Дифракция упругих волнна малой неоднородности в слое Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.9

Л. А. Свиркина, Н. Я. Кирпичникова

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 1 (№1)

ДИФРАКЦИЯ УПРУГИХ ВОЛН НА МАЛОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ В СЛОЕ*

В данной работе рассматривается задача дифракции плоской упругой сдвиговой волны горизонтальной поляризации от малой неоднородности П2 с параметрами А2, ^2, Р2, помещенной в упругий слой П1 с параметрами А1, ^1, Р1. Предполагается, что волна падает из упругого полупространства По с параметрами Ао,^,о, Ро на упругий слой П1, который лежит на упругом полупространстве П3 с параметрами А3,^.3, рз. Неоднородность имеет вид кругового цилиндра радиуса а.

Плоскость падения заданной волны перпендикулярна оси цилиндра. В этом случае мы получаем плоскую задачу дифракции. Малой неоднородностью П2 будет круг радиуса а, а ^ А, где А —длина падающей волны. Толщина слоя имеет порядок длины волны.

Таким образом наша задача состоит в исследовании рассеяния плоской упругой волны горизонтальной поляризации от упругого включения, помещенного в слой, лежащий на упругом полупространстве. На границах раздела сред выполнены условия жесткого контакта. Падающая плоская волна поляризована параллельно оси цилиндра.

В данной статье используются методы развитые В. А. Фоком [1], Ф. Франком и Р. Ми-зесом [2], Л. М. Бреховских [3] и другими.

В отличие от работы [4] мы рассматриваем случай граничных условий жесткого контакта между слоем П1 и упругим полупространством П3. Это привело к существенному усложнению задачи (исследование в рамках трехслойной упругой среды).

§1. Постановка задачи дифракции от малой неоднородности в слое. Пусть на поверхность раздела Г01 между упругим полупространством По и слоем П1 толщины Н = Н + Н1, падает из верхней среды По упругая плоская волна (см. рисунок). Выберем прямоугольную систему координат таким образом, чтобы плоскость хг совпадала с границей раздела сред, а плоскость ху с плоскостью падения волны. Начало координат находится на оси кругового цилиндра П2, образующая которого параллельна оси г. Поверхность этого включения обозначим через Г12. Радиус цилиндра а мал по сравнению с длиной волны, т. е. ка ^ 1. Толщина слоя имеет порядок длины волны: кН ~ 0(1).

Пусть из упругого полупространства По: у > Н на упругий слой П1: — Н1 < у < Н падает плоская волна. Плоская упругая волна вполне определена вектором смещения частиц и, все компоненты которого должны быть непрерывны при переходе границы раздела сред. Кроме того, на границе должны быть непрерывны компоненты тензора напряжений. Таких границ три: Го1 : у = Н, Г12 : г = а и нижняя граница Г13 : у = — Н1. Отраженная от слоя волна должна удовлетворять условиям излучения. Сформулируем эти условия:

[и] |Г 01 =0, [(Тух ] |Го1 =0, [туу ]|го1 =0, [туг ] |Го1 =0,

[и]1Г12 =0, [тгг ]|Г12 =0, [тг^]|Г 12 =0, [ттг ]|Г12 =0,

(1.1)

(1.2)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №01-01-00255).

© Л.А.Свиркина, Н.Я.Кирпичникова, 2003

[и]|г1з =0, [Стух] 1Г із =0, [Стуу] 1Г із =0, [Сту2 ] 1Г із =0.

(1.3)

В общем случае смещение и может быть выражено через скалярный Ф и векторный Ф потенциалы формулой

и = gradФ + rotФ. (1.4)

В декартовой (цилиндрической, сферической) системе координат для потенциалов вектора (1.4) мы получаем разделение на уравнения Гельмгольца:

(1.5)

здесь а = у Х+^, Ъ = — продольная и поперечная скорости распространения.

Мы рассматриваем гармонические волны с зависимостью всех величин от времени і и координаты х в виде ехрі(£х — ші), где £ есть горизонтальная компонента волнового числа, определяющаяся углом падения волны ^ и сохраняющаяся при переходе через плоские границы раздела сред. В дальнейшем множитель ехр(—іші) будем опускать, а д/дх всюду заменим на і£. При решении задачи для горизонтальной поляризации разделять вектор смещений и = (0, 0, ад) на скалярный и векторный потенциалы не нужно, так как составляющие и = V = 0, ад = 0, а вектор смещений не зависит от г.

