CC BY
15
Соловьев Юрий Валерьевич, преподаватель, vik41038@mail.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского
CONSIDERATION OF AN APPROACH TO IMPROVING THE EFFICIENCY OF INTEGRATED AUTOMATED CONTROL SYSTEMS BY OPTIMIZING THEIR INFORMATION STRUCTURE
M.I. Kalinina, Yu.V. Solovyov
The main attention in the article is paid to the consideration of one of the possible approaches to improving the efficiency of integrated automated control systems. The basis for the implementation of this approach is the optimization of their information structure. The relevance of the article is due to the need to train specialists in the operation of complex systems in the skills of their analysis and synthesis.
Key words: complex system, synthesis, subsystem, graph, information processing, set, resources, optimization.
Kalinina Marina Ivanovna, candidate of pedagogical sciences, senior lecturer, vik41038@mail.ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A. F. Mozhaisky,
Solovyov Yuri Valeryevich, lecturer, vik41038@mail.ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A. F. Mozhaisky
УДК 539.3:534.26
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-11-177-185
ДИФРАКЦИЯ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ НА ЖЕСТКОМ ШАРЕ С УПРУГИМ АНИЗОТРОПНЫМ ПОКРЫТИЕМ
С.А. Скобельцын, Д.Р. Бирюков
Рассматривается задача рассеяния акустической волны на абсолютно жестком шаре с упругим анизотропным радиально-неоднородным сферическим покрытием. Шар помещен в идеальную жидкость, в которой распространяется падающая волна. Описываются входные данные для покрытия, допустимые для данной задачи. Приводится аналитическое решение поставленной задачи дифракции. Решение сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с совокупностью граничных условий. Приводятся результаты численных исследований и выводы, основанные на них.
Ключевые слова: абсолютно жесткий шар, неоднородное упругое покрытие, транс-версальная изотропия, тензор модулей упругости, дифракция звука
Задачи дифракции звуковых волн - важный класс задач математической физики. Возможность отыскать закономерность во влиянии параметров тел, рассеивающих акустические волны, на отраженное звуковое поле, имеет непосредственное значение для приложений прикладной математики.
Такие особенности тел, как упругость, неоднородность и анизотропность, играют существенную роль в явлении дифракции, что продемонстировано во многих работах на эту тему. Внимание в исследованиях на тему неоднородности упругих рассеивающих звук тел часто уделяется покрытию сферических и цилиндрических тел неоднородным слоем. Например, работы [1-3] посвящены дифракции на неоднородных по-крытиях шаров. В работе [4] рассматривается вопрос о прохождении звука через упругую оболочку, наделенную неоднородным покрытием.
Дифракции звука на анизотропных телах тоже посвящен ряд работ. В работе [5] исследуются звуковые волны, проходящие через трансверсально-изотропный неоднородный упругий слой. Работы [6-7] посвящены изучению влияния анизотропии покрытия тела на рассеяние звука.
Текущая работа посвящена дифракции звука на шаре с упругим неоднородным транс-версально-изотропным слоем.
В данной работе рассматривается заполненное идеальной жидкостью трехмерное пространство, в котором введена сферическая система координат (г, 9, ф). Жидкость характеризуется плотностью ро и скоростью звука Сд. В пространство помещен жесткий шар (центр которого находится в центре координат) с радиусом гд, покрытый упругим радиально-
неоднородным трансверсально-изотропным слоем. Плотность данного покрытия - непрерывная функция р(г) . Тензор модулей упругости покрытия - непрерывно дифференцируемая тензорная функция Ь(г). Покрытие шара является трансверсально-изотропным, поверхностями
изотропии являются сферы вида г = г *, где гд ^ г * < г , г - внешний радиус покрытия.
Вводится также декартова система координат (х, у, г), связанная с выше упомянутой сферической соотношениями
х = г sin(9) cos(ф), у = г sin(9) sin(ф), г = г cos(ф).
На шаре с покрытием рассеивается звуковая волна, характеризуемая потенциалом смещения
^0 = А ехрк - юt), (1)
где А - амплитуда смещения; к = ю / Сд - волновое число звука в жидкости; ю - циклическая частота колебаний в жидкости; t - время.
В результате рассеяния возникает отраженное звуковое поле ^ 5, которое требуется определить.
Иллюстрация к постановке задачи в двумерном виде приведена ниже на рис. 1.
Ро,с0
Фо
Рис. 1. Геометрия задачи в двумерном виде
Укажем, какие значения компонент тензора Ь (независимые компоненты - Хц(г), X22(г), ^12(г), X2з(г), X4(г)) могут быть допустимыми во входных данных задачи. Данный тензор может быть записан в матричной форме
Ь =
Г^11(г) ^12(г) ^12(г)
Х12(г) Х22(г) Х23(г) Х12(г) Х23(г) Х22(г)
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 (X 22(г) -X 2з(г ))/2 0 0 X4(г)
0 0
0 0
X 4(г )
22 > ^12' ^11^22 23)/2 >^12.
