CC BY
9
ТРУДЫ БГТУ. 2012. № 6. Физико-математические науки и информатика. С. 51-53
51
УДК 531.19
Я. Г. Грода, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой теоретической механики (БГТУ)
ДИФФУЗИЯ РЕШЕТОЧНОГО ФЛЮИДА НА ПЛОСКОЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ С УЧЕТОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В СЕДЛОВОЙ ТОЧКЕ
Рассмотрен процесс диффузии решеточного флюида с дополнительным взаимодействием в седловой точке на плоской треугольной решетке. В рамках суперпозиционного приближения получено аналитическое выражение для оценки кинетического коэффициента диффузии решеточного флюида. Определен кинетический коэффициент диффузии решеточного флюида с притяжением/отталкиванием ближайших соседей и равным ему взаимодействием в седловой точке. Результаты аналитических расчетов сопоставлены с данными компьютерного моделирования диффузионного процесса в исследуемой системе по методу Монте-Карло.
The diffusion process of the lattice fluid with additional interaction in the saddle point on a plane triangle lattice is considered. A simple analytical expression for the jump diffusion coefficient is deduced within the superposition approximation. The jump diffusion coefficient of the system with nearest neighbor attractive/repulsive interaction and interaction in the saddle point of the same energy is calculated. The analytical results are compared with Monte Carlo simulation data.
Введение. Как было показано ранее для решеточного флюида на плоской квадратной решетке [1], при исследовании процесса диффузии решеточного флюида может быть рассмотрена модель, в которой наряду с взаимодействием частиц, занимающих ближайшие соседние узлы, может быть учтено взаимодействие частицы, находящейся в так называемой седловой точке, которая совпадает с вершиной межузлового барьера. Его учет вызывает изменение эффективного межузлового барьера и, очевидно, будет влиять на диффузионные свойства системы [2].
В настоящей работе приводится обобщение предложенного подхода на случай рассмотрения решеточных систем с геометрией, отличной от прямоугольной.
Модель. Модель представляет собой систему из n частиц, расположенных в узлах регулярной плоской треугольной решетки, содержащей N узлов. Каждый узел может быть либо занят частицей, либо быть вакантным. Состояние узла i определяется числом заполнения ni = 1 или ni = 0 в зависимости от того, занят узел частицей или вакантен. Заполнение узла более чем одной частицей запрещено.
С Ь ¡ d Ola h
e f g
Рис. 1. Плоская треугольная решетка.
Узлы a, b, c, d, e и f - ближайшие соседи узла 0.
Узлы b и f - ближайшие соседи седловой точки I
Находящаяся в узле 0 частица может взаимодействовать с энергией J с частицами, занимающими ближайшие соседние узлы, т. е. узлы а, Ь, С, Ь, е и f (см. рис. 1). При ее последующем переходе в узел а при прохождении седловой точки I она также взаимодействует с узлами Ь и Г Энергия взаимодействия в данном случае принимается равной J£ и в общем случае J Ф Js.
Таким образом, для перехода из узла 0 в ближайший вакантный узел а частице необходимо преодолеть активационный барьер Еа, величина которого может быть определена как
Еа = Е (2) - Е (0), (1)
где Е(2) - энергия частицы в седловой точке, равная
Е (2) = Ео + Jъ (пь + пг), (2)
здесь Е0 - исходная высота межузельного барьера; Е(0) - начальная энергия частицы, вычисляемая по формуле
Е (0) = J(nь + пс + пй + пе + пг). (3)
Это позволяет представить активационный барьер в следующем виде:
Еа = Е0 -А (пь + пг ) - (пс + пл + пе X (4)
где А = J - JI..