§2. Волна горизонтальной поляризации (8И-волна). Для волны горизонтальной поляризации (вектора смещений и = ехад) имеем волновое уравнение Гельмгольца в четырех областях О, і = 0,1, 2, 3:

О

дх2

+

д2

ду

2

ГШ О ,2 2 Ш Ро

у- + Щіиі = 0, Щ =--------------------

(2.1)

Условия жесткого контакта (1.1)—(1.3) на границах Го1 : у = Н, Г12 : г = а и Г13 : у — Н1 приведут к следующим равенствам для составляющей ад:

М1у=ь = ° Му=-Ьі = 0,

дго

ду

дго

ду

у=к

У=-Ь.і

(2.2)

(2.3)

0

дад

Предположим, что падающее поле имеет вид плоской волны горизонтальной поляризации:

и*"С = егт^пс т^пс = е-*к° (хсо^о+узт^о) (2 5)

Параметр ко равен ко = ш/Ъо, Ъо = \]ро/ро, следовательно, падающее поле имеет поперечный характер, а <^° есть угол скольжения падающей волны, т. е. угол между осью х и направлением вектора падения.

В безграничной среде По составляющие вектора смещений и удовлетворяют условиям излучения Зоммерфельда:

(дии \

Ит л/м т;------ъкги ) = 0, 1тк > 0. (2-6)

V дг /

Этот случай полностью идентичен поведению поля в изотропной однородной электромагнитной среде [1, 2, 5].

Поставленную задачу рассеяния плоской волны от слоя с малым включением будем решать в несколько этапов [4, 5]. Во-первых, по падающей плоской волне найдем поле, отраженное от слоя без включения. Во-вторых, построим функцию Грина для задачи без неоднородности. В-третьих, выведем интегральное уравнение (оно будет с малым ядром), определяющее решение данной задачи с неоднородностью в слое. Наконец, методом последовательных приближений найдем первую итерацию решения. Все это исследуем для точки наблюдения кг ^ 1 и для радиуса а включения ка ^ 1.

§3. Решение задачи отражения сдвиговой волны от слоя (без включения). Решение задачи (2.1)—(2.6), если включение П2 отсутствует, известно. Приведем здесь это решение, так как в дальнейшем оно будет необходимо нам:

ад° = [адтс + У°1адте^ ]ехр{*£х}, (3.1)

= рсиад-*т + У1э^+*т ]ехр{*£х}, (3.2)

ад° = Т1зад3 техр{*£х}, (3.3)

где

т1пс = ехр{—*а°у}, адте‘ = ехр{*а°(у — 2Л)}, ад- 4т = ехр{—*а1(у — Л.)}, ад+ 4т = ехр{*а1(у + 2^1 + Л.)},

г%4г = ехр{-*а3(у + /и)}, а* = \]Щ - £2, г = 0,1,3.

Здесь £ находится из закона Снеллиуса:

—£ = к° ео8^° = к1 ео8^1 = кзсов^з. (3.4)

Коэффициенты отражения и преломления находятся из условий жесткого контакта

(1.1), (1.3) на границах раздела: Г°1, Г13:

И)1 = (3.5)

2Д)(<?1з +1) тл 2Д)(£1з -1) ,0 „ч

Т01 =-------д------, Пз =----------д------, (3.6)

т=а

где

Д = (1 — Ею)(Е1з — 1)е2 + (Е1з + 1)(Ею + 1), Ао = е г“оЛ; (3-8)

Д' = (Е1 о + 1)(Е1 з - 1)Е2 - (Е1 з + 1)(Е1 о - 1), (3.9)

£ю = —, £13 = —, Е1=е1а1Н, Н=к+Ьл. (3.10)

Мо«о Мз«з

Окончательное решение задачи отражения плоской волны от слоя глубины Н имеет вид:

ьР0{х,у) = А0[е-^у-к) + ^е^у-% (3.11)

2 А

у%{х,у) = -£-[е™'Ь>-н){£ы - 1 )Е\ + е-^У-н\£13 + 1)], (3.12)

«>з(я, у) = 4Л°£^зЕ1 е-<°з(у+>и). (3.13)

§4. Функция Грина для слоя без неоднородности. Приведем функцию Грина £(М, М') задачи отражения от слоя, когда источник расположен либо в верхнем полупространстве, либо в слое М' € , ] =0,1

1 !■ ТО ^

Яо{М,М') = — у е^-ж)«С,-(у,у',е)^^' = 0,1. (4.1)

Для точки наблюдения, находящейся в области П1, функция ^1 (у, у', £) принимает вид

егао(у'-Н)

^1(у,у',е) =

*«оД

£2ое'“1(у-М(£1з - 1) + е-^1 (у-Л)(£1з + 1)

(4.2)

здесь Д определена выражениями (3.8)—(3.10) параграфа §3, в которых величина £ является переменной интегрирования.

Мы изучаем задачу рассеяния (кг ^ 1) от малой неоднородности, помещенной в слой толщины Н ~ О(А). Для этого исследуем функцию Грина определенную формулами (4.1), (4.2), при кг ^ 1.

