CC BY
0DOI10.53980/24131997_2022_2_56
Ж.Б. Цыбенов, канд. техн. наук, доц., е-mail: [email protected] С.С. Ямпилов, д-р техн. наук, проф., е-mail: [email protected] В.Б. Балданов, канд. техн. наук, доц., е-mail: [email protected] С.Ж. Гылыкова, аспирант, е-mail: [email protected] Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления, г. Улан-Удэ
УДК 631.362
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ЗЕРНОВОГО МАТЕРИАЛА В СЕПАРИРУЮЩЕМ ЗЕРНОМЕТАТЕЛЕ
Анализ современного состояния зерноочистительной техники, находящейся в фермерских хозяйствах, показал, что растет потребность в универсальной многофункциональной зерноочистительной технике, которая способна за одну операцию произвести охлаждение, сушку, очистку и фракционирование зернового материала. Для выполнения данных требований в ВСГУТУ ведется разработка сепарирующего зернометателя. Предлагаемое устройство отличается от традиционных зернообрабатывающих машин тем, что способно производить сушку зернового материала и его очистку от примесей за один проход.
Для обоснования основных технологических и конструктивных характеристик необходимо провести исследование на опытных образцах в хозяйственных условиях. Конструирование и изготовление опытных изделий сепарирующего зернометателя должны основываться на теоретических исследованиях, которые, в свою очередь, базируются на аналитических исследованиях и ключевых положениях фундаментальной математики.
В статье представлены действие сил на зерновой материал при его движении в сепарирующем зернометателе и решение дифференциального уравнения второго порядкалинейного неоднородного с постоянными коэффициентами, а также основные конструктивные элементы устройства.
Ключевые слова: неоднородное дифференциальное уравнение, зернометатель, механизация сельского хозяйства, очистка зерна, фракционирование, сепаратор.
Zh.B. Tsybenov, Cand. Sc. Engineering, Assoc. Prof.
S.S. Yampilov, Dr. Sc. Engineering, Prof.
V.B. Baldanov, Cand. Sc. Engineering, Assoc. Prof.
S.Zh. Gylykova, P.G. student
DIFFERENTIAL EQUATION OF PARTICLE MOTION OF GRAIN MATERIAL IN SEPARATING GRAIN THROWER
Analysis of the current state of grain cleaning equipment in farms showed that there is a need for a universal multifunctional grain cleaning equipment capable of cooling, drying, cleaning andfractionationg of grain material in one operation. To meet these requirements, the ESSTUdevelops a separating grain thrower. The proposed device differs from traditional grain processing machines since it is capable of drying grain material and cleaning it from impurities in one operation.
To substantiate the main technological and design characteristics, it is necessary to conduct research on prototypes under economic conditions. The design and manufacture of experimental products of a separating grain thrower should be based on theoretical research based on analytical research and the basics of fundamental mathematics.
The article presents the effect of forces on grain material during its movement in a separating grain thrower and the solution of differential equation of the second order, as well as main structural elements of the device.
Key words: heterogeneous differential equation, grain sweeper, agricultural mechanization, grain cleaning, fractionation, separator.
Введение
С каждым годом по всей стране увеличивается валовой сбор зерновых культур. В связи с этим растет потребность в современных, многофункциональных зерноочистительных машинах, способных удовлетворить потребности фермерских хозяйств.
В полной мере удовлетворяет возрастающим требованиям сепарирующий зерномета-тель [1]. Зернометатель способен выполнить очистку зернового материала в барабане устройства, его сушку и фракционирование при метании зерна в воздушный поток.
Для определения основных технологических параметров сепарирующего зерномета-теля были проведены теоретические исследования. Представлено аналитическое описание движения зернового материала [2], где вывели дифференциальное уравнение второго порядка, которое является линейным неоднородным с постоянными коэффициентами, описывающее перемещения зерна в сепарирующем зернометателе.
Аналитическое описание движения зернового материала
Рассмотрим движение частиц зернового материала по очистительному устройству сепарирующего зернометателя. Движение частиц по очистительному устройству обусловлено действием сил со стороны очистительного устройства и гравитационной силы (рис.) [2]. Очистительные устройства установлены во вращающемся барабане зернометателя.