Энергия упругой деформации должна оставаться положительной всюду при гд < г < г . Для этого, согласно [8], должны быть положительны все главные миноры матрицы (2). Этот факт эквивалентен системе неравенств
А.Ц > 0, (3)
> 0, (4)
^22 >^23, (5)
(6) (7)
Волна уд, определяемая уравнением (1), является решением уравнения Гельмгольца:
2
Луо + к Уо = 0.
Волна у в идеальной жидкости, возникающая после рассеяния падающей волны (1) на шаре, тоже является решением уравнения Гельмгольца
Лу + к 2у = 0.
Рассеянная волна уя, являющаяся разностью уя = у - у0, вследствие линейности уравнения Гельмгольца, также является решением данного уравнения
Лу я + к 2у я = 0. (8)
Уравнение (8) можно решить методом разделения переменных, тогда получим
у я = I Апкп (кг) Рп (008(0)), (9)
п=0
Функция Ьп - сферическая функция Ханкеля первого рода порядка п . Функция Рп -полином Лежандра степени п. Ап - коэффициенты, которые требуется определить для решения задачи.
Для упругой трансверсально-изотропной сплошной среды (с матрицей упругих констант (2)) верны следующие формулы, связывающие компоненты тензора напряжений с компонентами тензора деформаций
да
гг +1 даг0 !
2агг -а00 -афф +
аг0 008(0) sin(0)
дг г 50
-афф) 008(0)
8ш(0)
даг0 , 1 да00 , _
дг г д0 г
Выражения для компонент тензора деформаций:
диг
+ 3аг
8 гг
дг
800 =■
иг +-
д и д02
= -ш2риг,
2
= -Ш ри0.
(10) (11)
(12) (13)
8ФФ
иг +
008(0) ди
8ш(0) д0
8гф = 80ф
= 0,
(
8г0= 2
1 диг 1 ди ^ д и
2
г д0 г д0 дгд0
(14)
(15)
где и определяется выражением
и0 =
ди 179
г
1
г
1
1
Выражения для компонент тензора напряжений:
агг -Х118гг + Х12^ее +Х!2£фф,
а
Гф
-аг9 -X48гф " 0
аее - Xi2srr + X22see + X 2зsфф,
фф - Х128гг + X23see + X22sфф,
а
а9ф = (Х22 - Х23)ее^2 = 0 Подставив (3)-(12) в (6)-(7), получаем:
\2
баг
2(1 -712)Сгг + С (а*) (^-X 22 -Х2з)(2«г + С (и*))
бг
- + -
X
11
+
11
+
(17)
(18)
(19)
(20) (21)
(22)
Х12аг
ба X11 -+-—
бг
+ 3а
■ +
+ ю риг - 0, 2X2
(X22--12)(2иг + С(u*)) - 2X4(иг - и*)
X11
„2
+
(23)
2 * + ю ри - 0,
где а и С определяются выражениями
^2
cos(e) б
2
аге --
ба
sin(е) эе' эе
Функции иг, и*, огг , о*, в упругом сферическом слое могут быть записаны в виде разложений:
иг -£и-0 и?)(г)Pn (cos(e)), и*-Х"-0 иП0)(г) Pn (cos(e)), агг -Z«-0аПГ)(г)Pn (cos(e)), а*-Х "-0 аП9)(г) Pn (cos(e)),
-п=0
Подставив (24)-(27) в (22)-(23), получаем:
Г- 2Х12 п(п + 1)Х12 ^
( и(г) Л
n
и(е)
V n у
_42
Х11г 1
(а^) Л
иn
Vu n у
г
( 21
— -рю
Х11г 1
2
( и(г) Л
n
и(е)
V n у
+
n(n +1)/
2
г г
2(X4 - 5) n(n +1)5 - 2X4
+
22 г г
( Xn ^
2( -г12 -1) n(n +1)
X11
( 1 Л
X11 0 (а(г) Л и n
0 1 а<0) Vu n у
V X 4 у
Л
-рю2 Г и(г) Л " n + и(е) + V n у
(24)
(25)
(26) (27)
(24)
(25)
X
12
X
3
11
( а^г) Л
n
Vй n у
2X12
от 2
где 1 = "Г11 -(X22 +Х23), * = Х22 - .
Х11 Х11
Полученные уравнения дополняются граничными условиями. Рассмотрим теперь краевые условия на внешней и внутренней границах упругого сферического слоя. На внешней гра-
I
нице слоя г = г должно выполняться условие равенства смещений частиц жидкости и частиц упругого сферического слоя, которое можно свести к формуле:
2
г
г
г
г
Ап = (4г)(г')-упк/п(кг'))/(ккп(кг')).
(26)
Следующие условия на внешней границе сферического покрытия г = г есть условия равенства нормального напряжения и акустического давления и отсутствия касательного напряжения, которые могут быть записаны в матричной форме в виде:
Га(г) ^
ип
Vй п
+
Л
(гП) ^
п
и (0) V п У
+
( 2 ' Рою Ип (кг)
I I
кИп(кг )
о
2 ' ' ' ^ Р0ю У^п (кг )Ип (кг )
I I
Ип (кг )
о
+
(27)
V " У
На внутренней границе г = го отсутствует смещение частиц:
и(г )(го) = 0,
49)(го) = 0.
