CC BY
9
В.М.ОнУфр1енко: ДИФЕР1НТЕГРАЛЬН1 АЛЬФА-ФОРМИ У ХАУСДОРФОВ1Й МЕТРИЦ1 НА ФРАКТАЛЬНИХ МНОЖИНАХ
оптимизации в некоторых случаях может быть систем.
достаточным при разработке многочастотных излучающих Таблица 1
Метод ЭДЛ Метод ИУи МП
L2 , м Lrez , мкГн hL , м L* , мкГн hL , м Kc
0,187 0,4313 0,162 0,381 0,173 Л 57+i2,50 1,14
f2 30,6-j3,17 1,63
0,207 0,1733 0,1701 0,197 0,1863 / 57,65+i 1, 16 1,15
/2 33,50-Ю,28 1,50
Проведенная экспериментальная проверка
трехдиапазонной ЛПА, представленной на рис. 2 показала ее эффективную работу совместно с дополнительными вибраторами 5 и 6, обеспечивающими ее работу на дополнительной низкой частоте.
Таким образом, предложенная методика анализа и оптимизации может успешно применяться при исследованиях и разработке сложных многочастотных антенных систем.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Dubrovka F.F., Kupriy O.M., Zaskalniy V.V. A VHF-UHF Logperi-odic V-Dipole TV Antenna // Proc. of the Intern. Conf. on Antennas Theory and Techniq., Sevastopil, Ukraine. - 8-11 Sept. 1999. - P. 385-386.
2. Логопериодическая антенна: А. с. 1169050 СССР (Пат. SU 1817868 A3), МКИ H01Q 11/10. / А.А.Лобов (СССР).-№4950881/ 09; Заявл. 08.04.91; Опубл. 23.05.93, Бюл. №19, 3 с.
3. Ovsyanikov V.V. Research of New Antennas for Mobile Radio Communications // Proc. of 8th Int. Conf. on Math. Methods in Electromagnetic Theory. - Sept. 12 -15. 2000 - Kharkiv, Ukraine. - Р. 277-279.
4. Овсяников В.В., Крюков А.В. Анализ и оптимизация многочастотных излучателей для мобильной радиосвязи // Журн. Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. - Киев-2001. - Т.44, №5. - С. 69-76.
УДК 537.86:517.5.53
ДИФЕР1НТЕГРАЛЬН1 АЛЬФА-ФОРМИ У ХАУСД0РФ0В1Й МЕТРИЦ1
НА ФРАКТАЛЬНИХ МНОЖИНАХ
В.М.Онуфр1енко
Для описания фрактальных множеств в метрике Хаусдорфа вводятся в рассмотрение интегро-дифференциалы дробного порядка. Определено и доказано существование интегро-дифференциальных форм дробного порядка для анализа локальных свойств фрактального контура. Интегралы от форм применены для формулирования уравнений, которые описывают поля в искусственных метаматериалах.
Для опису фрактальних множин у метрищ Хаусдорфа вводяться у розгляд ттегро-диференщали дробового порядку. Визначено i доведено 1снування ттегро-диференщальних форм дробового порядку для аналiзу локальних властивостей фрактального контуру. 1нтеграли вiд форм застосовано для формулювання рiвнянь, що описують поля у штучних метаматерiалах.
The differintegrals for the description of fractal sets in the Hausdorff metrics are considered. The existence of the differintegrals forms for the analysis of local properties of a fractal boundary is defined and is proved. The integrals forms are applied for a formulation of the equations, which describe fields
in artificial metamaterials.
ВСТУП
Основним трактатом про фрактали, що оцшюються з р1зних точок зору, виступае фшософське тюстроване есе Б.Мандельброта [1] (розроблене на оригшальнш верси 1975 р.), де анал1зуеться велика юльюсть приклад1в з природничих та математичних застосувань. 1нш1 присвячеш фракталам книги включають розгляд геометричних аспекпв трактування фрактально! природи лшш та поверхонь [2]; гарно шюстрований огляд комплексно! динамжи подаеться в [3]; ф1зичш застосування розглядаються в [4,5], а в [6] - аспекти комп'ютерно! граф1ки; [7] присвячена функцюнальним схемам, що виконуються за допомогою иерацш; особливост впровадження фрактальних контур1в та
поверхонь в граничн1 умови задач теорп поля та електродинам1ки вперше розглядаються в [8-10]. Актуальним на даний момент залишаеться питання про математичне обГрунтування застосування 1нтегро-диференц1ал1в для опису фрактальних структур [11].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ!
