Диалектические аспекты развития математики и математической логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского

Серия «Философия. Культурология. Политология. Социология». Том 24 (65). 2012. № 4. С. 363-368.

УДК 165.23

ДИАЛЕКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Титов А.B.

В статье рассматривается диалектическая сторона процесса развития математического знания и определений в математике и математической логике. Диалектика развития форм логического исчисления, обнаруживает себя в разделении форм формальной логики в виде различных типов логических исчислений, возникающих как результат рассмотрения оценок на различных алгебраических структурах. При таком подходе в центре внимания оказывается отношение между типом логического исчисления типом структуры оценки и отношением эквивалентности, определяющим меру истинности на множестве значений оценки.

Ключевые слова: диалектика, формальная логика, оценка, семантика, математическая структура, мера, отношение эквивалентности.

Объектом исследования в работе является математическое знание. Целью работы является исследование диалектического начала в определении как понятий в математике, так и в развитии форм логических исчислений.

Математика относится к циклу формальных наук, в которых не действуют принципы спекулятивной философии. Основу доказательства в математике долгое время составляли законы исключенного третьего и противоречия. [1,с.201].

Однако критика оснований логики, начатая в начале ХХв., привела к тому, что в формальной логике и математике наметился путь, на котором ее законы должны были бы получить обоснования внутри нее.

Обсуждение содержания предмета математики начнем с замечания Гегеля о содержании и предмете логики:

«Логика же, напротив, не может брать в качестве предпосылки ни одной из этих форм рефлексии или правил или законов мышления, ибо они сами составляют часть ее содержания и сначала должны получить свое обоснование внутри нее. Но в ее содержание входит не только указание метода, но и вообще само понятие науки, причем это понятие составляет ее конечный результат; она поэтому не может заранее сказать, что она такое, лишь все ее изложение порождает это знание о ней самой как ее итог (Letztes) и завершение. И точно так же ее предмет, мышление или говоря определеннее, мышление, постигающее в понятиях, рассматривается по существу внутри нее» [2, с.33]

Титов A.B.

Также и понятие математики составляет конечный результат математики. Предмет же математики следует определить, т.к. рассматривать ее как науку о числах, скорее всего, уже нельзя, объектом математического знания стали структуры или, как выражается И.Р.Шафаревич, числоподобные структуры. Можно вслед за Гегелем сказать, что предметом математики является мышление, постигающее в структурах. И даже более того, поскольку развитие любой наука на практике связано с языком, мышление, постигающее в понятиях выраженных на языке структур. Т.е. она есть образ логики в этих структурах.

Этот подход предполагает, так же, что математическая логика не составляет голую форму математического знания, не абстрагируется от него, но сами логические формы лежат в основе математических структур - «материи математики». И уже существующая попытка построить математическое знание отталкиваясь от понятия пустого множества можно рассматривать как интерпретацию гегелевского положения о том, что наука логики должна развиваться из простого начала которое есть «форма различия, которое в тоже время сохраняется в тождестве как нечто нераздельное» [2, с.26].

Ход развития математического знания, как отмечено Гегелем [2, с.89], выводит ее за пределы рассудочной логики.

Причина этого может заключаться в том, что математика развивается как результат «взаимодействия» двух процессов: процесса абстрагирования, в котором выделяются некоторые общие черты различных сущностей и результатом которого становится аксиоматическое представление абстрактных структур, и процесса специализации - поиска новых моделей для имеющихся систем аксиом. Процесс абстрагирования есть процесс перехода к всеобщему в отдельных сущностях, специализации - возврат к особенному, так что каждый из них можно рассматривать как снятие другого, а значит их «взаимодействие» можно отнести к сфере диалектики и ее «процессов».

