CC BY
11Дифференциально-чебышевская аппроксимация вольтамперных характеристик диода Ганна в генераторе забойной телеметрической системы
О. В. Стукач
Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Россия
Аннотация: В автоматизированных системах передачи телеметрической информации от забоя к устью скважин используются генераторы средней мощности на диодах Ганна. Важные для практики особенности таких диодов, которые обеспечивают повышенную выходную мощность, большой коэффициент полезного действия, стабильность работы объясняются способностью работать в режиме большого сигнала. В свою очередь, устойчивость работы генераторов обеспечивается конструкцией генераторов, повторяемостью и стабильностью вольтамперных характеристик (ВАХ) диодов. Поэтому исследование ВАХ диодов и влияющих на них факторов очень важно. Предложена новая нелинейная модель для ВАХ сверхвысокочастотных диодов Ганна, основанная на экспоненциальной аппроксимации экспериментально измеренных характеристик дифференциально-чебышевскими преобразованиями в области изображений. Дифференциально-чебышевские преобразования успешно применялись для моделирования линейных систем, где показали хорошую точность аппроксимации характеристик. Они отличаются большей точностью аппроксимации, чем дифференциально-тейлоровские преобразования. Алгоритм моделирования включает следующие этапы: аппроксимация ВАХ, перевод в область изображений, расчёт дискрет дифференциального спектра выходного тока, восстановление оригинала по дискретам в виде ряда Тейлора со смещёнными полиномами Чебышева. Обоснована структура модели и проведена расчётная оценка количества слагаемых ряда для аппроксимации характеристик. Для генераторов на диодах Ганна различных типов проведён расчет выходной мощности в зависимости от напряжения возбуждения. Расчётные значения хорошо согласуются с экспериментальными данными.
Ключевые слова: передатчик, сверхвысокие частоты, поведенческая модель, дифференциально-тейлоровское преобразование.
ВВЕДЕНИЕ
Аппроксимационные модели
полупроводниковых приборов необходимы для моделирования радиотехнических устройств и систем. Предложено много таких моделей, и им всегда будет уделяться большое внимание с развитием технологий производства
полупроводниковых приборов. Распространено физическое моделирование, метод
эквивалентных схем, поведенческое моделирование и многие другие, что связано с поиском компромиссов между повышением точности, сложностью и робастностью моделирования. В данной работе рассматривается модель вольтамперных характеристик (ВАХ) диодов Ганна, работающих в генераторах радиоимпульсов забойной телеметрической системы [1]. Такие генераторы служат передатчиками телеметрии, обеспечивая передачу информации в процессе бурения [2].
В статьях [3-4] и подобных им при описании физических процессов и характеристик диодов Ганна используются физические эквивалентные модели, которые являются
малоконструктивными для разработчиков
радиоэлектронной аппаратуры, так как требуют учёта большого количества технологических параметров: подвижности носителей заряда, средней и минимальной концентрации носителей, сопротивления контактов и так далее. И хотя предложенные модели хорошо отражают природу физических процессов, они, как правило, отличаются низкой робастностью по отношению к этим параметрам.
Улучшение точности моделирования достигнуто в работах [5-6], где проводится исследование температурной зависимости характеристик. В [7] создана модель в режиме большого сигнала на основе разработанной неявной численной схемы, которая требует меньшего количества допущений. Это дает более высокие результаты точности с меньшим количеством вычислительного времени. В [8] отмечено, что наибольшую погрешность в модели вносит участок с отрицательным сопротивлением и предложены меры по повышению точности, которые сводятся к разным уравнениям на участках ВАХ.
Но у всех моделей есть общий недостаток: они представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных, слабо
представлены в распространённых
программных продуктах, а для разработчиков такие модели сложны в реализации и уступают простым инженерным формулам. Как правило, инженеры при проектировании генераторов пользуются методом эквивалентных схем [910], так как непосредственное решение задачи движения носителей заряда и расчёта электромагнитного поля в диоде оказывается слишком сложным. В последнее время не прекращаются попытки найти корреляции между теоретическими выводами и результатами экспериментальных исследований и, как следствие, создать универсальные модели ВАХ диодов Ганна любых технологий изготовления [9]. Полученные результаты сводятся к улучшениям неявных численных алгоритмов, которые требуют наименьшего количества технологических параметров и демонстрируют более высокую точность.