Рисунок - Схема сил, действующих на зерно во вращающемся барабане
Дифференциальное уравнение движения зернового материала согласно схеме сил, действующих на зерно во вращающемся барабане (рис. 1) имеет следующий вид:
т
й2Б йг2
= Рц соз а — + в + а),
где Игр = - сила трения, Н; / - коэффициент трения зерна по очистительному устройству;
^ = 2тш — - сила центробежная, Н; т - масса зерна, кг; т - угловая скорость лопатки, рад/с; N - сила реакции опоры, Н; С = тд - сила гравитационная, Н; Рц = тБш2 - сила центробежная, Н; £ - расстояние от центра барабана до частицы зернового материала, м; а - угол наклона очистительного устройства, рад; @ - угол положения частицы зернового материала, рад. Ранее аналитически было получено выражение [2]:
йр ' ......У 9 ■ 7 ■ """ (1)
+ — — Б(со5 а — / Бта) = —-(соб^В + а) — / зт(В + а)). ар2 " " /л2
Получили дифференциальное уравнение второго порядка, которое является линейным неоднородным с постоянными коэффициентами.
Решение неоднородного линейного уравнения второго порядка
Решение дифференциального уравнения (1), как известно, состоит из общей части и частного решения.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
S = S0+S4 , (2)
где S0 - общее решение однородного уравнения; S4 - частное решение.
Общее решение S0 зависит от значения корней характеристического уравнения Я. Для составления характеристического уравнения неизвестную величину заменяют единицей, ее производные - соответствующими степенями корней Я, сохраняют все коэффициенты и отбрасывают правую часть.
Найдем сначала общее решение однородного уравнения: d2S dS
-—- + 2f— — S(cosa — fsina) = 0. (3)
ар2 ар
Применительно к уравнению (3) характеристическое уравнение примет вид:
Л2 + 2fA — (cos а — f sin а) = 0 . (4)
Квадратное уравнение (3) имеет два корня:
Л1 = — f + ^ f2 + (cos а — f sin а) ,
Х2 = — f — ^ f2 + (cos а — f sin a) . (5)
Исследование выражений (5) показало, что при f = 0.1.. .0.4 и а = 0 ... 50o получим положительную величину под корнем. Поскольку характеристическое уравнение имеет решение, а корни являются действительными числами и различны, то общее решение однородного уравнения будет следующим:
S0 = ClexiP + с2ех*Р, (6)
где с1, с2 находятся по начальным условиям.
Частное решение неоднородного уравнения зависит от правой части уравнения (1) и корней характеристического уравнения (4). Частное решение ищем в виде:
F(fí) = екР[Рп(Р) • cos(bfí) + Qm(fi) • sin(bp)], (7)
где к, Ъ - заданные постоянные; Рп(Р), Qm(P) - многочлены степени n и m соответственно.
Представим правую часть уравнения (1) и методами преобразования тригонометрических выражений приведем уравнение к требуемому виду (7).
Q
F(fí) (cos(fí + a)—f sin(fí + а)) ш2
или
или
g g
F(fí) = —- (cos a — f sin a) • cos fí--- (sin a + f cos a) • sin fí (8)
ш2 ш2
F(fí) = e0@[-^(cos а — f sin a) • cos(1 fí) —^(sin a + f eos a) • sin(1 fí)]. ш2 ш2
Из уравнений (7) и (8) находим постоянные и многочлены: к = 0, Ъ = 1,
9 9
Рп(Ю = —7 (cos а — f а), Qm(fí) =--7 (sin а + f cos a),
ш2 ш2
т. е. Pn(P) и Qm(fí) - многочлены нулевой степени.
Поскольку число к + bi = 0 + И = И не является корнем характеристического уравнения (4), то частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будет в виде:
S4 = Acosfí + Bsinfí . (9)
Для нахождения коэффициентов А и В необходимо значение соответствующих производных уравнения (9) подставить в уравнение (1).
