Дифракция электромагнитной волны на перфорированных наноструктурах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Рис. 4. Образование одного эшелона, который в процессе эволюции переходит в многоатомную ступень при F = 0 для значения L(/Lav = 0,192

Главной составляющей расчета взаимодействия в нашей модели явились расстояния между ступенями, т.е. мы можем представить правило расчета положения ступеней друг относительно друга как функциональную зависимость скорости ступени от размера террас.

Результаты моделирования показали, что возможны различные моды роста структуры ступеней поверхности. Существует диапазон значений параметров, при которых наблюдается сближение ступеней и формирование эшелона как довольно устойчивого образования.

Литература

1. Zuo J.-R., ZehnerD.M. // Phys. Rev. B. 1992. Vol. 46. P. 16122.

2. Tersoff J. etal. // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75. P. 2730.

3. Ratsch C., NelsonM.D., ZangwillA. // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 50. P. 14489.

Южно-Российский государственный технический университет 16 ноября 2005 г.

УДК 621.371.334:537.874.6

ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ПЕРФОРИРОВАННЫХ НАНОСТРУКТУРАХ

© 2006 г. Б.А. Грибников, Е.И. Грибникова, В.И. Махно, В.В. Махно

The problem of diffraction of electromagnetic waves through dielectric grating was solved. The method of integral equation was applied. The wavelength dependencies of reflection, transmission and losses are given.

Структурированные металлические плёнки представляют собой тонкие металлические пластины, перфорированные периодической системой отверстий. Устройства, основанные на эффекте усиленной оптической передачи через такие структуры, могут быть использованы при построении множества приборов, от микроскопов и оптических модуляторов до плоских дисплеев.

Двумерные дифракционные решетки, образованные отверстиями в металлических экранах, широко используются в микроволновом и оптическом диапазонах. В ряде экспериментальных работ [1-3] показано, что металлические решетки с размерами, соизмеримыми или меньшими длины волны, обладают высоким оптическим пропусканием, значительно большим, чем предсказывает теория дифракции на решетке в идеально проводящем экране. Это можно объяснить тем, что в оптическом диапазоне частот металл имеет конечную комплексную диэлектрическую проницаемость, причем мнимая и действительная части одного порядка [4]. Металл можно представить как плазму твердого тела, образованного свободными электронами с плазменной частотой, лежащей в ультрафиолетовом диапазоне. Поэтому на границе раздела металл - диэлектрик может распространяться поверхностная волна (поверхностный плазмон), которая в оптическом диапазоне имеет малые потери. Все это, естественно, приводит к изменениям свойств решеток по сравнению с решетками в идеальном металле.

Несмотря на то что эффект аномально высокого прохождения неоднократно наблюдался экспериментально, теоретически он мало исследован. Поэтому целью настоящей работы является теоретическое исследование дифракционных свойств периодических металлических наноструктур в оптическом и инфракрасном диапазонах. При этом металл представляется диэлектриком с комплексной диэлектрической проницаемостью, значения которой взяты из [4].

При теоретическом исследовании падения плоской электромагнитной волны на двумерную диэлектрическую решетку мы используем метод частичных областей, который не столь универсальный, как метод ОИУ [5], в своей аналитической части более сложный, но который приводит к алгоритму, сокращающему время счета на порядок по сравнению с методом ОИУ.

Рассмотрим задачу дифракции при нормальном падении плоской электромагнитной волны на двумерную диэлектрическую решетку (рис. 1) для двух

случаев: Е-поляризации - Е = (0,0, Ег) и Н-поляризации - И = (0,0, И).

2d ' t

' 'ШШШ, £ яви е, ¡■¡И

ш

Рис. 1. Ячейка диэлектрической решетки 61

Введем функцию

Ez, E-поляризация

u( х, y) = -

Hz, Н-поляризация, удовлетворяющую дифференциальному уравнению

д2и д2и ,2

—- + — + k22u = 0, (1)

дх2 дУ2

и константу

1, Е-поляризация

=1 1

1 —, Н -поляризация.

К

Требование непрерывности на границах раздела диэлектрических сред тангенциальных составляющих векторов электрического и магнитного

, „ „ du ди полей приводит к условиям непрерывности функции и, д- — и д: — на

dy дх

этих границах.

Основные этапы решения задачи:

I. В области х > t и х < 0 решение ищем в виде ряда Флоке (ряд по пространственным гармоникам).

w w w

II. В областях 0 < х < t,--< y < — (2-я область) и 0 < х < t, — < y < d

2 2 2

(3-я область) решение ищем с помощью конечного преобразования Фурье.

III. Удовлетворяем граничным условиям на границе 2-й и 3-й областей

w

при у = —.

