ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012
268
%
ИНФОРМАЦИОННЫЕ
ТЕХНОЛОГИИ
уДК 62.501.72 в. И. ПОТАПОВ
Омский государственный технический университет
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА МЕЖДУ ПОДВИЖНЫМИ И НЕПОДВИЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ______________________________________
Дана постановка игровой задачи типа «нападение — защита» для двух игроков, располагающих подвижными и неподвижными объектами соответственно. Приводится детальный алгоритм решения задачи методом дискретизации.
Ключевые слова: игровая задача, игроки, подвижные объекты, неподвижные объекты, алгоритм.
Рассмотрим следующую игру двух лиц. Игрок 1 располагает Ь управляемыми объектами, находящимися в начальных точках Гк0' 1 < к < Ь. Игрок 2 — N единицами защиты, которые он может расставлять в заданной области Г, причем гк0 еГ . Игрок 1 старается поразить к-м управляемым объектом (1 < к < Ь) заданную точку Гк1 е Г которую защищает игрок 2, а игрок 2 старается помешать этому. Обозначим через 1к1 время полёта к-го объекта от точки Гк0 до гк[. Число 1к1 зависит от траектории Гк = гк (^), выбираемой к-м объектом, причем гк(0) = гк0, гк (:1) = Тк[.
На траектории гк = Гк (^) наложим очевидные ограничения:
к, < Тк, (1)
1“ ^)| < Мкдля любогоtе[0,tk[]. (2)
Неравенство (1) диктуется ресурсом двигателя, которым располагает к-й подвижный объект, управляемый игроком 1; неравенство (2) отражает прочностные характеристики к-го подвижного объекта. Из (2) следует, что для любого t е[0, tk[ ]
|?к ^М^ + Уим (3)
|гк ^Mkt2/2 + Укot,
где у0 — начальная скорость подвижного объекта.
Введем, наконец, последнее ограничение на траектории:
гк ^) е V для любого t е [0,4, ], (4)
где V — заданная конечносвязная область в Я3, причем гк0 (1.) е V и Г с V. Это ограничение «запрещает»
для траектории некоторые односвязные области пространства.
Пусть, далее, множество пунктов защиты игрока 2 может быть расположено в О точках (N < О) с заданными координатами с{ = (с1;, с2|, с3|), 1 < I < О. Обозначим множество {с1г с2 сО} через С.
Итак, игроки 1 и 2 обладают каждый Ь А[1, 1 кд (t, гк)] -системами соответственно (д = 1, 2), поведение которых, при аппроксимации марковским процессом [1], описывается уравнениями
Р'к1 = -1кД гк )Рк1 - 1 < к < Ь
Рк2 = к2 (t, -к )Рк2 ,
с начальными условиями рк1(0) = рк 2 (0) = 1, где Ркд (t) — вероятность безотказной работы к-й А-системы, принадлежащей д-му игроку (1 < к < Ь; д = 1,2) к моменту времени t, а 1 кд (t, -к) —интенсивность отказов этой системы, где гк = -к ^) — траектория к-го объекта, управляемого игроком 1.
Интенсивности отказов систем зададим следующим образом:
Ясно, что
bi(Irk - d)
c*) '
I - - ibk
rk - rkf k
bi(x) =
0, если x > gi,
1, если 0 < X < у;.,
—*
где У| — дальность действия пункта защиты с{ игрока 2.
Интенсивность отказов 1 м(^ -к) можно представить в виде
1 к1 (t, Гк ) = 1 к (t, Гк ) + 15Ь-(|7к~Я,
I=1 I -к- с1
где 5 = (81,62,..., 5О) — вектор, определяемый следующим образом:
0, если в точке с1 нет пункта защиты,
1 в противном случае,
а а; = а(с|) .
В качестве функции выигрыша возьмем
Ь Ь
к[г1' г2] = ^ Рк1^к[ ) - ^ Рк2 (tk[ ) ,
к=1 к=1
где е , а — множества стратегий д-го игрока (д= 1, 2).
W1 = {rl(t ),r2 (t)...........rL (t )}
w 2 = {dl, 62..........6r},
где R
где 1 к ((, гк) — интенсивность отказов к-го подвижного объекта, определяемая объективными факторами; С * = {с* с2* с;} — некоторые подмножества множества С (пункты защиты игрока 2); {а(сі*)} — заданная последовательность действительных чисел, отвечающая множеству С *, элементы которой определяются физико-географическими или иными особенностями точки с*; {Ьк2} и {рк| — заданные последовательности действительных чисел, элементы которых определяются физико-географическими или иными особенностями точек гкг, подлежащих защите, и типом к-го подвижного объекта;
Далее, обозначим Ук0 = | -к(0) | и е — точность измерения траектории -к = -к(1.), при которой становится заметно отклонение траектории от касательной в окрестности произвольной точки t0 е [0, tk[].
Теперь для решения задачи можно применить аппарат дискретизации, разработанный в [2] для решения подобных задач.
За временной интервал дискретизации возьмем
число А t = V2е / М , где
М = тах {М,,М2 МЬ}.
Получим оценки для tk[. Очевидно, что
\rk (tf ^ = 1 їк[\ <Отсюда следует
tkf ^ M-(- Vko WVko + 2Mk|rkf|).
Пространственным аналогом временного интервала дискретизации будет шар с радиусом p(At), где
p(At) = (v0 + MAt /2)A t,
V 0 = min {V10 , ^О-- VL0}
M = min {M1, M2 ML}.
