CC BY
20
ДИФФУЗИОННЫЙ ТРАНСПОРТ В ЦИЛИНДРЕ ПЕРЕМЕННОГО
СЕЧЕНИЯ
Зицерман Владимир Юрьевич
канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник Объединенного института высоких температур Российской Академии наук, РФ, г. Москва
E-mail: vz1941@mail.ru Махновский Юрий Абрамович канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник Института нефтехимического синтеза им. А.В. Топчиева Российской Академии наук, РФ,
г. Москва E-mail: yuam @jps. ac. ru Антипов Анатолий Евгеньевич научный сотрудник факультета фундаментальной физико-химической инженерии Московского государственного университета, РФ, г. Москва
E-mail: 89636941963ant ipov@gmail.com
DIFFUSIONAL TRANSPORT IN A TUBE WITH VARIABLE CROSS-
SECTION
Zitserman Vladimir
leading scientist, Candidate of Science, Joint Institute for High Temperatures,
Russian Academy of Sciences, Russia, Moscow
Makhnovskii Yurii
leading scientist, Candidate of Science, Topchiev Institute of Petrochemical Synthesis, Russian Academy of Sciences, Russia, Moscow
Antipov Anatoly
postgraduate student, Moscow State University, Faculty of Fundamental Physics and
Chemical Engineering, Russia, Moscow
Работа выполнена при поддержке РФФИ — проект № 14-03-00343. В.Ю.З. благодарит за поддержку в рамках программы ПРАН№ 43 « Фундаментальные проблемы математического моделирования» (координатор — акад. Бетелин В.Б.).
АННОТАЦИЯ
Рассмотрена задача о дрейфе и диффузии частицы в трубке, состоящей из периодически распределенных сегментов малого и большого радиусов, под действием силы, направленной вдоль оси трубки. Предложен приближенный подход, позволяющий аналитически рассчитать эффективные транспортные коэффициенты в условиях сильного сноса. Полученные формулы для эффективной подвижности и эффективного коэффициента диффузии хорошо
согласуются с данными компьютерного моделирования, выполненного методом броуновской динамики.
ABSTRACT
We consider the problem of drift and diffusion of a particle in a tube, consisting of periodically distributed segments of small and large radius, under the action of force directed along the tube axis. An approximate approach is proposed which provides analytical treatment of effective transport coefficients under strong bias conditions. Equations derived for the effective mobility and effective diffusivity are in good agreement with computer simulation data obtained by the Brownian dynamics method.
Ключевые слова: диффузия; дрейф; подвижность; броуновская динамика.
Keywords: diffusion; drift; mobility; brownian dynamics.
В связи с исследованиями транспорта в микронеоднородных природных и биологических объектах, в последние годы возник повышенный интерес к задаче о дрейфе и диффузии в квазиодномерных периодических структурах переменного сечения под действием внешней силы. Традиционно используется приближение Фика-Джекобса [3], которое позволяет при слабой вариации сечения свести задачу к одномерной (1D) за счет введения энтропийного потенциала. Этот подход не применим, когда имеют место резкие скачки сечения. Вместе с тем, одномерное описание в терминах эффективных диффузии и сноса остается оправданным на масштабах, превосходящих период структуры. В данной работе показано как найти эффективные транспортные коэффициенты,
подвижность и коэффициент диффузии Def, частицы, движущейся под действием силы F ^ в структуре, показанной на рис. 1.
Рисунок 1. Схема модели: частица движется в трубке, состоящей из чередующихся широких и узких участков, радиусы и длины которых равны
Я и К, и а и К, соответственно
Предлагаемый подход основан на том факте, что частица, движущаяся в этих условиях, может находиться только в двух состояниях: (1) подвижном, когда она, пребывая цилиндре радиуса а, движется свободно со скоростью
уо - (подвижность в свободном пространстве) и (2) неподвижном, когда она, попадая в широкий участок, оказывается за пределами этого цилиндра и, будучи прижатой к стенке, не участвует в продольном движении. Таким образом,
вычисление ^ сводится к нахождению вероятности Рт обнаружить частицу подвижном состоянии.
Для решения этой задачи введем вероятности Р1'Р2'Рз обнаружения частицы: в цилиндре радиуса а в широком участке; вне этого цилиндра в широком участке; в узком цилиндре. Наряду с условием нормировки, эти
вероятности удовлетворяют еще двум соотношениям. Одно из них связывает Р1
и Рз, отражая тот факт, что они пропорциональны длинам соответствующих
участков. Соотношение между Р1 и Р2 определяется распределением частиц в сечении радиуса Я широкого участка. Ранее было показано [2; 4], что в
отсутствие узкого участка, Кп - 0, когда в трубке периодически расставлены
тонкие перегородки с отверстием радиуса а, Р1 /Р2 равно отношению площадей
V2
/(\2 -V2) V- а /Я
, где , поскольку распределение частиц в сечении в этом случае
равномерно. Наличие узкого участка к обеднению вероятности нахождения
частиц на стенке, что учитывается введением фактора
у(/)-р2(/^)/р1(/,^2/а<1, где 1 -К/К, причем этот фактор равен 1 только
при ' -и. Как показано в [6], V Л С учетом приведенных
соображений находится искомая вероятность пребывания частицы в подвижном состоянии и в результате эффективная подвижность может быть записана в виде
КУ2
^ ^ К = (1+1 1)
1+1к -1у . (1)
Рисунок 2 показывает хорошее согласие предсказаний (1) с данными моделирования.
