приоритетных потоков, обслуживаемых п каналами с относительным приоритетом и с приоритетной записью в общий буфер, рассмотрим три фазы процесса. Пусть различаются соотношения объема г файла и значений длины Ь,, Ь,.1 накопленных в нем очередей. В дальнейшем ограничение снимается. Согласно [2], за время Тт обслуживания любой заявки, принадлежащей потоку, расположенному в приоритетной шкале не выше ,-го включительно, т.е. требующей более, чем другие, продолжительной обработки, вероятная длина Ь, очереди заявок всех высших приоритетных потоков, включая ,-й, не превосходит объема г общего БН

Тогда вероятность пк потери заявки произвольно выбранного к-го приоритета определяется при этом суммарной загрузкой, создаваемой первыми к потоками, и остатком общего БН, свободным от заявок к - г высших приоритетов. Для этого случая, помеченного верхним индексом первой фазы (I) при п, справедлива приближенная формула

которое утверждает, что в единичном сеансе обслуживания заявки т-го типа, самом продолжительном по времени исполнения, наиболее вероятная величина Ьк длины образующейся в системе общей очереди заявок высших приоритетов, включая к-й, превосходит количество г мест для ожидания. Однако суммарная очередь Ьк.\ заявок с индексами г < к, т.е. поставленных в шкале приоритетов выше анализируемого к-го уровня, может быть размещена в общем БН. В этом случае часть поступающих заявок к-го типа будет принята в систему, а другая часть получит отказ в обслуживании и окажется потерянной, причем доля £ потерь составит

Ь, = (1 + *=) • ^ Тт\= (1 + &)-Гт •;

2=1

Вторая фаза функционирования модели ограничена двойным неравенством

■(1+^2)п Е

2=1

V п Л

/(1 +$2 )рк Пт.

Вероятность Р) обслуживания заявоку-го потока, у = к +1,т, при условии их приоритетного вытеснения из общего БН более приоритетными заявками определяется выражением

Р,

I

Н=0

л-1

п

(п - к) к!

( і ^ Е р

V2 =1

п

(п -1)!

Ер

V2 =1

-1 ( і у+п-('*«‘:». ІІ?

Е

Н =0

Н-1

п

(п - к) к!

( і V

[Ел]

V2 =1 Л

п

!—1 ( У V +п-(1 + $2)Гт ЕІП^]+1

(я -1)!

Ер

V2=1

Вероятность пк потери заявки при ограничениях, накладываемых второй фазой функционирования модели (помечена верхним индексом II), приближенно оценивается как

Р

(и)

р/) + Е8к РіР Х, где

і=к+1

0, Єсли Ьк < Г, т.Є.(1 +в2)Ут Е

к (Рг^

І =1

V п л

1 в противном случае.

Третья возможная фаза функционирования (помечена верхним индексом III) характеризу-

к-1 ( Р "V

ется условием (1 + ії2)у. Е — > г, означающим, что за сеанс обслуживания любой заявкиі-го

1 п Л

приоритета (і = к + 1,т ) в общем БН образуется очередь ЗВП с индексами потоков Ї = 1, к -1, занимающая все г мест для ожидания, и все заявки к-го типа, принятые ранее, вытесняются, а приходящие вновь не записываются. В этом случае вероятность пк = 1 - Рк подсчитывается, исходя из суммарной загрузки системы заявками к первых потоков и при отсутствии БН (г = 0):

п-1 ( і у-(1+^2)птЕ(р:

р(ш) =-Лк

п

(п -1)!

Ел

V 2=1

X

1 - Ер

2=1

Л

Е

к=0

пк (п - к) к!

(

(Ер

V 2=1

V

п

,-1 ( і V”-(1+^2)Пт Е(РР^

(п -1)! 1Е Р

Для перехода к определению необходимого объема г БН общего доступа следует, если это возможно, пользоваться верхней частью составного выражения, отображающей первую фазу функционирования модели, обеспечивающую самые благоприятные условия для размещения заявок всех потоков. В противном случае (когда соотношения параметров системы р, у и заданная вероятность п потери заявки не позволяют обеспечить приемлемые размеры БН, и г превосходит ограничения по памяти) следует либо снизить требования к п, либо отдавать себе отчет в последствиях вывода системы в режим эпизодических переполнений буфера с потерей £ записей при каждом таком событии.

2. Модель с раздельными секциями буферного накопителя

Пусть обслуживание производится с относительным приоритетом и приемом записей в раздельные секции БН. Ограничимся моделью, в которой п = т = 2; интенсивности входящих пуассоновских потоков Х1, Х2; параметры экспоненциального обслуживания ц1 и ^2, соотношение параметров обслуживания у = ¡л1 / ^2; рг = Хг / ^¿, г = 1, 2; р^ = р1 + р2 < 1; объемы секций БН -г1, г2. Условие обязательного излома кривой п1 = /(у) определяется тем, что наиболее вероятная

г

і-1

Н

і-1

і-1

Н

длина Ь1 очереди ЗВП, образующейся в первой секции разделенного БН, не превосходит ее объема г1. Слева от точки излома вероятность п1 потери ЗВП не зависит от характеристик второго потока и приближенно выражается через ее собственные параметры как

р1 =

= 2р (1 /р+з) , если (1 +$2)р1У< г1.