Производные: Соответствующие коэффициенты:
— (cos а — f sind) 2f l
S4 = A cos p + В sin p S' = - Asinp + В cos p S" = - Acosp - В sin p Получим уравнение из сумм произведений производных с соответствующими коэффициентами:
-A cos р - В sin р - 2fA sin р + 2fB cos р -
—A cos р (cos а - f sin а) - В sin р (cos а - f sin а) = Пч
g g (10)
= —- (cos а - f sin а) • cos р--- (sin а + f cos a) • sin p .
ш2 ш2
Затем получим систему уравнений, приравнивая коэффициенты при sin р и cos Р:
9
В + 2fA + B(cos а - f sin а) = —~ (sin а + f cos а);
(П>
- А + 2fB - A(cos а - f sin а) = —- (cos а - f sin a).
ш2
Решив систему уравнений (11), найдем коэффициенты A и B: ^ g f2sin(a)2-2f2cosa-2fcosasina-3fsina + cos(a)2 + cosa^ ш2 f2 sin(a)2 + 4f2 - 2f cos a sin a -2f sin a + cos(a)2 + 2 cos a + 1'
^ g fcos(a)2 - 2f2 sina-f2 cos a sina+3f cos a-f sin(a)2 + cos a sina + sina ш2 f2sin(a)2 + 4f2-2fcosasina-2fsina + cos(a)2 + 2cosa + 1 '
Представим общее решение дифференциального уравнения (1) в виде:
S = S0+S4 = c1eXl^ + с2еХ2$ +Acosp+Bsinp . (14)
Величины постоянных коэффициентов с1 и с2 определяем из начальных условий. Для чего находим производную уравнения (14) и получаем переносную скорость:
Ue = c1X1exiP + с2Х2ех2р - Asinp + В cos р, (15)
dS dS
поскольку ар = ш • ^и— = ——, получим:
dS
— = ш(с1Л1еХ1^ + с2А2еХ2Р - Asinp + В cosP) . (16)
Примем следующие начальные условия р = р0, S = S0, U = U0, тогда получим:
S0 = c1eXl^° + с2еХ2Р° + AcosPo+B sinр0 . (17)
U0 = M(c1Á1eXl+ c2A2eXz^0 - Asinp0 + B cos p0). (18)
Решим систему из двух уравнений (17, 18) и найдем искомые коэффициенты с1 и с2: 1 U0 - wA2S0 + А(ш sinр0 + шХ2 cos р0) - В(ш cos р0 - шХ2 sinр0)
exiPo - шХ7 '
1 2 (19)
U0 - wA1S0 + А(ш sinр0 + шЛ1 cos р0) - В(ш cos р0 - шЛ1 sinр0)
С2= шех2р0(х1-х2) .
Найденные значения постоянных коэффициентов с1 и с2 подставим в уравнение (14) и получим следующее выражение:
1 U0 - má2S0 + А(ш sinp0 + шЛ2 cos р0) - В(ш cos р0 - шЛ2 sinp0) , „
S =---• e^i"
exiP° шХ^^ - шЛ2
¿i =
U0 — wÀ1S0 + А(ш sinp0 + mä1cosp0) — В(ш cos p0 — wÀ1sinp0) (20)
- • PA-IP + V '
шех2ро(Л1—Л2)
+A cos p + В sin p. 59
Коэффициенты A и В подставим в уравнение (20) и получим искомое решение дифференциального уравнения (1):
U CúA S + Г ^ f2sin(a)2-2f2cosa-2fcosasina-3fsina+
_ 1 0 2 0 [ со2 f2sin(a)2+4f2-2fcosasina-2fsina+ e^iPo
+ cos(a)2+cos а , . „ ,, fcos(a)2-2f2 sina-
-] • (ш sin fío + MÁ2 cos fío) — [-2
+ cos(a)2+2cosa+1J K ro 2 r0J Lco2 f2sin(a)2+4f2-
a>A1 — <x>A2
-f2 cosasina+3 f cosa-f sin(a)2+cosasina+sina-, , _ ,, . _ ч
--гт-] • (ш COS B0 — ШЛ? sin В0)
-2fcosasina-2fsina+cos(a)2+2cosa+1AK ro 2 IB -• С ^ —
U CúA S +[ ^ f2 sin(a)2-2f2 cos a-2f eos asina-3f sina+cos(a)2+cos а~\ 0 1 0 У ш2 f2sin(a)2+4f2-2fcosasina-2fsina+cos(a)2+2cosa+1i
, „ , „ N га fcos(a)2-2f2 sina-f2 cosasina+3f cosa-
(o> sin + шл1 cos fí0) — [—•
