CC BY
48
2010
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА
№ 158
УДК 396.96
ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ПЛОСКОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ
Г.Н. ЖИЛИНСКАЯ, А.И. КОЗЛОВ
Предлагается метод решения задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на плоской периодической структуре.
Ключевые слова: дифракция, плоская структура.
Как показывают многочисленные экспериментальные данные, наличие металлических объектов в непосредственной близости от диэлектрической среды с малым значением тангенса угла потерь может приводить к заметному росту потерь энергии электромагнитных волн, падающих на такую структуру, по сравнению с ситуацией, имеющей место при отсутствии металлических объектов.
Это объясняется тем, что электромагнитное поле в непосредственной близости от металлических объектов представляет собой суперпозицию различных типов электромагнитных волн, интенсивность которых быстро убывает при удалении от рассматриваемой структуры по закону 1/ Я", где ">2, а поэтому даже, несмотря на малое значение тангенса угла потерь, большое количество типов волн и их отличные от нуля значения и приводят к дополнительным потерям электромагнитной энергии в диэлектрике, которая в отсутствии металлических объектов носит реактивный характер.
Для определения потерь в рассматриваемой структуре можно воспользоваться следующей моделью (рис.1).
Рис. 1. Плоская периодическая структура
Полубесконечное пространство заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е и малым тангенсом угла потерь. На поверхности этого диэлектрика расположены на расстоянии 2а друг от друга тонкие металлические пластины шириной 2(/-а) и толщиной 2к (рис. 1). На рассматриваемую структуру падает плоская электромагнитная волна, электрический вектор которой параллелен пластинам.
В этом случае электрический и магнитный вектора этой волны будут иметь вид
Ка, =~Н<аа = в*. (1)
Найдем сначала поля в верхнем и нижнем полупространствах. Вследствие периодичности рассматриваемой структуры отраженная волна Е^ также будет носить периодический
характер с периодом, равным периоду структуры, что дает возможность воспользоваться разложением Фурье для ее записи
¥ шх
Е*т 1 = Е Ап( у )со8'
(2)
Помимо этого волна Е^ 1 должна удовлетворять как уравнению Гельмгольца
так и условию
ДЕ^ 1 + к 2Е^1 = 0:
^ Е^ 1 = 0.
(3)
(4)
Сказанное дает возможность представить электрический и магнитный вектора отраженной волны в верхнему>0 (среда 1) и нижнем у<-И (среда 3) полупространствах
Е1 = е-ку + £ А
Чк1 -[ т I у шх
„г 4 у сое-,
п I '
ез, = П С
п=0
-Т1Т)у шх
е ' 4 СОБ-
г
н = — гог Е . к
Электрический вектор в среде 2 (-к<у<0) должен удовлетворить уравнению
(5)
Э2 Е, Э2 Ег
+ к2 Е, = 0.
Эх2 ■ Эу^^2 - (6)
На поверхности металлической ленты Е, =0, а в промежутке между лентами (среда 2) электрический и магнитный вектора можно представить в виде следующих Фурье-разложений
пш(х + а)
Е
=п
п=1 х
Рпе
Цк 2 - рП, у
+ Япе
-г^
БШ-
2а
НХ =
2 2 2 РП
п=1
г4кк~- р, у
2 -2- х+а)
-Ое
БШ-
(7)
к п=1 п п 2а
Входящие в выражение (7) коэффициенты Ап, Сп, , Гп могут быть найдены из граничных условий, которые требуют непрерывность тангенциальных составляющих электрического и магнитного векторов на границах сред 1 и 2 и равенства нулю горизонтальной составляющей электрического вектора на поверхности ленты.
Требование непрерывности тангенциальных компонент электрического вектора на границе между средами 1 и 2 приводит к следующей системе уравнений
а ¥
(1 + Зя0 ) Ат + 2^0 = - П (Рп + Оп ) Ртп , (8)
I п=1
при этом параметр ртп имеет вид
= 0.