У подальшому розгляд! можливостей опису фрактальних множин за допомогою 1нтегро-диференц1ального числення будемо використовувати означення фракталу Е, що базуеться на перел1ку його геометричних властивостей [2], а саме: Е мае тонку структуру (тобто з деталями будь яких малих розм1р1в); Е е занадто нерегулярним, щоб бути описаним у традиц1йн1й геометричн1й терм1нолог1! у м1сцевому масштаб1 1 глобально; Е мае деяку форму самопод1бност1, можливо, наближено чи статистично; визначена деяким чином фрактальна розм1рн1сть Е б1льша його тополог1чно! розм1рност1; у б1льшост1 застосовних у теорп поля випадк1в Е визначаеться достатньо простим, можливо рекурсивним, способом.
В1дому методику наближення некоординатних меж областей визначення поля за допомогою покриття простими компактами (прямокутниками, кругами, ел1псами 1 т.1нш.) [12] використаемо дал1 для досл1дження одного з основних математичних аспект1в теор1! фрактал1в, яким е питання про зб1жн1сть до фракталу утворено! посл1довност1 множин. Для цього треба ум1ти вим1рювати в1дстан1 м1ж компактними множинами, тобто необх1дно визначати в1дпов1дну метрику. Наприклад, для побудови фрактального розпод1лу ф1зично! величини (маси, заряду, струму 1 т.1нш.) на контур1 Кох на середн1й третин1 початкового в1др1зку Ко (нульового покол1ння) утворюють дволанцюгову ламану (множина К1 першого покол1ння). 1теративна побудова другого покол1ння (дволанцюгових ламаних на кожному з чотирьох в1др1зк1в множини К1 ), третього, 1 так дал1, и-го покол1ння дае ф1гуру Кп . Для доведення 1нту!тивного уявлення про те, що посл1довн1сть кривих {Кп >П°_ 1 зб1гаеться до деяко! гранично! криво!
К, що е фракталом, визначимо придатну для цього метрику Хаусдорфа.
Метрика Хаусдорфа визначаеться на множин1 К ус1х непорожн1х компактних п1дмножин простору Яп ; таким чином, "точками" К вважаються компакти. "Точками" можуть бути ф1гури покриття (квадрати, прямокутники, круги, ел1пси 1 т.1нш.) або нав1ть сама гранична множина (серветка Серп1нського, наприклад). Вимога компактност1 не обмежуе застосовност1 подальших результат1в, бо у побудовах ми завжди будемо використовувати т1льки компактн1 множини (б1льше того, виявляеться, що 1 граничн1 множини (фрактали) завжди компактн1). Подальш1 побудови будемо виконувати виходячи з наступного визначення в1дстан1 Хаусдорфа Н(Е, Е) м1ж
непорожн1ми компактними п1дмножинами з Яп
Н (Е, Е) = шт {£> 0: Е с Е + е, Е с Е + е) ,
де Е + е = и{Ве(х): х е Е) , Е + е = и{Ве(х): х е Е) -
дилатацГ! рад1усу е (векторна сума множин Е 1 Е з
Ве(х) - замкнутою кулею рад1уса е з центром в х). У
зв'язку з цим в1домо [2], що для виконання Иш Еп = Е
п ^ <»
у метриц1 Хаусдорфа необх1дно 1 достатньо, щоб для кожного е з деякого номера п > N виконувалось
Еп с Е + е , Е с Еп + е . Отже, перетин Е = ^ Еп
п=1
посл1довност1 вкладених одна в одну компактних множин Е1 з Е2 з ... виявляеться непорожн1м компактом, а
посл1довн1сть множин Еп зб1гаеться до Е : Иш Еп = Е .