Решением задачи является вычисление стратегий z~1 и ~2, для которых
K[zu~2]min max K[z1,z2].
За основу приведенного ниже алгоритма для решения этой задачи, принят разработанный автором в [2] алгоритм 1.
АЛГОРИТМ
1. Задать {1Д г); ^(^, г).....{тю,Гю,..., г10};
{^ V 2о,...,_^о};
{Гіо, Г»..^іо}; {Мі, М2 Мк}; {Гі,Г2 гк};
{у1, У2,..., У0}; {Ь12, Ь22, ..., 2};
{Рі, Ь2,..., Рі}; {с1, С2, ..., с0};
{alr a .....aQ};
N, V.
2. Вычислить Аt; p^t) по приведенным выше формулам.
3. Вычислить
Vko +л/ v„o + 2Mk kk,
4. Вычислить
~к =[(Тк - (Г)/ Аі]- 1 £ к £ і.
5. Выполнить процедуру 6 — 24 этого алгоритма для всех векторов 8 = (81,82,..., 8О), где 8( = о,1 и
81 +82 + • + 8О = N, 1 £ і £ О.
+ V k0tkf
i = 1 r
c
k
2
b
t
kf
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012
6. Положить к = 1.
7. Положить у = о.
8. Вычислить (ы = Г + У А(.
9. Положитьі0 = 0.
10. Положитьv = 1.
11. Положить п = V.
12. Вычислить 1к1, Хук2 по формулам
= | р (Р + (А() ) ] | і^((, г)^,
(г-1 ІГ-Гк 1£Р
2
где К = у Аt; ^ = 0; -к = е|п-1; - = (х1 х2,хз);
ёу = ёх^ ёх2, ёх3; д = 1, 2.
13. Для всех целочисленных векторов I =(11, 12, ^)е
е/п, где 1п = /П о /П о У, а множества 1'п, ^ опреде-
ляются следующим образом:
I п
)((г - К )};
У = {і |еі єУ} тк, = еікг,
выполнить процедуру 14— 15 этого алгоритма.
14. Если Іп = 0, идти к 19.
15. Вычислить
К,[Гк ( )] =рк1 ( ) Рк2 ( ),
где рк? () = р^ ((г-1) єхр(- Кч А() я =1 2;
рк? ((т-1) = рк-1 (-1);
Р°кя(о) = 1 Г( ) = Бі .
16. Вычислить вектор іп єІп, для которого
к
у [гкп (К )] = Ш ах ку [гк ( )],
, Е 1п
Гкп (к ) = Біп •
17. Положить V = V + 1.
18. Если , идти к 11.
19. Положить у = у +1.
20. Если у £ *к, идти к 8.
21. Вычислить ~у , для которого
к~ [гк ((м)] = отаХ ку [Гк ((м)].
у о£"і
22. Положить к = к + 1.
23. Если к £ і, идти к 7.
24. Вычислить
с [] = £к~ [Гк ((„)].
к=1
25. Вычислить 8о , для которого
Ф] = ШІП с[].
26. Конец 8о и {Г1((), Г2 ((),..., Г, (()} — искомые оптимальные стратегии.
В пояснение к алгоритму заметим, что ркя (() в п. 15 есть решение уравнений
(Ркд ) = _Кд Ркд; д = 1 2
с начальными условиями ркд ^у _1) = рк_^у _Д которые являются дискретными аналогами уравнений (5), описывающих игру, на интервалах дискретизации.
Библиографический список
1. Ветцель. Е. С. Исследование операций / Е. С. Ветцель. — М. : Сов. радио, 1972. — 550 с.
2. Потапов, В. И. Дифференцированная игра между управляемыми подвижными объектами / В. И. Потапов, С. Г. Братцев ; Омский политехнический институт. — Омск, 1985. — 31с. — Деп. в ВИНИТИ 17.0785, № 6002-85.
ПОТАПОВ Виктор Ильич, доктор технических наук, профессор (Россия), заслуженный деятель науки и техники РФ, заведующий кафедрой «Информатика и вычислительная техника».
Адрес для переписки: ivt@omqtu.ru
Статья поступила в редакцию 11.05.2012 г.
© В. И. Потапов
£ £
п-1
Б
Книжная полка
Губарев, В. В. Информатика: прошлое, настоящее, будущее : учеб. для вузов по направлению 230100 «Информатика и вычислительная техника» и специальности 080801 «Прикладная информатика» и др. экон. специальностям / В. В. Губарев. - М. : Техносфера, 2011. - 431 с. -ISBN 978-5-94836-288-5.
В пособии излагается взгляд автора на то, что такое информатика, ее состав, основные понятия, концепция описания ее истории и поколений средств вычислительной техники. Особое внимание уделяется хронологии создания базовых средств и технологий информатики, сведениям о лицах, внесших весомый вклад в развитие разных разделов информатики, а также ближайшим перспективам их развития. Содержатся многочисленные справочные, в частности статистические, сведения и перечень междисциплинарных проблемных вопросов, касающихся понятия информации, информатики и ее разделов.В книгу включены учебные и справочные материалы, предназначенные для изучения в рамках учебного процесса при подготовке бакалавров и магистров по направлениям «Информатика и вычислительная техника», «Прикладная математика и информатика», «Программная инженерия», «Системный анализ и управление», «Информационные системы и технологии», «Прикладная информатика» (по отраслям), «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», «Управление в технических системах», «Бизнес-информатика», «Информационная безопасность» и т.д.