2 2^ +1
аш 2а
т
2^+1 2а
СОБ-
тша
I
(9)
Аналогичное требование на непрерывность тангенциальных составляющих электрических векторов на границе между средой 2 и средой 3 дает такую систему уравнений
(1 + ^0) С/^й = а П Рт„ (Рп
1 п=1 \
\1к2 -р2к + о е~^к2 -Р"й
(10)
Требования непрерывности горизонтальных компонент магнитных векторов на границах сред 1-2 и 2-3 приводит к следующей системе уравнений
п=0
2
I
т,25
-1
2
2
т,2^+1
е
4k2 - p2
k
4k2 - ■Pn2
(Fn - Dn ) = -p0n + Z
4^
k
Anpn
k
Fe
7k2-рПh — d e~^k2-P2 h
)=-Z
< Ш —n
Vk2g pn ^ p еф2e-p„2h
7 nr nn
k
(11)
Как уже говорилось выше, интерес представляет случай тонких металлических лент это
приводит к существенному упрощению приведенных уравнений, которые преобразуются к виду
(F2s+1 - D2s+1 W1 - f2s+1 = -Po,2s+1 + Z AnPm
'i -1n
(F2s+1 - D2s+1 W1 - f2s+1 = Z CnPrn
1
e-
n 2 L
(1 + dn0 ) An + 2dn0 = A Z Pn,2s+1 (F2s+1 + D2s+1 ) ,
L s=0
(12)
(1 + dn0 ) Cn = — Z Pn,2s+1 ( F2s +1 + D2s+1 ) •
L s=0
Введем обозначения
L = ll1; A = a/1; f2s+1 (2s +1)/4. (13)
Для приближенного решения приведенных уравнений можно ограничиться некоторыми предельными значениями n=M и s=S, а затем провести решения получающейся системы 4 уравнений с 4 неизвестными A, C, D и F. Однако можно поступить несколько иначе. Если исключить из первых двух уравнений (12) неизвестные величины D и F, то будет установлена прямая функциональная связь между неизвестными величинами A и С, при этом полученные соотношения будут отражать только свойство непрерывности тангенциальных компонент магнитных векторов H1 и H3.
Если аналогичную процедуру провести с третьим и четвертым уравнениями системы (12), то это приведет к другим соотношениям, которые теперь будут отражать только свойство непрерывности тангенциальных компонент электрических векторов. Однако при этом информация относительно того, что тангенциальная составляющая электрического вектора E на поверхности ленты будет равна нулю, безвозвратно теряется. Для того чтобы полученная система уравнений была полной, необходимо добавить к полученным уравнениям соотношения, отражающие равенство нулю тангенциальной составляющей электрического вектора E на поверхности ленты.
Получим такие условия.
В соответствии с представлением (5) имеем
E3z (х, 0) = ZcosР, (14)
n=0
l
откуда получаем
1 a
Cn (1 + d )= 1J EZ (х,0) cos nfdx.
Подставляя в полученное равенство выражение для Е^, имеем
(1 + ^т0 ) _ Е 8тнСш ,
где коэффициент gmn равен
(15)
(16)
n=0
n=0
2
n=0
2
n=0
>
Бт (ш + п )Р A Бт (ш - п)Р A
g шп
ь
+
ь
( ^ ■ ( ^ • (17)
(ш + п)ж (ш - п)ж
Для того чтобы выполнить требование равенства нулю тангенциального компонента электрического вектора на поверхности металлических лент, соответствующие коэффициенты Фурье должны удовлетворять системе, подобной системе уравнений (12).
Исключение коэффициентов ¥ и Б (среда 2) приводит к следующей системе уравнений
(1 +^0 ) Аш + 2^0 =(1 + ^0),
Р0,25+1 + X АшРп
I1 -12Ь ) = СшРш^
Подставляя первую систему уравнений во вторую, получим
ш=0
е-
ш 2Ь
(1+е с+х
Г С = 2
ш,2 5+1^ ш
(18)
(19)
ш=1
где коэффициент тт 2определяется равенством
п - (ш
I 2 Ь,
+
е
ш 2 Ь
2^ + 1 2 А
-008-
шжА Ь
(20)
ш А - ( 25 + 1
Ь) -1 ^А
Системы уравнений (12) и (18) позволяют определить неизвестные коэффициенты Сш. Важно отметить, что каждая из полученных систем уравнений (12) и (18) отражают вполне определенные свойства полей. Уравнения, входящие в систему уравнений (18), несут информацию о непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного полей на границах. Системы уравнений (12) отражают свойство тангенциальной составляющей электрического вектора обращаться в нуль на поверхности металлических лент.
Для приближенного решения бесконечных систем уравнений поступим следующим образом. Из системы уравнений (12) выберем (#+1) первых уравнений, а из системы уравнений (18) возьмем (5+1) также первых уравнений. Ограничимся числом неизвестных в первом случае (#+1), а во втором - числом (5+1) неизвестных. Все остальные коэффициенты С}- будем считать
равными нулю. В результате будем иметь (5+#+2) уравнений с (5+#+2) неизвестными. Естественно, чем больше числа # и 5, тем точнее будет решение систем уравнений.
Упомянутая выше независимость двух различных наборов систем уравнений позволяет управлять точностью выполнения различных граничных условий. Если выбрать число # намного больше, чем число 5, на первый план выходит требование равенства нулю тангенциальной составляющей электрического вектора на поверхности металлических лент. В противном случае, то есть в случае выполнения неравенства 5>#, более жесткие условия предъявляются к требованиям непрерывности соответствующих тангенциальных компонент. Иными словами, для очень узких лент (а/1 близко к 1) целесообразно выбирать условие 5>#. Для достаточно широкой ленты (а/1 мало) выбирают условие #>5. В остальных случаях целесообразно выбрать условие 5»#.
