Димер в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 538.22

А. В. Силантьев A. V. Silant’ev

Марийский государственный университет, г. Йошкар-Ола Mari State University, Yoshkar-Ola

Димер в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций Hubbard model dimer in the approximation of statical fluctuations

В приближении статических флуктуаций вычислены антикоммутаторные функции Грина и энергетический спектр для димера в модели Хаббарда, а также энергетический спектр молекулы водорода в модели Хаббарда.

Anticommutator Green functions and the dimer energy spectrum in Hubbard model and the hydrogen molecule energy spectrum in Hubbard model are calculated in the approximation of statical fluctuations.

Ключевые слова: модель Хаббарда, функции Грина, энергетический спектр, наносистемы, димер, молекула водорода.

Key words: Hubbard model, Green functions, energy spectrum, nanosystems, dimer, molecule of hydrogen.

Модель Хаббарда [8] является одной из моделей, которая широко используется для теоретического описания сильно коррелируемых электронных систем [3]. В настоящее время эта модель также используется для описания свойств наносистем [6].

Целью данной работы является изучение димера в рамках модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций. Как известно [9], структурным элементом к - (ЕТ)2 X и в - (ЕТ)2 X солей является

димер, который образован двумя молекулами ЕТ, причем в качестве модели для описания димера используется модель Хаббарда. Кроме того, димер в рамках модели Хаббарда используется в качестве модели двухатомных молекул. Например, в [1] димер используется в качестве модели молекулы водорода, а в [10] димер используется в качестве модели как молекулы водорода, так и двухатомных гетерополярных молекул, таких как ЫИ.

Димер в модели Хаббарда описывается следующим Гамильтонианом:

Н =Х[£-( П1о + П2о)+ t •(c

dcf а dt

= e • ct f t • c+. f U • c

f° j°

fo- fo- ■

(2)

где т = її, у Ф / .

Решение уравнения (2) будем искать, используя метод статических флуктуаций [7]. Следуя этому методу, оператор числа электронов п/а на узле / со спином а запишем в виде

п/а=(п/^ + Дп/а, (3)

где [п^ — среднее число электронов на узле / со спином а ; Дп}а — оператор флуктуации числа электронов на узле / со спином а , при чем предполагается, что оператор Дп/а не зависит от времени.

После подстановки (3) в (2) уравнение движения для оператора с+а(т) примет вид

dc

f а

dt

(4)

(1)

где сіа, сіа — операторы рождения и уничтожения электронов со спином а на узле ї; па — оператор числа частиц со спином а на узле ї; е — собственная энергия электрона; ї — интеграл переноса, описывающий перескоки электронов с одного узла на другой узел; и — энергия кулоновского отталкивания двух электронов, находящихся на одном узле; а = -а .

Запишем уравнение движения для оператора

fа

(t), заданного в представлении Гейзенберга,

где + и/(п/а), ї Ф I .

Умножим (4) на оператор Дп/а и учтем, что

(М/а) ааДП/а+Р% , где аа= 1 - 2(н/а), =

= (п/а^^1 -^п/0)\ . В результате получим ё (с+аДпгЛ , .

-----ёТ------= (/ + и/а/а ) С+аДп/а + (5)

+ / • + и/ с++а,

где і Ф / .

Аналогичным образом можно получить уравнения движения и для операторов с+аДп с+тДп/аДп1^а . Для

f

того чтобы получить замкнутую систему дифференциальных уравнений, запишем уравнения движения для °перат°р°в с+ст, с2+ст, , с1Ап^, с+ст Ди2^,

сС2о Дп1о, С+т Дп10 Дп20, С+гоДп1оДп2о :

йс+

йт

й (С+оДп1о)

1СТ = « + * • с2+а + и • с1+а ДН1а ,

ёт

- = (< + иаіа) с1аДпіа + І • с2+а Дніа +

+ и^ Ріасіс

ё (с1+аДН2а)

ёт

ё ( сі+стДпіаДп2а)