Семантический подход к развитию логических исчислений имеет обоснование в диалектике. В частности, Гегель утверждает: «Содержание, которого мы не находим в логических формах, есть не что иное как некоторая прочная основа и сращение (Konkretion) этих абстрактных определений, и обычно ищут для них такую субстанциальную сущность вне логики. Но сам логический разум есть то субстанциальное или реальное, которое удерживает в себе все абстрактные определения, и он есть их подлинное, абсолютно конкретное единство. Нет, следовательно, надобности далеко искать то, что обычно называют материей. Если логика, как утверждают, лишена содержания, то это вина не предмета логики, а только способа его понимания.» [2 сс.37-38]

В развитии неклассических формальных логических систем доминируют подходы на основе принятия различных вариантов системы общезначимых формул или на основе принятия новой аксиоматики. К недостаткам этих подходов можно отнести то, что:

во-первых, неизбежно возникает вопрос о некоторой базовой, очевидной для всех системе законов логики, так называемой «минимальной логике» [3, с.80] или «протологике» [4, с. 152]. Однако с учетом диалектического положения о том, что всякая конечная форма несет в себе свое отрицание, можно предположить, что

такой минимальной системы, заданной как система аксиом не может быть в принципе.

Во-вторых, разрабатываемые системы аксиом, при отсутствии некой начальной системы или «минимальной логики» предстают как рядоположенные, не прослеживается генетическая связь между различными системами.

Если рассматривать математическую структуру как нечто, то к ней применимо утверждение Гегеля: «Своим качеством нечто противостоит иному, оно изменчиво и конечно, определено всецело отрицательно не только в отношении иного, но и в самом себе» [2, с.93] Но отрицательность в себе математической структуры с формальной стороны означает выход за пределы аксиоматики, описывающей эту структуру. В равной степени это относится к аксиоматике логического исчисления.

Ход развития современной логики, как символической логики позволяет предложить подход, при котором такое отрицание, а следовательно и переход одного типа логического исчисления в другой базируется на семантике. Предпосылкой к такому подходу служит то, что:

во-первых, то, что в символической логике логические исчисления представлены в виде алгебраических структур;

во-вторых, то, что алгебра формул изначально свободна от каких-либо законов и является универсальной алгеброй либо обобщенной универсальной алгеброй общего вида;

в-третьих, то обстоятельство, что в основе преобразования универсальной алгебры формул в логическое исчисление лежат правила преобразований значений истинности.

При таком подходе истинность рассматривается как мера на некоторой математической структуре.

Поэтому в предлагаемом варианте семантического подхода к классификации формальных логических исчислений как результате взаимодействия различных моментов логического, это взаимодействие рассматривается как внутренняя связь алгебраических структур, на которых принимают значения оценки «суждений», различных типов меры на этих структурах и связанных сними отношений эквивалентности.

Диалектическая сторона влияния структуры значений оценки на характер истинности и, как следствие, на тип логического исчисления заключается в отображении учения об отношении таких форм бытия как качество, количество и мера на характер изменения значений истинности при эволюции структур значений оценки. Это находит свою иллюстрацию на примере теоремы Лося о взаимоотношении утверждений нестандартного и классического анализа.

В диалектике Гегеля утверждается, что конечные определения снимают сами себя и переходят в свою противоположность.

Проследим этот переход на примере анализа роли семантики в развитии классического исчисления высказываний как булевой алгебры.

Определим оценку со значением как гомоморфiзм и: ¥0 ^ А где А некоторая не обязательно двухэлементная булева алгебра,, в частности и:У0 ^Р(1) , где I некоторое множество.

Пусть формула языка структуры К, и оценка этой формулы в решетке

В = {О,1}. \\к II оценка этой формулы в Р(К ), т.е оценкой будем называть

II ||: Гш ^ Р(Кг) р(ку )

функцию вида , где V множество переменных языка L, а ^ '

^ Р(КУ)

решетка, элементами которой служат подмножества К . Булева решетка 4 '

P(KV ) = 1

есть расширение решетки В, в котором ^ ' , 0=0. Однако в структуре

Р(КУ ) 3 С Р(КУ )

^ ' значением оценки служит любое подмножество _ ^ ' . По аналогии с

[5, с. 378] введем предикат Тг1 (тк ) _ (1 \^к\е 1), где j - некоторое подсемейство

Р(К ). Рассмотрим, как выбор семейства j может повлиять на тип логического исчисления.

В нестанданртном анализе рассматривается множество - степень К , а оценка принимает значения на Р(1), выбор в качестве j ультрафильтра в Р(1) позволяет

Тг1 (\к) _ т, К1

заменить 1 к «обычной» истинностью суждения Тк о структуре Л .