ш2 f2 sin(a)2 +4f2-2f cos a sin a-2f sin a+
шех2Ро(х1—Х2)
-fsin(a)2+cosasina+sina-. , _ ,, . _ ч
-—г-] • (ú) COS B0 — sin B0)
+ cos(a)2+2cos a+1_™_1 r0J x2/3 _
(21)
g f2 sin(a)2 — 2f2 cos a —2f cos a sina —3f sina + cos(a)2 + cos a g
— •-- cos В +---
ш2 f2 sin(a)2 + 4f 2 — 2f cos a sina —2f sina + cos(a)2 + 2 cos a + 1 ш2
fcos(a)2 — 2f2 sin a —f2 cos a sin a +3 f cos a —f sin(a)2 + cos a sin a + sin a
•-- sin В.
f2 sin(a)2 + 4f 2 — 2f cos a sin a —2f sin a + cos(a)2 + 2 cos a + 1
Подставим коэффициенты c1 и c2 в выражение (15) и получим уравнение переносной скорости:
1 U0 — ú)A2S0 + А(ш sin+ ooA2cos fí0) — B(oo cos — шА2 sinfí0) e = exiPo wA1 — шА2 16
•A2ex2p— (22)
U0 — mA1S0 + А(ш sin + шА1 cos fí0) — В(ш cos — шА1 sin fí0)
шех2ро(А1—А2) 2
— A sinfí + В cos fí.
Полученное уравнение (21) представляет собой уравнение перемещения частицы сыпучего материала во вращающемся барабане сепарирующего зернометателя и показывает изменение расстояния от центра вращения барабана до зерна. Уравнение (22) позволяет определить переносную скорость движения зерна.
Выводы
Решением дифференциального уравнения второго порядка, которое является линейным неоднородным с постоянными коэффициентами (1), являются выражения (21) и (22). Дальнейший анализ выражений позволит определить траектории и скорости перемещения зернового материала в зависимости от начальных условий и других переменных. Полученные результаты
теоретических исследований позволят определить оптимальные кинематические, геометрические и конструктивные параметры сепарирующего зернометателя для создания экспериментального устройства.
Библиография
1. Патент РФ №2332267, В 07 В 11/00, 31/04. Метатель сыпучих материалов / Цыбенов Ж.Б., Ямпилов С.С., Санжеев С.Р., Борисов Г.И.- Опубл. 27.08.2008. - Бюл. № 24.
2. Цыбенов Ж.Б., Ямпилов С.С., Балданов В.Б. и др. Аналитическое описание движения зернового материала по очистительному устройству сепарирующего зернометателя // Вестник ВСГУТУ. -2020. - № 2 (77). - С. 31-35.
3. Ханхасаев Г.Ф. Интенсификация обработки зернового вороха зернометательными машинами на открытых площадках зернотоков хозяйств Сибири. - Улан-Удэ: Бурят. кн. изд-во, 1995. - 206 с.
Bibliography
1. The patent of the Russian Federation №2332267, В 07 В 11/00 31/04. The thrower of loose materials / Tsybenov Zh^., Yampilov S.S., Sanyeev S.R., Borisov G.I. -Published 27.08.2008. - Release N 24.
2. Tsybenov Zh.В., Yampilov S.S., Baldanov V.B. et al. Analytical study of the movement of grain material through the purifier of the separating grain thrower // The Bulletin of ESSUTM. - 2020. - N 2 (77). -P. 31-35.
3. Khankhasaev G.F. Intensification of grain heap processing by grain throwing machines in open areas of grain crops of Siberian farms. - Ulan-Ude: the Buryat Publishing House, 1995. - 206 p.