Переходя к вычислению заметим, что вклад в продольную диффузию связан с двумя факторами: средним временем, проводимым частицей в
подвижном состоянии, ^, и дисперсией этого времени а,т(), где 1 — время
наблюдения. Соответственно, при 1 может быть записан в виде [6] (
- коэффициент свободной диффузии)
П = ^ + .
е# 2/ 0 / (2)
Рисунок 2. Отношение подвижностей ^ (0/ М> как функция 1 при значениях у = 01, 0 3, и 0-7- Символами представлены результаты для
М>, полученные на основании данных компьютерного моделирования с
рря = 10 ^ Сплошные кривые получены из формулы (1)
Отношение ^ ^t ^ Рт при 1 . Для вычисления дисперсии (t) удобно воспользоваться методом, предложенным в [1] для нахождения дисперсии времени пребывания в круге радиуса а частицы, блуждающей в круге радиуса
Я >а. Повышение вероятности пребывания частицы в малом круге (за счет наличия узкого участка трубки) мы учитываем, вводя в него потенциальную яму,
глубина которой - 1п к зависит как от длины узкого сегмента, так и от
фактора . Обобщая таким образом результат [1], получим из (2) следующее выражение
-
вад{т)2+рт По, в(/,v) -
К V
2. ,4
[1+{ К —у
1
21п- + у2-1 -
V 2
1 0 - к-)
(3)
Рисунок 3. Параметр в(/, характеризующий , как функция 1 при значениях - 01, 0 3 и 0 7. Символами представлены результаты,
полученные на основании данных моделирования, при -10 . Сплошные
кривые отвечают формуле (3)
Рисунок 3 показывает хорошее согласие предсказаний (1) с данными моделирования. Перескоки между состояниями приводят к квадратичному по
силе слагаемому. Поскольку наш подход оправдан при -10 , это слагаемое,
Д^сс^2 т /»1 или V —> 1
как правило, доминирует, то есть . Только при , когда
вариация сечения мало значима, доминирует второе слагаемое в (3) и
~ ПРт ^ П. Пока г< 0 68 зависимость (1), проходит через максимум. При V - 068 коэффициент диффузии с ростом 1 монотонно снижается вплоть до
X
3
Таким образом, для сложной модели удалось найти транспортные коэффициенты частицы, характеризующие ее дрейф и диффузию в условиях сильного сноса. Предложенный подход основан на замене стационарного неравновесного состояния 3D задачи, равновесным состоянием 2D задачи. Его оправданность доказана сопоставлением предсказаний теории с данными численного моделирования, выполненного методом 3D броуновской динамики.
Хотя полученные результаты справедливы лишь при P^R »1 ^ наличие оценок и
при ^ 0 [5] позволяет надеяться на возможность построения интерполяций, применимых при любой силе поля.
Список литературы:
1. Berezhkovskii A.M. Variance of residence time spent by diffusing particle in a sub-domain: Path integral based approach. // Chem.Phys. — 2010. — V. 370. — № 1—3. — P. 253—257.
2. Berezhkovskii A.M., Dagdug L., Makhnovskii Yu.A., Zitserman V.Yu. Drift and diffusion in a tube of periodically varying diameter. Driving force induced intermittency // J. Chem. Phys. — 2010. — V. 132. — № 22. — Ar# 221104.
3. Jacobs M.H. Diffusion Processes. Springer-Verlag New York Inc., 1967. — 160 p.
4. Makhnovskii Yu.A., Berezhkovskii A.M., Bogachev L.V, Zitserman V.Yu. Driven diffusion in a periodically compartmentalized tube: Homogeneity versus intermittency of particle motion. J. Phys. Chem. B. — 2011. — V. 115. — № 14. — P. 3992—4002.
5. Makhnovskii Yu.A., Berezhkovskii A.M., Zitserman V.Yu. Diffusion in a tube of alternating diameter. // Chem. Phys. — 2010. — V. 367. — № 2/3. — P. 110— 114.
6. Zitserman V.Yu., Berezhkovskii A.M., Antipov A.E., Makhnovskii Y.A. Biased diffusion in tubes of alternating diameter: Analytical treatment in the case of strong bias. // J. Chem. Phys. — 2014. — V. 141. — № 21. Ar# 214103.