п ^ <»
Дал1 покажемо, що розгляд фрактальних множин у метриц1 Хаусдорфа дозволяе пор1внювати величину хаус-
дорфово! розм1рност1 йН = Иш _1п—(г) (г - сторона Н г ^ 01п (1/г)
куба покриття, —(г) - к1льк1сть куб1в, до яких потрапляе хоча б одна точка фрактально! множини) з показником порядку а дробового 1нтегро-диференц1ала
(а/) (х) = ^ 1 - [ —Щ-&, конструкц1я якого
Г(а^(х - 01 - а
а
виникае у задач1 про визначення протяжност1 фрактально! криво!.
Виявлен1 таким чином зв'язки дають можлив1сть означити поняття 1нтегро-диференц1ально! а -форми та виявити спектр !! застосування для розв'язування задач фрактально! теор1! поля та електродинам1ки.
М1РА ХАУСДОРФА ТА ДИФЕР1НТЕГРАЛ НА
ФРАКТАЛЬНОЙ МНОЖИН!
Для побудови елемента дуги та довжини фрактально! частини контуру ми використаемо дал1 "геометричний" п1дх1д, що базуеться на 1де! Ф.Хаусдорфа про визначення неперервност1 в1дображення у точц1 не за допомогою в1дстан1 м1ж точками, а через покриття та вим1рювання околу точки фрактально! множини.
У практиц1 для вим1рювання довжини криво!, площ1 поверхн1 або об'ему розглядають покриття геометричних об'ект1в кубами з ребрами ег-, сферами з д1аметром (шах < е ) тощо. М1ра величини множини одержуеться як к1льк1сть достатньо малих сфер з центрами в точках множини, коли точки, що знаходяться в околах на в1дстан1 г < е/2, покриваються цими сферами. Як результат, таким чином в1дбуваеться узагальнення м1ри величини множини (див., наприклад,[13]), пов'язане з вибором деяко! пробно! степенево! функц1! Неа = у(а) X еа з ваговим коеф1ц1ентом у(а) (геометрично в1дпов1дним м1р1 в1др1зка прямо!, квадрата,
B.M.OmjôpieHKo: ДИФEPIHTEГPAЛЬHI AЛЬФA-ФOPMИ У XAУCДOPФOBIЙ METPИЦI HA ФPAKTAЛЬHИX MHOЖИHAX
кpyгa, кул1, кyбa) i пoкpиттям зaзнaчeними кoмпaктaми poзглядyвaнoï мнoжини тoчoк з yтвopeнням а -мlpи
Xaycдopфa Ha = ^HO".
У зaгaльнoмy випaдкy пoкpиття мнoжини тoчoк E кoмпaктaми Bi з дlaмeтpoм ri дae мoжливlcть кoнcтpyю-вaння а -мipи Xaycдopфa
Ha(E) = lim^H°(E) = inf |Y(a)£ra : E с uB, r¡ < ej ,
щр виcтyпаe мlpoю фpaктaльниx влacтивocтeй мнoжини.
Bкaзaнa cxeмa cyпpoвoджyeтьcя пoбyдoвoю oднleï з найб1льш вlдoмиx мeтpичниx poзмlpнocтeй - xaycдopфoвoï poзмlpнocтl dH. Для ^ora poзглядaeтьcя нижня гpaнь
cyми Ld(e) = inf ^ef для yclx мoжливиx пoкpиттlв i
мнoжини кубами з peбpoм et. Для дocтaтньo вeликиx d
lim Ld(e) = G та lim Ld(e) = œ - для мaлиx d . ei G ei G
Xaycдopфoвoю poзмlpнlcтю нaзивaeтьcя знaчeння
пoкaзникa
dH = inf $ d : lim Ld (e) = G % = sup i d : lim Ld (e) = œ %. e i G I I e i G
Oбчиcлeння xaycдopфoвoï poзмlpнocтl для кoнкpeтнoгo типу гeoмeтpичниx мнoжин за вкaзaнoю cxeмoю виявляeтьcя cклaднoю oпepaцieю нав1ть для кoмп'ютepa,
ocкlльки виникае нeoбxlднlcть м1н1м1зувати cyмy ^ed за
i
уйма мoжливими poзбиттями.