= Єі'СТсі+СТДН2а +1 • с2+аДН2а + и • С^іаДП2а ,

ёт

= (Єіа + иаіа ) сі+аДніа^2а +

+ * • с2+аДніаДП2а + и • ^іОр сі+а ■ДН2а ,

ёс+

ёт

ёс

' есгс2ст + ^ • сіст + и • с2ст ДП2а ,

ёт

ёс+а

2СТ = < с2+а + І • сі+ст + и • с2+а Дн2а ,

= £; с2+ст+ / • с+ст+ и • с2+стДп2а ,

ёт

ё (с2+аДніа)

ёт

ё ( с2+аДн2аД«іа )

= Є'а с2а Дпі а +1 • сіа Дп іа + и • с^Дп2аДНа ,

ёт

= (Є2а + иа2а) с2+аДН2аДпіа +

(6)

+ *■ • с+а^2аДПіа + и • Р^.а^іа^іа .

Система уравнений (6) имеет точное аналитическое решение используя которое можно вычислить фурье-образ антикоммутаторных функций Грина:

=—•!-

са\СіаИЕ 2р т=і Е-Ет + ік

где

(Еі) = (Ег3 = (Ел) (Ей) ^ (М «оМ Н2а)+( «На)),

Ы =Кг) = К<) = 2(и^>,

(^5) =(е^ 2 ^ «і^ч«а- 2к н^)+и к ч «а]

(Кб) = (Ео5= ^ (( «аМ «а)-2(«аП2а) - ^ \( «?)-( «а)]

2 V..................Я

Еі = е + ї, =Е2 є-ї + и = Е3 е-ї, =Е4 е + ї + и,

Е5 = і (2е + и+g)f Еб і (2е + и - £>= я л/и2 + 4ї2.

рему [2] и функции Грина (7) мы получим:

«а) = Х( Еат) • /г (Ет ) =

(і0)

где /Е — функция распределения Ферми.

Аналогичным образом можно получить выражения для других корреляционных функций. В результате получается замкнутая система уравнений, решая которую получим

_ К

2К

(іі)

(7)

(8)

(9)

Энергетический спектр димера определяется полюсами Еі-Е6 функций Грина (7). Для того чтобы найти спектральный вес каждого энергетического состояния необходимо, как видно из (8), вычислить (піап2а), М, (п2а) . Используя спектральную тео-

(ИіаИ2а) = (ИіаИ2а) = ^ ,

где

К =\2/ (Е) /г (Еб)+ /¥ (Е2) +

+и (Е)-2/г (Е2) / ( Еа )]•/(3)+ /Е (Ез)],

К2 = /ґ (Е) Л (Еб )•/(Еі)+ Л (Ез)],

К=\і-/г (Е)+ /Е (Ез)+ / (Еі)- / (Е5)- / (Еб)/ (Е)+ (і2)

+\і+ /г ( Ез)+ /г ( 3)- /г ( Е5 )- /г (Еб )] /г ( Е ) +

+2 \/г (Е5)+ /Е (Еб)- /г (Е)- /г (Е)] /г (Е) /г (Е)+

+\2 + /г (Е)- /г (Е2)+ /г (Е3)- /г ( еа )] /Е (Е) /г (Еб). Уравнение на химпотенциал имеет вид 2(«а)= Н , (і3)

где п — это средняя концентрация электронов в системе.

С учетом соотношений (іі) и (і3) выражения для спектральных плотностей энергетических состояний (8) примут следующий вид

(Ріаі) ЧРа) =(Еаі) =Да) =

и(Е5)и(Еб)+/(Е2)^,/г(Е4)-2/(Е2)/„(Е4)'

2/г (Е5) /г (Еб)+/ (Е2)+/ (Е4 )-2/ (Е2) /г (Е4)

(Е,^) Ч^а4) =Еа2) =(^4) =

=Н_____________/„ (Е5) /„ (Еб)______________

2 2/г(Е)/г(Еб)+/(Е)+/(Е)-2/г(Е)/г(Е),

(гу Ч ^об) 4^205) =&*) =

= Н /р(Е1)+/р(Е4)-2/р(Е1)/р(Е4)

22/ (Е5) /р (Еб)+/ (Е2)+/ (Е4 )-2/ (Е2) /г (Е4) ■

Таким образом, энергетически спектр и спектральные плотности энергетических состояний димера определяется соотношениями (9) и (і4) соответственно.

