CC BY
28
ДИФРАКЦИОННАЯ ОПТИКА
дифракция плоской волны на ограниченной спиральной фазовой пластинке: параксиальная векторная теория
А.А. Ковалев, В.В. Котляр Институт систем обработки изображений Российской академии наук Самарский государственный аэрокосмический университет
Аннотация
Получены аналитические выражения, описывающие параксиальную векторную дифракцию ограниченной плоской волны на спиральной фазовой пластинке (СФП). Все три компоненты электрического поля представлены в виде конечных сумм функций Бесселя. Показано, что при плюс и минус первом порядке СФП продольная компонента электрического поля не равна нулю на оптической оси. Численно также показано, что в случае параксиальной дифракции продольная составляющая комплексной амплитуды может давать вклад величиной в несколько процентов от поперечной.
Введение
В современных научных исследованиях большое внимание уделяется вихревым лазерным пучкам. Основные причины этого интереса заключаются в повышении точности изготовления оптических элементов, формирующих эти пучки, и в возможности решения с их помощью прикладных задач. В частности, одной из таких задач является манипуляция микрочастицами [1].
Вихревые лазерные пучки формируются при прохождении света через спиральные оптические элементы, простейшими из которых являются спиральная фазовая пластинка (СФП) и спиральный аксикон [2].
Существует множество работ, посвященных анализу дифракции света на спиральных оптических элементах, выполненных в рамках скалярной теории дифракции. В данной работе проводится анализ дифракции на СФП в рамках параксиальной векторной теории. В [3] численно показано, что в ряде случаев заметный вклад дает продольная составляющая электрического вектора, не учитываемая в скалярной теории. В данной работе получены аналитические выражения для продольной составляющей поля.
Для анализа распространения векторного электромагнитного поля вдоль оптической оси в большинстве случаев используются два подхода. Один заключается в вычислении дифракционного интеграла Рэлея [4, 5]. Другой заключается в разложении исходного поля по плоским волнам [6]. К числу менее распространенных подходов относится, например, использование функции Вигнера [7]. Из-за трудоемкости или даже невозможности аналитического вычисления интеграла Рэ-лея часто используют приближения. Например, широко употребляется параксиальное приближение, использованное и в данной работе.
1. Теория
Рассмотрим дифракционный интеграл Рэлея в цилиндрических координатах [4]:
E(Р'6'Z) = - 2л Х
xjjВ, (r,Ф,0)
dz
xp (ikL)
r dr dф,
В ^z) = -2Пх
ХЯEy (r,Ф,°
exp (ikL)
L
r dr dф,
Ez (Р,6'z) = Г (r,Ф-0)
d_
' dx
exp (ikL)
+Ey (r, ф,0)
dy
exp (ikL)
(1)
(2)
(3)
r dr dф,
где
L = z2 +p2 +r2 -2prcos(ф-9), (4)
Ex, Ey и Ez - декартовые проекции вектора напряженности электрического поля электромагнитной волны, k - волновое число, (r,ф) и (p,0) - полярные координаты в исходной (z = 0) и текущей поперечных плоскостях, z - оптическая ось.
Пусть в плоскости z = 0 сформировано электромагнитное поле с гармонической зависимостью от угловой полярной координаты, т. е.
Ex (r, Ф>0) = Ax (r) exp (т) , (5)
Ey (r, ф,0) = Ay (r) exp (шф), (6)
где n - целое число (порядок СФП).
Тогда в параксиальном приближении выражения (1)-(3) принимают вид:
Ex (p, 0, z) = (-i)n+1 kexp+ 'П0 + ikz
xj Ax (r)expI J2-I Jn r dr,
R
R
Ey (р, 0, z) = (-i)"+1 kexp |+ '"б + ikz Iх xj Ау (r) exp I '-2- I J f^j r dr,
Ez (р, 0, z) = ( 2Z k exp |^ + '"б + 'kz x {exp (i0) J [A, (r ) - 'Ay (r )] exp I^j J,
(8)
kpr 1 r 2dr - exp (-i0) j [Ax (r ) + iAy (r )] >
(9)
x exp | k- j Jn-1 fkPrj r 2dr - 2ipj [A, (r) cos 0 +
+Ay (r ) sin 0]x exp |Ц-j Jn | kрT■j rdr
где Jn (x) - функция Бесселя первого рода n -го порядка.