Для вlдoмиx aлгopитмlв пoбyдoви фpaктaльниx мго-жин виникае мoжливlcть бeзпocepeдньoгo oбчиcлeння xaycдopфoвoï poзмlpнocтl. Taк, нaпpиклaд, для ^moi' Kox y n-му пoкoлiннi дoвжинa вlдplзкa лaмaнoï дoplвнюe
rn = 1/3n , кlлькlcть тaкиx вlдplзкlв N(rn ) = 4n, a
ln N( rn )
xaycдopфoвa poзмipнicть dH = lim --= ln4/ln3»
rn i Gln(i/rn) » 1,26. У дагому випадку тoпoлoгlчнa poзмipнicть
dT = i , dH > dj-.
Poзглядaючи yзaгaльнeння вимipювaння пpoтяжнocтl фpaктaльнoï чacтини кoнтypy, щр пpoeктyeтьcя на вlcь OX y вiдpiзoк [ a, x] , пoкpиeмo кoнтyp лaмaнoю л1н1ею з ланками Axt(^ cтaлoï дoвжини (дlaмeтpaми кoмпaктlв пoкpиття (квaдpaтlв, кpyгlв, eлlпclв)) i з к1нцями, щo знaxoдятьcя на фpaктaльниx тoчкax кoнтypy ( k -нoмep пoкoлlння пoкpиття). Для пoкpиття бiльшoï кlлькocтl фpaктaльниx тoчoк кoнтypy бyдeмo y нacтyпнoмy ( k + 1 )-му пoкoлlннl го^итая змeншyвaти дoвжинy ланки
xi(k + i ) < Axi(k)
лши з ланками дoвжини Axi (k + i ), Щo знaxoдятьcя в гpaницяx ланки дoвжинoю Axi(k) лaмaнoï л1ни k -гo пoкoлlння, фунодюнальго зaлeжить в1д вlднoшeння Axi(k) д° Axi(k + i) :
N
Ax,(k + dAx,(k, f(Axi(k)/Axi(k + i)) .
(1)
Для ( k + 2 )-ш го^л^ня пoкpиття з Axi ( k + 2)<Ax¿ ( k + i) oдepжyeмo чиcлo вepшин лaмaнoï лlнlï
NAx,(k + 2)Ax,(k + 1) = f(Axi(k + i)/Axi(k + 2)) .
З lншoгo бoкy, дoбyтoк кlлькocтl вepшин лaмaниx нacтyпнoгo ( k + 2 )-re пoкoлlння на кlлькlcть вepшин пoпepeдньoгo ( k + i )-re пoкoлlння виpaжaeтьcя чepeз пoкpиття k -ш пoкoлlння:
N
Ax-'( k + 1)Axi (k) NAxi (k + 2)Axi ( k + 1)
=N
A^< ( k + 2)Axi ( k)
Пoмlчaeмo, щo зв'язoк м1ж кlлькlcтю eлeмeнтlв пoкpиття та ïx poзмlpoм oпиcyeтьcя фyнкцloнaльним piвнянням виду
f( u )f( v/u ) = f( v) ,
(2)
Дe пoзнaчeнo u = Axi(k)/Axi(k + i) , v = Axi(k)/Axi(k + 2) .