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ТЕЙЛОРОВСКИЕ МОДЕЛИ
Если модели нелинейных элементов в дифференциальных уравнениях могут быть аппроксимированы полиномами или экспоненциальными функциями, у моделей на основе дифференциально-тейлоровских
преобразований есть преимущества в получении точных численно-аналитических решений. Основное отличие дифференциальных преобразований от интегральных состоит в том, что переход от оригиналов к изображениям производится дифференцированием оригиналов, а не их интегрированием. Общее соотношение для дифференциально-тейлоровского
преобразования выглядит следующим образом [11]:
«
Нк ¿к1(и)
к! -1и
¿(и) = £ Н)1 {к), а)
где 1(к) - дискреты дифференциального спектра оригинала, или изображение переменной 1(и), Н - постоянная, к - дискретный аргумент. Для полиномов дифференциальный спектр всегда ограничен, так как степенной полином имеет конечное число ненулевых производных. Для бесконечно дифференцируемых функций спектр бесконечен, но при достаточной скорости сходимости число дискрет спектра может быть ограничено достаточной для практики степенью точности.
Свойства дифференциальных
преобразований во многом подобны свойствам интегральных преобразований и подробно рассмотрены в монографии [12]. Приведём лишь некоторые для понимания дальнейшего изложения материала.
Линейность преобразования
ч к
а1/1(и) + а212(и)—
Изображение
->а1/1(к) + а212(к).
постоянной (тейлоровская единица р(к))
с —едк),
где
'1, к _ 0 [0, к Ф 0. Дифференцирование (дифференциальный оператор П)
2А2\ величины
(2)
Р(к) =
оригинала
¿т1(и)
(к )
_ (к + т)!
¿ит ^ ' к!Н"
Дискретная свёртка (произведение оригиналов)
I (к + т).
изображений
¿(и) у(и) —I (к) ® У (к) _ £ I (к - ¡)У (¡). (3)
I _0
^(к) сложной функции
Изображение
Л0=уШ)
р (к) _ £ (к).,
Н1
(4)
На основе дифференциально-тейлоровских преобразований построены дифференциально-чебышевские преобразования со смещёнными полиномами Чебышева, что обеспечивает наибольшую скорость сходимости рядов, в виде которых ищется решение дифференциального уравнения электрической цепи. Общее соотношение для дифференциально-чебышевского преобразования выглядит следующим образом [12]:
¿(и) _ £ ^т^т (Н),
т_0
(5)
где
I (к )р(т)
22
р(т) _
_ £
к _ т
'У2, т _ 0 1, т Ф 0
(2к)!
(к + т)!-(к - т)!
а значения смещённых
полиномов Чебышёва Sm(u) вычисляются по следующей формуле:
" (-1)3 • (2т - у -1)!
^(и) _ т • £
3 _0
' (4и)т
3!(2т - 2 у)!
Преимущество разложения по смещённым полиномам Чебышева
продемонстрируем следующим примером. На Рис. 1 изображен дифференциально-тейлоровский и дифференциально-чебышевский спектр для оригинала 1(и)=е~и
I (к) _ — к!
¿У
с1ик
(~Н1 [е-и 1 _ кНА. (6) к! е к!
I _ к
1 _0
п
т
и _0
Рис. 1. Дифференциальный Х(к) и дифференциально-чебышевский С, спектры функции е"г при Н=9
Скорость убывания дискрет
дифференциально-чебышевского спектра
существенно выше. Следовательно, возрастёт точность аппроксимации функции-оригинала при том же числе дискрет, или при заданной точности потребуется меньшее их количество.
