ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ СОЦИАЛЬНОЙ СЕГРЕГАЦИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ СОЦИАЛЬНОЙ СЕГРЕГАЦИИ

А.П. Михайлов, д-р ф.-м. наук, профессор, г.н.с. А.П. Петров, д-р ф.-м. наук, профессор, г.н.с. Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН (Россия, г. Москва)

DOI: 10.24411/2500-1000-2020-10975

Аннотация. Работа посвящена построению и исследованию дифференциальной модели социальной сегрегации, основанной на подходе Т. Шеллинга. Здесь под сегрегацией понимается процесс разделения различных групп населения, именуемых общинами, по месту жительства в соответствии с расовой, этнической, религиозной принадлежностью. Конкретизация состоит в том, что предложены функциональные спецификации для зависимостей, заложенных в модель. Тем самым, модель приведена к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений; проведен ее анализ, изучена устойчивость стационарных решений.

Ключевые слова: математическое моделирование, социальная сегрегация, поведенческая гипотеза, дифференциальные уравнения, фазовая плоскость.

1. Базовые положения модели

Рассматривается следующий механизм социальной сегрегации основана на следующем. Процесс начинается с того, что в результате миграции возникает ситуация совместного проживания двух общин в пределах одного квартала. Если в отношениях между общинами присутствуют конфликты, то некоторые представители одной из них выезжают из квартала. На освободившиеся места въезжают новые представители другой общины. Тем самым, пропорция изменяется в пользу второй общины, в результате чего еще некоторые представители первой общины покидают квартал, освобождая места для второй общины. Таким образом, с течением времени доля второй общины в населении постоянно возрастает.

В соответствии с подходом Шеллинга [1, 2], этот процесс формализуется следующим образом. Население состоит из двух общин, которые будем обозначать Х и У. Численность членов общин, проживающих в данном квартале в момент времени X, обозначим, соответственно, Х ( ( ) и > (').

Модель Шеллинга базируется на следующей поведенческой гипотезе. Предполагается, что индивид удовлетворен сосед-

ством в данном квартале, лишь если отношение численности «чужой» общины к численности его собственной общины не превышает некоторой величины, называемой порогом толерантности этого индивида. Значение порога толерантности не меняется с течением времени, и варьируется между индивидами: например, для кого-либо может быть достаточно не находиться в меньшинстве (т.е. порог равен единице), другой индивид может быть удовлетворен, если его община составляет не менее 30% населения квартала (в этом случае порог равен 7/3). Если текущее соотношение численностей ниже порога толерантности, то индивид удовлетворен соседством в квартале, и он остается в нем (или въезжает в квартал, если не жил в нем ранее), если же порог превышен, то индивид покидает квартал (или, не въезжает в него, если не живет в нем). При этом, для индивида, покинувшего квартал, сохраняется возможность с течением времени вернуться в него (и наоборот, новоприбывший житель может его впоследствии покинуть. Индивиды обладают полной информацией о количестве жителей квартала, принадлежащих к каждой из общин, но они не согласовывают свои действия, и не строят предположений о поведении других индивидов.

В соответствии со сформулированной выше поведенческой гипотезой, каждая община может быть охарактеризована распределением порогов толерантности среди ее членов. Для того, чтобы формализовать данную характеристику общины Х, пронумеруем ее членов в порядке невозрастания порога толерантности, и каждому из этих членов (вернее, соответствующему номеру) поставим в соответствие его значение порога толерантности. При достаточно большой численности N проведем предельный переход, получив непрерывную, невозрастающую функцию / (П), которую назовем распределением толерантности в данной общине.

Тогда функция у х/ (Х ) имеет смысл максимальной численности общины У, при которой х наиболее толерантных членов общины Х удовлетворены соседст-

вом в квартале. Таким образом, если у < х/ ( х )

, то численность общины Х

у > х/ ( х ) возрастает, а если , то убывает.

Аналогично, если распределение толерантности в общине У дается функцией

ё (у) X = уё (у)

ч /, то 4 ' - это максимальная

численность общины Х, при которой у наиболее толерантных членов общины У удовлетворены соседством в квартале. Ес-

х < Уё (у)

ли

то численность общины У

х > уё (у) (■

возрастает, а если , то убывает.

Изобразим функции у Х (Х) и

х уё(у) на одном графике. Один из возможных вариантов получаемой при этом конфигурации представлен на рисунке 1.

