Дифференцирование сигналов на фоне шума банком фильтров с использованием метода максимального правдоподобия Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 519.876.5.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ШУМА БАНКОМ ФИЛЬТРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ Дмитрий Анатольевич Безуглов, д.т.н., проф., проректор по УМР, e-mail:

bezuglovda@mail. ru

Станислав Юрьевич Рытиков, ассистент каф. «Информационные технологии в сервисе», аспирант, e-mail: [email protected]

Ростовский технологический институт сервиса и туризма (филиал ГОУ ВПО «ЮжноРоссийский государственный университет экономики и сервиса»), г. Ростов-на-Дону

Исследован метод дифференцирования сигналов на фоне шума банком фильтров с использованием максимально-правдоподобной оценки, в основу которого положено дискретное вейвлет-преобразование, а в качестве банка фильтров используются материнские вейвлет-функции, позволяющие производить дифференцирование; при этом для повышения точности восстановления применяется оценка взвешенного среднего по критерию максимального правдоподобия; для обоснования эффективности данного метода приведены графики дисперсий ошибки восстановления сигнала и его производных.

The authors made a research of the method of differentiation signals against the noise background by the filter banks with the using of the maximum-credible estimates. This method is based on discrete wavelet transform, and a parent wavelet function is used as a filter bank, that allows differentiation. In order to increase the accuracy of recovery, an estimate of weighted average of maximum of credence is applied. The authors presented the graphics of dispersion of the error recovery of signal and its derivatives.

Ключевые слова: вейвлет-дифференцирование, оценка взвешенного среднего, максимальное правдоподобие.

Keywords: wavelet differentiation, estimate of the weighted average, maximum credence.

Введение

Вейвлет-преобразование представляет собой разложение по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами функции, называемой вейвлет-функцией, посредством ее масштабных преобразований и сдвигов. Каждая вейвлет-функция базиса характеризуется определенным масштабом (частотой) и локализацией во времени. В отличие от преобразования Фурье вейвлет-преобразование дает двумерную развертку

одномерного процесса, при этом частота и время рассматриваются как независимые переменные.

Вейвлет-преобразование показало свою эффективность при решении широкого класса задач, связанных с подавлением шумов, сжатием больших объемов информации, анализом, обработкой и синтезом сигналов [1]. Также вейвлет-преобразование можно использовать для дифференцирования сигналов [2].

Целью данной работы является разработка и исследование метода вейвлет-дифференцирования сигналов на фоне шума.

Вейвлет-дифференцирование

В настоящее время существует большое число задач контроля непрерывных параметров процессов, когда для наблюдения доступен процесс S(t), а информативным параметром является производная S'(t). Для данного круга задач подходит метод вейвлет-дифференцирования.

Рассмотрим непрерывное вейвлет-преобразование. Сконструируем базис Wa n(t) с

помощью непрерывных масштабных преобразований и сдвигов материнской вейвлет-функции W(t) с произвольными значениями базисных параметров - масштабного коэффициента а и параметра сдвига п [3, 4, 5]:

— 1 (t — n Л

Wa,n (t) = aW ----I, (1)

где W

- вейвлет-функция.

V а )

Тогда на основе этого базиса можно записать непрерывное прямое (анализ) и обратное (синтез) вейвлет-преобразование сигнала £(I) :

1 т ^ л

1 ^ (п гт\ — п

CWTS (а, п) = а~2 J S(t)W — Idt = J S(t)Wa^n (t)dt, (2)

—ад V a J —ад

где £ (I) - заданный сигнал.

Восстановленный сигнал £. (г) будет иметь следующий вид:

1 т т 1 1

£(I) = ^ I I ств(а,п)ЖаЛ(г), (3)

Сш а

Ж —т —т

где - нормирующий коэффициент (в данном случае Сж = 1, так как используемые вейвлет-функции - ортонормированные [1, 2]).

Базисом для дискретного вейвлет-преобразования является функция, полученная из (1) при a = am [4]:

m

WMl (t) = a/ W (a—m (t — n)), (4)

где W (a-m (t — n)) - вейвлет-функция; m - параметр масштаба; i - индекс, определяющий

используемую вейвлет-функцию.

На основе базиса (4) запишем общий вид прямого и обратного дискретного вейвлет-преобразования:

N—1

CTWSi (m, n) = £W( (tk )S(tk), (5)

k=0

где S(tk) - исходный сигнал; N - количество отсчетов; k - отсчеты сигнала, к = 0,..., N — 1; mn е Z, Z - множество целых чисел.

