CC BY
80
УДК 517.955
ДИГРАММЫ СТРЕТТА-АЙНСА ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ* Паровик Р.И.1,2
1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7
2 Филиал Дальневосточного Федерального государственного университета, 683031, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Тушканова, 11/1
E-mail: [email protected]
В работе исследовано решение обобщенного уравнения Матье. С помощью диаграмм Стретта-Айнса построены области неустойчивости, условие когда может возникнуть параметрический резонанс.
Ключевые слова: фрактальная размерность, параметрический резонанс, диаграмма Стретта-Айнса.
(с) Паровик Р.И., 2012
MSC 00A71
CHARTS STRUTT-INCE FOR GENERALIZED MATHIEU EQUATION Parovik R.I.1,2
1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia
2 Branch of the Far Eastern Federal State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Tushkanova st., 11/1, Russia
E-mail: [email protected]
We have investigated the solution of the generalized Mathieu equation. With the aid of diagrams Stratton-Ince built the instability region, the condition can occur when the parametric resonance.
Key words: fractal dimension, parametric resonance, chart Strutt-Ince
(c) Parovik R.I., 2012
*Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 11-01-90715.
ВВЕДЕНИЕ
С развитием теории фрактальных сред разрабатываются физические модели с интегро-дифференцированием дробного порядка [1]. В работе [2] была предложена обобщённая модель параметрического резонанса Матье. Уравнение в этой модели содержало в правой части дробный оператор дифференцирования порядка 1 < в < 2 по времени. Параметр в определял долю разрешенных состояний колебательной системы во фрактальной среде. Было получено решение модели в виде интегрального уравнения Вольтерра второго рода.
Эта работа является логическим продолжением работы [2] и направлена на исследование с помощью диаграмм Стретта-Айнса решения обобщенного уравнения Матье.
Необходимо отметить, что в работе [3] рассматривалось уравнение Матье с «фрактальным трением» и решение его исследовались в областях устойчивости или неустойчивости.
Исследуем области неустойчивости параметрического резонанса для следующего обобщенного уравнения Матье
d0tu (т) + [5 + £ cos (юt)] u (t) = 0, t е [О, T]. (1)
Здесь для простоты исследования взята функция cos (юt), а в работе [2] в уравне-
^ (—1)k (at)ак
нии (1) была рассмотрена специальная функция cosa (at) = £ ———-——-----------обоб-
k=o Г (ак + 1)
щенный косинус с параметром 1 < а < 2, который при значении параметра а = 2 совпадает с обычным косинусом, т.е. cos (at). Дробная производная в (1) имеет смысл Капуто порядка 1 < в < 2. Параметры 5, £ - константы.
Если положить в уравнении (1) £ =0 и 5 = юа, то оно переходит в известное уравнение дробного осциллятора, которое подробно исследуется в работе [4].
Уравнение (1) представляет собой обобщение на случай фрактальной среды классического уравнения Матье, которое описывает параметрические возбуждения колебаний в механических системах, а также связанное с ним явление параметрического резонанса - возрастания амплитуды колебаний.
ДИАГРАММЫ СТРЕТТА-АЙНСА
Рассмотрим дифференциальное уравнение в дробных производных (1) при ю = 1
d0tu (т) + [5 + £ cos (t)] u (t) = 0, t е [0, T]. (2)
Определим, при каких условиях, существует параметрический резонанс или не существует. Для этого в 5 - £ плоскости необходимо определить области устойчивости и неустойчивости решения уравнения (1) или еще говорят построить диаграммы Стретта-Айнса. Как правило, в области неустойчивости существует параметрический резонанс, который приводит к возрастанию амплитуды колебаний.
Оценим параметр 5 . Рассмотрим производную дробного порядка в левой части
t !! 1 d0tu(Т) = Г(2-в) /(t—р? = Г(2-в) /V‘-в(t" V)(3)
О V 1 О
Воспользуемся методом гармонического баланса для уравнения (2), будем искать в виде гармонического ряда [3]:
и {г)= Лсов(0 + В . (4)
Подставляем решение (4) в выражение (3), получим:
t t г(2-в) Iv1-e u"(t - v) dv = - 4г(2—i) Iv1-e A cos( Lr) + B sin( Lr)rfv.
