Дифференциальные включения с импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

1) при любом t £ [а, 6] выполняется \x{t) — q(t)\ < £(v)(t)

2)\\X(r-lx)\\Cn{a!b]<\a\\Z(v)\\c4a,b]

3) при п. в. t £ [а, 6] справедливо |(£a;)(i) — cj(£)| < k(t) + /З(^)1("u)11с11 [а,б]?

где функции v,£(v),A определены соотношениями (6), (12), (10), число а и функции к, /3 удовлетворяют неравенствам (8), (5), (7) соответственно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.

2. Булгаков А. И., Панасенко Е. А. Квазилинейные краевые задачи для функциональнодифференциальных включений // Известия Института математики и информатики. Ижевск, 2006. № 2(36). С. 13 - 16.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант JV5 04-01-00324) и Норвежского комитета по развитию университетской науки и образования - NUFU (проект № PRO 06/02).

Поступила в редакцию 8 ноября 2006 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ © А.И. Булгаков, Д.Н. Протасов, О.В. Филиппова

Обозначим comp [Мп] множество всех непустых компактов пространства Жп; р\-, ■] - расстояние между точкой и множеством и h[-, •] - расстояние между множествами пространства En. i

Рассмотрим дифференциальное включение с импульсными воздействиями

x(t) £ F(t,x(t)), t £ [a,b\\{t0}. (t0 £ (a,b)), х(а) = х0, Ax(t0) = (3, (х0,/3 £ Шп), (1)

где Ax(t0) = x(tt) - x(tQ ), x(ty ) = lim x(t0 + h), x(tg) = lim x(t0 — h).

/1-+О4. /i-+ 0_j_

Будем предполагать, что отображение F : [a,b] x Mra ->• comp [Kn] удовлетворяет следующим условиям: при всех х £ 1" отображение F(-,x) измеримо; существует суммируемая функция / :

[а, Ь) -» [0, оо), что для любых х, у £ К" при почти всех t £ [а, Ь\ выполняется равенство

h[F(t,x)-F(t,y)] ^ l(t)\x - 2/|;

функция ||F(i,0)|| : [а, Ь] —> [0,оо), определенная равенством

||F(i,0)||= sup \у\, y€F(t,0)

суммируема.

Под решением задачи (1) понимаем функцию х : [а, Ь) —> Ж" абсолютно непрерывную на каждом из отрезков [a,t0], (t0,, Для которой существует такая суммируемая функция q : [а,Ь] —> К", что

при почти всех £ е [о, 6] справедливо включение <?(£) 6 ^(г, х(ь)) и всюду на отрезке [а, &] выполняется равенство

х^) = х0 +У д(в)с?5 + х([*о, &])/?, (2)

а

где х([-]) - характеристическая функция отрезка.

Пусть функция р : [а, Ь] -> Е” суммируема и пусть функция у : [а, Ь} Е" задана равенством

У{*) - У(а) + Iр(в)(18 + х([и,Ь])а. (3)

а

Пусть суммируемая функция ж : [а, Ь] —» [0, оо) при почти всех £ £ [а, 6] удовлетворяет неравенству

р [р(*),Г(г, у (г))] ^ х{г). (4)

Теорема!. Пусть функция у : [я, &] —> К” задана равенством (2). Тогда существует такое решение х : [а, Ь] —» Еп задачи (1), что для любого Ь € [а, 6] выполняется неравенство

\у{*) - <РИ)

и при почти всех Ь 6 [а, Ь] справедлива оценка

№№ -рШ ^ *(*) + Щ)<р{ъ),

где функции д(-), р(-) представимы равенствами (2), (3), х(-) удовлетворяют оценке (4), функция (р(-) задана равенством

I Ь I

Г П(т)с1т

(рф = \х0 - у(а)\е° + J е» х(з)(1з + \а -/3\ег °х(Е*о,*])■

а

Пусть д : [а, 6] —> Е" суммируемая функция. Будем говорить, что функция

я : [а, 6] -> К", представимая равенством

г

г(*)=а:о + J д(э)с18 + х([*о, &])/?,

а

является квазирешением задачи (1), если найдется такая последовательность суммируемых функций ^ : [а, 6] —> Е", г = 1, 2,..., что для любого г = 1, 2,..., <&(£) 6 г(£)) при почти всех £ 6 [а, 6]

и последовательность х* : [а, 6] —» К", заданная равенством (2), при д = стремится к функции г(-) равномерно на [а, Ь].