IV. Удовлетворяем граничным условиям при х = 0 и х = t.

В результате получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для определения амплитуд пространственных гармоник при х > t и х < 0 и амплитуд дифракционных максимумов. Рассмотрим подробнее этапы решения. I. Решение в области х > t запишем в виде

и(х,У) = +£ А(^е-^>(х-%п cosany +(!А04) - Це"^0 + (2)

п=1 2

Здесь 1-е слагаемое представляет сумму пространственных гармоник (кроме нулевой), 2-е слагаемое - сумму нулевой пространственной гармоники и зеркально отраженной волны, 3-е слагаемое - падающую волну. Соответственно в области х < 0:

+W (1)

и(х,У) = 2 А1 eßn хуп cosay, (3)

п=0

где Ann^4 - неизвестные коэффициенты,

íl,n Ф 0,

а = nn/d, v i , kj = kfej, n n n = 0 1 v 1

12

Pj =jal - kj, j = 1,2,3,4. II. Решение при 0 < x < t найдем с помощью интегрального преобразо-

w w

вания. Уравнение (1) в области - — < y < — умножим на sin apx и для первого слагаемого проинтегрируем дважды по частям на промежутке [0; t] по переменной x, получим

^ д2u . du .

I —— sin apxdx = — sinapx

0 dx2 p dx p

t

-uap cosapx

0 p p

t

-ap Ju sinapxdx = —a [u(A, y)(-1)p - u(0, y)] - a2pup.

0

Аналогично для второго слагаемого (1):

f d2u • d d2 ' ( ) ■ d d2up (У)

I —— sinapxdx = ——|u(x, y)sinapxdx =-—,

p л. 2 J ^ p J2

0 dy dy 0 dy

t

. up (y) = t 0

Таким образом, для функции up получаем дифференциальное уравнение:

рп

где ap =-, up(y) = |u(x,y)sinapxdx.

d 2up 2

-bp2Up = ap [u(t, y)(-1)p - u(0, y)],

dy

гДе bp, j - k2s}.

Функция и(х, у) непрерывна, поэтому в качестве и(/, у) можно взять и(х, у), определенную по формуле (2), а в качестве и(0, у) - функцию и(х, у), определенную по формуле (3).

В результате получим дифференциальное уравнение:

—р-Ъ2рЛир = ар 2 V ^а„у[44)(-1)р - 41}]. (4)

ау п=0

Уравнение (4) - неоднородное. Его решение представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения запишем в виде

д екЪр2у

и Рдн (у) = К р,р^

Р Р hb w' Chbp,2 p

где ¥р - неизвестные коэффициенты.

Частное решение неоднородного уравнения (4) ищем в виде

иРеод(у) = ар ^ V[44)(-1)Р - А^Р! (5)

p

n=0

Для нахождения неизвестных коэффициентов подставим (5) в (4). После элементарных преобразований получим:

Л(2) =--1--(6)

p,n .2,2 У '

bp,2 +an

m ^ ^ w w

Таким образом, при 0 < x < t, - — < y < — решение имеет вид

2 +ш chbp 2y u(x, y) = - 2 sinüpX{Vp-^— +

tp=1 chbp2 — ,„4

p,2 2 (7)

+ap 2 vn[44)(-1)p - A»]^ cosany}.

n=0

Это решение можно преобразовать, просуммировав во втором элементе ряда (7) по переменной p (эти ряды табличные). В результате получим еще одну формулу для решения:

2 +<» chbp 2y u (x, y) = — 2 V ---sin a x +

tP=1 chbp 2 -

p,2 2 (8)

+ 2.Vn[A^sh^x + A(1)shPn,2 (t - x^^a•

n=o shp„2t

w

Решение в области — < y < d находим аналогично (7), (8): 2 ,.rchbp,3 (d - y)

u(x, y) = -£ sinapx[Wp ,

tp=\ chbp3l

+ap S V[A^4)(-l)p -лП^КРП cosa„y];

n=0

2 +» chbp,3(* - У)

u(x, y) = - S Wp--+

t p=i chbp3l

+ S Vn [An4)sh^n,3 x + An^shbn,3 (t - x)] ,

n=0 shtßn,3

(9)

(l0)

где R3n =-тт^. l = * - f-

bP,3 2

III. Удовлетворим граничным условиям на границах 2-й и 3-й областей.

Из условия непрерывности функции u(x, y) при y = — получаем:

w

Vp - Wp + ap X Vn cosan-[A^4)(-1)p - A^Wf^ - Л® ) = 0. (11)

n=0 2

du

Из условия непрерывности %— (используем уравнения (7), (9)) полу-

ду

чаем:

w

vptP,2 + WpTp,3- ap X vnan sina

n=0 2

[ 44)(-1)p - A0) ] (#2 R2?-#3 R<p¿) = 0,

w

ГДе Tp,2 = #2bp,2thbp,Tp,3 = #3bp,3thbp,3l.