Учитывая, что
яп| = йп(2) C0SQ - co^i) sm(2
приходим к следующему результату:
cos f 1 ^,ч „,ч sin f 4' t
v1 /Acos f— Bsin fdv — v1 /Asinf+ Bcos fdv =
4Г (2 — ви V2/ V2/ 4Г (2 — ви 42/ V2
ОО
cos (2) sin (2/
'2/ [AIs — BIC] - ,ov^. [AIC + BIs] (5)
4Г (2 — в) ' 4Г (2 — в)
t t
2
= 22—в I W1—/ cin (w) dw I = 22—в f лм1—в ,
J w1 вsin (w) dw, Ic = 22 в J w1 /cos (w) dw (6)
I* = 22 ' ' ' -
0 0 Известно, что при г ^ ж интегралы (6) можно оценить следующим образом:
I = 22 в J w1 в sin (w) dw = 22 вГ(2 — в) cos ((в — 1) п/2) (7)
0
сю
Ic = 22—в J w1—в cos (w) dw = 22—вГ (2 — в) sin ((в — 1) п/2)
0
Подставляя (7) в (5), получим следующее соотношение: cos (2)
2 [A sin ((в — 1) п/2) — Bcos ((в — 1) п/2)]— (8)
2 sin ( 2
2в 7 [Acos ((в — 1) п/2) + Bsin((в — 1) п/2)] 26
оо
Подставляя (8) и (4) в (1), после некоторых преобразований получим формулу:
5 = ^sin ((в —1) п/2) ± ^ ^22в % 2 — 4cos2 ((в — 1) п/2) (9)
Если в формуле (9) положить = 2, получим известное соотношение для клас-
сического параметрического резонанса Матье.
5 = 4±2 (10)
На рис. 1 в качестве примера построена диаграмма Стретта-Айнса согласно фор-
муле (10).
0,20 0,22 0,24 _ 1 0,26 0,28 0,30
4
Рис. 1. Диаграмма Стретта-Айнса для соотношения (10)
Можно заметить, что в выражении (9) накладывается ограничение на параметр £. Значения этого параметра должны удовлетворять следующему неравенству:
% >сте ((п/2) (її)
На рис. 2 показана область значения параметра согласно условию (11).
Рис. 2. Кривая, определяющая ограничения на параметр %
■0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Рис. 3. Диаграмма Стретта-Айнса для выражения (10). Кривые построены в зависимости от параметра в: 1 - в = 1,8; 2 - в = 1,б; 3 - в = 1,2
Проведем визуализацию результатов исследования решения уравнения (1). Согласно проведенному ранее анализу было получено выражение (10). Далее приведена его визуализация.
Из рис. 3 видно, что при уменьшении параметра изменяется вид кривых, т.е. изменяются границы областей устойчивости и неустойчивости. Область неустойчивости сужается при значениях параметра в ^ 1, поэтому вероятность появления эффекта параметрического резонанса уменьшается.
На рис. 4 приведена поверхность, построенная согласно соотношению (9) в зависимости от параметров а,8,£.
Рис. 4. а — 8 — £ - поверхность, построенная согласно выражению (10)
Видно, что есть область на этой поверхности, на которой значения параметра 8 не определены, это обусловлено выражением (11).
Анализ решения уравнения (1) показал, что при изменении параметра 8 сужается область неустойчивости, а так же параметр £ имеет ограничения (11).
Границы областей устойчивости и неустойчивости диаграммы Стретта-Айнса можно уточнить, если рассматривать решение (4) для более высоких гармоник, но это приведет к определенным вычислительным трудностям.
В качестве примера приведем рис. 5 при значении параметра в = 2, диаграмму Стретта-Айнса устойчивых ^) и неустойчивых (^ областей для уравнения Матье первых трех резонансов [5].
Согласно этой диаграмме, можно определить при каких значений параметров 8 и £ возникает параметрический резонанс.
Рис. 5. Диаграмма Стретта-Айнса для уравнения Матье
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследование решения с помощью диаграммы Стретта-Айнса показали, что существуют области неустойчивости параметрического резонанса, причем при уменьшении параметра в эти области сужаются.
Надо отметить, что в работе [6] авторы рассмотрели уравнение дробного осциллятора с внешним стабилизирующим инерциальным воздействием. Интересно было бы рассмотреть уравнение (1) с учетом внешней силы согласно этой работы, а потом перейти к рассмотрению уравнения (1) со случайной внешней силой.
Библиографический список
1. Тарасов В.Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. -М. - Ижевск: Ижевский ин-т компьютерных исследований, 2011. - 568 с.
2. Паровик Р.И. Обобщенное уравнение Матье // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. - 2011. - № 2 (3). - С. 12-17.
3. Rand R.H., Sah S.M., Suchrsky M.K. Fractional Mathieu equation // Commun Nonlinear Sci Numer Simulat. - 2010. - Vol. 15. - P. 3254-3262.
4. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. - М.: Наука, 2006. - 173 с.
5. Sinha S.C., Chou C.C., Denman H.H. Stability analysis of systems with periodic coefficients: an approximate approach // Journal of Sound and Vibration. - 1979. - Vol. 64 (4). - P. 515-527.
6. Афанасьев В.В., Данилаев М.П., Польский Ю.Е. Стабилизация фрактального осциллятора инер-циальными воздействиями // Письма в ЖТФ. - 2010. - Т. 36. - Вып. 7. - С. 1-6.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 5.08.2012