Гладкий poзв'язoк plвняння (2) e единим i нeпepepвним y фopмi cтeпeнeвoï функцп
f( u ) = u a,
(3)
щр мoжe poзглядатиcь як xapaктepиcтикa Komi [14]. Дlйcнo, для дoвiльнoï нeпepepвнoï для x > G функцп f(u) , щр зaдoвoльняe plвняння (2), ввeдeмo нoвy зм1нну
, ( -œ < £ < го ) за фopмyлoю u = e^ , ф(^) = f (e. Bикopиcтoвyючи влacтивocтl eкcпoнeнти, мaeмo функцюнальну зaлeжнlcть ф(п - = f(en - = f(eп/e^), а з ypaxyвaнням (1), зaлeжнicть f( en/e^)=f( en)/f( e = = ф(п)/ф(^), Щo властива для пoкaзникoвoï функцп
ф(^) = а^ , а > G . Oтжe, f(u) = alnu = ua, дe a - ln a . Пopiвнюючи виpази (1) та (2), oдepжyeмo
N
r Axi (k) ^a
Ax;+ пл . 4fficno Nax ^ Ax. вepшин ламанoï
Ax-( k + " Ax-( k' )Axi (k + i)
Oтжe, дoвжинa ланки лaмaнoï лlнlï ( k + i )-re пoкoлlн-ня пoкpиття визнaчaeтьcя фopмyлoю (з ypaxyвaнням нeзмlннocтl пoчaткoвoгo Axi(k) )
(а)
A L ( к + 1) = NAx + ^ -AXi ( k + ! ) + o(Axl ( k + 1}) =
. а A x
i ( к )
'Axi ( к + 1) + o (Axi ( к + 1)) =
.a i ( к + 1 ) ViiA- i ( к +
A Xi ( к + 1)
= Y(a) -
1
A x
- Axi ( к + 1 ) + o (Axi ( к + 1)) •
i (к + 1 )
Довжина ламано'1' лшп ( к + 1 )-го поколшня
L(a)( к + 1 ) = lim У A(a)L ( к + 1 ) =
А,- ч Г
ЛхЦк + 1)^ 0
lim
У у(а) -
- Ax,
Ax . .а Xi(к + 1)-
Ax- (к +^01 A Xi ( к +1)
dß(l _ a) = Dß(l - a)dl = r(21- ß^ _ ^ß _ 1 dl =
= -Ц—dl, а = 2 _ ß, 0 <ß< 1.
Г(а)( l _ a)1 _а н н
3 урахуванням властивостей flèôepiHTerpaëiâ
( Dx f (X ) = aIx1 - а/) (X ) ;
( Dx af) (X ) = ( Dx 1 + а/) (X )
dx
а = та +1 =
d гаа = га
У ( oV + f ( Xi ) ^
1 + а
(4)
(5)
= У^ (A"/ (Xi)^ dXi •
Для доведення iснувaння а -форми розглянемо покриття фрактально!' множини контуром L (на контур L проектуеться розглядувана множина фрактальних точок), що визначаеться piвнянням P (X1, X2 ) = P (х) = 0, де
функщя P (х ) е нeскiнчeнно дифepeнцiйовною. Визначи-мо iнвapiaнтно пов'язану з контуром L диферштегральну форму дробового порядку а + 1 у виглядi dP • гаа + 1 = dа + 1l, де dP - диференщал функцп
ДИФЕР1НТЕГРАЛЬН1 а -ФОРМИ
Поpiвняння (4) з формулами дробового штеграла
X
( J*» <х > = йО) i ¡^Ъ d<
Р(х), da + 11 = (ар11 + а1 )(х()dx1 + а . Введемо в окол! будь яко! точки контуру локальну систему координат (?2 ) так, щоб одн1ею з цих координат, наприклад tl ,
була б величина Р(х) , а формули переходу в1д координат (Х1, Х2 ) до координат (tl, t2 ) задавались би неск1нченно
та похщно!
