ДИНАМИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ 3D-МОДЕЛЬ ШПИНДЕЛЯ ШЛИФОВАЛЬНОГО СТАНКА. ГИБРИДНЫЙ СПОСОБ МОДЕЛИРОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.9.06 doi: 10.18698/0536-1044-2022-9-43-53

Динамическая диагностическая 3D-модель шпинделя шлифовального станка. Гибридный способ моделирования

А.Г. Ширшов

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Dynamic Diagnostic 3D Simulation of a Grinding Machine Spindle. Hybrid Simulation Method

A.G. Shirshov

Bauman Moscow State Technical University

На примере шпинделя шлифовального станка рассмотрен гибридный (численно-аналитический) способ моделирования ротора с жестким валом. Описана пространственная динамическая модель ротора с учетом асимметрии жесткости опор, построенная этим способом. Показано, что благодаря введению асимметрии жесткости опор пространственная модель позволяет объяснить ряд физических явлений, включая расщепление частоты в спектре, которые принципиально невозможно объяснить при использовании плоских осесимметричных моделей.

Ключевые слова: гибридный способ моделирования, пространственная динамическая модель, асимметрия жесткости опор, вибродиагностика ротора, шпиндель шлифовального станка, ротор

We use a grinding machine spindle as an example to consider a hybrid (numerical and analytical) method of simulating a rotor with a rigid shaft. The paper describes a spatial dynamic model of the rotor constructed via this method that takes into account support stiffness asymmetry. We show that introducing support stiffness asymmetry allows the spatial simulation to explain a number of physical phenomena, including spectrum frequency splitting, which are fundamentally impossible to explain when using flat axially symmetric models.

Keywords: hybrid simulation method, spatial dynamic model, support stiffness asymmetry, rotor vibration diagnostics, grinding machine spindle

Для моделирования динамических свойств и построения диагностических моделей роторных систем часто используют плоскую расчетную схему в виде многоопорной балки [1, 2]. Плоскую модель выбирают из допущения, что свойства реальной конструкции близки к таковым для осесимметричной модели вала на упругих опорах. В частности, предполагают, что

жесткость опор вала шпинделя не изменяется по углу поворота.

Однако эти предположения не могут быть приняты при построении диагностической модели ротора, так как его реальные опоры обладают жесткостной и диссипативной асимметрией, т. е. его жесткостные и диссипативные свойства различны по углу поворота ротора.

* Исследование выполнено в рамках проекта № 0705-2020-0034 «Научное обоснование и разработка виброакустических методов высокого разрешения для исследования и испытаний изделий машиностроения в рамках концепции «цифровое производство».

Асимметрия приводит к явлениям, необъяснимым в рамках плоской модели.

Основным является расщепление частот на спектре. Кроме того, с ростом асимметрии уменьшается предельная амплитуда вибраций при попадании на резонансную частоту, т. е. негативный эффект от резонанса снижается. Асимметрию жесткости опоры можно учесть только в пространственной модели ротора. Соответственно, только пространственные модели пригодны для вибродиагностики ротора.

Другим распространенным подходом к решению задач динамики ротора является использование программ конечно-элементного моделирования (ANSYS, Nastran и др.). Их применение требует достаточно высокой квалификации, так как ошибочный выбор типа конечного элемента и прочих условий моделирования приведет к некорректным результатам.

Предлагаемая далее расчетная модель существенно проще для понимания, что делает использование CAE-программ неоптимальным решением. Следует отметить, что CAE-программа не поможет, если в ней создавать осесимметричные модели.

Рассмотрим применение гибридного способа построения диагностических моделей роторов на примере шпинделя шлифовального станка (рис. 1). При этом способе матрицы жесткости и инерции формируют аналитически, но с использованием правил метода конечных элементов, после чего применяют численные методы для определения собственных частот и форм колебаний и получения частотных характеристик.

Аналитическая модель позволяет определить зависимости между физическими величи-

нами. Численные методы используют в случаях, когда аналитические преобразования становятся слишком сложными. Сочетание аналитических и численных подходов снижает сложность гибридной модели, что упрощает понимание и анализ физических процессов и достижение прочих целей расчета.

Цель работы — показать, что для адекватной вибродиагностики ротора подходят не плоские, а пространственные осесимметричные модели, и продемонстрировать простоту и мощь гибридного способа моделирования. Предполагается, что созданные таким способом модели могут быть полезными при экспресс-диагностике роторов, в частности шпиндельных узлов станков.