Из уравнений (11) и (12) можно выразить Vp, Wp через лП4\ An1 :

(12)

Vp = X [An4)(-1)p - A[>]hpn, Wp = X [a(„4\-1)p -

n=0 n=0

, gp,n Tp,3 fp,n gp,n + Tp,2 fp,n

гДе hp„ =-4;-f^r-a—, qp,n =- p p

Tp,2 + Tp,3

Tp,2 + Tp,3

fp,n = apvn COS an WW • (R(p2)n - RTn X gp,n = apvn Sin an "7 • (#2Ripn - ).

IV Найдем значения Ур, Wp, подставив в (8), (10) и удовлетворив условию непрерывности при х = 0 и х = Запишем граничные условия:

дх

ди (1)(0, у) дх

ди (4)(t, у) дх

#2 ди(2)(0,у) 0 <у < W 2 дх 2

„ ди(3)(0, у) w

#3-\-LLL— < у < d

дх 2

# ди(2)(t,у) 0 < у<W 2 дх 2

„ ди (3)(t, у) w

#3-< у < d

дх 2

(13)

(14)

где u() - поле в j-й области.

Сначала рассмотрим граничные условия (13). Подставим соответствующие поля (7,9). Затем умножим обе части на cos a„y и проинтегрируем на [0; d], в результате имеем

в 2= 2 Уnrnx+^ ]+

2 Г ,=1

+ У*>„[A(„4)im,„ - A®im,„], m = 0,1,...,

n=0

S.

где Itn = \ f 0 cosатУ coS+j C"' f J cosатУ cos

S 3 I d

n,3

Sn, j = Sj -Jej; Cn, j = %jßn, j ^в,/). После интегрирования в (16) получим

Is,c = у I Sn,2 I L( j) 1 m,n ¿-t j /-» \ m,n >

j=2,3 [Cn,2 ^

(15)

(16)

L(2) =

m,n

w

w

w

w

an Sln an у coS am у - am Sln am у coS an у

w

w Sln(2«m y)

+

m Ф n,

2am

m = n Ф 0,

w

—, m = n = 0. 2

¿(3) =<

w

w

w

w

an Sln an у coS am - -am Sln am ~ coS an у ^ -al

m Ф n,

l -

w

Sln(2am y)

2am

l, m = n = 0.

,m = n Ф 0,

Теперь в (15) определим im2-1'1-3"1 '

m, p

im2)p =¿2 J chbp,2 У coSamydy

w

chbp,2 —

(3) d 1 i33)p = ¿3 J chbp,3 (d - У) coS amydy-

w

chbp з —

p ,3

w

после преобразований

J(2) =_ R(2) W! П П W!

т w , е ■ w

Tp,2 COS am — + #am Sinam у

j'^p = _ (_1)43m \_Tp,3 COSamy + ^3«m S^y] . Подставим в (15) найденные значения vp, wp. Преобразуем

2 s [j(Zvp + J™pwp ] =7 s ®p s [(_i) p44) _ 41}щ,Л2р + qpjZ ] =

7 p=1 7 p=1 n= 0

= s [ АП )Sm,n _ )Sm,n ],

n=0

1)p I \[hpnJ<mip + qpnJmp ].

гДе ^».я = 7 1Ч

7 Р=1 [(-1)

Таким образом, (15) запишем в виде

^Рт* = X + ^т,и ] -^^и^я,« + ]], (17)

2 п=0 (1/)

т = 0,1,2...

Аналогично из граничных условий (14) получим 1

_ 2 44) + 2^m

= s [44)[jm,n+sm,n] A;j1)[vnj»m,n+Sm,n]],

n=0 (18)

т = 0,1,2...

Решив систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (17), (18) методом редукции, найдем А»4). Далее находим падающую мощность

Рр = Р(Ч(,

отраженную мощность

Po,; = (_8„ + 44\ •

n Ф 0,

2

1, n = 0

и прошедшую мощность

Pp,n = •

, n Ф 0,

1, n = 0

Исследование внутренней сходимости метода показало, что при решении СЛАУ (17), (18) достаточно 10 элементов в рядах. Время численной реализации данного метода на порядок меньше, чем методом ИУ [5] при той же самой точности расчетов.

На рис. 2-5 показаны результаты расчета коэффициента прохождения и отражения по мощности для основной волны (70) и по мощности всех волн (72) в зависимости от длины волны для решеток с различными пара-

1

метрами, период 2ё = 900 нм, е2 = -13,6 - 1,6/, е1 = 2,1, е3 = е4 = 1,0. На рис. 2, 3 изображена зависимость коэффициента прохождения по мощности через решетку в зависимости от длины волны для Е- и Н-поляризаций. Построены два типа зависимостей коэффициента прохождения от длины волны при постоянной полоске V = 450 нм. На рис. 4, 5 построены аналогичные зависимости для коэффициента отражения по мощности основной волны (Я0) и по мощности всех волн (Яв зависимости от длины.