Восстановленный сигнал Sn. (^ ) будет иметь вид

NK N — 1

S„(lk) = EZW(mn), (<к )CTWS(m,n)i, (6)

m=0 n=0

где NK - количество уровней разложения.

На основе базиса (4) запишем общий вид обратных дискретных вейвлет-преобразований для восстановления первых двух производных: dS (t ) NK N—1 г -1,

= S'n (tk ) = (h )] CTWS(m, n)i, (7)

dt m=0 n=0

NK N —1 r -ytt

S'ri(tk) = ZZ[w,„,(tk)] CTWS(m,n), (8)

1.2 к' / и / Л т,п\ к

т=0п=0

ГДе 1^(т,п), (*к )]' и кт,п), (<к )Г - соответственно первая и вторая производные вейвлет-

функции по времени; £(^) и £" (гк) - соответственно первая и вторая производная

восстановленного сигнала.

Возьмем в качестве базиса дискретного вейвлет-преобразования (4) материнские вейвлет-функции и их производные на основе производных функции Гаусса:

W (t) = (—1)d exp

dt

t (9)

при i = 1 используем первую производную - вейвлет-функцию WAVE:

W (t) = —t exp

v 2 У

(10)

при i = 2 используем вторую производную - вейвлет-функцию MHAT:

-1

2^т л , \ f-t2Л

W2(t - 12 ^ еХР

V 2 У

(11)

при i = 3 используем разность двух гауссовых функций, которая также образует вейвлет-функцию DOG:

W (t) = exp

V 2 У

- 0,5 exp

V 8 У

(12)

Таким образом, выражения (10) - (12) образуют банк фильтров, который в дальнейшем будет использоваться для восстановления сигнала.

Результаты дифференцирования Щ() = ^) и Щ(г) = ^ ) по времени

dt

dt

сведем в представленную ниже таблицу.

Производные вейвлет-функций

Произво дные W,(t) W2(t) W3(t)

W '(t) t2 e- 2(t2 -1) t2 2^3te 2(t2 - 3) 1 3^4 - f 1 — Л te 8 — te 8 8 V У

W "(t) t2 -1e- 2(t2 - 3) t 2^f3e 7(t4 - 6t2 + 3) 1 3жл 1 -1 2 2 1 - -e 8 - 1e 2 +12e 2 12e 8 8 32

Для производных вейвлет-функций (10) - (12) выполняются следующие условия:

w t

| е 2 (t2 - 1)dt = 0,

w

J

^V3te-2(t2 - 3)

3^4

w t2 f 1 3t2 Л

te

— te

V У

'Ki2

J -te- 2(t2 - 3)dt = 0,

(13)

(14)

(15)

(16)

w

J 2^-~(t4 -6t^ + 3) df = о, (17)

1 3ж4

^ 1 -1 / 2 _! t2 -1,2 1 -\t 2

f ie 8 - 1e 2 + t2e 2 - — t2e 8 dt = 0. (18)

J 8 32

Таким образом, производные вейвлет-функций (10) - (12) имеют нулевое среднее, т.е. выполняется основное свойство вейвлет-функций [6, 7]. Для восстановления производных сигнала используем их в обратных вейвлет-преобразованиях (7) и (8). В результате подстановки получаем: S" (tk) - первая и S" (tk) - вторая производные, восстановленные производными вейвлет-функций: при i = 1 - выражением (10); при i = 2

- выражением (11); при i = 3 - выражением (12).

Модель взаимодействия сигнала и шума представим в виде

Sq (tk ) = S(tk ) + Q, (19)

где Q - аддитивный белый гауссовский шум с СКО aq.

Используя прямое (5) и обратное (6) дискретные вейвлет-преобразования и подставляя в качестве базиса (4) вейвлет-функции (10) - (12) для восстановления сигнала,

получим Sri (tk) - реконструированный вейвлет-функцией сигнал. Для восстановления

производных сигнала используем в качестве базиса обратных дискретных вейвлет-преобразований (7) и (8) производные вейвлет-функций из приведенной выше таблицы. В итоге получим S(tk) - первую и S" (tk) - вторую восстановленные производные.

Дисперсию ошибки восстановления сигнала и его производных на фоне шума вычислим по формулам

N-1

X (S (tk) - Srt t ))2

D = k=0-------------------------------------------------------------------------, (20)

г N -1

N -1

X (S\t„) - S'jt,))

k=0______

N -1

Dt = —-----------—---------------, (21)

N-1

\ 2

X (S -(tk) - S'(tk ))2

k=0

N -1

D2l = ^---------------------------------------------------------------------------------------------------—-, (22)

где S' (tk ) - первая и S" (tk ) - вторая производные исходного сигнала.