Формирование динамической модели шпинделя. Вал 2 шпинделя шлифовальной бабки (см. рис. 1) установлен в двух гидродинамических подшипниках скольжения 3 [3]. Подшипники имеют по три одинаковых вкладыша, которые представляют собой отдельные сегменты. Вкладыши сферическими лунками опираются на винты 4 со сферическими головками, вследствие чего вкладыши самоустанавливаются по шейкам шпинделя. Эти винты имеют мелкую резьбу. Вращая винты, можно тонко регулировать зазор между сегментом и валом. На конце вала насажен шлифовальный круг 1.

Построим модель этого шпинделя. Вал шпинделя со шлифовальным кругом примем за одно абсолютно жесткое тело, вращающееся с постоянной скоростью вокруг горизонтальной оси (рис. 2). Трехсегментные упругие опоры расположены в плоскостях Оху и 02х2у2 под

Рис. 1. Схема шлифовальной бабки шлифовального станка

ственных значениях, т. е. решить следующее уравнение:

(1)

[ М ]{и} + [ К ]{ы} = 0,

Рис. 2. Расчетные схемы абсолютно жесткого вала на упругих опорах (с, — коэффициент демпфирования; г = 1, ..., 6; ю — круговая частота вращения): а — вид сбоку; б — передняя опора; в — задняя опора

углом 120° (рис. 2, б и в). Пусть жесткости пружин постоянны и равны к г = 1,..., 6.

Будем считать, что в точке О на оси вала находится его центр масс, т. е. в ней расположена сосредоточенная масса, значение которой равно т. Моменты инерции вокруг осей х и у равны 1х и 1у соответственно. Расстояние от центра масс до передней опоры равно 11, до задней — 12, расстояние от переднего конца вала до центра масс — 13.

Для исследования динамических характеристик шпинделя требуется решить задачу о соб-

где [М] — глобальная матрица инерции ротора (вала на опорах); {и} и {и} — вектор ускорений и перемещений рассматриваемой точки системы соответственно; [К ] — глобальная матрица жесткости.

Уравнение динамики (1) составляют для одной точки. В случае вала шпинделя исследования проводят для переднего торца шпинделя — точки О3, так как ее смещения существенно сказываются на точности обработки на станке. Соответственно, уравнение (1) составляют для точки О3.

Коэффициенты демпфирования, рассчитанные только по справочным данным, определяются с большой погрешностью (до 50...100 %). Чтобы не терять достоверность расчетов, используют модальные коэффициенты демпфирования, получаемые при испытаниях конкретной конструкции или рассчитанные по результатам испытаний опор [4-6]. По этой причине в динамической модели нет слагаемого, связанного с вязким сопротивлением.

Для получения глобальной матрицы жесткости [К] сначала составим матричное уравнение, связывающее упругие силы реакции в опорах с упругими перемещениями в точках О1 и О2. Примем и1х и и1у — перемещения точки О1 передней опоры, и2х и и2 у — перемещения точки О2 задней опоры. Соответственно, для точки О1 упругими реакциями опор являются силы Ркх1 и Рку1, для точки О2 — Ркх2 и Рку2. Матричное уравнение, связывающее силы реакции с упругими перемещениями:

(2)

Ркх1 кп к32 к33 к*4 их1

Рку1 к21 к* к* к22 к23 к24 иу1

Ркх 2 к31 к* к* к32 к33 к334 их2

Рку2 _к4*1 к * к * к42 к43 к к44 иу 2

[К3 ]

где [К * ] — глобальная матрица жесткости в координатах опор вала; ки = (4к1 + к2 + к3)/4; к*2 = к21 = 73/4 (кз - к2); к2*2 = 3/4 к + кз);

ки = (4к4 + к5 + кб)/4; к34 = к4з = >/3/4 (кб - к5);

км = 3/4 (к5 + кб); кх33 = к34 = к^ = к24 = кп = к32 =

= к*41 = к*42 = 0.