Асимптотику функции Грина ^1 получим, используя стандартные приемы метода стационарной фазы (см. [1, 2]). Обычно в слое П1 скорость волн меньше, чем в верхнем полупространстве По, т. е. к1 > ко. Разрезы на плоскости комплексного переменного £ в формулах (4.1), (4.2) располагаются, как и в работе [4]. Функцияи Грина ^1, учитывая ее асимптотику при кг ^ 1, кг' ^ 1, запишется в следующем виде:

е'(ког-зп/4) 2е-'коЬзт^1

дх(г,ср-,г',ср>) = -------—[Е?(£13 - 1) + (513 + 1)], (4.3)

где

Е2 = ; р.= и -^СОв2^, * = 1,3, (4.4)

Е2(м ік їв і — мзкзвзХмоковіп^ — м ік і в і)+

+ (М і к ів і + ^зкзвз)(моковіп^ + м і к і в і) .

Мы рассматриваем малую неоднородность, для которой кг ' ^ 1. Как мы увидим в дальнейшем, нам понадобится лишь решение в слое и> 0 из параграфа §3. Формула (3.2) для поля в слое упростится и даст значение решения в круге |г '| < а, которое не будет зависеть от переменных г ' и ', так как ширина слоя порядка длины волны, а неоднородность |г ' | < а мала:

§5. Интегральное уравнение для решения задачи и метод последовательных приближений. Используя функцию Грина 0 1, построенную в §4, сведем решение сформулированной задачи к решению интегральных уравнений. Затем, учитывая малость ядер этих уравнений, найдем решение интегральных уравнений методом последовательных приближений.

Построение интегральных уравнений базируется (см. [1, 2]) на применении формулы Грина в областях По, П 1, П2 и П3. Обозначим оператор Гельмгольца через Ь = (Д + к2) и применим формулу Грина к решению т нашей задачи (2.1)—(2.6) и к функции Грина 01 в каждой из областей ,] = 0,1, 2, 3 (см. [4, 5]).

Используя условия согласования (2.2)-(2.4) и свойства функций Грина, мы получаем три интегральных уравнения, из которых найдем:

Здесь функции иу , і = 0,1, 2 описывают поле нашей задачи в каждой из областей, М Є По, а интегрирование производится по окружности г ' = а и по кругу |г '| ^ а.

Решать уравнение (5.1) будем так. Представим функции иу(М),і = 0,1, 2 в виде суммы неизвестных слагаемых Шу(М) и известных функций и®, которые описывают отраженную волну в области По (см. (3.11)) и преломленную волну ио в области Пі (см. (3.12)) при падении на слой плоской волны:

[Еіо(Е13 — 1) + (Е13 +

(4.6)

где

е2 = „Икг Ивіо

Е і о = е

1 — т§ соэ2^, г = 1,3,

(4.7)

Л(^о)

1

Е2(М ік і в і о — мзкзвзо)(моковіп^ — м ік і ві о)+

Моковіп^з кзвзо

+ (М ік і в і о + Мзкзвзо )(моко віп^> + м ік ів і о) .

(4.8)

(5.1)

|Г |

и у = Шу + , і = 0,1, и2 = Ші +

(5.2)

Для неизвестных функций Шу(М) получаем задачи, аналогичные задаче (2.1)—(2.3): (Д + к2)Шу =0, і = 0,1, (Д + к1)Ш2 = (к 2 — к2)ио, (5.3)

дШо дШі

УУ0 = ~\¥1, =Мі^— пРи У = К (5-4)

ду ду

М1-т^-= М2-т^- при у=-ЬЛі (5.5)

а условие (2.4) заменяется на следующее:

т„ т„ її2 5ТУ2 , А*2 - А*і Зад?

^і=И^2, -т^— = -—т^— + ---—^ при г = а. 5.6

дг м і дг м і дг

Решать эти задачи (5.3)-(5.6) будем точно так же, как и задачу для функции и в предыдущем параграфе. Применим формулу Грина к неизвестному решению Ш и к функции Грина 0і. После некоторых преобразований получим следующее интегральное уравнение относительно неизвестного решения Ш:

Мо

дг' дг'

0і (М; г' = а, у>')г'й^>'+

+ — {к\-к\) д1(г,ср-,г',ср')(\¥2+и]°)(г,ср-,г,,ср,)г,(1г,(1ср'. (5.7)

Мо ././

\Г |

Интегральное уравнение (5.7) будем решать методом последовательных приближений, выбирая в качестве нулевого приближения для функции Ш значение Ш0 = 0. Это возможно, так как из физических соображений и по условию задачи Ш конечно, а область интегрирования мала (кг' ^ 1).