( oDx а/) <х ) = ^г--1:---;;;;) dX/ fbdt = £ oIx1 -f <х )
a
(див., наприклад, [15]) дае можливiсть записати дифepiнтeгpaл дуги [16]
диференцшовним якобiaном D"
D"X1 d"x2
dx 1 dx2 d d
У нових координатах маемо dal = Da+j dPdt2 , отже e
(6)
можливiсть визначити форму виду га" = D") * dt2 , чим
i доводиться шнування а -форм. Якщо, зокрема, в околi дано'! точки D" Ф 0 вибрати t1 = P, t2 = X2 то
Xj = 1/Da+X) = 1/DX"P , a -форма шнуе у виглядi
D
(РхаЛ (Х ) = ( /х-а/) (Х) ,
для опису локальних фрактальних властивостей контуру введемо диферштегральш а -форми дробового порядку
гаа = ((Р%а/)(х)dxа , що за ц!лих значень а
в1дпов1дають вщомому означенню диференц1альних форм (див., наприклад, [17]). У зв'язку з цим означимо зовшшнш диференщал а -форми як диферштегральну а + 1 -форму:
гаа = dx2/D°P .
Зовшшнш диференщал ( a + 1)-форми
У a1 (х)dXi л dx" е формою ( a + 2)-го порядку
У ((D1+ + aaj)(х) _ (D1 + aai)(х))dxi л dx" л dxj = i < j
= У QX-(D"aj)(x) _ дЦD"at)(x)j dx{ л dx" л dxj.
Помiчаeмо, якщо коeфiцieнтaм форми
гаа + 1 = У a1 (x)dxt л dx" поставити у вiдповiднiсть i
вектор a = {ai} , то коефщентам зовнiшнього
диференщала dгaa буде вiдповiдaти ротор вектора a на фpaктaльнiй множинi.
Поpiвняння (5) з формулами iнтeгpодифepeнцiaльного
a
d
В.М.Онуфр1енко: ДИФЕР1НТЕГРАЛЬН1 АЛЬФА-ФОРМИ У ХАУСДОРФОВ1Й МЕТРИЦ1 НА ФРАКТАЛЬНИХ МНОЖИНАХ
числения дозволяе ввести у розгляд для опису розпод1Л1в на фрактальних множинах 1нтеграл в1д а -форми Ша
виду |Ша . Зрозум1ло, що так1 1нтеграли не залежать в1д L
розбиття област1 на ланки, що в1дпов1дають ф1ксован1й ор1ентаци околу (тобто перех1д в1д координат (ty, t2 ) до
(Xy, x2 ) визначаеться функц1ями з додатн1м якоб1аном (див., наприклад, [18])).
Зовн1шн1й диференц1ал (n + а - 1 )-форми у деяк1й n + а -вим1рн1й област1 G з кусково-гладкою межею Г п1двищуе на одиницю порядок форми: dфn + а - 1 = фn + а . Для ор1ентацп област1 G , що в1дпов1дае додатньому напрямку нормал1 до Г, справедлива формула Гаусса-Остроградського
+ а - 1 = f ^n + а - 1
J drnn + а -1 = J
(7)
G Г
Узагальненням (7) виступае формула Стокса
J drnk + а -1 = J rak+а - 1 ,
Г
(8)
де G - е k + а -вим1рною областю (k < n ), а Шk + а 1 -форма k + а - 1 порядку.
За поданою схемою (1) - (5) будуемо узагальнен! вирази для елемент1в поверхонь та об'ем1в (компакт1в покриття), що визначаються на фрактальних множинах через в1дпов1дн1 1нтегро-диференц1альн1 форми порядку
1 . -,
k + а , а саме dVM = ——- I Ша- 1 , що для ц1лого M Г(а)->
M
а = p + 1 , Г(а) = (а- 1)! перетворюються у в1дому 1 г
форму dVM = p- j ШР (див., наприклад, [18]).
M
Розглядаючи п1д1нтегральн1 вирази добутк1в складових вектор1в електромагн1тного поля на елементи контур1в, поверхонь та об'ем1в як 1нтегро-диференц1альн1 форми в1дпов1дного порядку, з урахуванням формул Гаусса-Остроградського (7) та Стокса (8) одержуемо застосовн1 для опису поля на фрактальних множинах р1вняння Максвелла у терм1нах а -форм
д"£а »а д За »а -»а а
dE = - —B - Jm , dH = —D + Je , dD = ра , dt dt e
dBа = pm
(9)
Розкриття в (9) а -форм з урахуванням !х властивостей у в1дпов1дних координатних системах утворюе можлив1сть розв'язування нового класу задач про визначення електромагн1тного поля поблизу фрактальних контур1в та у штучних метасередовищах, загальною моделлю яких е фрактальна множина точок.