Рассмотрим задачу

х(Ь) € со (Р^,х^))), 1 € [а,Ь] \ {^} £ (а,Ь)), х(а) = х0, Дх(^) = /?, (6)

где со(-) выпуклая оболочка множества.

Пусть Н, Н - множество решений и квазирешений задачи (1), а Нсо ~ множество решений задачи

(6)-

Т еорема2. Справедливо равенство Н = Нсо.

Обозначим через Н множество таких функций г : [а, 6] —> Е", представимых равенством (5), для которых найдется последовательность решений Х{ : [а,Ь] —> Е", г = 1,2,... задачи (1), что х^ —> г при г —V оо равномерно на [а, Ь].

Теорема 3. Справедливо равенство Н = Нсо.

ЛИТЕРАТУРА

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

2. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестник МГУ. Серия: Математика и механика. М., 1967. № 3. С. 16-26.

3. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. К.: Вища шк., 1987.

4. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 04-01-00324) и Норвежского комитета по развитию университетской науки и образования - NUFU (проект № PRO 06/02).

Поступила в редакцию 8 ноября 2006 г.

О НЕЛИНЕЙНОЙ \¥-ПОДСТАНОВКЕ И ТЕОРИИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

© Т.В. Жуковская

Многие функционально-дифференциальные уравнения могут быть записаны в виде

Рх = /, (1)

где оператор Р:П-*В,/€В~ известный, а х £ В - искомый элементы, причем Б я В являются банаховыми пространствами и О изоморфно декартовому произведению В х Л™. При изучении таких функционально-дифференциальных уравнений можно использовать \¥-подстановку Н.В. Аз-белева, с помощью которой краевая задача для уравнения (1) сводится к уравнеию в "пространстве решений" I) или в "пространстве производных решений" В [1, с. 30]. \¥-подстановка осуществляет изоморфизм В х Д" —> О.

При исследовавнии ряда теоретических и прикладных вопросов для нелинейных функционально-дифференциального уравнений требование линейности взаимно-однозначного соответствия между СиВх Дп оказывается ненужным. Кроме того, решение конкретных уравнений бывает целесообразно искать в множествах, не имеющих линейной структуры. Перечисленные соображения заставляют рассматривать уравнение (1) в предположении, что ВиВ - некоторые множества, для которых существует взаимно-однозначное соответствие между О и В х А, А С Д™. Обозначим биективное отображение В х А -* .О через IV, а обратное отображение О —> В х А через (8, г). Тогда краевая задача для уравнения (1) с условием га = а, а £ А, равносильна уравнению РЦ?(у,а) = 0 относительно у = бх.

Применим эту идею к исследованию систем, в которых решение подвергается импульсному воздействию в фиксированы^ момент времени £о € [а, Ь], а величина этого воздействия зависит от состояния системы на промежутке времени [а,£о].

Пусть С ([а, £о]) -К") ~ пространство непрерывных на [а,£о] функций х : [а,£0] -> Д" с нормой ЦжЦс = тах|:г(£)|; Р : С([о, £о]> Кп) —> Л” - п-мерный непрерывный ограниченный вектор-

функционал, Ь([а,Ь],Кп) - пространство суммируемых функций у : [а, 6] —> Д", с нормой ь

1М1ь = /|2/(5)Ив; С5([а, 6], ./?п) - множество функций х : [а, Ь] -»• Я", непрерывных на [а, £0] и

а

(£о, Ь], имеющих в точке £о скачок величины х(Ьо + 0) — ж(£0) = Рхь°, где хь° является сужением х на [а,£0], с метрикой р(х1,х2) = тах^х^) - х2^)\; АСЗ([а,Ь], Яп) - множенство функций