Nк

Л х=уд(у)

X убыв Y возр Хубыв YyÖbiB

/ X возр j / Y возр J N. IV y^xf(x)

/ 11 ^^ / ^^^^ 111 X возр Y убыв ->

Рис. 1. Области значений переменных, в которых динамика численности членов общин Х,У, проживающих в квартале, имеет постоянное направление

Состоянию системы, при котором в квартале проживают х представителей первой общины и у - второй, соответству-

( х, у)

ет

точка

прямоугольника

0 < х < Nx ,0 < y < Ny

где

Nx, N

y _

максимально возможные численности об-

V у = х/ ( X ) х = уё (у)

щин. Кривые ^ \ / и

разбивают данный прямоугольник на четыре области, каждая из которых характе-

ризуется определенным направлением динамики (возрастанием или убыванием) численности членов общин.

Так, если точка ^ Уо ^, изображающая начальное количество живущих в квартале членов общин X,Y, находится в области III, то с течением времени количество представителей общины Х будет возрастать, а Y - убывать. Аналогично, если

точка (Уо ) расположена в области IV,

то будет убывать численность жителей обеих общин.

В работах [1, 2] эти положения реализованы в качественной форме; фактически мы повторили ее выше. Основная часть данной работы посвящена дифференциальной модели, в которой эта логика принимает более конкретную форму.

Заметим также, что в указанных работах [1, 2] представлен и другой вариант модели, в котором индивиды расположены на плоскости, образуя прямоугольную решетку, и решение о выезде из квартала принимается на основании соотношения численностей членов общин в ближайшей окрестности данного индивида (а не квартала в целом). Этот вариант модели близок клеточно-автоматному подходу, который в последние годы находит все больше приложений к моделированию социальных процессов [3]. Современные варианты модели рассматривают, например, теоретико-игровую постановку [4] и сегрегацию в сетевой структуре [5].

2. Конкретизация поведенческой гипотезы и построение дифференциальной модели

Изложенный выше анализ опирался лишь на качественную зависимость между текущим соотношением численностей общин и направлением динамики, другими

словами - на зависимость между величи-

х (0, у (О

нами с одной стороны, и зна-

ЖХ / Ж, ЖУ / Ж

ками величин - с другой.

Для того, чтобы получить дифференциальные уравнения, определяющие значе-

Жх / dt, Жу / dt , ния самих производных (а

не только их знаков), необходимо конкретизировать сформулированную выше поведенческую гипотезу.

Как указано выше, в соответствии с

х < уg ( у ) этой гипотезой, если , то чис-

ленность общины У возрастает, а если

х > Уg ( У )

, то убывает. Изобразим график функции

x yg (У), обозначим че-

рез

X

1 У1

1 ее максимальное значение, 1

значение аргумента, при котором достигается максимум, а также укажем стрелками направление изменения численности членов общины У - рисунок 2а (данный рисунок соответствует случаю, когда функция

х = Уg ( У )

имеет ровно один локальный

х < N

максимум 1 х ; все рассуждения легко обобщаются на более сложные случаи).

а б

Рис. 2. Направление изменения численности членов общины У и определение функций

У = Ф1 (х) У = Ф2 (х)

Обозначим через

У = Ф1 ( х )

x

функцию,

yg (У)

на

обратную по отношению к

0 < у < у у = Ф2 (х)

отрезке 1 , а через 2 -

функцию, обратную по отношению к

х = уg ( у) У1 < У <

на 1 у , и равную

N

При Х " Xj

Т—г X > ХЛ При 1

dУ < 0, if y <Ф1 (X), ^У > 0, if Ф1 (x)< У <Ф2 (х), -У < 0, if У >Ф2(X).

dy dt

(1)

< 0

У

при

0 < X < Nyg (Ny )

см. рису-

нок 2б.

Для изменения численности общины Y имеем следующее.

Простейшее дифференциальное уравнение, отражающее данную закономерность, имеет вид

[_ау(у"Ф (х))(У Ф2(х))> 0<х<х1>

dt

-О-У,

х1 < X <NX. (2)

Аналогично получим уравнение, описывающее динамику численности проживающих в квартале членов общины Х.

Рис. 3. Направление изменения численности членов общины Х и определение функций

х = Ф (у) х = Ф2 (у)

У = Xf ( X )

Изобразим график функции , обозначим через У2 ее максимальное

значение, 2 - значение аргумента, при котором достигается максимум - рисунок 3 (при этом, ограничимся случаем, ко-

гда

У 2 < N

У = Xf ( X )

име-

У , и функция ет ровно один локальный максимум). Обо-

X = Vi ( У)

значим через

У = Xf ( X ) ную по отношению к v ' на от-

0 < X < X.