0,82 0,80 0,78 0,76 0,74 0,72 0,70 0,68 Т 0,66 0,64 0,62 0,60 0,58 0,56 0,54 0,52

Рис. 2. Е-поляризация, t = 20 нм: Те (кривая 1) и Т0 (кривая 2); t = 40 нм: Те (кривая 3) и Т0 (кривая 4)

0,8 ■ 0,7' 0,6' 0,5.

T 0,4'

0,3' 0,2' 0,1

1

2 L * " J ч

VIA \ ч

3 ЧУ V ч S

ч' ^ V ^у > \

4 V \

X \ * 1

V1

J

к

X ,nm

400

600

800

1000

1200

1400

Рис. 3. Н-поляризация, t = 20 нм: Те (кривая 1) и Т0 (кривая 2); t = 40 нм: Те (кривая 3) и Т0 (кривая 4)

600 800 1000 1200 1400

Рис. 4. Е-поляризация, t = 20 нм: Re (кривая 1) и R0 (кривая 2); t = 40 нм: Re (кривая 3) и R0 (кривая 4)

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

I

{ J

\ 1

А \

/ /! V

' ' , V

/ ' / N

4 Л/ / ✓ /

/ / 4 /

3 Л А/ ✓

1 /

2 \f

1

Я.пт

400

600

800

1000

1200

1400

Рис. 5. Н-поляризация, 7 = 20 нм: Яе (кривая 1) и Я0 (кривая 2); 7 = 40 км: Яе (кривая 3) и Я0 (кривая 4)

Видно, что для Е-поляризации и Н-поляризации при постоянном размере неоднородностей w коэффициент прохождения уменьшается с ростом толщины плёнки 7. При этом для Е-поляризации коэффициент прохождения во всём диапазоне несколько больше, чем для Н-поляризации, и с увеличением толщины 7 передача падает более заметно для Н-поляри-зации. При совпадении длины волны с периодом 21 = 900 нм возникает дифракционный максимум в воздушном слое. Ещё один резонанс наблю-

R

400

R

дается при длине волны ~ 640 нм, связанный с возникновением дифракционного максимума в слое диэлектрика. Резонанс на длине волны ~ 450 нм связан с возникновением следующего дифракционного максимума в воздухе.

Таким образом, методом частичных областей решена задача дифракции электромагнитной волны на металлической решетке с конечной проводимостью. Расчеты показали быструю сходимость решения. Установле -но наличие высоких значений коэффициента передачи света через наност-руктурированные металлические решетки.

Литература

1. Salomon L. et al. // Physical review letters. 2001. Vol. 86. № 6. P. 1110.

2. Martin-Moreno L. et al. // Physical review letters. 2001. Vol. 86. № 6. P. 1114.

3. Schroter U, Heitmann D. // Physical review. 1998. B. Vol. 58. № 23. P. 15419.

4. www.luxpop.com.

5. Лерер А.М., Калинченко Г. // Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48. № 8. С. 1. Ростовский государственный университет 21 ноября 2005 г.

УДК 532

КОНТАКТНОЕ ПЛАВЛЕНИЕ В СИСТЕМЕ Sn-Pb-Cd ПРИ НАЛИЧИИ ЭЛЕКТРОПЕРЕНОСА И ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОНТАКТНЫХ ПРОСЛОЕК

© 2006 г. З.М. Кумыков, А.М. Багов, С.Н. Ахкубекова

The nature of contact melting is discussed in the light of new idea: the first drops of liquid phase on contact surface is obliged to melting of nanosize defects: buttresses, islands, adatoms etc.

Расплавы, образующиеся в процессе плавления одно- и многокомпонентных металлов, являются микронеоднородными в широких температурном и концентрационном интервалах [1]. Поэтому возникает ряд вопросов: на какой стадии процесса плавления образуются эти неоднородности? От чего зависят их размеры и формы? Можно ли контролировать их параметры? Важную информацию о структурном состоянии сплавов дают комплексное исследование их свойств от концентрации и температуры, т.е. диаграммы состояния, а также изучение явления контактного плавления (КП), особенно в многокомпонентных системах тесно связанного с диаграммой состояния.

Согласно [2], область между ликвидусом и солидусом в двухкомпо-нентных системах делится на сплавы, находящиеся в твердо-жидком (диспергированном) состоянии (сплав обладает основными свойствами твердого тела сохранять ту форму, которую он имел изначально), и сплавы,