В случае, когда в плоскости z = 0 расположена спиральная фазовая пластинка (СФП) радиуса R n -го порядка и линза с фокусным расстоянием f , получим выражения:
Ax (r) = Ax circ | r j exp I -lik—
Л) x | r j 2 f
Ay (rAy circ fRj expf-ff
(10)
(ii)
где Ах и Ау - комплексные амплитуды плоской волны, падающей на СФП с линзой. Тогда на расстоянии г сформируется электромагнитное поле со следующими составляющими (Ех - это либо Ех, либо Е ):
Ex,y (р. 0. z)=(-')n
kA„
f 'кр2 ■ 0 k
(exp I--+ in0 + ikz
i 2 z
(12)
xj exp
ikr2 f 1 _ 1
~ |z J
J.l^ j r dr,
Ez (р, 0, z) = (-i)" 2-j exp I k— + in0 + ikz
(Ax - iAy )exp (i0)j exp
0
j r 2dr - (Ax + iAy ) exp (-i
ikr2 f 1 - j_
~ i z- J
k рт z
[ ikr2 f 1 1
_ T | z " f
-2'р (Ax cos 0 + Ay sin 0)
" ikr! f 1 1
~ I z " J
(13)
xj exp
0
R
xj exp
Jn-1|kf j r*dr -
Jj^ I rdr
В геометрическом фокусе линзы, т. е. при z = f , полученные выражения упрощаются [8]:
Ex, y (р, 0, z = f ) = (-i )n
kA
f
x exp
ikр'
T f IT
Л
r dr =
/ ЛП+1 kAx, y
= (-i) —exp
f ikр2
f | 2 f
П 2-1
+ in0 + ikf
1 - Jo (y)- 2 I J2m (y) - Jn-1 (y),
m=1
n = 2 p,
'y (n-1)2
j Jo (t)dt - 2 I J2 m-1 (y) - yJn-1 (y),
(14)
0 m=1
n = 2 p +1, где y = kRр/ f. Ez (р, 0, z = f ) = = (-i )k f ikP2
exp
2 Г | 2f
+ in0 + ikf
¡(Ax - iAy )exp (i0)j J,,
R
kрт
T
r 2dr -
-(Ax + A )exp (-i0)j Jn-1
0 v J
R f knT j
(15)
kрт
t
t 2dr -
0
R
-21р( cos0 + Ay sin0)) Jn I J^
0 I J
rdr;
Последний интеграл в (15) вычисляется так же как в (14). Для первых двух интегралов также можно получить аналитические выражения для четных значений порядка СФП п , так как для р = п ±1
j x2 Jp (cx)dx = (1 - P2)
" (P-3)/2 "
J0 (x) + 2 I J2q (Cx)
q=!
x2Jp_x (x)-(p + 1)c-2xJp-2 (x).
(16)
При небольших порядках СФП получаются простые формулы. В частности, при п = 2 :
EXy (р, 0, z = f ) = -
T
x exp
f ik£2 2 f
kр2
j
+ i20 + ikf
(17)
J0
v j J
f kRр j kRр f kRр j
J1
f j 2f 1 i f
-1
x
x
X
X
Е (р, 0, г = /) = =--— ехр ( +120+ ¡к/
2кр I 2/
2кЯ2
х J 2
/
( кЯр ( /
(( 008 0+ А, 8Ш 0)
- (Ах - ¡А, )ехр (¡0)-
(18)
2/кр {/
I кр
(( 008 0+ Ау 8т 0)
2 - 2 J 0
кЯр /
- Щ/
Рассмотрим два частных случая, соответствующих круговой поляризации поля в начальной плоскости.