Для перехода в координатную систему точки О3 необходимо составить матричное урав-

нение равновесия между упругими силами и моментами в точке 03 Мкх3, Мку3 и в точках О1 и 02:

Fkx 3

Fky 3

Mkx 3

_ Mky 3 _

1 0 1 0 " Fkx1

0 1 0 1 Fky1

0 /1+/3 0 /1 + /2 + /3 Fkx

/1+/3 0 /1 + /2 + /3 0 Fky 2

(3)

Ux1 Ux 3

Uy1 = [Tk ] Uy3 . (4)

Ux 2 фх 3

Uy2 _фy 3 _

[K] = T ]T [к• ][Tk ] =

кц k12 k13 k14

k21 k22 k23 k24

k31 k32 k33 k34

k41 k42 k43 k44

где

, , , k2 k5 k6

k11 = k1 + — + — + k4 + — +—; 4 4 4 4

л/3 л/3

k21 = k12 =— (k3 - k2) +—(k6 - k5);

4 4

3

k22 = —(k2 + k3 + k5 + k6);

4

V3

k31 = k13 =— (k3 - k2)tt + /3) +

4

л/3

+ — (k6 -k5)(/1 + /2 + /3);

4

3

k32 = k23 = -(k2 + k3)(/1 + /3) +

4

3

+ - (k5 + k6>(/1 + /2 + /3);

4

[Tk ]T

где [Tk ] — матрица преобразования для сил упругости.

Также составим уравнение связи координат для точек 01, 02 и 03:

где их3, иу3 и фх3, фу3 — линейные и угловые перемещения точки 03 соответственно.

С учетом уравнений (2)-(4) глобальная матрица жесткости приобретает вид

к33 = -(к2 + к3)й + ¡3? +

4

3

+ - (к5 + кб)(11 + ¡2 + ¡3)2;

4

к41 = к14 = ^ к1 + ^^ + к^ ) (¡1+ ¡3) +

+^ к4+^+^ ) (¡1+¡2+¡3);

>/3

к42 = к24 =-(к3 - к2)й + ¡3) +

4

л/3

+ — (кб -к5)й + ¡2 + ¡3);

4

л/3

к43 = к34 =— (к3 - к2)^1 + ¡3)2 +

4

+ —(к - к5)^1 + ¡2 + ¡3)2;

4

к44=^ к1++к1 ) (¡1+¡3)2+

+ ( к4 + + ^ (¡1 + ¡2 + ¡3)2.

Аналогично, для получения глобальной матрицы инерции [М] сначала надо составить матричное уравнение для точки О, где расположена сосредоточенная масса. Это уравнение связывает силы ¥тх, ¥ту и моменты Мтх, Мту с линейными их, иу и угловыми фх, фу ускорениями:

(5)

F " ± mx m 0 0 0 " U x

F ± my 0 m 0 0 U y

M mx 0 0 Ix 0 ф x

M iv ±my 0 0 0 Iy _ _(py _

[ М* ]

где [М * ] — глобальная матрица масс в координатах ху точки О .

Чтобы в уравнениях (2) и (3) перейти в координаты точки 03 , следует составить матричное уравнение, связывающее силы инерции точек О и 03:

(6)

F " mx ~ 1 0 0 0" Fmx3

F my 0 1 0 0 Fmy 3

M mx 0 /3 1 0 ■Mmx3

M > 0 0 1 ■Mmy 3

[Tm ]T

где [Tm] — матрица преобразования для сил инерции.

Также надо составить уравнение связи ускорений точек О и 03:

(7)

U x "1 0 0 l3" U x 3

U y 0 1 l3 0 U y 3

Ф x 0 0 1 0 Ф x 3

Ф y _ 0 0 0 1 _ф y 3

"Tm ]

С учетом уравнений (5)-(7), глобальная матрица инерции принимает вид

[ м ] = \тт ]т [ м * ][гт ] =

m 0 0

l3m

0 0

m l3m

l3m Ix + l|m

0 0

l3m 0 0

Iy + l2m

Матрицы [M] и [К] симметричны относительно своих главных диагоналей.

Решение задачи о собственных значениях и построение амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). Имея глобальные матрицы жесткости [К ] и инерции [M], можно решать задачу о собственных значениях [7]. Решение задачи аналитическими методами слишком трудоемко, поэтому будем использовать численные методы.

Для выполнения расчетов используем интерактивную среду JupyterLab [8]. Код на языке Python 3.10 [9]. Основные операции по обработке матриц будут выполняться с помощью библиотеки Numpy [10], а построение графиков — с помощью библиотеки Matplotlib [11].