Отметим, что функция Грина (7) при ї = 0 переходит в функцию Грина модели Хаббарда в атомном пределе [4]:

=±_ їі ч«а + («а і

2р 1Е - Еі + ік Е - Е2 + ікГ (і5)

Еі =е,= Е2 е+ и.

Рассмотрим также случай, когда оператор флуктуации числа частиц не зависит от номера узла, т. е.

і-и-

(і4)

Д=Га Д% Дт% . Тогда используя (11), можно показать, что в этом случае имеет место следующее соотношение

:Ы. (16)

Тогда антикоммутаторная функция Грина (7) примет следующий вид

(17)

Е1=е+ И, =Е2 е-И+и= Е е-И, Е4 е + И+и.

Выражение (17) совпадает с результатом работы [7], в которой функция Грина для димера была вычислена в приближении однородных статических флуктуаций.

Как известно из [10], димер в модели Хаббарда имеет точное решение, при этом энергетический спектр димера имеет следующий вид

I 1 1-І > < {<

Е - 2 + & Е і Е + & Е - Е4 + &

(18)

Е3 = е, е= е+и, ^ ^и^+лвй1.

В качестве примера рассмотрим молекулу водорода, рассматриваемую в виде димера. Как известно из квантовой химии [5], при образовании молекулы водорода атомные уровни двух атомов водорода расщепляются на два уровня. Нижний уровень соответствует связывающей орбитали, а верхний уровень — разрыхляющей орбитали. Таким образом, при образовании молекулы водорода из двух атомных орбиталей образуется две молекулярные орбитали. В случае димера два исходных энергетических уровня с энергией е , как видно из (9), (17) и (18), порождают более двух энергетических уровней. Для того чтобы димер можно было рассматривать как модель молекулы водорода и иметь соответствие с методом молекулярных орбиталей лишние энергетические уровни следует отбросить. В работе [10] при рассмотрении молекулы водорода в виде димера энергетические уровни с энергиями Е3 и Е4 были отброшены, а энергетический уровень с энергией Е1 был интерпретирован как энергетический уровень, который соответствует связывающей молекулярной орбитали, энергетический же уровень с энергией Е2 был интерпретирован как энергетический уровень, который соответствует разрыхляющей молекулярной орбитали. Энергию этих орбиталей обозначим соответственно через Е 0номо и Е 0шмо :

Е\има = 2(2е + и + я0=, ЕЕ

g0 =л/ и2 +16/2, где е — энергия электрона, находящегося на 18 орбитали атома водорода, т. е. е =-13,6 эВ [10].

Как и в работе [10], в (9) отбросим энергетические уровни с энергиями Е\ и Е2, а энергетическим уров-

ням Е5, Е6, которые по внешнему виду напоминают соответствующие выражения в (18), дадим ту же самую интерпретацию. Тогда в приближении статических флуктуаций энергетические уровни Е1имо, Еномо будут определяться следующим образом:

Еьимо = 2 (2е + и + g) , Е=омо 2 (2е + и — g) , (20)

= ЛІ и2 + М2.

Еномо можно

Зная энергетические уровни Е1имо найти глобальную электроотрицательность по Мал-ликену %м и химический потенциал т :

Хм = — 2 (ЕЬиМО + ЕНОМО ) —е — ~2 ,

2 2 (21) и

т = -мм= е+—.

Отметим, что полученный химический потенциал для молекулы водорода совпадает с химическим потенциалом для модели Хаббарда в атомном пределе в случае полузаполнения.

Для того чтобы получить численные значения для глобальной электроотрицательности по Малликену и химического потенциала запишем выражения для энергии ионизации и энергии сродства:

Е1 = -Еномо + и1 = - 2 (2е+ и - £) + и^

(22)

Еа Еьимо

- и, = - 2 (2е+ и + £)-и„

Е„

- (2е + и - я0),

2V &о! (19)

где и1 — энергия, на которую смещаются ЕНомо и Е1Ш1о при удалении и добавлении одного электрона, соответственно.

Как известно, для молекулы водорода Е1 ==5,427 эВ, Еа -3,58 эВ . Тогда из (22) можно определить и:

и = -2е -Е1 -Еа » 15,4 эВ . (23)

Подставляя (23) в (21) получим См ==,9 эВ; т -5,9 эВ . (24)

Используя (19) и (20) вычислим Е1Ш1о, Еномо для двух предельных случаев, когда и = 0 и И = 0. Соотношения (19) и (20) при и = 0 принимают вид

Еымо =е+|И| = Еномо е- И , (25)

где учтено, что И < 0.