Кинетический коэффициент диффузии решеточного флюида в суперпозиционном приближении. В рамках общей теории диффузионных процессов в решеточных системах [3] и учитывая аналогичные результаты для решеточного флюида на плоской квадратной решетке [1], для кинетического коэффициента диффузии решеточного флюида может быть предложено следующее выражение:
52
Я. Г. Грода
,/ = —(" (1 - па)(! + " а)(1 + "еа)(1 + ^ а) X
с
х(1 + Пъ у )(1 + пг у)), (5)
Д =-Ув
0 2ё
а = ехр(в/) -1, у = ехр(РД) -1,
(6) (7)
где с - равновесное значение концентрации частиц; г - число ближайших соседей на решетке рассматриваемого типа; а - расстояние между узлами решетки (длина прыжка частицы); ё - размерность пространства; у - частота, имеющая порядок частоты колебаний частицы вблизи узла решетки и определяющая временную шкалу диффузионных процессов; в = 1 / квТ - обратная температура; кв - постоянная Больцмана; Т - температура.
Определяя корреляционные функции для заполнения решеточных узлов соотношением вида
(пк п2 «з ... пп ^ = cngn ^ . • •, I" X (8)
можно получить выражение для кинетического коэффициента диффузии через многочастичные корреляционные функции.
В качестве первого приближения для вычисления многочастичных корреляционных функций в работе [1] было предложено супер -позиционное приближение, в котором непосредственно учитываются лишь парные корреляции в заполнении ближайших соседних узлов, а корреляционные функции более высоких порядков определяются посредством парных корреляций.
Применение данного подхода к рассматриваемой задаче позволяет представить выражение для кинетического коэффициента диффузии в следующем виде:
, = (1 ^ )х
ио
(1 + а9g )2 + а9g (1 + аeg2 )2
+ 2yge(l -eg2 )(1+аeg2 )х х [1 + 2аeg + а2е2 g 4 ] + + у 2е2 g2 (1 -eg3 )х (1+аeg2 )2 + аeg (1+аeg3 )2 . (9)
х
х
Входящая в соотношение (9) парная корреляционная функция двух ближайших соседних узлов g может быть найдена, например, в рамках диаграммного приближения [4, 5].
Алгоритм моделирования. С целью верификации предложенных выражений для кинетического коэффициента диффузии может быть выполнено компьютерное моделирование диффузионных процессов по методу Монте-Карло с помощью алгоритма Метрополиса [6], модифицированного с целью учета взаимодействия в седловой точке.
В рамках этого алгоритма случайным образом выбирается узел I, занятый частицей. После этого также случайно определяется направление возможного прыжка частицы в один из ближайших узлов ]. Если второй выбранный узел занят частицей, то переход частицы в него, очевидно, невозможен. Тем не менее попытка такого перехода учитывается. Если же он свободен, то переход частицы в него осуществляется с вероятностью:
Р = Р
а0 г0
-1
ех
Р {-в[ / / ]}, (10)
где Р0 - нормировочный коэффициент, физический смысл которого состоит в том, чтобы наиболее энергетически выгодный переход частицы осуществлялся с вероятностью, равной 1;
- число ближайших соседей частицы, находящейся в седловой точке; 5 - число ближайших соседей частицы, находящейся в исходном узле 0. Например, при перескоке частицы из узла 0 в узел а
5 = "ъ + Пс + "ё + Пе + Пр 5^= "ъ + Пг. (11)
Если Рг > Ра0, где Рг - случайное число из диапазона [0; 1], то переход частицы между узлами не осуществляется, в противном случае он считается произошедшим. Повторение данной процедуры " раз, где " - число частиц на решетке, формирует один шаг алгоритма Монте-Карло (МКШ).
Для моделирования диффузионных процессов использовалась решетка с периодическими граничными условиями, содержащая 32х32 = = 1024 решеточных узла. Процедура моделирования состояла из 50 000 МКШ. Дополнительно первые 10 000 МКШ отводились на эквилибризацию системы и не учитывались в дальнейшем.
Последующее усреднение по 1000 траекторий позволяло изучить зависимость среднего квадрата смещения центра масс системы частиц и среднего квадрата смещения отдельной частицы от времени, измеренного в МКШ, и определить соответственно коэффициент кинетической диффузии Дг и коэффициент диффузии меченых атомов Дг.