При А = -¡Ах:
I кЯ -¡ю 2
кЯр
77
¡АЯ = /р ехр1 ¡кр2
2/
2 J • ( Т)] -рJ1
р)1
кЯр /
(19)
При А, = ¡Ах:
Ег (р, 0,;) = ехр |^ + ¡30 + ¡к/
/ р
-Ш2
+ 11 -•
,2 / 4 /
/ I кЯ
кЯр__
/ А±_ ¡V
кЯр
(20)
2 - 2 J,
/
-PJ1| /
2. Численное моделирование Вычисление амплитуды на оптической оси проводилось без использования параксиального приближения.
На оптической оси поперечные составляющие (14) при п > 0 равны нулю. Рассмотрим интеграл Рэлея для 7-составляющей на оптической оси:
е (,0,; )=¿я 1Ех (, ^ )тх
д
ехр (¡кЬ)
+Еу(г'^
ехр (¡кЬ)
(21)
>йх йу,
где Ь = (г2 + г2) .
В случае поля в плоскости г = 0 , имеющего вид (5)-(6), и ограниченной апертуры радиуса Я :
Ег (0,0, г) = [Ах (г)оо8 ф+ Ау (г)8Ш ф] >
<ехр (¡пф))дь
ехр (¡кЬ)
Ь ¿г йф =
271
| ехр (пф) 008 фйф = п (8п+! + 8п-! ) 0
2п
| ехр (¡пф)8Ш фйф = -/п(8п+! -8п-! )
(22)
2 1 АХ(г )(8п.. +8„
2 1а, (г )(8п.,-8,,-, )-|г
ех
р (¡кЬ)
Ь
ехр (кЬ)
Ь
—йг-
Ь
г 2й
—йг,
Ь
где 8п - символ Кронекера:
Г0, п Ф 0,
8, =
1, п = 0.
(23)
Тогда при п Ф ±1 амплитуда 7-составляющей равна нулю. При п = ±1 получается, что продольная составляющая электрического поля на оптической оси отлична от нуля:
1
Е; (0,0,;) = -
я I¡к 1 )
1[ Ах (г) + ¡пА, (г)] I Ь - Ь | ехр (кЬ) г.
(24)
Если использовать вычисление дифракционного интеграла Рэлея методом прямоугольников или трапеций, то на малых расстояниях г значение продольной компоненты устремляется в бесконечность (рис. 1), что не имеет физического объяснения и является следствием неточных вычислений, так как при малых г значение Ь также становится малым, и подынтегральное выражение в (24) резко возрастает. Поэтому в данной работе использовался другой метод расчета интеграла (24) - численно-аналитический.
т
0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
О 100 200 300 400 500 600
г, мм
Рис. 1. Зависимость продольной составляющей Е; от расстояния г , рассчитанная с помощью метода прямоугольников (прерывистая линий) и численно-аналитическим методом (сплошная линия)
Разобьем интервал интегрирования (0, Я) на (М-1) частей точками гт = тЩ(М-1), т = 0,М-1. Пусть функция
8 (г ) = г [Л (г ) + "Ч (г )] (25)
на интервале (гт, гт+1) аппроксимируется следующим выражением:
8 (г)« ^т + ътг2. (26)
Тогда Е (0,0, г)
1 M-2 П+1 д
2 g ^ + 2 ))
exp (ikL)
L
—dr.
L
(27)
Рассмотрим два неопределенных интеграла.
Л (—и
exp (ikL)
r exp (ikL) —dr =--—1,
12 (—)=i — 2 —
2 W J dL
ex
p (ikL )
—dr =
L
= [L - z7L + 2i/k] exp (ikL). Тогда
Ez (0,0, z) =
1 M-2 Г
=2 s amh(—^ rz + 'm12(—n r:
(28)
(29)
(30)
Коэффициенты ат и Ът выбираются по критерию наименьшего среднеквадратичного отклонения от кусочно-линейной функции:
8= J {( + bmr2)-
. + Sm+1 Sm (r - r )
m V m)
dr ^ min,
(31)
где Sm = S (m )•
Приравнивая нулю производные по am и bm, получим:
—пп +1
1 {( + bmr2))Sm +Ag„ (r - rm )]}dr = 0, (32)
—пп+1
i {( + bj2 ) - [Sm + Agm ( - ^ )]} r 2dr = 0, (33) где AS
)/(rm+1 - rm ) .