Исходные данные [3]:

• сосредоточенная масса вала m = 86 кг;

• момент инерции вала вокруг оси x Ix = = 3,4 кг-м2;

• момент инерции вала вокруг оси y Iy = Ix;

• жесткость пружины k = 2,1-109 Н/м;

• коэффициент демпфирования с =1,85 х X 105 Н-с/м;

• длина l1 = 0,01 м;

• длина l2 = 0,37 м;

• длина l3 = 0,18 м;

• относительный коэффициент демпфирования l = 0,05.

Если жесткости всех пружин равны (ki = k2 = k3 = k4 = k5 = k6 = k), имеем следующие собственные частоты f, Гц:

• 805,112933;

• 805,112933;

• 2144,40620;

• 2144,40620.

Получили две пары собственных частот: 805 и 2144 Гц. Следует отметить, что эти частоты не просто близки по значению, а совпадают с высокой точностью (не менее пяти знаков после запятой).

Собственные векторы, соответствующие найденным собственным частотам:

• [-0,4325 0 2,04-10-16 0,90163]Т;

• [-4,8025 -10-2 0 2,27-10-16 0,99885]Т;

• [-0,0217 0,0428 -0,8909 0,45147]Т;

• [-0,0174 -0,4321 0,9009 0,0363]Т.

Построим АЧХ для данного случая. АЧХ представляет собой графическую зависимость модальной податливости от частоты /. Здесь р — индекс координаты реакции; , — индекс координаты входного воздействия. Применительно к трехмерной модели: х ^ 1, у ^ 2, ^ ^ 3, а ^ 4, Р ^ 5, у ^ 6, где а, Р и У — угловые координаты: углы поворота вокруг оси х , у и ^ соответственно.

Податливость в общем понимании этого термина есть отношение упругого смещения к вызвавшей его силе. Модальная податливость — отношение реакции (линейное или угловое перемещение) к величине вызвавшего ее воздействия (силе или моменту).

Модальная податливость определяется выражением [4]

hpq (f) = ^ = X

ф pk фqk

Fq k=1

ю

ok

1 -

f

V fok J

+ 2 ilk

f f_ ^

V fok J

, (8)

где Хр — реакция (линейное или угловое перемещение) по координате р; ^ — воздействие (сила или момент) по координате q; фрк — значение р-й строки и к-го столбца нормированной модальной матрицы; ф,к — значение q-й строки и к-го столбца нормированной модальной матрицы; юок — к-я круговая собственная частота; / — частота, для которой определяем модальную податливость; /ок — к-я собственная частота, к = 1,..., п (п — число степеней свободы рассматриваемой системы); ) — мнимая единица; — модальный коэф-

h, нм/Н

а

h • 10"6, град/Н

500 1000 ' 1500 2000^144/ Гц

б

Рис. 3. АЧХ ротора при отсутствии асимметрии жесткости (k1 = k2 = k3 = k4 = k5 = k6 = k) в линейных (а) и угловых (б) координатах

фициент демпфирования для k-го значения собственной частоты fok.

При наличии экспериментальных значений коэффициентов демпфирования их можно подставить в уравнение (8).

АЧХ ротора для данного случая показаны на рис. 3, где h — модальная податливость. Согласно рис. 3, на частотах 805 и 2144 Гц имеются пары совпадающих пиков, и стороннему наблюдателю будет казаться, что в спектре есть только два пика. Динамическое усилие прикладывается на торце вала по некоторой линейной или угловой координате. Максимальное смещение, вызванное этой нагрузкой, снимается в той же точке вала по той же координате.

На рис. 3, а сплошные линии соответствуют приложению усилия и считыванию смещения вдоль оси y, штриховые — вдоль оси z. На рис. 3, б сплошные линии соответствуют приложению усилия и считыванию углового смещения вдоль координаты Р, штриховые — вдоль координаты у.

Влияние асимметрии жесткости опор вала на расщепление частот на спектре и высоту пиков АЧХ. Определим, как увеличение степени асимметрии жесткости опор вала влияет на собственные частоты и высоту пиков. Пусть V = kx оп/ky оп, где kx оп и ky оп — жесткость опоры вала по вертикали и горизонтали соответственно. Жесткости пружины, наклоненной

под углом ф к оси х, вдоль координатных осей х и y определяются следующим образом:

kx = k cos2 ф; ky = k sin2 ф.