1+ Р - Р

В распоряжение ЗНП также предоставлена отдельная секция БН с фиксированным объемом г2 и, следовательно:

2гГ2+2(1 -р) г <

р2 = —^—-—, если Ц < г2,

2 1 + Гх- 2Рх2+3 2 2

т.е. если наиболее вероятная длина Ц2 очереди заявок низкого приоритета, образующейся во второй зоне в процессе полного освобождения СМО от всех ЗВП, не превосходит г2. Характеристики этого процесса аналогичны рассмотренным выше при исследовании одноканальной модели. Очередь Ц2 ЗНП, накапливающаяся за время полного освобождения системы от Ц ЗВП с учетом убывающих приращений {ДЦг}, составляет

Ц = (1+^2)(1 -<>^2 2 К1 -Рх) .

Доли £1 и £2 потерь заявок по обоим потокам равны

Х = 1 - „ . г2ч---, если (1 +^2)РхГ> г1;Х2 = 1

г2 п(1 -р1) Т

------—^+------, если Ь2 > г2.

г1 (1+^2)(1 -Р1Н+1)Р2

(1 + #2)рУ

Вероятность Р2 обслуживания двух ЗНП одновременно, в процессе которого переполняется первая секция БН, определяется как

г2 +2

Р2 =

1 + рх 2р

1 + РХ - 2рх

г2 П(1 -Р1)

(1 + #)(1 -<>?

если

1 + рХ 2р

П(1 -Р1)

г9 +2

2 < г

+3

г1 (1 + ^2 )(1 - Р1Н+1 )Р2 1 + Рх - 2р

Приближенная формула для вычисления п1 приобретает вид:

'2-Р+2(1 -р)

в противном случае.

Р

1+ Р1 - 2-р3

2-рг+2(1 -р)

если (1 + т$ )р1п< г1;

1 + р1 - 2 - р1

г+3

+ Р2

1 + рх 2рх

1 + рх 2р

г +3

(1 + ^2)РП

если (1 + ^2)р1п> г1 и

2-р1+2(1 -р) + г2 +-------------------

(1+^2)(1 -рг ‘у?

п(1 -Р1)

П(1 -Р1)

< г

1 + р1 - 2- Р1+3 г1 (1 + ^2)(1 -РГ)Р

1 --

если (1 + в2)р1у> г1 и

(1 + ^2)(1 -Р1Н+1)г1Р

(1 + ^2)РП

> г2.

1 + рх 2р 1 + рх - 2рх

г, +2

П(1 -Р1)

Вероятности п2 потери ЗНП соответствует кривая с одним изломом

Р = 2-Р1г2+2 (1 -Рх ) + ? р2 =-------------------^ + д

2 1 + Рх -2-рХ2+3

1 - г2-

п - (1 -Р1)

(1+ #)(1 -рН+1)р

X

1 + Рх - 2рХ2+2 1 + Рх - 2рХ2+3

1

0, апёе

,л (1 + г?2)(1-рГМр

< г.

(1 + &)р{у, если (1 +$2)р{у< г1,

[г, в противном случае.

где 5 = у у • (1 -р) 2' 41 = -

1а 1 61 оеа111 Пёо^аа.

На рис. 2 представлены графики зависимостей п = /(у) для исследованной модели. Рассмотрение графиков позволяет сделать выводы, аналогичные тем, к которым привел анализ дисциплины распараллеливания с общим БН. Слева от обязательных точек излома, определяемых соотношениями Ц < г1, Ц2 < г2, вероятности потери заявки по сравнению с одноканальным вариантом по абсолютной величине снижаются по обоим потокам. Справа от точки излома Ц2 = г2 вероятность потери ЗНП снижается относительно одноканальной модели благодаря увеличению Р2 вследствие наличия в СМО двух приборов. По той же причине справа от излома

Ц1 = г1 возрастают потери заявок первого потока.

Распространяя действие полученных формул на т приоритетных потоков и п каналов, с помощью рассуждений, подобных приведенным выше, можно получить выражения для оценки вероятностей потерь заявок по произвольно выбранному к-му приоритетному потоку. Как и в случае с общим БН, оно отображает три фазы функционирования модели, однако не в аспекте анализа длины динамически изменяющегося свободного от ЗВП остатка БН, а Рис. 2. Г рафики п = /(у) для дисциплины динамического по степени заполнения собствен-

разделения с приемом заявок в раздельные секции БН ных секций:

• секция не переполняется (щадящий режим);

• переполняется, но все соседние секции не переполняются (критический режим);

• своя и часть соседних секций переполняются (режим перегрузки).

Составное выражение для вероятностей потери заявки формируется из трех частей.

Для первой фазы (помеченной верхним индексом I) имеем:

50 70 100

(п - Ц!^1) I1 ЦР|

^ пн 1(п - к) (А

Е V, I Еа

п

П-1

если Цк < гк.

н=0 к! ^ |=1 ) (п -1)!^ |=1

Для второй фазы (помеченной верхним индексом II):

(п) -.