висновки
Для математичного обГрунтування застосування 1нтегро-диференц1ал1в для опису фрактальних структур розглянуто фрактальн1 множини у метриц1 Хаусдорфа. Вим1рювання протяжност1 фрактально1 частини контуру, що проектуеться на в1сь у в1др1зок, показало, що зв'язок м1ж к1льк1стю елемент1в покриття та 1х розм1ром описуеться функц1ональним р1внянням у характеристиках Кош1, а довжина ланки ламано! л1н11 визначаеться за допомогою засоб1в 1нтегро-диференц1ального дробового числення.
Для опису локальних фрактальних властивостей контуру введено 1 доведено 1снування дифер1нтегральних а -форм дробового порядку, що за ц1лих значень а в1дпов1дають в1домому означенню диференц1альних форм. Введено у розгляд 1нтеграл в1д а -форми для анал1зу розпод1л1в на фрактальних множинах, формулу Гаусса-Остроградського, формулу Стокса.
Розгляд п1д1нтегральних вираз1в добутк1в складових вектор1в електромагн1тного поля на елементи контур1в, поверхонь та об'ем1в як 1нтегро-диференц1альних форм в1дпов1дного порядку показав, що з урахуванням формул Гаусса-Остроградського та Стокса можна записати р1вняння Максвелла у терм1нах а -форм, застосовн1 для опису поля на фрактальних множинах, що е основою для розв'язування нового класу задач про визначення електромагн1тного поля поблизу 1мпедансних контур1в та у штучних метасередовищах.
ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ
1. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. Freeman. San Francisco, 1982.
2. Falconer K.J. The Geometry of Fractal Sets. Cambr. Univ. Press, Cambridge, 1985.
3. Peitgen H.-O. and Richter P.H. The Beauty of Fractals. Springer. Berlin, 1986.
4. Feder J. Fractals. Plenum Press. New York, 1988.
5. Фракталы в физике// Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике. Пер. с англ./Под ред. Л.Пьетронеро, Э.Тозотти. - М.:Мир.-1988.-672 с.
6. Peitgen H.-O. and Saupe D.(Eds). Fractal Images, Springer, New York, 1988.
7. Barnsley M.F. Fractals Everywhere. Ac.Press, Orlando, FL, 1988.
8. Onufrienko V. On " а -features" of electrical waves above impedance plane// Proceedings 12 International. Conference on Microwaves & Radar.-Vol.1.- Krakov (Poland).- 1998.-P.212-215.
9. V.M.Onufriyenko. Physical and Geometric Interpretation of Electromagnetic Field's а -Characteristics // Telecommunication and Radio Engineering, Vol.53.-N 4-5, 1999.-PP. 136139.
10. V.M.Onufrienko. The Differintegral Model for Describing Fractal Coupling Between Waveguide Surfaces //Telecommunication and Radio Engineering, 2002.-Vol.57.-N 1. -PP. 30-36.
11. V.M.Onufriyenko. Integro-Differential Charges and Currents Distribution on the Fractal Medium Topology // Conf. Proc. International Conference of Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET-2002),V.2.- Kiev ,Ukraine, 2002.-P. 382-384.
12. В.М.Онуфриенко, И.Г. Прохода, В.П. Чумаченко. Численное решение задачи о волноводном трансформаторе с соединительной полостью сложной формы // Изв. вузов. Радиофизика .-1975.- 18.-№ 4. - С. 584-587.
13. Р.М.Кроневер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Пер. с англ. М.:Постмаркет.-2000.-352 с.
14. Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления.-М.:Физматгиз, Т.1.-1963.-656с.
G
15. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск:Наука и техника.-1987.
16. Онуфриенко В.М. Ближнее поле фрактального распределения токов однопроводной линии // Изв.высш.учеб.заведений.Радиоэлектроника.-2002.- Т.45,
№ 9. - С.47-53.