Квадрат у косинуса обусловлен тем, что один косинус есть результат проекции силы растяжения-сжатия пружины на ось х, а другой — результат проекции изменения длины пружины на ось х. Аналогичным образом получается квадрат синуса.

Жесткость опоры до введения асимметрии (ki = k2 = k3 = k):

• вдоль оси х

kx оп = k cos2 0o + k cos2120° + k cos2 240° = 1,5k;

• вдоль оси y

ky оп = k sin2 0° + k sin2120° + k sin2 240° = 1,5k.

Таким образом, для обеспечения асимметрии жесткости опор вала ^ к жесткости горизонтальных пружин k1 и k4 необходимо добавить жесткость 1,5k(1

Пусть значения асимметрии жесткости опор вала у = [1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5]. Подставив для каждого случая жесткости в глобальную матрицу жесткости и решив задачу о собственных значениях, получим АЧХ для различных значений асимметрии жесткости опор ^ (рис. 4). На графиках в линейных координатах (слева) сплошные линии соответствуют приложению усилия и считыванию смещения на переднем конце вала вдоль оси y, штриховые — вдоль оси z. На графиках в угловых координатах (справа) сплошные линии соответствуют приложению усилия и считыванию углового смещения на переднем конце вала вдоль координаты Р, штриховые — вдоль координаты у.

Согласно полученному графику, с ростом асимметрии жесткости опор вала происходит расщепление пиков и их отдаление друг от друга, при этом высота пиков постепенно уменьшается. Значение расщепления частоты линейно зависит от степени асимметрии

Влияние угла наклона силы на АЧХ. Пусть сила F поворачивается на некоторый угол ф, как показано на рис. 5.

Модальная податливость h11 (воздействие подается по оси х, реакция снимается по оси х) есть отношение реакции х к динамическому усилию Fx: h11 = х/Fx. Когда сила F наклонена на угол ф относительно оси х, то динамиче-

h - КГ6, град/Н

Рис. 4. Расщепление частоты с ростом асимметрии жесткости опор вала в линейных (слева) и угловых (справа) координатах при различных значениях степени асимметрии жесткости опор вала:

а — у= 0 %; б — у= 10 %; в — у= 20 %; г — у = 30 %; д — у = 40 %; е — у = 50 %

ское воздействие вдоль оси x составит F cosф . Тогда модальная податливость с учетом угла поворота ф йцф = hncosф. Рассуждая аналогично, для оси y получаем, что Н22ф = h22 sinф.

Таким образом, поворот вектора силы F вокруг оси вала влияет только на высоту пиков на графике АЧХ и не приводит к смещению частот на спектре. Изменение высоты пиков АЧХ показано на рис. 6. Собственная частота для всех значений угла поворота ф составляла 805 Гц. На рис. 6 серые линии соот-

ветствуют приложению усилия и смещению на переднем конце вала вдоль оси у, черные — вдоль оси 2 .

Влияние угла поворота опор вала на АЧХ.

При повороте опоры углы наклона пружин становятся отличными от 0, 120 и 240°. В этом случае следует заново определить проекции сил упругих реакций отдельных пружин на оси х и у. Глобальная матрица жесткости [Кф ] в функции угла поворота ф имеет вид

[ * ф ] = Т ]T =

кц к12 0 0

к21 к22 0 0

0 0 к33 к34

0 0 к43 к44

[Тк ],

где

к11 = к1 cos2 ф + к2 sin21 ф + П| + к3 cos2 (ф + П |;

к12 = к1 sin фcos ф-к2 sin | Ф + ~ | cos | Ф + ~ | +

, . ( п \ ( п \

+ к3 sin I ф + ~ I cos I ф + ~ I;

к21 = к12 ;

к22 = к1 sin2 ф + к2 cos2 ^ф + П| + к3 sin2 ^ф + П|; к33 = к4 cos2 ф + к5 sin2 ^ф + П| + к6 cos2 ^ ф + П|;

к34 = к4 sin фcos ф-к5 sin ^ ф + ~ | cos (ф + п |+

, . ( п ^ ( п ^ + к6 sin I ф + — I cos I ф + — I;

к43 = к34;