Для получения дискрет дифференциального спектра в интервале аппроксимации Ж берётся т точек и решается система линейных алгебраических уравнений вида
гк+п+1 Ж/ \п
I
Жк
=0 (к + п +1)Нк
I(к) = Ки)^и, п = 0, т
из которой определяются дискреты дифференциального спектра путём
последовательной подстановки п = 0,т . 2. МОДЕЛЬ ВАХ ДИОДА
Эквивалентная модель диода Ганна для непрерывного или импульсного режимов работы изображена на Рис. 2. Модель содержит нелинейный источник тока 1(Ц), нелинейные сопротивления Я и емкость перехода диода С,
контактные сопротивления перехода диода Ск.
Як
и ёмкость
Рис. 2. Физическая эквивалентная схема диода Ганна
В области диффренциально-тейлоровских изображений модель ВАХ представим в виде:
Iд (ид) = ид - и
Я.
/V
I (к) = I Нр(к -1 -1)[ А
А2 Н
(¡Я\
+ Аз I - А4Н
V
, к=1,2,3,...
Здесь
( = КТ / д - температурный потенциал, К=1,38-10-23 - постоянная Больцмана, Т - температура перехода диода в градусах Кельвина, д=1,6-10-19 - заряд электрона, А1, А2, А3, А4 - коэффициенты аппроксимации, зависящие от конструктивных особенностей диодов. Первое слагаемое с коэффициентами А1, А2 представляет собой ВАХ до участка с отрицательным сопротивлением, второе - после этого участка. Дискреты дифференциального спектра тока (7) представляют собой сумму экспонент, изображение которых (6) в виде дискретной свёртки (3), (4) умножаются на изображения напряжения перехода (2). Восстановление функции-оригинала по дискретам (7) проводится по основному соотношению дифференциально- чебышевского
преобразования (5).
Соотношение (7) может быть существенно упрощено, так как все слагаемые ряда (7) будут нулевыми за исключением случая к-/-1=0, как это следует из (2). Поэтому в (7) каждая к-я дискрета будет содержать только одно слагаемое при /=к-1. Таким образом, дискреты дифференциального спектра тока представимы в виде
I(к) = Н" - ^к' ^к-1
(к - 1)\]к
[А1(-А2)к-1 + Аз(-А,)к],
по
а восстановление оригинала выполняется формулам (1) или (5).
На Рис. 3 представлены результаты расчётов восстановления ВАХ по формуле (5) для трёх значений температур по 40 дискретам. Отклонения от экспериментально измеренных характеристик составили около 3 % для участка с отрицательным сопротивлением. Вне интервала аппроксимации кривые расходятся сильнее.
Рис. 3. ВАХ диода 3А762Г, расчётные кривые и экспериментальные значения
+
I=0
0
Измерена и рассчитана зависимость выходной мощности СВЧ Р=Ш(и) от напряжения на диоде (Рис. 4). Результаты подтверждают хорошую точность
дифференциально-чебышевской модели.
2----------
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 и, В
Рис. 4. Зависимость мощности от напряжения возбуждения для диода 3 А762Г, расчётная кривая и экспериментальные значения
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Эффективность, высокая надёжность, широкая полоса частот и достаточная для практики мощность генераторов на диодах Ганна позволяет использовать их в качестве сверхвысокочастотных передатчиков забойных телеметрических систем. Интерес к генераторам на диодах не ослабевает, поскольку применение новых материалов и конструкций позволяет существенно увеличить выходную мощность этих приборов. Именно поэтому важно совершенствование практики моделирования генераторов на диодах Ганна, что позволяет добиться высоких показателей по комплексу параметров [13].
В статье представлены теоретические результаты в сравнении с экспериментально измеренными ВАХ диодов Ганна. Показано, что аналитическое выражение для ВАХ на основе дифференциально- чебышевских
преобразований приводит к меньшей погрешности определения характеристик по сравнению с существующими моделями. Полученные результаты для диодов типов 3А762Г, АА768Б, 3А750Г согласуются с экспериментальными в пределах 3 процентов для участка с отрицательным сопротивлением и к пределах 5 процентов для мощности устройства, что дало в 1,5 раза лучшее согласие характеристик. Приведены результаты расчётов зависимости мощности сверхвысокочастотного излучения от напряжения возбуждения в непрерывном и импульсном режиме работы диода Ганна. Зависимость близка к экспериментально измеренной практически во всём диапазоне входных напряжений. Дальнейшие исследования направлены на поведенческое моделирование передатчика с
учётом конструкции, что позволяет исследовать
импульсные характеристики устройств.