К1/, = К1 /,

Поскольку для ультрапроизведений , имеем

\к /1 ([/1 ]! [/2 1,,, [/п ]) ^ (\к (/1, /2 '...' /п ]е Л , где [/г ]е К /1 . Как будет

показано ниже это фактор - множество содержит два элемента. Это обеспечивает эквивалентность обеих семантик. Ситуация в нестандартном анализе отличается от рассматриваемой далее выбором множества на котором принимает значение оценка, однако имеет ту же диалектическую природу; а именно, истинность как мера на множестве индексов является бесконечно малой величиной если это множесво не является элементом ультрафильтра.

Нас интересует случай, когда оценка есть функция Гш ^ Р(К ) . Поскольку

Л, ~ / : V ^ К есть семейство функций из множества в множество, т.е. само

является множеством, то будем рассматривать его как множество, проиндексированное некоторым семейством I. В дальнейшем К = 1.

Если рассматривается оценка со значениями в Р( 1), т.е.

|\\к|| Р(1) . Р(1)

оценка11 к|1 ' , то при условии, что j ультрафильтр над 4 ' получим

оценку в ультрапроизведении Р(1)/~1 . В [6, с. 82] доказано, что если фильтр j в

А /

псевдобулевой алгебре А максимален, то фактор - алгебра ~1, содержит два элемента, т.о. отношение эквивалентности ^ приводит к оценке на булевой алгебре Р( I)/~ 1 = В = {0,1}.

Таким образом, как и в случае нестандартного анализа, выбор в качестве j

, Тг1 (\) = (| Ы| е 1) „

максимального фильтра позволяет заменить ч^м «обычной»

истинностью суждения Фк о структуре К. В то же время этого нельзя сделать при

Тг, (ф) = (I\фА =1 • * - а п

■> 11 11 , т.е. в случае если в качестве ] выбран единичный фильтр. С

математической точки зрения это объясняется тем, что при выбранном отношении эквивалентности только оценка равная I дает значение истинности равное 1. Кроме

Ш е

ш <

ш

С

Triш)

того, для любых оценок таких, что k k будет иметь место точки зрения приведенных выше рассуждений это означает, что при таком выборе фильтра каждый элемент множества I обладает конечной мерой и множество

значений оценок эквивалентно мощности P(I) .

В работе [7, с.36] рассматривается взаимоотношения семантик:

^Tr, (Рк) = (IШ =1) Ш к - я P(I)

1) j k k и k , показано, что для оценки на булевой алгебре

Tr (рк ) ^рк -I (рк ^ Tr, (Рк ), Ш ) = (IРк II = 1)

1 к к для хорновых формул и к 1Ктк' Ктк' " к" У для

позитивных. Т.е. в общем случае оценки при этих видах истинности в общем случае

не совпадают.

очи Tr(рк ) = (I\рк\\ е F)

2) В то же время для семантик 1 11 11 , где F - ультрафильтр

фк для всех формул. Оба утверждения доказываются индукцией по длине формул.

Случай, когда j фильтр над импликативной решеткой (псевдобулевой алгеброй)

3(I)eP(I), элементы которого являются значением оценки некоторого суждения Рк о структуре K рассмотрен в [8, с.346]

Показано, что выбором структуры 3(1)сР(1)и отношения эквивалентности на нем (меры на значениях истинности) может быть получена как интуиционистская

. iia а —all > 0

логика, так и двойственная ей, т.е. логикав которой оценка формулы 11 .

Структура, на которой принимает значение оценка формул формального языка и выбранное отношение эквивалентности определяют не только тип логики, но и правила вывода, соответствующие типу логики. Например, приведенное в [9] требование выполнимости правила modus ponens, которое на языке оценок

1

(1) есть частный случай

(кIIе j \\(к е 1 Ие J пл ■ А «

правила к , влечет , (2) где j - фильтр на алгебре

оценок. В modus ponens j=1. Но (2) свойство импликативной решетки. Таким образом, modus ponens в форме (2) является правилом вывода для всех логик со значениями на импликативных решетках (псевдобулевых алгебрах).