Соотношения (19) и (20) при И = 0 принимают вид

Еьимо = е + и, Еномо = е . (26)

Теперь рассмотрим молекулу водорода в модели Хаббарда в приближении однородных статических флуктуаций, т. е. когда оператор флуктуации числа частиц не зависит от номера узла. В этом случае, как видно из (9) и (17) энергетические состояния, которые выше были взяты в качестве энергетических состояний, которые соответствуют связывающей и разрыхляющей орбиталям, отсутствуют. Поэтому в этом приближении из четырех энергетических состояний

димера в (17) возьмем те, которые удовлетворяют предельным условиям (25) и (26):

Еьимо = е + И + и = Еномо е - И . (27)

Подставляя (19) и (27) в (21), мы видим, что абсолютная электроотрицательность по Милликену, химический потенциал и энергия отталкивания двух электронов и, полученные тремя методами (точного решения, решения в приближении однородных статических флуктуаций и решения в приближении статических флуктуаций для произвольных Дл1- и Дл2й,), совпадают.

Отметим, что при рассмотрении молекулы водорода в приближении однородных статических флуктуаций мы фактически сформировали две хаббардов-ские подзоны молекулы водорода следующим образом. Из нижней хаббардовской подзоны димера мы отбросили энергетические состояния, которые соответствуют разрыхляющим орбиталям, а оставили энергетические состояния, которые соответствуют связывающим орбиталям. Из верхней хаббардовской подзоны димера мы отбросили энергетические состояния, которые соответствуют связывающим орбиталям, а оставили энергетические состояния, которые соответствуют разрыхляющим орбиталям. В приближении однородных статических флуктуаций можно использовать этот метод построения хаббардовских подзон для более сложных молекулярных систем. Согласно этому методу нижнюю хаббардовскую подзону молекулярной системы будут составлять энергетические состояния, которые соответствуют связывающим орбиталям, а верхнюю хаббардовскую подзону

будут составлять энергетические состояния, которые соответствуют разрыхляющим орбиталям. Поэтому при определении энергетического спектра молекулярной системы из всех энергетических состояний, получаемых из функции Грина, необходимо удалить лишние энергетические состояния. Из нижней хаббар-довской подзоны необходимо удалить состояния, соответствующие разрыхляющим орбиталям, а из верхней хаббардовской подзоны удалить состояния, которые отвечают связывающим орбиталям.

ЛИТЕРАТУРА

1.Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. — М.: Мир, 1979. — Т. 2. — 422 с.

2. Зубарев Д. Н. Двухвременные функции Грина в статистической физике // УФН. — 1960. — Т. 1. — № 1. — С. 71-116.

3.Изюмов Ю. А., Кацнельсон М. И., Скрябин Ю. Н. Магнетизм коллективизированных электронов. — М.: Наука, 1994. — С. 367.

4. Кузьмин Е. В. Петраковский Г. А., Завадский Э. А. Физика магнитоупорядоченных веществ. — Новосибирск: Наука, 1976. — 287 с.

5.Маррел Дж., Кетта С., Теддер Дж. Теория валентности. — М.: Мир, 1968. — 520 с.

6.Мурзашев А. И. Изучение электронных свойств ионизированных углеродных нанотрубок в модели Хаббарда // Известия вузов. Физика — 2010. — Т. 10. — C. 47-51.

7. Силантьев А. В. Применение метода статических флуктуаций к модели Хаббарда // Известия вузов. Поволжский регион. Физикоматематические науки. — 2011. — Т. 19. — C. 151-163.

8. Hubbard J. Electron correlations in narrow energy bands // Proceedings of the Royal Society A. — 1963. — V. 276. — P. 238-257.

9.McKenzie R. H. A strongly correlated electron model for the layered organic superconductors k-(BEDT-TTF)2X // Comments Cond. Mat. Phys. — 1998. — V. 18. — P. 309-317.

10. Meniry E. J. Introduction to the Hubbard Model. — University of Belfast, 2005. — 93 p.