функцию, обрат-( X )

на о

X = V 2 ( У )

резке 2 , а через

функцию, обратную по отношению к

у = х/ (х) х2 < х < N.

на отрезке 2 х , и рав-

N 0 < у < Nxf (Nx) ную х при х 4 х' .

Простейшее дифференциальное уравнение, качественно отражающее динамику численности проживающих в квартале членов общины Х, имеет вид

dx_ |"PX(X -Vi (У))(X V2 (У0 < У < У2 dt "I -Px, У2 < У < Ny

(3)

Уравнения (2), (3) являются конкретизацией поведенческой гипотезы, сформулированной в п.1. Они дополняются начальными условиями

x

(0) = x0, у(0) = ус

(4)

где

0 < x < Nx ,0 < у < N

3. Анализ математической модели

Анализ качественной модели показал [1, 2], что стационарные решения

х = 0, у = Ыу х = Ых, у = 0

у, х ' являются

асимптотически устойчивыми, в то время, как стационарные состояния, при которых общины сосуществуют в квартале, могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми.

Изучим теперь вопрос об устойчивости стационарных решений модели (2)-(4).

Рассмотрим сначала решение

х = 0 у = "у (5)

В его окрестности уравнения (3), (2) принимают вид

dx dt

= -px

dy = -ау (у -ф1 (x))(у - Ny)

(6) (7)

Очевидно, при достаточно малых 8, в

с 0 < х <8 N - 8 < у < N

области вида 0 < х < 8, у у

Жх / Ж < 0 Ф / Ж > 0 ~

имеем и-х' ш <0, ^ . Отсюда

следует, что если начальные условия (4)

лежат в этой области, то

x(t0

Ыу I _

47 у при 1 ^ ^, что согласуется с результатом анализа качественной модели [1, 2].

Аналогично доказывается асимптотическая устойчивость решения

x = Nx ,у = 0

(8)

Перейдем к исследованию стационарных решений, описывающих состояния, при которых общины сосуществуют в квартале. В окрестности каждого из них уравнения (3), (2) принимают вид

dx dt dy

= -Px ( x ( у ))( x 2 ( у ))

(9)

— = -ау (у - Ф1 (х))(у - Ф2 (х)) (10)

Уравнения для рассматриваемых стационарных решений имеют вид

( х ( у ))( х 2 ( у )) = 0 (11)

( у -Ф1 ( х ))( у -Ф2 (х )) = 0 (12)

Количество стационарных решений зависит от вида функций распределения то-

у = / ( х ) х = ё ( у ) лерантности Каж-

дое из них может быть исследовано на устойчивость - например, с помощью метода исследования устойчивости по первому приближению.

Продемонстрируем это для случая линейных функций распределения толерантности:

f ( x ) = a - bx g ( у ) = с - ку

(13)

Тогда максимальная численность общины У, при которой х наиболее толерантных членов общины Х удовлетворены соседством в квартале, дается функцией

y = xf ( x ) = ax - bxг

(14)

Максимальное значение функции (14)

/ (2b)

достигается при

у 2 = a2/(4b)

x^ — a i

, оно равно

. Чтобы найти обратные

, х = ( у) х = у 2 ( у)

функции 1 , 2 , выразим

х через у из равенства (14), получим

а а2 - 4Ьу

Vi (у )=

v 2 ( у ) =

2b

a + ^a2 - 4Ьу 2b

(15)

Аналогично, максимальная численность общины Х, при которой у наиболее толерантных членов общины У удовлетворены соседством в квартале, дается функцией

х = Уg (У ) = су - ку2 (16)

Максимальное значение функции (16)

у = с / ( 2Ж ) достигается при 1 , оно равно

1 с /(4—). Для обратных функций

Vc2 - 4kx

х

имеем

Ф1 ( X ) =

Ф2 (Х ) =

С■ ,

2k

с WС2 - 4kx

2k (17)

Система (9), (10) принимает в данном случае вид

dx dt

= -Px

-у]а2 -4Ьу а +yjа2 -4Ьу

2b

2Ь

dy I с

dУ=-ay|y

-л/с2 - 4kx II с + уIс2 - 4кх

2k II У 2к

(18) (19)

Уравнение (18) можно записать в виде

* = -рх dt

(

-Jа2 - 4by

V

а

х---+-

2b 2b

у/а2 - 4by

а

х----

2b 2b

-(20)