БЛАГОДАРНОСТИ
Исследование выполнено при финансовой
поддержке РФФИ в рамках научного проекта №
18-45-700001.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Mirmanov A.B., Stukach O.V. The Receiver-Transmitter for the Measurement Information Transfer by the Inhomogeneous Media. In Proceedings of IF0ST-2012 - The 7th International Forum on Strategic Technology. September 17-21, 2012. Tomsk Polytechnic University. Vol. 1. P. 552554. DOI: 10.1109/IF0ST.2012.6357618. ISBN: 978-1-4673-1770-2.
http://ieeexplore.ieee.org/document/6357618/, http: //e lib rary .ru/item.asp?id=21889568.
[2] Stukach O.V., Mirmanov A.B. 9 GHz Power Amplifier-Transmitter on Gunn Diode for Measurement-While-Drilling System. 2014 Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines, Dynamics 2014; Omsk State Technical University Omsk; Russian Federation; 11-13 November 2014; Category number CFP14RAB-CDR; Code 110010. http ://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.j sp?tp=& arnumber=7005695, http://elibrary.ru/item.asp?id=23970523.
[3] Larrabee R.D., Hicinbottem W.A., Steele M.C. A Rapid Evaluation Technique for Functional Gunn Diodes. IEEE Transactions on Electron Devices. 1970. - Vol. ED-17. No. 4. P. 271-274. DOI: 10.1109/T-ED.1970.16969. https://ieeexplore.ieee.org/document/1476153.
[4] Mi-Ra Kim, Seong-Dae Lee, Jae-Seo Lee, Jin-Koo Rhee etc. Fabrication of GaAs Gunn Diodes Using Trench Method. 2008 Asia-Pacific Microwave Conference. 16-20 Dec. 2008. Macau, China. DOI: 10.1109/APMC.2008.4958387. https://ieeexplore.ieee.org/document/4958387/.
[5] Tang X., Rousseau M., De Jaeger J.-C. Physical-Thermal Modeling of GaN Gunn Oscillations. Proceedings of the 4th European Microwave Integrated Circuits Conference (EuMIC). 28-29 September 2009, Rome, Italy. Print ISBN: 978-14244-4749-7. -https://ieeexplore.ieee.org/document/5296030/.
[6] Tang X., Rousseau M., Dalle C., De Jaeger J.C. Physical analysis of thermal effects on the optimization of GaN Gunn diodes. Appl. Phys. Lett. 95, 142102 (2009). Published by the American Institute of Physics. DOI 10.1063/1.3240873. http://dx.doi.org/10.1063/1.3240873.
[7] Lakshminarayana M.R., Partain L.D. Numerical Simulation and Measurement of Gunn Device Dynamic Microwave Characteristics. IEEE Transactions on Electron Devices. 1980. Vo. 27, Issue 3. DOI: 10.1109/T-ED.1980.19897. P. 546552. https://ieeexplore.ieee.org/document/1480690.
[8] Yang L.-A., Hao Y., Yao Q., Zhang J. Improved Negative Differential Mobility Model of GaN and AlGaN for a Terahertz Gunn Diode. IEEE Transactions on Electron Devices. 2011. Vol. 58, Issue 4. P. 1076-1083. DOI: 10.1109/TED.2011.2105269. https://ieeexplore.ieee.org/document/5710408.
planar power report. Austin,
Drilling Telemetry for Controlled Drilling and Modeling in Matlab Simulink. 2014 International Conference on Mechanical Engineering, Automation and Control Systems (MEACS) 16-18 October 2014, Tomsk, Russia. Print ISBN: 978-1-47996220-4. DOI: 10.1109/MEACS.2014.6986885. -http://ieeexplore.ieee.org/document/6986885/, http://elibrary.ru/item.asp?id=24032033.