Тогда
am Almr + bm A3mr =
mm mm
= ( s -As r )A* r + As A2r,
\о/и оm m / m &m m ?
a A3 r + b A5 r =
mm mm
= ( s -As r )A3 r + As A4r,
\о/и о /и /и/ т от т '
(34)
где атг=(гк+1 - г: )д.
Далее коэффициенты могут быть легко определены например с помощью правила Крамера.
На рис. 2 показано распределение амплитуды 7-составляющей электромагнитного поля вдоль оптической оси. Параметры расчета: длина волны: 1 = 514,5 нм, радиус апертуры: Я = 2 мм, порядок СФП: п = 1.
\Е.\
500 1000 1500 2000 2500
Z,MM
Рис. 2. Значение модуля г-компоненты на оптической оси, рассчитанное для / = 500 мм (а) и / = 1500 мм (б)
На рис. 3 и 4 показаны распределение амплитуды х- и 7-составляющих электромагнитного поля вдоль радиальной координаты. Параметры расчета: длина волны - 1 = 514,5 нм, фокусное расстояние линзы -/ = 500 мм, порядок СФП - п = 1.
щ
1 р ,мм
m=0
Рис. 3. Значение модуля амплитуды в плоскости 2 = 500 мм при радиусе апертуры 2 мм: х-составляющая (а) и 2- составляющая (б)
Рис. 4. Значение модуля амплитуды в плоскости 2 = 500 мм при радиусе апертуры 20 мм: х-составляющая (а) и 2- составляющая (б)
Из рис. 4 видно, что 7-составляющая амплитуды может составлять несколько процентов, поэтому в ряде случаев имеет смысл учитывать ее наличие, даже в параксиальном случае.
Заключение В работе были получены аналитические выражения, описывающие параксиальную векторную дифракцию ограниченной плоской волны на СФП. Все три компоненты электрического поля Ех, Еу и Е2 представлены в виде конечных сумм функций Бесселя. Показано, что при п=±1 продольная ком-
понента электрического поля Ex не равна нулю на оптической оси.
Численно также показано, что в случае параксиальной дифракции продольная составляющая электрического вектора электромагнитной волны может давать вклад величиной в несколько процентов от поперечной.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF RUX0-014-Sa-06), а также грантов РФФИ 05-08-50298, 0707-97601 и 07-07-97600.
Литература
1. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Skidanov R.V., Soifer V.A., Jefimovs K., Simonen J., Turunen J. Rotation of micropar-ticles with Bessel beams generated by diffractive elements // J. Mod. Opt., 2004. - Vol.51. - No.14. - Pp.2167-2184.
2. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Shinkarev M.V., Soifer V.A., Uspleniev G.V. The rotor phase filter // J. Mod. Opt., 1992. - Vol. 39. - No. 5. - P. 1147-1154.
3. Ganic D., Gan X., Gu M. Focusing of doughnut laser beams by a high numerical-aperture objective in free space // Opt. Express, 2003. - Vol. 11. - Pp. 2747-2752.
4. Zhang Y., Wang L., Zheng C. Vector propagation of radially polarized Gaussian beams diffracted by an axicon // J. Opt. Soc. Am. A, 2005. - Vol. 22. - Pp. 2542-2546.
5. Deng D. Nonparaxial propagation of radially polarized light beams // J. Opt. Soc. Am. B, 2006. - Vol. 23. -Pp. 1228-1234.
6. Agrawal G.P., Pattanayak D.N. Gaussian beam propagation beyond the paraxial approximation // J. Opt. Soc. Am, 1979. - Vol. 69. - P.575-578.
7. Duan K., Lu B. Application of the Winer distribution function to complex-argument Hermite-and Laguerre-Gaussian beams beyond the paraxial approximation // Opt. Las. Tech, 2007. - Vol.39. - Pp.110-115.
8. Котляр В.В., Ковалев А.А., Сойфер В.А., Девис Д.А., Тувей С., Коттрел Д. Дифракция плоской волны конечного радиуса на спиральном аксиконе и спиральной фазовой пластинке: сравнение // Компьютерная оптика, 2006. - Т. 30. - С. 36-43.