Для снижения влияния размеров моделируемой системы на получаемые результаты использовались периодические граничные условия.
Диффузия решеточного флюида на плоской треугольной решетке
53
Результаты моделирования. На рис. 2
представлены зависимости от концентрации кинетического коэффициента диффузии решеточного флюида с взаимодействием ближайших соседей и равным ему взаимодействием в седловой точке и проведено сопоставление результатов моделирования с данными, полученными на основании соотношения (9).
о5
1 F"
ОД
0,01
1Е-3 t-
1Е-4 —L_ 0,0
0,5
1,0 с
?
CD
о
S
ОД г
0,01
0,0
0,5 б
1,0 с
Рис. 2. Зависимость от концентрации кинетического
коэффициента диффузии решеточного флюида с притяжением (а) и отталкиванием (б) ближайших соседей и равным ему взаимодействием в седловой точке на плоской треугольной решетке: 1 - Т/ Тс = 1,05; 2 - Т/ Тс = 1,20;
3 - Т/ Тс = 1,50; 4 - Т/ Тс = 2,00; 5 - Т/ Тс = 6,00.
Точками представлены результаты МКМ, линиями - результаты использования соотношения (9). Пунктирной линией обозначены результаты для решеточного газа Ленгмюра (J = = 0)
Данное сопоставление ясно показывает, что, как и в случае решеточного флюида на квадратной решетке, предлагаемое суперпозиционное приближение может с успехом использоваться для определения кинетического
коэффициента диффузии при не очень низких температурах (T > 1,50Tc). Ниже указанной температуры имеет место заметное расхождение между результатами аналитических расчетов и данными моделирования, особенно в случае системы с притяжением между ближайшими соседями.
Такое соответствие результатов двух различных подходов может быть объяснено тем, что соотношение (9) получено путем выражения многочастичных корреляционных функций через парные функции для ближайших соседних узлов, т. е. в нем никак не учитываются возможные многочастичные корреляции в заполнении решеточных узлов. В то же время вследствие термоактивированости переходов частиц с ростом температуры эти корреляции ослабевают, что и отражается в практически полном совпадении результатов обоих методов.
Заключение. Подводя итог, можно сделать вывод о том, что предлагаемый подход к определению кинетического коэффициента диффузии позволяет получить адекватное качественное описание транспортных процессов в решеточном флюиде, а при не очень низких температурах приводит и к верным количественным результатам.
Литература
1. Грода, Я. Г. Коэффициент диффузии решеточного флюида с взаимодействием в седло-вой точке: суперпозиционное приближение / Я. Г. Грода // Труды БГТУ. - 2011. - № 6: Физ.-мат. науки и информатика. - С. 27-30.
2. Collective surface diffusion on triangular and square interacting lattice gases / A. Danani [et al.] // Surf. Science. - 1998. - Vol. 409. -P. 117-129.
3. The self-consistent diagram approximation for lattice systems: diffusion properties of interacting lattice gases / G. S. Bokun [et al.] // Physica A. -2000. - Vol. 296, № 1/2. - P. 83-105.
4. Вихренко, В. С. Равновесные и диффузионные характеристики интеркаляционных систем на основе решеточных моделей / В. С. Вихренко, Я. Г. Грода, Г. С. Бокун. - Минск: БГТУ, 2008. - 326 с.
5. Vikhrenko, V. S. The diagram approximation for lattice systems / V. S. Vikhrenko, Ya. G. Groda, G. S. Bokun // Phys. Let. A. - 2001. - Vol. 286, № 2/3. - P. 127-133.
6. Uebing, C. Monte Carlo study of surface diffusion coefficients in the presence of adsorbate-adsorbate interactions / C. Uebing, R. A. Gomer // J. Chem. Phys. - 1991. - Vol. 95, № 10. -P. 7626-7652.
Поступила 01.03.2012
а