Олег Владимирович Стукач
- основатель Томской группы Института IEEE, доктор технических наук, профессор Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» и Новосибирского государственного технического университета. E-mail: tomsk@ieee.org
http://elibrary.ru/item.asp?id=19589642. Статья поступила 12112018
[13] Mirmanov A.B., Stukach O.V. The System Problems in the Microwave Measurement-While-
The Differential-Chebyshev Approximation of the Volt-Ampere Characteristics for the Gunn Diode in Generator of Drilling Telemetry System
O.V. Stukach
[9] Gunshor R.L., Kak A.C. Lumped-Circuit Representation of Gunn Diodes in Domain Mode. IEEE Transactions on Electron Devices. 1972. Vol. ED-19, No. 6. P. 765-770. https://ieeexplore.ieee.org/document/1476964
[10] Mortazawi A., Neikirk D., Itoh T. Microwave and millimeter-wave oscillators and combining structures. Technical Texas, 2015. http://www.dtic.mil.
[11] Стукач О.В., Головин Е.Д. Моделирование физических процессов с использованием дифференциально-чебышевских преобразований // Известия Томского политехнического университета. - 2003. - N 2. - Т. 306. - С. 12-15. -ISSN 1684-8519. http://elibrary.ru/item.asp?id=9160686.
[12] Стукач О.В. Сигнальная и параметрическая инвариантность радиотехнических устройств: Монография - Томск: Томск. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2007. - 230 с. - ISBN 59-371-9.
National Research University "Higher school of Economics", Moscow, Russia Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russia
Abstract: In the automated systems for the telemetry information transfer from well bottom to wellhead the generators of middle power on Gunn diodes are used. The important practice features of such diodes which give higher output power, a large efficiency, and stability follows from ability of operation in the large-signal mode. In turn, stability of generator operation follows from design of generators, repeatability and stability of voltampere characteristics (VAC) of diodes. Therefore investigations of VAC for diodes and influencing factors are very important. A new nonlinear VAC model for microwave Gunn diodes based on approximation of experimentally measured characteristics by Differential-Chebyshev transformations to image domain is offered. Differential-Chebyshev transformations were successfully applied to modeling of linear systems with good accuracy of characteristics approximation. Accuracy of approximation for this transformations is more than Differential-Taylor ones. Algorithm of modeling includes following stages: VAC approximation, transfer it into image domain, calculation of the differential spectrum discrets for the output current, restoration of original by discrets in a form of Taylor' series with displaced Chebyshev polynomials. The structure of model is described. Number of terms for series for approximation of characteristics is evaluated. For generators on Gunn diodes of different kinds the dependence of output power vs impact voltage was calculated. Curves are agreeing well with the experimental data.
Keywords: transmitter, microwave, behavioral model, differential-Taylor transformations
REFERENCES
[1] Mirmanov A.B., Stukach O.V. The Receiver-Transmitter for the Measurement Information Transfer by the Inhomogeneous Media. In Proceedings of IFOST2012 - The 7th International Forum on Strategic Technology. September 17-21, 2012. Tomsk Polytechnic University. Vol. 1. Pp. 552-554. IEEE Catalog Number: CFP12786-PRT. DOI: 10.1109/IFOST.2012.6357618. ISBN: 978-14673-1770-2.
http://ieeexplore.ieee.org/document/6357618/, http://elibrary.ru/item.asp?id=21889568.
[2] Stukach O.V., Mirmanov A.B. 9 GHz Power Amplifier-Transmitter on Gunn Diode for Measurement-While-Drilling System. 2014 Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines,
Dynamics 2014; Omsk State Technical University Omsk; Russian Federation; 11-13 November 2014; Category number CFP14RAB-CDR; Code 110010. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?tp=& arnumber=7005695, http://elibrary.ru/item.asp?id=23970523.