(28) (29)
Условия (27-29) есть краевые условия для дифференциальных уравнений (24-25). Решение краевой задачи (24-25), (27-29) позволяет определить смещения и^")(г ) в упругом неоднородном сферическом слое, что позволяет вычислить коэффициенты Ап по формуле (26).
Таким образом, определена рассеянная волна (9).
Можно дополнительно рассмотреть дальнюю зону акустического поля (кг >> 1).
Асимптотическая формула для функций Ханкеля Ит (кг ) позволяет привести (9) к виду:
у, = ехр((кг-4)0АРк- ЕАп(-)п+0,5Рп(008(0)). 4 Ькгп=о
Последний множитель, представляющий собой ряд, представляет собой амплитуду рассеяния и может быть записан как:
ж
Р(0) = Е Ап (-/)п+0,5Рп (008(0)). (30)
п=0
Для описанной задачи проведены численные исследования. Далее приводятся входные
данные:
Плотность покрытия: ро = 1500 • / (г) кг/м3, где f (г) - функция, описываемая ниже.
Соотношение радиусов цилиндра и покрытия: г = 1,1го. Идеальная жидкость, окружающая шар - вода (ро = 1000 кг/м3, со = 1485 м/с). Значения модулей упругости, удовлетворяющие условиям (3), выбраны следующим образом:
Хц = 3,9 • 109 • f (г) Н/м2, X22 = 5 • 109 • f (г) Н/м2,
Х12 = 3,9 •Ю9 Н/м2, Х23 = 3,9 •Ю9 Н/м2,
X 4 = 3,9 -109 Н/м2.
Для демонстрации влияния неоднородности и анизотропии на рассеяние рассматриваются два варианта функции f (г) :
f (1)(г ) = 1,
f (2)(г) = 0,5 + ^
г - г0
(31)
(32)
На каждом из рис. 2-6 изображены графики абсолютной величины амплитуды рассеяния (30) для определенного волнового размера шара. Сплошной график на каждом рисунке соответствует функции (31), точечный - (32). Стрелка на графиках показывает направление распространения падающей плоской волны.
\
Рис. 2. Графики амплитуды рассеяния для кг'=5
!
Рис. 3. Графики амплитуды рассеяния для кг'=10
\
Рис. 4. Графики амплитуды рассеяния для кг'=20
182
к
т
Рис. 5. Графики амплитуды рассеяния для кг'=50
2
!
Рис. 6. Графики амплитуды рассеяния для кг'=100
Графики амплитуды рассеяния волны на рис. 2-6 демонстрируют существенную зависимость рассеяния от характера неоднородности и анизотропии сферического покрытия. При изменении различных параметров шара, покрытия и падающей волны характер дифракции может меняться от неоднородности и анизотропии более или менее существенным образом, и данная зависимость является нетривиальной. Тем не менее, звукоотражающие свойства сферического тела можно изменять путем изменения характера неоднородности и анизотропии сферического покрытия.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-00199, https://rscf.ru/project/18-11-00199/.
Список литературы
1. Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // Прикл. мат. и мех. 2014. Т. 78. Вып. 4. С. 519-526.
2. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругой сфере с неоднородным покрытием // Прикл. мат. и мех. 2015. Т. 79. Вып. 5. С. 663-673.
183
3. Толоконников Л. А., Родионова Г. А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием. // Известия ТулГУ. Сер. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 131-137.
4. Иванов В. И., Скобельцын С. А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку // Известия ТулГУ. Сер. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 179-192.
5. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Прохождение звуковых волн через трансвер-сально-изотропный неоднородный плоский слой // Акустический журн. 1990. Т. 36. №4. С. 740744.
6. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журн. 1995. Т. 41. №1. С. 134-138.
7. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. №4-5. С. 11-14.
8. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. 388 с.
9. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.
Скобельцын Сергей Алексеевич, д-р физ.-мат. наук, skbl@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
Бирюков Данила Русланович, аспирант, danilabirukov@.rambler. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
DIFFRACTION OF AN ACOUSTIC WAVE BY A RIGID BALL WITH AN ELASTIC ANISOTROPIC COATING
S.A. Skobel'tsyn, D.R. Biryukov
The problem of scattering of an acoustic wave on an absolutely rigid ball with an elastic an-isotropic radially inhomogeneous spherical coating is considered. The ball is placed in an ideal fluid in which the incident wave propagates. Describes the coverage inputs that are valid for this task. An analytical solution to the problem of diffraction is given. The solution is reduced to solving a system of ordinary differential equations with a set of boundary conditions. The results of numerical studies and conclusions based on them are presented.
Key words: absolutely rigid ball, inhomogeneous elastic coating, transverse isotropy, tensor of elastic moduli, diffraction of sound.
Skobel'tsyn Sergey Alekseevich, doctor of physical and mathematical sciences, skbl@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Biryukov Danila Ruslanovich, postgraduate, danilabirukov@rambler.ru, Russia, Tula, Tula, Tula State University