Е а

-+ £ 5 к р

j=к+1

1-

Укгк

(1 + $ )Рку.

Е

пк-1(п - к) ^к пп-1

к!

Е Р'1 - ^ £ Р'

Е

Ер I - 1.ЕР

если Цк > гк и все Ьк < гк.

п-1

н

г + п +1

к

г. + п

п—1

X

г + п

к=0

X

г +п+1

к

к=0

Для третьей фазы, помеченной верхним индексом III:

„п-1 ( к Л гк +п ( к Л

п

(III)

I Ер

(п -1)! V £")

X

1 - Ер

V |=1 )

Е

к=0

пк 1(п - к) Л пп

к!

Ер

ч 1=1 )

-1 г к \к+п+1

+ Е 5к--г •

(п -1)! Vе Р )

к =к+1

Ц

X-

Е

к=0

пк 1(п - к) Л" п”'

к!

Ер

ч 1=1 )

,-1 ( г Л гк+п

'Ер 2

V |=1 )

(п -

Е

к=0

пк 1(п - к) (^ Л пп

к!

Ер

ч 1=1 )

,ч ^ к Л гк +п+1

Е р)

V |=1 )

(п -1)! V '=

если Ьк > гк и хотя бы для одного г = к +1, т Ц > гг, где

к-1

Ьк = (1 + й2)р, £у

( \Н +1 ( Р Л

V У )

к-1

1пЛ- 1п

1-

Укгк

X

|=1

1

_Р|^

У

-н.

1п

а

У

0, если Ьк < гк,

1 в противном случае.

Полученные формулы проверены методом статистического моделирования. Результаты представлены на рис. 1, 2.

Заключение

В целях сопоставления эффективности статической и динамической дисциплин на рис. 3 представлены графики зависимостей п = /(у) для случаев статического распараллеливания с приемом записей в раздельные секции БН и для динамического разделения с приемом в БН с общим доступом. Потери в системе с жестким разделением (подстрочный индекс 'стат' на рисунке) не зависят от соотношения у параметров обслуживания, а при динамической дисциплине (индекс дин) - нарастают с ростом аргумента. По достижении критического значения укр = г / (1+д2)р1 суммарный нормированный штраф ап за потерю заявки для динамического распараллеливания достигает уровня, доставляемого при статической дисциплине, и с дальнейшим ростом у превосходит его.

Полученные результаты, помимо основной наРис. 3. Г рафики зависимостей п = /(у) для статического распа- правленности на оценку раллеливания с приемом записей в раздельные секции БН и необходимых объемов бу-

для динамического распараллеливания с приемом в общий БН ферных зон, могут быть

1

,=1

обобщены как исследование дисциплин диспетчеризации в системах с приоритетами. Такое обобщение возможно, во-первых, вследствие наличия аппарата, подкрепленного экспериментальной проверкой методом статистического моделирования, позволяющего рассчитать проект в виде объемов БН для заявок на обслуживание при заданных параметрах входных потоков. Во-вторых, расчеты по формулам, полученным выше, дают возможность найти области устойчивого поведения критерия при колебаниях этих параметров. В-третьих, результаты работы дают направление для косвенной оптимизации характеристик системы, для варьирования параметров ее структуры, обеспечивающих снижение вероятностей потери заявок высоких приоритетов за счет ухудшения условий обслуживания менее приоритетных заявок.

ЛИТЕРАТУРА

1. Логвин А.И., Соломенцев В.В. Спутниковые системы навигации и управление воздушным движением: Учебное пособие. - М.: МГТУ ГА, 2005.

2. Ребров В.А., Рудельсон Л.Е. Обработка плановых сообщений в общей очереди с относительными приоритетами. // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Прикладная математика. Информатика, № 105, 2006.

3. Башарин Г.П. Об однолинейной системе с эрланговским распределением времени обслуживания для заявок различных видов. // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1966, № 3.

4. Ребров В.А., Рудельсон Л.Е., Черникова М.А. Модель сбора и обработки заявок на полеты в задаче планирования авиарейсов. // Известия Российской Академии наук. Теория и системы управления, 2007, № 3.

DYNAMIC ARRANGEMENT OF PRIORITY PROCESSING ON THE COMPUTER NETWORK

Perebeynos S.A., Chernikova M.A.

The model of multichannel system of mass service with priorities for dynamic distribution disciplines of calculations is considered. The model is based on a hypothesis about an equilibrium condition of turns of streams of applications both in general and in the divided buffer store. Estimations for probabilities of loss of applications for each entrance stream are received. Results of statistical modeling are showed.

Сведения об авторах

Перебейнос Сергей Александрович, 1985 г.р., окончил МГТУ ГА (2007), аспирант кафедры управления воздушным движением МГТУ ГА, автор 3 научных работ, область научных интересов -программное обеспечение планирования полетов воздушных судов.

Черникова Марина Александровна, окончила МГТУ ГА (2004), аспирант кафедры вычислительных машин, комплексов, систем и сетей, автор 17 научных работ, область научных интересов - программное обеспечение планирования полетов воздушных судов.