Используя выражение (20), вычисляем дисперсии ошибки восстановления сигнала: Д, Д, Д для соответствующих базисов, а с помощью выражений (21) и (22), получим дисперсии ошибки восстановления производных сигнала: Д , Дг. Максимально-правдоподобная оценка

Условная плотность распределения восстановленных сигналов (ік) для момента

времени ік является гауссовской в соответствии с (19):

(ік )-5 (ік ))2

Р^п (ік)/Б(ік)) = ~і— е 2Д , (23)

ржД

где і = 1,2,3.

Исходя из (23) запишем функцию правдоподобия:

Р№.1,^Sr^/S(іk)) = П-1 ехр{-1 }п 5(ік))2}. (24)

і=ілІ2жОІ { 2 і=і Ді \

Прологарифмируем (24):

1пР$,1,Яз /5(1,)) = 1п П-т=^ + (-1 Г^іМ-5!*»!}. (25)

і=і^2жОі { 2 і=і Д ]

В результате получим уравнение оценивания по критерию максимального правдоподобия:

й 1п Р(5Г1,2,з/ 5 (і,))

(ік)

* = 0, (26)

5 (ік )=^*(ік)

где 5Е(^) - оценка значения сигнала 5), получаемая по критерию максимального правдоподобия по результатам восстановления сигнала тремя вейвлет-функциями в момент времени tk.

Исходя из (26) запишем оценку взвешенного среднего по критерию максимального правдоподобия для сигнала и производных:

5* (. ) = 2 з~к'---1 зг24 к'-1 2 гз4 к' (27)

Г ДД + ДД + ДД

?(п = РпР^’Ж) + АДіз^ік) + ) (28)

Г) Д12Д13 + АД + АД , ( )

^ } = Р22Р235ЯЛ (і к ) + Р2іР2з5"г2 ( і к ) + Аі^з (ік ) ^

Д22Д23 + АіАз + Д2Д22

Оценим зависимость дисперсии ошибки восстановления взвешенного среднего восстановленного сигнала на фоне шума по формуле

N-1

X (S (I,) - Sz (I, ))2

D = — dx

N -1

Зависимость дисперсии ошибки восстановления взвешенных восстановленных производных сигнала найдем в соответствии с выражениями

N-1

X (S '(I,) - S .i(I, ))2

DX1 =

к=0

N -1

X (S "(I,) - Sx 2(t,))

D = —

DX 2

N -1

(30)

средних

(31)

(32)

Результаты моделирования представлены на рис. 1, 2 и 3, где показаны дисперсии ошибки восстановления сигнала вейвлет-функциями WAVE (кривая 1), MHAT (кривая 2) и DOG (кривая 3), а также дисперсия ошибки восстановления сигнала оценкой

2

Рис. 1. Дисперсия ошибки восстановления сигнала

Рис. 2. Дисперсия ошибки восстановления первой производной сигнала

Рис. 3. Дисперсия ошибки восстановления второй производной сигнала

Таким образом, проанализировав дисперсию ошибки восстановления сигнала на фоне шума и дисперсию ошибки дифференцирования сигнала вейвлет-функциями, как по отдельности, так и с помощью оценки взвешенного среднего по критерию максимального правдоподобия, можно сделать вывод, что разработанный аппарат вейвлет-дифференцирования сигнала позволяет повысить точность восстановления в 2...4 раза по сравнению с существующими аналогами.

Литература

1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2004.

2. Безуглов Д.А., Цугурян Н.О. Дифференцирование результатов измерений с использованием математического аппарата вейвлет-фильтрации // Измерительная техника. 2006. № 4. С. 12 - 16.

3. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2002. Т. 171. №5. С. 465 - 500.

4. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. T. 166. №11. С. 1145 - 1170.

5. Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учеб. пособие. СПб.: Изд-во ООО «МОДУС+». 1999.

6. Безуглов Д.А., Швидченко С.А., Рытиков С.Ю., Цугурян Н.О. Свидетельство №

2010613245 о государственной регистрации программы для ЭВМ от 17.05.2010 «Дифференцирование сигналов вейвлетом WAVE».

7. Безуглов Д.А., Швидченко С.А., Рытиков С.Ю., Цугурян Н.О. Свидетельство №

2010613246 о государственной регистрации программы для ЭВМ от 17.05.2010 «Дифференцирование сигналов вейвлетом DOG».

Поступила 16.06.2011 г.