Следовательно, первое приближение равно:

уу£{М) = ---^-а I

Мо ./о

2п

дио

дг'

0 і (М; г' = а, <£>')

+ — (£;? — Щ) у>; г7, ср^ъи^г'<1г'<1ср'. (5-8)

Мо ././

\т' | ^а

§6. Дифракционная добавка от неоднородности, помещенной в слой. Подставляя соотношения (4.6)-(4.8) в формулу (5.8), для первого приближения получим

добавочное слагаемое от неоднородности к решению задачи отражения плоской вол-

ны от слоя глубины Н + Н 1. Эта добавка представляет собой цилиндрическую волну, рассеивающуюся от неоднородности с некоторой диаграммой направленности.

Введем обозначения, согласованные с работой [5]. Пусть через £0 1(у>о), £10(у>) будут обозначены коэффициенты прохождения из верхней среды в слой и обратно:

2е— гкоНБШ^о

= А( , [Е210(£13 - 1) + (513 +1)], (6.1)

Д(^о)

2е_г^оЬ81п^

= д(у) [^1(51°з - 1) + (5°з + 1)]. (6.2)

о

Приведем формулы дифракционной добавки к решению задачи отражения от неоднородности ^2 сдвиговой плоской волны горизонтальной поляризации.

Рассеяние от неоднородности упругой плоской волны, поляризованной горизонтально, дается формулой

т„1, , И2Р1-И1Р2 „ ^2е^-3./4)

wo (г,ср) =-----------7Г(к2а) ---- F(cpo,cp), (6.3)

M0P2 л/2пког

где определяющая диаграмму направленности функция Р(^>о,^>) равна

Р(^о, <£>) = ЯиЫЗД). (6-4)

Углы ^о и ^ входят в формулы (6.3), (6.4) симметрично и

коС08<£>о = ^1008^1,

• /і ^0 2 • /і ^1 2 Siny>i = д / 1 — —g-COS^o, Siny>0 = 4/1 — T^COS'Vi.

k V k2

Дифракционная добавка (6.3) мала ввиду того, что она содержит два малых множителя (&2а)2 (&2а < 1) и (ког)-1/2 (ког » 1).

Рассеянное в неограниченном пространстве неоднородностью г = а, к2а ^ 1 горизонтально поляризованное поле при ког ^ 1 имеет (см. [6]) следующий вид для поперечной (БИ) волны:

ref n^aV^^-3^4) wrer------------

л/27гког

Р1 ~ Р2 Pi - Р2 , л

---------------1--------;----------COS (сР — <ро)

P1 M2 + M1

[1 + O((k2a)2)]. (6.Б)

Если сравнивать рассеяние (6.5) плоской упругой волны горизонтальной поляризации от неоднородности в неограниченном пространстве с рассеянием этой волны от неоднородности в слое (6.3), то видим, что качественная картина сохранится.

Неоднородность будет излучать как точечный источник, интенсивность которого пропорциональна площади сечения неоднородности и скачкам квадрата поперечных скоростей в слое и в неоднородности (см. (6.3)) на границах раздела сред.

Изменились количественные характеристики рассеянного поля. Так скачки плотностей (р1 — р2) и параметров Ламе (р1 — р2) (см. (6.5)) в задаче дифракции на неоднородности в отсутствии слоя заменятся на скачок квадрата поперечных скоростей (Ь2 — Ь2) в слое и в неоднородности. Присутствие слоя скажется и в диаграмме направленности.

Summary

Svirkina L.A., Kirpichnikova N. Ya. Elastic wave diffraction from small inhomogeneity (obstacle) in a layer.

The problem of diffraction of the elastic plane wave of the horizontal polarization (SH-wave) from a small inhomogeneity situated in a layer is investigated. The layer is in an elastic semispace. The inhomogeneity is assumed to be a circular cylinder, a radius of which is small in comparison with the length of falling wave. The incident wave is polarized in parallel to the axis of cylinder.

It is proved that the small inhomogeneity radiates as a point source, the intensity of which is proportional to the area of cross-section inhomogeneity and to the jump of squared crosswise velocities in the layer and inhomogeneity.

Литература

1. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М., 1970.

2. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики // ОНТИ ГРОТЛ. Л.; М., 1937.

3. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М., 1973.

4. Кирпичникова Н.Я., Свиркина Л.А., Филиппов В.Б. Рассеяние плоских упругих волн от малой неоднородности, помещенной в упругий слой // Записки научных семинаров ПОМИ. Т. 275. 2001. С. 72-84.

5. Кирпичникова Н.Я., Филиппов В.Б. Дифракция плоских электромагнитных волн от малой неоднородности, помещенной в слой // Записки научных семинаров ПОМИ. Т. 275. 2001. С. 85-99.

6. Кирпичникова Н.Я., Филиппов В.Б., Свиркина Л.А. Рассеяние от малой неоднородности в упругой среде // Записки научных семинаров ПОМИ. Т. 264. 2000. С. 122-139.

Статья поступила в редакцию 16 апреля 2002 г.