17. Ж. де Рам. Дифференциальные многообразия. М.:ИЛ.-1956.
18. И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов. Обобщенные функции и действия над ними. М.:Физматгиз.- 1958.
УДК 621.37:537.87
МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ФРАКТАЛЬНОГО
ПРОВОДНИКА С ТОКОМ
В.М.Онуфриенко, В.Н.Левыкин
Применением методов интегродифференциального сглаживания фрактальных контуров учтены их локальные свойства. Получены решения базовых задач магнитостатики (определение стационарного магнитного поля вблизи бесконечно тонкого проводника с током, поверхность которого обладает фрактальными свойствами; нахождение магнитного поля, создаваемого током в окрестности и на оси фрактального контура). В графическом виде представлены структуры магнитных полей вблизи фрактальных объектов.
Застосуванням метод1в дифер1нтегрального згладжування фрактальних контур1в ураховано шт локальт властивост1. Отримано розв'язки базових задач магттостатики (визна-чення стацюнарного магттного поля поблизу несктченно тонкого пров1дника з1 струмом, поверхня якого мае фрак-тальш властивост1; знаходження магттного поля, створю-ваного струмом поблизу та на ос1 фрактального контуру). У граф1чному вид1 представлено структури магттних пол1в поблизу фрактальних об'ект1в.
An application of differintegral methods in fractal contours smoothing takes into account their local properties. Decisions of basic magnetistatics tasks (definition of a stationary magnetic field nearby indefinitely thin conductor with a current, which surface has fractal properties; determination of a magnetic fields created by a current in a vicinity and on an axes of a fractal contour) are obtained. Structures of magnetic fields near to fractal objects are graphically represented.
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность изучения фрактальных свойств вещества связана с возросшим в последнее время интересом к исследованиям областей радиофизики (теории киральных сред, анизотропных управляемых покрытий и т.п.), где необходимо учитывать влияние микроскопических неоднородностей среды на структуру ближнего электромагнитного поля.
Использование моделей масштабно-инвариантных фракталов [1] для приближений в описаниях реальных объектов (аналогично тому, как это обычно осуществляется с помощью понятий точки, прямой, плоскости, гладких контуров и поверхностей) обусловливает применение интегродифференциального аппарата для анализа явлений радиофизики. Ввод а -характеристик компонент электромагнитного поля в уравнения Максвелла представляет возможность учета неровностей реальных поверхностей и структуры среды [2].
Применение аппроксимационной техники к спрямлению контуров и поверхностей с использованием конструктивных (а не традиционных аксиоматических) определений длины по Минковскому или Хаусдорфу позволяет обобщить постановку и решение краевой задачи для фрактальных контуров и поверхностей и получить верные предельные переходы к классическим результатам, соответствующим идеальным гладким моделям [3].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В качестве примера использования интегродифферен-циального сглаживания фрактальных контуров с учетом их локальных свойств получим решения базовых задач магнитостатики для фрактальных проводников и контуров.
Задача 1. Магнитное поле бесконечно
тонкого фрактального проводника
Рассматривается проводящий стержень D, поперечное сечение, которого представляет собой фрактальное множество Жюлия J, т.е. в плоскости перпендикулярной оси OZ имеются геометрические сингулярности, вдоль OZ объект однородный (рис. 1). Пусть вдоль стержня течет линейный постоянный ток. Стержень обладает шероховатой поверхностью, которую необходимо учитывать в расчетах. Ставится задача о выводе выражения для определения магнитной напряженности стационарного магнитного поля, создаваемого током в окрестности тела Р, и построении графической картины поля в сечении фрактального проводника.
Задача 2. Магнитное поле фрактального
контура с током
Рассматривается замкнутый фрактальный контур L с линейным током. Поперечное сечение контура представляет собой комплексное фрактальное множество M (рис. 2). Ставится задача нахождения стационарного магнитного поля, создаваемого током вблизи фрактального контура L (рис 4,а-в) и на его оси (рис. 2), разрабатывается алгоритм графического построения силовых линий поля.