[3] Larrabee R.D., Hicinbottem W.A., Steele M.C. A Rapid Evaluation Technique for Functional Gunn Diodes. IEEE Transactions on Electron Devices. 1970. - Vol. ED-17. No. 4. P. 271-274. DOI: 10.1109/T-ED. 1970.16969. https://ieeexplore.ieee.org/document/1476153.
[4] Mi-Ra Kim, Seong-Dae Lee, Jae-Seo Lee, Jin-Koo Rhee etc. Fabrication of GaAs Gunn Diodes Using Trench Method. 2008 Asia-Pacific Microwave Conference. 16-20 Dec. 2008. Macau, China. DOI: 10.1109/APMC.2008.4958387.
https://ieeexplore.ieee.org/document/4958387/.
[5] Tang X., Rousseau M., De Jaeger J.-C. Physical-Thermal Modeling of GaN Gunn Oscillations. Proceedings of the 4th European Microwave Integrated Circuits Conference (EuMIC). 28-29 September 2009, Rome, Italy. Print ISBN: 978-14244-4749-7. -https://ieeexplore.ieee.org/document/5296030/.
[6] Tang X., Rousseau M., Dalle C., De Jaeger J.C. Physical analysis of thermal effects on the optimization of GaN Gunn diodes. Appl. Phys. Lett. 95, 142102 (2009). Published by the American Institute of Physics. DOI 10.1063/1.3240873. http://dx.doi.org/10.1063/1.3240873.
[7] Lakshminarayana M.R., Partain L.D. Numerical Simulation and Measurement of Gunn Device Dynamic Microwave Characteristics. IEEE Transactions on Electron Devices. 1980. Vo. 27, Issue 3. DOI: 10.1109/T-ED.1980.19897. P. 546552. https://ieeexplore.ieee.org/document/1480690.
[8] Yang L.-A., Hao Y., Yao Q., Zhang J. Improved Negative Differential Mobility Model of GaN and AlGaN for a Terahertz Gunn Diode. IEEE Transactions on Electron Devices. 2011. Vol. 58, Issue 4. P. 1076-1083. DOI: 10.1109/TED.2011.2105269. https://ieeexplore.ieee.org/document/5710408.
[9] Gunshor R.L., Kak A.C. Lumped-Circuit Representation of Gunn Diodes in Domain Mode. IEEE Transactions on Electron Devices. 1972. Vol. ED-19, No. 6. P. 765-770. https://ieeexplore.ieee.org/document/1476964
[10] Mortazawi A., Neikirk D., Itoh T. Microwave and millimeter-wave oscillators and planar power combining structures. Technical report. Austin, Texas, 2015. http://www.dtic.mil.
[11] Stukach O.V., Golovin E.D. Modelirovanie fizicheskih protsessov s ispolzovaniem differentsialno-teilorovskih preobrazovanii // Izvestiya Tomsogo politekhnicheskogo universiteta. - 2003. - N 2. - T. 306. - C. 12-15. - ISSN 16848519. http://elibrary.ru/item.asp?id=9160686.
[12] Stukach O.V. Soignalnaya i parametricheskaya invariantnost radiotekhnicheskikh ustroistv: Monograph. Tomsk: Tomskii gosudarstvennyi universitet sistem upravleniya i radioelectroniki,
2007.
230 c.
ISBN 5-86889-371-9.
http://elibrary.ru/item.asp?id=19589642.
[13] Mirmanov A.B., Stukach O.V. The System Problems in the Microwave Measurement-While-Drilling Telemetry for Controlled Drilling and Modeling in Matlab Simulink. 2014 International Conference on Mechanical Engineering, Automation and Control Systems (MEACS) 16-18 October 2014, Tomsk, Russia. Print ISBN: 978-1-4799-
6220-4. DOI: 10.1109/MEACS.2014.6986885.
http://ieeexplore.ieee.org/document/6986885/,
http://elibrary.ru/item.asp?id=24032033.
Stukach Oleg V. is founder of the Tomsk IEEE Chapter, Dr. of Sci., Professor of National Research University "Higher school of Economics" and Novosibirsk State Technical University. E-mail: tomsk@ieee.org
The paper has been received on 12.11.2018.