В качестве иллюстрации рассмотрим случай #=5. Число уравнений (4М+24) будем увеличивать с 28 до 52. Каждый раз будем определять неизвестные комплексные коэффициенты С}- = С* + ¡С. Результаты расчета представлены в табл. 1, в которой показана
зависимость первых восьми коэффициентов (их действительной Ск и мнимых С1 частей) от числа уравнений. Как видно из таблицы, искомые коэффициенты очень быстро достигают
2
2
2
2
2
Г
своих стабильных значений и практически перестают зависеть от числа уравнений. Так, например, коэффициент С^ колеблется в пределах 3% при увеличении числа уравнений на 22
(а//=0,21), а коэффициент С0 в пределах 1,5% и т.д. Для скорейшей стабилизации значений коэффициентов следует выбирать условие S>>N.
Таблица 1
Зависимость коэффициентов С. от числа уравнений
Число уравнений 32 36 40 44 48 52 Число уравнений 32 36 40 44 48 52
С*1 0,52 0,52 0,52 0,51 0,51 0,51 С\ 0,26 0,28 0,23 0,20 0,19 0,19
СК2 0,49 0,48 0,47 0,46 0,46 0,46 С2 0,25 0,24 0,23 0,22 0,22 0,22
СКз 0,32 0,32 0,31 0,31 0,31 0,31 С:3 0,22 0,21 0,20 0,19 0,19 0,19
СК4 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 С4 0,18 0,22 0,18 0,16 0,16 0,16
СК5 0,29 0,27 0,25 0,23 0,21 0,19 С5 0,14 0,08 0,13 0,13 0,12 0,12
СК6 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 С:6 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12
СК7 0,11 0,11 0,11 0,11 0,11 0,11 С7 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09
Ск8 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 С, 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
Для расчета энергетических потерь электромагнитной волны, падающей на рассматриваемую структуру, поступим следующим образом.
Как известно, искомые потери 8{1 в единице объема йУ можно определить по формуле
I 12
80 = 0,5||Е|2 сУУ . (21)
Для вычисления общих потерь необходимо провести интегрирование по интересующему объему.
Прямые вычисления под полученными формулами приводят к следующему выражению для
искомых потерь
0 = 0,5|/
N
21 с„|21-+8г + Ё С
1 + 8
п=0
20п
п=N +1
пр) -
(22)
В приведенной формуле введены обозначения
V"
к
к2£-\п- I =ап + грп,
Ь
(23)
число N определяется из неравенства:
2Ьл/ё-1 < N < 2Ь>/ё. (24)
Для диэлектриков с малым значением тангенса угла потерь (1§8<< 1) формула (22) может быть упрощена
0 = 0,5
Ё Сп|2 (1 + 8п 0 )
е-{2ЬТ + 0,5*8 Ё |Сп|2 (1 + 8п0
V 2Ь > п= N+1
п
2Ь
е
(25)
2
2
п=0
Можно показать, что потери электромагнитной волны в диэлектрике с малым значением тангенса угла потерь в отсутствии металлических лент (в среде 3 из расчета на один период структуры) определяются выражением
а ==Т*е (26)
(1+те)
Можно ввести коэффициент q, как отношение потерь в среде 3 в случае наличия металлических лент к аналогичной величине для случая отсутствия лент. Формулы (25) и (26) решают поставленную задачу.
ЛИТЕРАТУРА
1. Богородский В.В., Козлов А.И., Тучков Л.Т. Радиотепловое излучение земных покровов. - Л.: Гидрометеоиздат, 1977.
2. Козлов А.И., Логвин А.И., Сарычев В.А. Поляризация радиоволн, - М.: Радиотехника, 2005. - Т. 1.
3. Богородский В.В., Козлов А.И. Микроволновая радиометрия. - Л.: Гидрометеоиздат, 1985.
PLANE ELECTROMAGNETIC WAVE DIFRACTION ON A FLAT PERIODIC STRUCTURE
Zhilinska G.N., Kozlov A.I.
Seat is offered method of the decision of the problem about plane electromagnetic wave diffraction on a flat periodic structure.
Key words: diffraction, flat structure.
Сведения об авторах
Жилинская Галина Николаевна, окончила РКИИГА (1976), кандидат технических наук, автор 25 научных статей, область научных интересов - микроволновая радиометрия, дистанционное зондирование окружающей среды.
Козлов Анатолий Иванович, 1939 г.р., окончил МФТИ (1962), заслуженный деятель науки и техники РФ, академик Академии транспорта РФ и Международной Академии информатизации, профессор, доктор физико-математических наук, Соросовский профессор, заведующий кафедрой технической эксплуатации радиоэлектронных систем воздушного транспорта МГТУ ГА, автор более 300 научных работ, область научных интересов - радиофизика, радиолокация.