Вывод. Математика, развиваясь как формальная наука и опираясь на тот тип мышления, который характеризуется Гегелем как рассудочный, отличный от разумного спекулятивного, для которого естественно наличие противоречия в определяемом объекте, тем не менее, приводит к результатам выходящим за рамки рассудочной деятельности, к которым Гегель относит и понятие бесконечно малой величины. Хорошо известно сколь долгий путь пришлось пройти до того, как

выглядит как:

(к II е 1 (к ^ Р\ = 1 _ Р(

влечет

бесконечно малые приобрели статус величин. Можно сказать, что Гегель предвосхитил их актуализацию. Отношение эквивалентности предоставляет возможность интерпретировать положение Гегеля о том, что в отличие от качества, которое есть тождественная бытию определенность, количество есть определенность внешняя бытию. Находят они свое единство в мере, которая есть качественное количество. В частности, это положение подается интерпретации путем введения отношения эквивалентности на множестве значений оценки при семантическом анализе типов формальной логики.

Список литературы

1. Гегель Г.В.Ф. Наука логики / Г.В.Ф.Гегель [перевод с немецкого] // Энциклопедия философских наук. - М.: - «Мысль». - 1974. - Т.1. - 451 с.

2. Гегель Г.В.Ф. Наука логики / Г.В.Ф.Гегель [перевод с немецкого Линьков] - СПб.: «Наука». -1997. - 799 с.

3. Плиско В.Е. Исчисление Колмогорова как фрагмент минимального исчисления / В.Е Плиско // Успехи математических наук. - Вып.43. - №1. -М.: «Наука». - 1988. - сс.80-91.

4. Карпенко А.С. На пути к протологике / А.С.Карпенко // Логические исследования. - Вып.17. -М-СПб. - 2011. - сс.152-167.

5. Любецкий В.А. Некоторые применения теории топосов к изучению алгебраических систем / В.А.Любецкий // П.Т.Джонсон. Теория топосов. - М.: «Наука». - 1986. - сс.376-433.

6. Рассева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики / Е.Рассева, Р.Сикорский. - М.: «Наука». - 1972. - 592с.

7. Титов А.В. Построение классической и неклассической теорий алгебраической системы выбором эквивалентности на значениях оценки / А.В.Титов // Материалы международной конференции «Шестые Смирновские чтения по логике. - М.: МГУ. - 2009. - сс. 36-38.

8. Титов А.В. Диалектика определений в математике и математической логике / А.В.Титов // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И.Вернадского. - Т. №24 (630), №3-4. - Симферополь.: ТНУ им В.И.Вернадского. - 2011. - сс. 342-347.

Тгтов А.В. Дiалектичнi аспекти розвитку математики i математично!' логжи // Вчеш записки Тавршського национального ун1верситету iм. В. I. Вернадського. Сер1я: Фшософ1я. Культуролог1я. Полгголопя. Сощолопя. - 2012. - Т. 24 (65). - № 4. - С. 363-368.

У статп розглядаеться дiалектична сторона процесу розвитку математичного знання i визначень в математищ i математичнш логщг Дiалектика розвитку форм лопчного числення виявляе себе в роздшенш форм формально! логжи у виглядi рiзних тишв лопчних числень, що виникають як результат розгляду оцшок на рiзних алгебра!чних структурах. При такому пiдходi в цен^ уваги опиняеться вщношення мiж типом лопчного числення, типом структури оцшки i вiдношенням екв1валентносп, що визначае мiру iстинностi на множит значень оцiнки.

Ключовi слова: дiалектика, формальна логiка, оцшка, семантика, математична структура, мiра, вiдношення екмвалентносл.

Titov A.V. Dialectic aspects of development of mathematical and mathematical logics // Scientific Notes of Taurida National V.I. Vernadsky University. Series: Philosophy. Culturology. Political sciences. Sociology. - 2012. - Vol. 24 (65). - № 4.- P. 363-368.

The article reveals the dialectic side of development of mathematical knowledge and definitions in mathematics and mathematical logic. The dialectics of development of forms of logic calculations finds itself in division of forms of formal logic, in the form of various types of the logic calculations, arising as result of consideration of estimates on various algebraic structures. At such approach a relation between type of logic calculation, type of structure of an assessment and the relation of equivalence defining a measure of the validity on a set of values of an assessment is in the center of attention. Keywords: dialectics, formal logic, assessment, semantics, mathematical structure, measure, equivalence relation.

Статья поступила в редакцию 19.09.2012