к44 = к5 sin2 ф + к6 cos2[ ф + -П | + к7 sin2[ ф + -П

2 X

Рис. 5. Схема поворота силы Р вокруг оси г

АЧХ ротора при угле их поворота ф= 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105 и 120° в линейных и угловых координатах приведены на рис. 7. На графиках в линейных координатах (слева) сплошные линии соответствуют приложению усилия и смещению на переднем конце вала вдоль оси у, штриховые — вдоль оси г. В угловых координатах (справа) сплошные линии соответствуют приложению усилия и смещению на переднем конце вала вдоль координаты Р, штриховые — вдоль координаты у. Согласно полученным графикам, поворот опоры не при-

600 8001000 600 800 1000 600 800 1000 600 8001000 600 8001000 600 8001000 600 800 /, Гц

а б в г д е ж

Рис. 6. Изменение высоты пиков АЧХ ротора с ростом угла его поворота: а — ф= 0°; б — ф= 15°; в — ф= 30°; г — ф= 45°; д — ф= 60°; е — ф= 75°; ж — ф= 90°

водит к смещению собственных частот на спек- Диагностическая модель построена для тре, а только вызывает колебания высот пиков шпинделя шлифовального станка на гидроста-от нуля до их максимальных значений. тических опорах, но такой способ можно при-

к, нм/Н Ют

к ■ 10"6, град/Н

750

800

850

900 /, Гц

750

800

850

900 / Гц

Рис. 7. Изменение АЧХ ротора в линейных (слева) и угловых (справа) координатах при асимметрии жесткости 50 % и различных значениях угла поворота опор: а — ф= 0°; б — ф= 15°; в — ф= 30°; г — ф= 45°; д — ф= 60°; е — ф= 75°; ж — ф= 90°; з — ф= 105°; и — ф= 120°

менять и для моделирования динамики шпиндельных узлов металлорежущих станков другого типа, в том числе на опорах качения.

Выводы

1. Получена диагностическая модель, позволяющая выявлять такие явления, как расщепление собственных частот и зависимость АЧХ ротора от угла ее поворота.

2. Установлено, что необходимым условием адекватного моделирования роторов в процессе диагностирования является использование трехмерной модели опор, т. е. двух взаимно перпендикулярных пружин в каждой опоре.

3. Несмотря на простоту, полученная модель позволяет решать практические задачи диагностирования роторов, включая учет влияния асимметрии жесткости и предварительного натяга опор на динамические свойства шпинделей.

Литература

[1] Хомяков В.С., Кочинев Н.А., Сабиров Ф.С. Моделирование и расчет динамических ха-

рактеристик шпиндельных узлов. Вестник УГАТУ, 2009, т. 12, № 2, с. 69-75.

[2] Сабиров Ф.С., Боган А.Н., Михайлов И.С. Динамические характеристики шпиндель-

ных узлов партии токарных станков с ЧПУ. Станкостроение и инновационное машиностроение. Проблемы и точки роста. Уфа, УГАТУ, 2020, с. 164-168.

[3] Рагульскис К.М., ред. Автоматизированный расчет колебаний машин. Ленинград,

Машиностроение, 1988. 100 с.

[4] Досько С.И. Параметрическая идентификация упругих систем станков (модальный

анализ). Дисс. ... канд. тех. наук. Москва, Мосстанкин, 1987. 242 с.

[5] Хомяков В.С., Досько С.И. Об учете демпфирования при динамических расчетах стан-

ков. Станки и инструмент, 1990, № 11, с. 4-7.

[6] Хомяков В.С., Досько С.И., Лю Ц. Идентификация упругих систем станков на основе

модального анализа. Станки и инструмент, 1988, № 7, с. 11-14.

[7] Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Москва, Физ-

матгиз, 1960. 656 с.

[8] JupyterLab: a next-generation notebook interface. URL: https://jupyter.org/ (дата обращения:

05.05.2022).

[9] Python: a programming language. URL https://www.python.org/ (дата обращения:

05.05.2022).

[10] Harris C.R., Millman K.J., van der Walt S.J. et al. Array programming with NumPy. Nature, 2020, vol. 585, pp. 357-362, doi: https://doi.org/10.1038/s41586-020-2649-2

[11] Hunter J.D. Matplotlib: a 2D graphics environment. Comput. Sci. Eng., 2007, vol. 9, no. 3, pp. 90-95, doi: https://doi.org/10.1109/MCSE.2007.55

References

[1] Khomyakov V.S., Kochinev N.A., Sabirov F.S. The modeling and calculation of dynamics of

spindle assemblies. Vestnik UGATU, 2009, vol. 12, no. 2, pp. 69-75. (In Russ.).