откуда dx

— = -px dt

x ■

а 2b

л2 а2 - 4by

4Ь

Аналогично, из (19) имеем

,(21)

-У ,

— = -ay I У -

dt Г 2k

\2 2 ,, ^ с I с - 4кх

4k2

(22)

Рассмотрим вопрос об устойчивости

(Xs, У,)

стационарного решения что

такого,

х, > 0 ys > 0

(23)

описывающего ситуацию, при которой две общины сосуществуют в квартале. Приравнивая к нулю производные в

(21),(22), и учитывая (23), получаем, что удовлетворяют системе

^ У,

х -

s

а 2Ь

\2

ys 2k

а2 - 4Ьу, 4Ь2

с2 - 4kxs 4k 2

= 0

0

(24)

(25)

Матрица Якоби, взятая в стационарных состояниях, удовлетворяющих уравнениям (24), (25), имеет вид

J (х,, у, ) =

-2Rx | х --

s| s 2b

b

-0? -2оУ,(У,"¿1

(26)

Если оба собственных значения матрицы вида (26) имеют отрицательные действительные части, то стационарное реше-

(х,, У,)

ние 4 5 ^ асимптотически устойчиво, если же хотя бы одно из собственных значений имеет положительную действительную часть, то стационарное решение неустойчиво.

Заметим, что, помимо решений рассмотренных выше стационарных решений (5), (8), (23), система (18), (19) имеет также

х, = у, = 0 стационарное решение Л Л . Оно

не может быть изучено методом исследования устойчивости по первому приближению, так как матрица Якоби в точке

х, = у, = 0

Л ^ Л является нулевой матрицей, и ее собственные значения равны нулю, что не позволяет сделать вывод относительно устойчивости. Однако, неустойчивость этого стационарного решения может быть показана путем анализа знаков производ-

ЖХ / dt, ЖУ / dt ных ' ^ в окрестности этой точ-

ки.

4. Заключение

Представленная в настоящей работе модель описывает механизм социальной сегрегации, основанный на неудовлетворенности индивидов проживанием «среди чужих», сформулированном здесь в виде

2

а

х -

поведенческой гипотезы. Один из возмож- ние меняется еще более в польщу общины ных социологических сценариев описыва- Y. Ввиду этого, некоторые из ранее удов-ет полный исход одной из общин из квар- летворенных членов общины Х становятся тала. Пусть, например, изначально община неудовлетворенными, и также покидают Х находилась в меньшинстве, но некото- квартал. Этот процесс может иметь два рые из ее членов были удовлетворены те- исхода. В одном из них вся община Х по-кущим соотношением. Однако по мере то- кидает квартал, в другом исходе устанав-го, как другие, менее толерантные, члены ливается совместное проживание общин в общины Х покидают квартал, соотноше- некоторой пропорции.

Библиографический список

1. Schelling T.C. Models of Segregation // The American Economic review. - 1969. -Vol. 59. № 2. - P. 488-493.

2. Schelling T.C. Dynamic Models of Segregation // Journal of Mathematical Sociology. -1971. - Vol. 1. - P. 143-186.

3. Stepantsov M.E. Information warfare model based on a cellular automaton // Computational Mathematics and Information Technologies. - 2020. - № 1. - P. 12-18. doi: 10.23947/25878999-2020-1-1-12-18.

4. Zhang J. Tipping and residential segregation: a unified Schelling model // Journal of Regional Science. - 2011. - Vol. 51 (1). - P. 167-193.

5. Fagiolo G., Valente M., Vriend N.J. Segregation in networks // Journal of economic behavior & organization. - 2007. - Vol. 64 (3-4). - P. 316-336.

DIFFERENTIAL MODEL OF SOCIAL SEGREGATION

A.P. Mikhailov, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Chief Researcher A.P. Petrov, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Chief Researcher Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS (Russia, Moscow)

Abstract. The paper introduces and studies of a differential model of social segregation. The model is based on well-known approach by Schelling. Segregation is viewed as the process of self-separating various groups of the population, called communities, according to place of residence in accordance with racial, ethnic, or religious affiliation. Concretization consists in the fact that functional specifications for the dependencies embedded in the model are proposed. Thus, the model is reduced to a system of two ordinary differential equations; its analysis is carried out, the stability of stationary solutions is studied.

Keywords: mathematical modeling, social segregation, behavioral hypothesis, differential equations, phase plane.