[2] Sabirov F.S., Bogan A.N., Mikhaylov I.S. [Dynamic characteristics of spindle units of CNC

lathes batch]. Stankostroenie i innovatsionnoe mashinostroenie. Problemy i tochki rosta [Machine-tool building and innovative machine building. Problems and growth points]. Ufa, UGATU Publ., 2020, pp. 164-168. (In Russ.).

[3] Ragul'skis K.M., ed. Avtomatizirovannyy raschet kolebaniy mashin [Automated calculation of

machines oscillations]. Leningrad, Mashinostroenie Publ., 1988. 100 p. (In Russ.).

[4] Dos'ko S.I. Parametricheskaya identifikatsiya uprugikh sistem stankov (modal'nyy analiz).

Diss. kand. tekh. nauk [Parametric identification of mchines elastic systems (modal analysis). Kand. tech. sci. diss.]. Moscow, Mosstankin Publ., 1987. 242 p. (In Russ.).

[5] Khomyakov V.S., Dos'ko S.I. On taking into account damping property in dynamic compu-

tation of machines. Stanki i instrument, 1990, no. 11, pp. 4-7. (In Russ.).

[6] Khomyakov V.S., Dos'ko S.I., Lyu Ts. Identification of elastic machine systems based on

modal analysis. Stanki i instrument, 1988, no. 7, pp. 11-14. (In Russ.).

[7] Faddeev D.K., Faddeeva V.N. Vychislitel'nye metody lineynoy algebry [Computational meth-

ods of linear algebra]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1960. 656 p. (In Russ.).

[8] JupyterLab: a next-generation notebook interface. URL: https://jupyter.org/ (accessed:

05.05.2022).

[9] Python: a programming language. URL https://www.python.org/ (accessed: 05.05.2022).

[10] Harris C.R., Millman K.J., van der Walt S.J. et al. Array programming with NumPy. Nature, 2020, vol. 585, pp. 357-362, doi: https://doi.org/10.1038/s41586-020-2649-2

[11] Hunter J.D. Matplotlib: a 2D graphics environment. Comput. Sci. Eng., 2007, vol. 9, no. 3, pp. 90-95, doi: https://doi.org/10.1109/MCSE.2007.55

Информация об авторе

ШИРШОВ Андрей Геннадьевич — инженер кафедры «Металлорежущие станки». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул. д. 5, к. 1, e-mail: sh.andr.gen@yandex.ru).

Статья поступила в редакцию 14.06.2022 Information about the author

Shirshov Andrey Gennadievich — Engineer, Department of Machine Tools. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1, e-mail: sh.andr.gen@yandex.ru).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Ширшов А.Г. Динамическая диагностическая 3D-модель шпинделя шлифовального станка. Гибридный способ моделирования. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2022, № 9, с. 43-53, doi: 10.18698/0536-1044-2022-9-43-53

Please cite this article in English as: Shirshov A.G. Dynamic Diagnostic 3D Simulation of a Grinding Machine Spindle. Hybrid Simulation Method. BMSTU Journal of Mechanical Engineering, 2022, no. 9, pp. 43-53, doi: 10.18698/0536-1044-2022-9-43-53

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана предлагает читателям учебник

«Инженерная графика» Авторы: Л.С. Сенченкова, Н.В. Палий, А.Ю. Горячкина

Учебник разработан в соответствии с ФГОС ВО по направлению подготовки 15.03.01 Машиностроение (уровень бакалавриата) и спе-циалитета 15.05.01 Проектирование технологических машин и комплексов (уровень специалитета) и полностью соответствует рабочей программе дисциплины «Инженерная графика», читаемой в МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Согласно стандартам Единой системы конструкторской документации (ЕСКД), представлены определения и правила, даны рекомендации по выбору изображений деталей, изложены правила нанесения размеров. Показана последовательность выполнения изображений сборочной единицы с натуры, приведены правила составления спецификации и выполнения чертежей деталей по чертежу сборочной единицы, а также основные правила классификации и обозначения изделий в конструкторских документах. Рассмотрены особенности составления чертежей отдельных видов изделий.

Для студентов, изучающих дисциплину «Инженерная графика» в высших учебных заведениях.

По вопросам приобретения обращайтесь:

105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, к. 1. Тел.: +7 499 263-60-45, факс: +7 499 261-45-97; press@baumanpress.ru; https://bmstu.press